ÓPTICA

Onda de Bloch: MoM es una técnica de principios básicos para determinar la estructura de la banda fotónica de medios electromagnéticos triplemente periódicos, como los cristales fotónicos . Se basa en el método del dominio espectral tridimensional (Kastner [1987]), especializado en medios triplemente periódicos. Esta técnica utiliza el método de momentos(MoM) en combinación con una expansión de onda de Bloch del campo electromagnético para producir una ecuación de valor propio de matriz para las bandas de propagación. El valor propio es la frecuencia (para una constante de propagación dada) y el vector propio es el conjunto de amplitudes de corriente en la superficie de los dispersores. Onda de Bloch - MoM es similar en principio al método de expansión de onda de plano, pero como adicionalmente emplea el método de los momentos para producir una ecuación integral de superficie, es significativamente más eficiente tanto en términos de cantidad de incógnitas como de cantidad de ondas planas necesarias para una buena convergencia.

Onda de Bloch: MoM es la extensión a 3 dimensiones del método MoM del dominio espectral que se usa comúnmente para analizar estructuras periódicas 2D, como las superficies selectivas de frecuencia (FSS). En ambos casos, el campo se expande como un conjunto de modos de función propia (ya sea una onda de Bloch en 3D o una onda plana discreta, también conocido como modo Floquet - espectro en 2D), y se aplica una ecuación integral en la superficie de los dispersores en cada uno célula unitaria. En el caso del SFS, la celda unitaria es bidimensional y en el caso del cristal fotónico, la celda unitaria es tridimensional.

Ecuaciones de campo para estructuras de cristal fotónico PEC 3D [ editar ]

La onda de Bloch - enfoque MoM se ilustrará aquí para el caso de perfectamente conductora eléctricamente las estructuras (PEC) de admitir solamente fuentes de corriente eléctrica, J . Sin embargo, también se puede expandir fácilmente a estructuras dieléctricas, utilizando los conocidos problemas equivalentes interiores y exteriores comúnmente empleados en las formulaciones del método de dominio espacial ordinario de momentos (Harrington [1961]). En los problemas dieléctricos, hay el doble de incógnitas, J y M , y también el doble de ecuaciones para imponer la continuidad de E y H tangenciales en las interfaces dieléctricas (Scott [1998]).

Para las estructuras PEC, el campo eléctrico E está relacionado con el potencial magnético vectorial A a través de la conocida relación:

$${\ displaystyle \ mathbf {E} ~ = ~ -jk \ eta \ left [\ mathbf {A} + {\ frac {1} {k ^ {2}}} \ nabla (\ nabla \ bullet \ mathbf {A} ) \ right] ~~~~~~~~~~~~~~ (1.1)}

y el potencial magnético vectorial se relaciona a su vez con las corrientes de origen a través de:

$${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} + k ^ {2} \ mathbf {A} ~ = ~ - \ mathbf {J} ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ (1.2)}

dónde

$${\ displaystyle k ^ {2} ~ = ~ \ omega ^ {2} (\ mu \ epsilon) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ (1.3)}

Ampliación de ondas Bloch de los campos [ editar ]

Para resolver las ecuaciones (1.1) y (1.2) dentro del volumen periódico infinito, podemos asumir una expansión de onda de Bloch para todas las corrientes, campos y potenciales:

$${\ displaystyle \ mathbf {J} (x, y, z) ~ = ~ \ sum _ {mnp} ~ \ mathbf {J} (\ alpha _ {m}, \ beta _ {n}, \ gamma _ {p }) ~ e ^ {j (\ alpha _ {m} x + \ beta _ {n} y + \ gamma _ {p} z)} ~~~~~ (2.1a)}

$${\ displaystyle \ mathbf {E} (x, y, z) ~ = ~ \ sum _ {mnp} ~ \ mathbf {E} (\ alpha _ {m}, \ beta _ {n}, \ gamma _ {p }) ~ e ^ {j (\ alpha _ {m} x + \ beta _ {n} y + \ gamma _ {p} z)} ~~~~ (2.1b)}

