Geometría

POLÍGONO

Polígonos

Un polígono es una figura plana con lados rectos.

¿Es un polígono?

Los polígonos son formas bidimensionales. Están hechos con líneas rectas, y su forma es "cerrada" (todas las líneas están conectadas).

Polígono (lados rectos)	No es un polígono (tiene una curva)	No es un polígono (abierto, no cerrado)

Tipos de polígonos

Simple o complejo

Un polígono simple sólo tiene un borde que no se cruza con él mismo. ¡Uno complejo se interseca consigo mismo!

Polígono simple (este es un pentágono)	Polígono complejo (también es un pentágono)

Cóncavo o convexo

Un polígono convexo no tiene ángulos que apunten hacia dentro. En concreto, los ángulos internos no son mayores que 180°.

Si hay algún ángulo interno mayor que 180° entonces es cóncavo. (Para acordarte: cóncavo es como tener una "cueva")

Convexo	Cóncavo

Regular o irregular

Si todos los ángulos son iguales y los lados también, es regular, si no es irregular

Regular	Irregular

Más ejemplos

Polígono complejo (un "polígono estrellado", en este caso un pentagrama)	Octágono cóncavo	Hexágono irregular

Nombres de polígonos

		Si es regular...
Nombre	Lados	Forma	Ángulo interior
Triángulo (o trígono)	3		60°
Cuadrilátero (o tetrágono)	4		90°
Pentágono	5		108°
Hexágono	6		120°
Heptágono (o Septágono)	7		128.571°
Octágono	8		135°
Nonágono (or eneágono)	9		140°
Decágono	10		144°
Endecágono (or undecágono)	11		147.273°
Dodecágono	12		150°
Tridecágono	13		152.308°
Tetradecágono	14		154.286°
Pentadecágono	15		156°
Hexadecágono	16		157.5°
Heptadecágono	17		158.824°
Octadecágono	18		160°
Eneadecágono	19		161.053°
Icoságono	20		162°
Triacontágono	30		168°
Tetracontágono	40		171°
Pentacontágono	50		172.8°
Hexacontágono	60		174°
Heptacontágono	70		174.857°
Octacontágono	80		175.5°
Eneacontágono	90		176°
Hectágono	100		176.4°
Chiliágono	1,000		179.64°
Miriágono	10,000		179.964°
Megágono	1,000,000		~180°
Googológono	10100		~180°
n-ágono	n		(n-2) × 180° / n

Para polígonos con 13 lados o más, se puede escribir (y es más fácil) "13-ágono", "14-ágono" ... "100-ágono", etc. POLÍGONOS:  POLÍGONOS REGULARES y POLÍGONOS REGULARES ESTRELLADOS.     Polígono es la superficie plana encerrada dentro de un contorno formado por segmentos rectos unidos en sus extremos. Cada uno de los segmentos se denomina lado. El punto de unión de cada par de segmentos se denomina ángulo. El numero de lados, ( y por tanto de ángulos) ha de ser  mayor o igual a tres. Polígono cruzado: Dos o mas lados se cortan. Los polígonos regulares estrellados son el caso más interesante. Polígono convexo: Si el segmento que une dos puntos cualesquiera del polígono es interior al polígono. Todos los ángulos interiores son menores de 180º. Si uno o más de los ángulos interiores es mayor de 180, el polígono es no convexo, o cóncavo. Polígono regular. Si tiene lados y ángulos iguales. El representado a la derecha es polígono equilátero,(lados iguales) pero no es regular (ángulos no iguales) Cruzado Reg Estrellado 9/2 Convexo No convexo (cóncavo) Regular convexo  Regular estrellado 5/2 No regular Algunas propiedades de los polígonos: La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es 180(n-2).   En un polígono convexo la suma de los ángulos exteriores es 360.    Número de diagonales (segmentos que unen vértices no consecutivos) de un polígono es Dn = n (n-3)/2         Polígonos regulares:  convexos y estrellados. POLÍGONOS REGULARES CONVEXOS. Como se ha indicado un polígono es regular si tiene sus lados iguales y sus ángulos iguales. En la figura se muestran los elementos más importantes de un polígono regular. Radio (r): segmento que une el centro con un vértice. Es el radio de la circunferencia circunscrita. Apotema (a): Segmento que une el centro con el punto medio de un lado. En un polígono regular de n lados: Angulo central =360/n Angulo interior = 180 - 360/n Área = Perímetro x Apotema /2;   A = n· L · a /2 , ya que es el área de n triángulos  de base L y altura a (L/2)2 + a2 = r2  por ser triangulo rectángulo L/2, r y a CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES. No todo polígono regular puede construirse con regla y compás. Más bien al contrario, algunos polígonos regulares pueden construirse de forma exacta.  Se presentan algunos de los polígonos regulares construibles. Desde cada imagen se accede a su construcción. N=3Triangulo Equilátero N= 4 Cuadrado         . N=5Pentágono Regular N=6Hexágono Regular N=8Octógono Regular. N=10Decágono Regular N=15Pentadecágono Regular N=17Heptadecágono Regular Si un polígono regular de N lados es construible, también lo es el regular de 2N lados. Basta con trazar la circunferencia circunscrita y trazar la mediatriz de cada lado. Si un polígono de N lados es construible, también lo son los polígonos cuyo número de lados sea divisor de N. Uniendo los vértices correspondientes. Desde Euclides se conocían construcciones geométricas con sólo regla y compás para polígonos regulares de 3, 4, 5 y 15 lados y todos los que se deducen de ellos por bisección:  6, 8, 10, 12,...  lados. Gauss demostró, que son construibles los polígonos regulares con número de lados esto es, de lados  N=3 (n=0), N=5 (n=1), N=17 (n=2), N=257 (n=3), N=65537(n=4).  También demostró la imposibilidad de la construcción de polígonos regulares de lados, 7,9,11,13,... en la que muchos  habían fracasado. En algunos textos y páginas de Internet es fácil encontrar la construcción de alguno de estos, que  es aproximada, aunque a veces no se indique con claridad. Construcciones aproximadas de los polígonos regulares de 7 y 9 lados. En la imagen ampliada se observa la aproximación.   A la derecha se muestra ampliado 10 veces, las inmediaciones del vértice A.    Existen procedimientos para construir de forma aproximada polígonos de numero de lados cualesquiera, que suelen tratarse en temas de dibujo técnico. POLÍGONOS REGULARES ESTRELLADOS. También son, de acuerdo a la definición polígonos regulares, los estrellados. Estos, se obtienen a partir del regular convexo, uniendo vértices  no consecutivos, recorriendo todos los vértices de forma continua. No debemos confundir los polígonos estrellados con las estrellas. La figura de la izquierda representa el polígono estrellado 8/3, octógono estrellado. La imagen de la derecha son dos cuadrados, girado uno respecto al otro 45º. OCTÓGONO  ESTRELLADO 8/3   ESTRELLA FORMADA POR  DOS CUADRADOS.   Un polígono estrellado N/M se construye a partir del polígono regular N uniendo puntos de M en M.En el ejemplo uniendo los vértices del octógono regular de tres en tres. Pinchando en el dibujo se accede a un applet que genera algunos polígonos regulares estrellados y algunas propiedades de estos.   También puede formarse esta composición sobre un octógono regular. Pero la figura anterior no es un polígono, si no dos. Son dos líneas poligonales independientes. Los polígonos regulares convexos, son un caso particular de polígonos regulares estrellados.