domingo, 16 de agosto de 2015

Ejercicios Resueltos de Cinemática



Lanzamiento vertical + caída libre 

Se lanza un cuerpo hacia arriba con una velocidad de 24,5 m/s desde un punto a 68,6 metros por encima del suelo. Halla:
a) La altura máxima que alcanza el cuerpo.
b) El tiempo necesario para volver al punto de lanzamiento.
c) La velocidad de llegada al suelo.
d) El tiempo total en el aire.


SOLUCIÓN

Al ser un lanzamiento vertical hacia arriba, la velocidad inicial y la aceleración de la gravedad tienen sentido contrario. Vamos a considerar que la aceleración gravitatoria es negativa.
El cuerpo lanzado irá disminuyendo su velocidad hasta alcanzar su altura máxima. En ese instante la velocidad será nula. Veamos qué tiempo transcurre hasta ese momento:
v = v_0 - gt\ \to\ 0 = v_0 - gt\ \to\ t = \frac{v_0}{g}

El tiempo que obtengamos será el tiempo de subida:
t_s = \frac{24,5\frac{m}{s}}{9,8\frac{m}{s^2}} = 2,5\ s

Si despreciamos rozamientos, el tiempo que tarda en subir el objeto es el mismo que tardará en caer hasta la posición inicial, por lo tanto, el apartado b) tiene como respuesta: t = 2\cdot 2,5\ s = \bf 5\ s
La altura máxima la podemos calcular sustituyendo el tiempo de subida en la ecuación:
h_{m\'ax} = h_0 + v_0t - \frac{1}{2}gt^2

h_{m\'ax} = 68,6\ m + 24,5\frac{m}{s}\cdot 2,5\ s - 4,9\frac{m}{s^2}\cdot 2,5^2\ s^2 = \bf 99,22\ m

Para determinar la velocidad con la que llega al suelo vamos a considerar el punto de altura máxima. En ese punto la velocidad del objeto es cero y comienza a caer, es decir, lo podemos considerar como una caída libre, en la que la velocidad de caída tiene el mismo sentido que la gravedad, por lo que ambos serán positivos:
v^2 = v_0^2 + 2g\cdot h_{m\'ax}\ \to\ v = \sqrt{2\cdot 9,8\frac{m}{s^2}\cdot 99,22\ m} = \bf 44\frac{m}{s}

Vamos a determinar el tiempo que tarda en caer desde la altura máxima y, sumándolo al tiempo que tardó en llegar a esa altura, tendremos el tiempo total. Seguimos considerando una caída libre, como en el apartado anterior:
v = v_0 + gt\ \to\ t_c = \frac{v}{g} = \frac{44\frac{m}{s}}{9,8\frac{m}{s^2}} = 4,5\ s

El tiempo total que está en el aire será:
t_v = t_s + t_c = (2,5 + 4,5)\ s = \bf 7\ s









Lanzamiento vertical + caída libre 

Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 12 m/s desde el extremo de un risco de 70 m de altura. Determina:
a) ¿Cuánto tiempo después alcanza el fondo del risco?
b) ¿Cuál es su velocidad justo antes de golpear?
c) ¿Qué distancia total recorrió?


SOLUCIÓN

Hacemos el problema en dos partes. La primera parte será un lanzamiento vertical hacia arriba y la segunda será una caída libre.
Parte 1.
Cuando la piedra alcanza la altura máxima su velocidad es nula.
v = v_0 - gt\ \to\ t_{sub} = \frac{v_0}{g} = \frac{12\frac{m}{s}}{9,8\frac{m}{s^2}} = 1,22\ s

Tarda 1,22 s en llegar a lo más alto. Habrá recorrido para ello:
d = v_0\cdot t - \frac{1}{2}g\cdot t^2\ \to\ d = 12\frac{m}{s}\cdot 1,22\ s - 4,9\frac{m}{s^2}\cdot 1,22^2 s^2 = 7,35\ m

Ha subido 7,35 m por encima de los 70 m de partida.
Parte 2.
Ahora la velocidad inicial de la piedra será cero, puesto que ya está en la parte más alta del recorrido. La distancia hasta el suelo son 77,35 m, que es la altura máxima.
d = \frac{1}{2}gt^2\ \to\ t_{baj} = \sqrt{\frac{2d}{g}} = \sqrt{\frac{2\cdot 77,35\ m}{9,8\frac{m}{s^2}} = 3,97\ s

a) El tiempo que ha tardado en llegar al suelo será 1,22 s (para subir) + 3,97 m para bajar =5,19 s.
b) v = gt = 9,8\frac{m}{s^2}\cdot 3,97\ s = \bf 38,91\frac{m}{s}
c) El recorrido total será 7,35 m (que subió) + 77,35 m (hasta llegar al suelo) = 84,70 m.

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