$${\ displaystyle \ mathbf {A} (x, y, z) ~ = ~ \ sum _ {mnp} ~ \ mathbf {A} (\ alpha _ {m}, \ beta _ {n}, \ gamma _ {p }) ~ e ^ {j (\ alpha _ {m} x + \ beta _ {n} y + \ gamma _ {p} z)} ~~~ (2.1c)}

donde por simplicidad, asumimos una red ortogonal en la que α solo depende de m , β solo depende de n y γ solo depende de p . Con este supuesto,

$${\ displaystyle \ alpha _ {m} ~ = ~ k_ {0} ~ \ sin \ theta _ {0} ~ \ cos \ phi _ {0} ~ + ~ {\ frac {2m \ pi} {l_ {x} }} ~~~~~~~~~~~ (2.2a)}

$${\ displaystyle \ beta _ {n} ~ = ~ k_ {0} ~ \ sin \ theta _ {0} ~ \ sin \ phi _ {0} ~ + ~ {\ frac {2n \ pi} {l_ {y} }} ~~~~~~~~~~~~~ (2.2b)}

$${\ displaystyle \ gamma _ {p} ~ = ~ k_ {0} ~ \ cos \ theta _ {0} ~ + ~ {\ frac {2p \ pi} {l_ {z}}} ~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ (2.2c)}

y,

$${\ displaystyle k_ {0} ~ = ~ 2 \ pi / \ lambda ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ (2.3)}

donde l _x , l _y , l _z son las dimensiones de la celda unitaria en las direcciones x , y , z respectivamente, λ es la longitud de onda efectiva en el cristal y θ ₀ , φ ₀ son las direcciones de propagación en coordenadas esféricas .

La cantidad k en las ecuaciones (1.1) y (1.2) proviene originalmente de la derivada temporal en las ecuaciones de Maxwell y es la constante de propagación en el espacio libre (en realidad, la constante de propagación de cualquier medio dieléctrico en el que estén incrustados los dispersores metálicos), proporcional a la frecuencia como en la ecuación (1.3). Por otro lado, k ₀ en las ecuaciones anteriores proviene de la supuesta solución de onda de Bloch dada por las ecuaciones (2.1) y (2.2). Como resultado, representa la constante de propagación dentro del medio periódico, inversamente proporcional a la longitud de onda. Estas dos k, es decir, la constante de propagación en el espacio libre (proporcional a la frecuencia) y la constante de propagación de la onda de Bloch (inversamente proporcional a la longitud de onda), son en general diferentes, lo que permite la dispersión en la solución. El diagrama de banda es esencialmente una gráfica de k en función de k ₀ .

Las expansiones de onda de Bloch en las ecuaciones (2.1) no son más que series exponenciales de Fouriermultiplicadas por el factor de propagación de célula a célula: $${\ displaystyle e ^ {j (\ alpha _ {0} x + \ beta _ {0} y + \ gamma _ {0} z)}.} Las expansiones de onda de Bloch se eligen ya que cualquier solución de campo dentro de un volumen periódico infinito debe tener la misma periodicidad que el propio medio, o dicho de otra manera, los campos en las celdas vecinas deben ser idénticos hasta un factor de propagación (real o complejo). En las bandas de paso, el factor de propagación es una función exponencial con un argumento puramente imaginario y en las bandas de parada (o brechas de banda) es una función exponencial en descomposición cuyo argumento tiene un componente real.

Los números de onda α ₀ , β ₀ y γ ₀ satisfacen las relaciones: $${\ displaystyle ~~ | \ alpha _ {0} | ~ \ leq ~ {\ frac {\ pi} {l_ {x}}} ~, ~~~~ | \ beta _ {0} | ~ \ leq ~ { \ frac {\ pi} {l_ {y}}} ~, ~~~~ | \ gamma _ {0} | ~ \ leq ~ {\ frac {\ pi} {l_ {z}}} ~~~~}y fuera de estos rangos, las bandas son periódicas.

