domingo, 16 de agosto de 2015

Ejercicios Resueltos de Cinemática

Periodo de giro del una hélice

La hélice de un ventilador gira con movimiento de rotación uniforme tal que un punto de los extremos tiene una rapidez tangencial de 31,4 cm/s. Si el radio de giro de estos puntos es de 20 cm, ¿cuál es el periodo de rotación de la hélice?

SOLUCIÓN

La velocidad tangencial se relaciona con la velocidad angular según la ecuación $v = \omega\cdot R$ . Despejando y sustituyendo:
$\omega = \frac{v}{R} = \frac{31,4\ cm/s}{20\ cm} = 1,57\frac{rad}{s}$

La frecuencia es:
$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1,57\ rad/s}{2\pi} = 0,25\ s^{-1}$

El periodo es la inversa de la frecuencia:
$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{0,25\ s^{-1}} = \bf 4\ s$

Tiro oblicuo con velocidad por debajo de la horizontal

Un estudiante hace un estudios sobre movimiento parabólico y se sube a una terraza de 8 m de altura con respecto al suelo y arroja una pelota con un ángulo
de 37º bajo la horizontal y una velocidad inicial de 18 m/s. Determina el tiempo de caída y la distancia horizontal que se desplaza la pelota.

SOLUCIÓN

La clave está en hacer un buen diagrama de la situación (ver esquema adjunto).
La velocidad inicial en cada eje es:
$v_{0x} = v_0\ cos\ 37$

$v_{0x} = v_0\ sen\ 37$

La velocidad a lo largo del tiempo, teniendo en cuenta que la aceleración es vertical, es:
$v_x = v_0\ cos\ 37$

$v_y = v_0\ cos\ 37 + gt$

Las ecuaciones de la posición en cada eje son:
$x = v_0 t\cdot cos\ 37$

$y = y_0 - v_0 t - \frac{1}{2}g t^2$

Los signos menos se deben al criterio de signos, ya que hemos considerado que hacia la derecha y hacia arriba será positivo.
Si sustituimos en la ecuación de la posición en el eje OY:
$0 = 8 - 18\cdot sen\ 37 - 4,9t^2\ \to\ \bf t = 0,58\ s$

Ahora usamos ese tiempo para determinar la posición en el eje OX:
$x = 18\frac{m}{s}\cdot 0,58\ s\cdot cos\ 37 = \bf 8,34\ m$

Tiro parabólico

Se lanza un proyectil con una velocidad de 30 m/s y un angulo de 70° .Determina la velocidad del proyectil al cabo de 4 segundos.

SOLUCIÓN

En un lanzamiento parabólico se cumple que las componentes de la velocidad son:
$\vec v_x = v_0\cdot cos\ \alpha\ \vec i$

$\vec v_y = (v_0\cdot sen\ \alpha - gt)\ \vec j$

La velocidad será la suma de ambas componentes. Si sustituimos:
$\vec v = 30\cdot cos 70\ \vec i + (30\cdot sen 70 - 9,8t)\ \vec j$

El resultado es: $\bf \vec v = 10,3\ \vec i - 11\ \vec j$
El módulo del vector velocidad será:
$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\ \to\ v = \sqrt{10,3^2 + 11^2} = \bf 15\frac{m}{s}$

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