Geometría

POLÍGONO

Un polígono es una figura geométrica plana limitada por un número finito de líneas rectas conectadas que forman una figura cerrada. Los puntos donde dos líneas rectas del polígono se unen son los vértices.

Tipos de polígonos

Los polígonos se pueden clasificar mediante cuatro criterios diferentes

Según sus lados

• Triángulo: polígono con tres lados
• Cuadrilátero: polígono con cuatro lados
• Pentágono: polígono con cinco lados
• Hexágono: polígono con seis lados
• Heptágono: polígono con siete lados
• Octógono: polígono con ocho lados
• Eneágono: polígono con nueve lados
• Decágono: polígono con diez lados
• Undecágono: polígono con once lados
• Dodecágono: polígono con doce lados

Según su regularidad

• Equilátero: si tienen todos sus lados iguales
• Equiángulo: si tiene todos sus lados iguales
• Regular: si todos los lados son iguales y es equiángulo (todos los ángulos iguales)

Según sus ángulos

• Convexo: todos sus ángulos interiores tienen menos de 180º (o también si existe alguna recta que lo corte en más de dos puntos)
• Concavo: algún ángulo interior tiene más de 180º

Según su complejidad

• Simple: ningún costado del polígono intersecta con otro
• Complejo: al menos un par de costados se corta

Diagonales de un polígono

Las diagonales de un polígono son segmentos que unen dos vértices no consecutivos.

El número de diagonales (D) viene determinado por el número de lados que tiene el polígono. Su fórmula es:

Suma de los ángulos interiores

En todos los polígonos convexos, la suma (Θ) de los ángulos interiores (α) viene determinada por el número de lados (N) que tiene éste.

La fórmula que determina dicha suma (en grados sexagesimales) es:

Por lo tanto, cada ángulo interior (α) de un polígono regular será:

Apotema de un polígono regular

La apotema de un polígono regular puede obtenerse sabiendo el número de lados (N) del polígono y lo que mide cada lado (L).

Sea el ángulo central α el ángulo que forman las dos líneas que unen el centro del polígono (O) y dos vértices consecutivos. Éste se calcula como:

Mediante la tangente de la mitad del ángulo central y un lado (L), se calcula la apotema (ap) del polígono regular.

Polígonos regulares

Un polígono regular es un polígono en el que todos los lados tienen la misma longitud y todos los ángulos interiores son de la misma medida.
Veamos las distintas características de los polígonos regulares, empleando la figura de un Hexágono para representar un polígono regular genérico.
Una característica de los polígonos regulares, es que se pueden trazar inscriptos en una circunferencia que tocará cada uno de los vértices del polígono. A medida que crece el número de lados de un polígono regular, su apariencia se asemeja cada vez más a la de un círculo.

En un polígono regular podemos distinguir:

Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono. 
Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos. 
Centro, C: El punto central equidistante de todos los vértices. 
Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices. 
Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono. 
Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos. 
Perímetro, P: es la suma de todos sus lados.

 

Teoría y clasificación de polígonos.

Un polígono es una figura plana delimitada por una secuencia de segmentos consecutivos no alineados. Dichos segmentos se denominan lados.

ELEMENTOS DE UN POLÍGONO.

• Lado: son los segmentos que forman el polígono. También nombradas como aristas.
• Vértice: es el punto de corte entre dos lados.
• Diagonal: es el segmento que une dos lados no consecutivos.
• Perímetro: es el contorno de la superficie del polígono, la suma de las longitudes de todos sus lados

En polígonos regulares también distinguimos los siguientes elementos:

• Centro: Es un punto equidistante de todos los ángulos y lados.
• Apotema: Es el segmento que une el centro del polígono con el punto medio de cualquiera de sus lados.
• Radio: Es el segmento que une el centro del polígono con cualquiera de sus vértices.
• Ángulo central: es el formado por dos radios que parten del centro a los dos extremos de un mismo lado.

 

CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS.

Según su forma:

• Simple: Cuando ninguno de sus lados no consecutivos se cortan.
• Convexo: es aquel polígono que tiene todos sus ángulos interiores menores que 180º. Se cumple que al ser atravesado por una recta siempre lo corta en un máximo de dos puntos.
• Cóncavo: es aquel polígono que tiene alguno o varios de sus ángulos interiores menores que 180º. Se cumple que al ser atravesado por una recta puede cortarlo en más de dos puntos.
   
• Complejo: Cuando dos de sus aristas no consecutivas se cortan.
  
   

Según sus condiciones de regularidad:

• Regular: son polígonos que tienen todos sus lados y ángulos iguales.
  Dentro de los regulares encontramos dos tipos:
• Convexos: Son polígonos simples convexos cuyos lados y ángulos son todos iguales.
• Estrellados:
   
• Semirregulares: Son aquellos que tienen todos sus lados o todos sus ángulos iguales, pero no ambos elementos. Distinguimos dos tipos:
• Equiángulo: Son polígonos que tienen todos sus ángulos iguales, pero no sus lados.
• Equilátero: Son polígonos que tienen todos sus lados iguales, pero no sus ángulos.
   
• Irregular: son aquellos polígonos que tienen lados y ángulos diferentes.

 

RELACIONES DEL POLÍGONO RESPECTO A LA CIRCUNFERENCIA.

Se contemplan dos tipos de relaciones:

• Inscrito: Se dice que un polígono esta inscrito en una circunferencia cuando todos los vértices del polígono son puntos de dicha circunferencia.
• Circunscrito: Se dice que un polígono está circunscrito a una circunferencia cuando todos los lados del polígono son tangentes a dicha circunferencia.
  
   

 POLÍGONOS SEGÚN SU NÚMERO DE LADOS.

TRIÁNGULO	3 LADOS
CUADRILÁTEROS	4 LADOS
PENTÁGONO	5 LADOS
HEXÁGONO	6 LADOS
HEPTÁGONO	7 LADOS
OCTÓGONO u OCTÁGONO	8 LADOS
ENEÁGONO u NONÁGONO	9 LADOS
DECÁGONO	10 LADOS
ENDECÁGONO	11 LADOS
DODECÁGONO	12 LADOS

NOMINACIÓN

Los vértices y lados se nombrarán con letras a partir de la "a" y en sentido contrario al de las agujas del reloj. Los ángulos con letras en mayúscula y los lados con la letra del vértice opuesto, pero en minúscula.

ÁREAS

El área de un polígono es la superficie comprendida dentro de su perímetro.

En los polígonos regulares, el área es igual al producto del perímetro por la apotema dividido por dos.

En el caso de los polígonos irregulares será necesario recurrir a la triangulación del polígono para calcular su área. Es decir, dividiremos el polígono en triángulos, hallaremos el área de cada uno de ellos y lo sumaremos.