Las ondas de Bloch son funciones periódicas del espacio, con los períodos l _x , l _y , l _z y las bandas son funciones periódicas de wavenumber, con períodos:$${\ displaystyle {\ frac {2 \ pi} {l_ {x}}}}, $${\ displaystyle {\ frac {2 \ pi} {l_ {y}}}} y $${\ displaystyle {\ frac {2 \ pi} {l_ {z}}}}

Ecuación integral para medios PEC [ editar ]

Sustituyendo las ecuaciones (2.1) en (1.1) y (1.2) se obtiene la función de Verdes del dominio espectral que relaciona el campo eléctrico irradiado con sus corrientes de fuente:

$${\ displaystyle \ mathbf {E} (\ alpha _ {m}, \ beta _ {n}, \ gamma _ {p}) ~ = ~ {\ frac {jk \ eta} {k ^ {2} - \ alpha _ {m} ^ {2} - \ beta _ {n} ^ {2} - \ gamma _ {p} ^ {2}}} ~ \ mathbf {G} _ {mnp} ~ \ mathbf {J} (\ alpha _ {m}, \ beta _ {n}, \ gamma _ {p}) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (3.1)}

dónde,

{\ displaystyle \ mathbf {G} _ {mnp} ~ = ~ \ left ({\ begin {matrix} 1 - {\ frac {\ alpha _ {m} ^ {2}} {k ^ {2}}} & - {\ frac {\ alpha _ {m} \ beta _ {n}} {k ^ {2}}} & - {\ frac {\ alpha _ {m} \ gamma _ {p}} {k ^ {2 }}} \\ - {\ frac {\ alpha _ {m} \ beta _ {n}} {k ^ {2}}} & 1 - {\ frac {\ beta _ {n} ^ {2}} {k ^ {2}}} & - {\ frac {\ beta _ {n} \ gamma _ {p}} {k ^ {2}}} \\ - {\ frac {\ alpha _ {m} \ gamma _ { p}} {k ^ {2}}} & - {\ frac {\ beta _ {n} \ gamma _ {p}} {k ^ {2}}} & 1 - {\ frac {\ gamma _ {p} ^ {2}} {k ^ {2}}} \ end {matrix}} \ right) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (3.2)}

Es la función del tensor de Green en el dominio espectral. Tenga en cuenta que la convolución del dominio espacial se ha transformado en una simple multiplicación en el dominio espectral, en consonancia con el teorema de convolución para las transformadas de Fourier.

Con esta ecuación para el campo eléctrico, la condición de límite del campo eléctrico (que requiere que el campo eléctrico tangencial total sea cero en la superficie del dispersor PEC) se convierte en:

$${\ displaystyle ~ \ sum _ {mnp} ~ {\ frac {1} {k ^ {2} - \ alpha _ {m} ^ {2} - \ beta _ {n} ^ {2} - \ gamma _ { p} ^ {2}}} ~ \ mathbf {G} _ {mnp} ~ \ mathbf {J} (\ alpha _ {m}, \ beta _ {n}, \ gamma _ {p}) ~ e ^ { j (\ alpha _ {m} x + \ beta _ {n} y + \ gamma _ {p} z)} ~ = ~ \ mathbf {0} ~~~~~~~~~~~~~~~~ ( 3.3)}

Ya que estamos buscando modos característicos (modos propios) de la estructura, no hay un campo E impreso en la RHS de esta ecuación integral de campo eléctrico (EFIE). Sin embargo, la ecuación (3.3) no es estrictamente correcta, ya que solo los componentes tangenciales del campo eléctrico son en realidad cero en la superficie del dispersor PEC. Esta inexactitud se resolverá en el futuro, cuando probemos esta ecuación con las funciones de base de la corriente eléctrica, que se definen como residir en la superficie del dispersor.

Método de solución de momentos (MoM) [ editar ]

Como es habitual en el método de los momentos, las corrientes de origen ahora se expanden en términos de una suma sobre un conjunto conocido de funciones básicas con coeficientes de ponderación desconocidos J _j  :

$${\ displaystyle ~ \ mathbf {J} (x, y, z) ~ = ~ \ sum _ {j} ~ J_ {j} ~ \ mathbf {J} _ {j} (x, y, z) ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ (4.1)}

Las diferentes estructuras tendrán diferentes conjuntos de funciones de base para representar las corrientes en los elementos y, como en el método de momentos espaciales ordinarios, la solución (en este caso, el diagrama de banda) es una función del conjunto de funciones de base utilizadas .

Sustituyendo (4.1) en (3.3) y luego probando la ecuación resultante con la función de base de la i -ésima corriente (es decir, punteando desde la izquierda e integrando el dominio de la función de la base de la i -ésima corriente, completando así la forma cuadrática) produce la i -ésima fila de la ecuación del valor propio de la matriz para una matriz tridimensional de dispersores de PEC como:

${\displaystyle ~\sum _{j}~J_{j}~\left[~\sum _{mnp}~{\frac {\mathbf {J} _{i}(-\alpha _{m},-\beta _{n},-\gamma _{p})~\mathbf {G} _{mnp}~\mathbf {J} _{j}(\alpha _{m},\beta _{n},\gamma _{p})}{k^{2}-\alpha _{m}^{2}-\beta _{n}^{2}-\gamma _{p}^{2}}}\right]~=~\mathbf {0} ~~~~~~~~~~~~~~~(4.2)}$

Como en todas las formulaciones de MoM, se usó el concepto de reacción en electromagnéticos (Rumsey [1954], Harrington [1961]) para obtener esta ecuación. Las condiciones de límite / continuidad del campo eléctrico se "prueban" (o se aplican) al integrarse contra las funciones básicas de la corriente eléctrica (para estructuras dieléctricas, las condiciones de continuidad del campo magnético se prueban adicionalmente al integrarse contra las funciones básicas de la corriente magnética), y así Las condiciones de límite del campo eléctrico (y magnético) se convierten en una ecuación matricial a través del método de los momentos. Este proceso es completamente análogo al utilizado para descomponer una función periódica en sus componentes de seno y coseno de Fourier, y la única diferencia es que en este caso las funciones básicas no son necesariamente ortogonales, sino simplemente linealmente independientes.

Esta ecuación matricial es fácil de implementar y solo requiere que se calcule la transformada de Fourier 3D (FT) de las funciones básicas, preferiblemente en forma cerrada (consulte Scott [1998], disponible en researchgate.net). De hecho, calcular las bandas de un cristal fotónico 3D con este método no es más difícil que calcular la reflexión y la transmisión desde una superficie periódica 2D utilizando el método del dominio espectral. Esto se debe a que la ecuación (4.2) es idéntica a la EFIE básica para un PEC FSS independiente (Scott [1989] o ecuación de superficie selectiva de frecuencia (4.2)), la única diferencia es la singularidad más fuerte en 3D que acelera significativamente la convergencia de las sumas triples, y por supuesto el hecho de que los vectores ahora son tridimensionales. Como resultado, una PC normal es suficiente para calcular bandas de muchos tipos de cristales fotónicos.

Es evidente a partir de (4.2) que el EFIE podría volverse singular siempre que el número de waven de espacio libre sea exactamente igual a uno de los números de onda en cualquiera de las 3 direcciones de coordenadas periódicas. Esto puede suceder, por ejemplo, cuando la longitud de onda del espacio libre es exactamente igual al espaciado de la red. Esto es una ocurrencia estadísticamente rara en la práctica computacional y corresponde a una anomalía de propagación similar a la anomalía de reflexión de Wood para las rejillas.

Bandas de computación [ editar ]

Para calcular las bandas del cristal (es decir , los diagramas k - k ₀ ), se intentan los valores sucesivos de la frecuencia ( k ), junto con los valores preseleccionados de la constante de propagación ( k ₀ ) y la dirección de propagación (θ ₀ y φ ₀ ) - hasta que se encuentre una combinación que lleve a cero el determinante de la matriz. La ecuación (4.2) se ha utilizado para calcular bandas en varios tipos de cristales fotónicos dopados y no dopados(Scott [1998], Scott [2002], ambos disponibles en researchgate.net). No es sorprendente que los cristales fotónicos de dopaje con defectos proporcionen un medio para diseñar bandas de paso fotónicas, de la misma manera que los semiconductores de dopaje con impurezas químicas proporcionan un medio para diseñar bandas de paso electrónicas.

Para muchas funciones de base subseccionales, como las que tienen una forma de medio seno o triangular a lo largo de un alambre redondo, el FT de la función de base para los números de onda negativos -α, -β, -γ es el conjugado complejo de la función de base FT para números de onda positivos. Como resultado, la matriz en eqn. (4.2) es hermitiano . Y como resultado de esto, solo se necesita calcular la mitad de la matriz. Y un segundo resultado es que el determinante es una función puramente real del número de onda k de valor real . Los ceros generalmente ocurren en cruces por cero (puntos de inflexión, donde la curvatura es cero), por lo que un algoritmo simple de búsqueda de raíces como el método de NewtonGeneralmente es suficiente para encontrar las raíces con un alto grado de precisión. Sin embargo, si todavía puede ser útil trazar el determinante en función de k , observar su comportamiento cerca de los ceros.

Como una cuestión de conveniencia computacional, cuando la matriz es más grande que 2x2, es mucho más eficiente calcular el determinante, ya sea reduciendo la matriz a la forma triangular superior utilizando la descomposición QR o calculando el determinante reduciendo la forma escalonada utilizando la eliminación de Gauss , en lugar de intentando realmente calcular el determinante de la matriz directamente.

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Iceberg en Jökulsárlón , Islandia

El hielo azul se produce cuando la nieve cae sobre un glaciar , se comprime y se convierte en parte del glaciar. Las burbujas de aire se exprimen y los cristales de hielo se agrandan, haciendo que el hielo se vea azul.

Las pequeñas cantidades de hielo regular parecen ser blancas debido a las burbujas de aire dentro de ellas y también porque las pequeñas cantidades de agua parecen ser incoloras. En los glaciares, la presión hace que las burbujas de aire sean exprimidas, aumentando la densidad del hielo creado. Las grandes cantidades de agua parecen ser azules , ya que absorbe otros colores más eficientemente que el azul. Un pedazo grande de hielo comprimido, o un glaciar, parece azul.

El color azul a veces se atribuye erróneamente a la dispersión de Rayleigh , que es responsable del color del cielo. Más bien, el agua helada es azul por la misma razón que grandes cantidades de agua líquida son azules : es el resultado de un matiz de un enlace oxígeno-hidrógeno (O-H) en agua, que absorbe la luz en el extremo rojo de espectro visible. ^[1]En el caso de los océanos o lagos, parte de la luz que llega a la superficie del agua se refleja directamente, pero la mayor parte penetra en la superficie, interactuando con sus moléculas. La molécula de agua puede vibrar en diferentes modos cuando la luz lo golpea. Las longitudes de onda de luz roja, naranja, amarilla y verde se absorben, de modo que la luz restante se compone de las longitudes de onda más cortas de azul y violeta. Esta es la razón principal por la que el océano es azul. Entonces, el agua debe su azul intrínseco a la absorción selectiva en la parte roja de su espectro visible. Los fotones absorbidos promueven transiciones a altos armónicos y estados combinados de los movimientos nucleares de la molécula, es decir, a vibraciones altamente excitadas.

Se observó un ejemplo de hielo azul en el glaciar Tasman , Nueva Zelanda en enero de 2011. ^[2]

Pistas de aterrizaje de la Antártida [ editar ]

Campos de hielo azul en la Antártida

El hielo azul está expuesto en áreas de la Antártida donde no hay sumas o restas netas de nieve . Es decir, cualquier nieve que caiga en esa área se contrarresta con la sublimación u otras pérdidas. ^[3] Estas áreas se han utilizado como pistas (por ejemplo, Wilkins Runway , Novolazarevskaya , Patriot Hills Base Camp ) debido a su superficie dura, que es adecuada para aviones equipados con ruedas en lugar de esquís .