Bioestadística Clinica

PROBABILIDAD Idea intuitiva Número, entre 0 y 1, asociado con la verosimilitud de que ocurra un suceso, 0 cuando estamos seguros que el suceso no va a ocurrir y 1 cuando estamos seguros que sí va a ocurrir. El problema es ¿cómo asignar ese número en situaciones de incertidumbre? a) A veces se estima por la frecuencia relativa. P.e. una manera de aproximarnos a la probabilidad de que una intervención quirúrgica arriesgada tenga éxito es consultar el registro de las intervenciones quirúrgicas realizadas sobre pacientes similares, si de las últimas 10, ha sido un éxito en 8, la frecuencia relativa es 8/10=0,8 se parecerá a esa probabilidad. La frecuencia relativa cambia, en el ejemplo anterior si el registro, en lugar de 10 pacientes, tuviera 11, la frecuencia relativa sería necesariamente distinta (8/11 ó 9/11), pero hay una ley empírica que establece que cuando el "número de ensayos" (pacientes, en el ejemplo) es suficientemente grande, la frecuencia relativa se estabiliza. A veces, se define la probabilidad como el límite de la frecuencia relativa. ¿Cómo saber, en cada caso, si el "número de ensayos" es suficientemente grande? Una parte de la estadística tiene que ver con este problema. La gráfica muestra la evolución de la frecuencia relativa del resultado "cara 1" en 4 series de 100 tiradas de un dado. Se observa que la frecuencia relativa oscila, que la amplitud de las oscilaciones va decreciendo a medida que aumenta el número de tiradas y que todas las series tienden a estabilizarse a la misma altura, también que 100 no es un número "suficientemente grande" para que la frecuencia relativa ya esté estabilizada (los valores finales de las 4 series varían entre 0,17 y 0,21). b) Hay situaciones en que se puede calcular: si todos los resultados del experimento son igualmente probables, entonces la probabilidad se define (definición clásica o de Laplace) como el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos totales. La probabilidad de que el resultado de tirar un dado sea un uno, se calcularía de esta forma. Compárese el resultado 1/6 obtenido así con la gráfica anterior. La teoría de la probabilidad se desarrolló originalmente a partir de ciertos problemas planteados en el contexto de juegos de azar. Inicialmente, no existía una teoría axiomática bien definida y las definiciones iniciales de probabilidad se basaron en la idea intuitiva de un cociente de ocurrencias: (1)${\displaystyle \mathrm {Prob} (A)=\lim _{N\to \infty }{\frac {n_{A}}{N}}}$ donde A es un suceso cualquiera y: ${\displaystyle N\,}$ es el número de veces que se ha repetido una acción u observación cuyo resultado puede dar el suceso A o no-A. ${\displaystyle n_{A},}$ es el número de veces que observa A en todas las observaciones. Este tipo de definiciones si bien permitieron desarrollar un gran número de propiedades, no permitían deducir todos los teoremas y resultados importantes que hoy forman parte de la teoría de la probabilidad. De hecho el resultado anterior se puede demostrar rigurosamente dentro del enfoque axiomático de la teoría de la probabilidad, bajo ciertas condiciones. La primera axiomatización completa se debió a Andréi Kolmogórov (quien usó dicho enfoque por ejemplo para deducir su "ley 0-1 para sucesos cola" y otros resultados relacionados con la convergencia de sucesiones aleatorias). La definición axiomática de la probabilidad se basa en resultados de la teoría de la medida y en formalizaciones de la idea de independencia probabilística. En este enfoque se parte de un espacio de medida normalizada ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {M}},\mu _{P})}$ donde ${\displaystyle \Omega }$ es un conjunto llamado espacio de sucesos (según el tipo de problema puede ser un conjunto finito, numerable o no-numerable), ${\displaystyle {\mathcal {M}}\subset {\mathcal {P}}(\Omega )}$ es una σ-álgebra de subconjuntos de ${\displaystyle \Omega }$ y ${\displaystyle \mu _{P}:{\mathcal {M}}\to \mathbb {R} }$ es una medida normalizada (es decir, ${\displaystyle \mu _{P}(\Omega )=1}$). Los sucesos posibles se consideran como subconjuntos S de eventos elementales posibles: ${\displaystyle S\in {\mathcal {M}},S\subset \Omega }$ y la probabilidad de que cada suceso viene dada por la medida de dicho conjunto: ${\displaystyle \mathrm {Prob} (S)=\mu _{P}(S)\in [0,1]}$, La interpretación de esta probabilidad es la frecuencia promedio con la que aparece dicho suceso si se considera una elección de muestras aleatorias sobre ${\displaystyle \Omega }$. La definición anterior es complicada de representar matemáticamente ya que ${\displaystyle \Omega }$ debiera ser infinito. Otra manera de definir la probabilidad es de forma axiomática esto estableciendo las relaciones o propiedades que existen entre los conceptos y operaciones que la componen. Formalización de la probabilidad Convenios: Los textos en color malva corresponden a un mayor nivel de formalización y pueden ser omitidos en una primera lectura. Experimento Aleatorio: experimento que puede ser repetido bajo "las mismas condiciones", del que puede establecerse el conjunto de sus posibles resultados, pero no predecir un resultado concreto. Espacio muestral: conjunto de posibles resultados. Punto muestral: elemento del espacio muestral. Suceso: cualquier subconjunto del espacio muestral. Si representamos el espacio muestral por W y a los sucesos por A: A Ì W. Dado que el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto (Æ Ì W) y que todo conjunto es subconjunto de sí mismo (W Ì W), tanto el conjunto vacío como el espacio muestral son sucesos. Si lo necesita Repaso del álgebra de conjuntos Un problema a tener en cuenta es que dado un experimento, podemos encontrar más de un espacio muestral. Ejemplo 1: una mujer portadora de hemofilia tiene 3 hijos ¿Cuál es el espacio muestral apropiado para estudiar la posible hemofilia de estos? Opción a: Cada hijo puede padecer hemofilia (s) o no (n), por tantoW1={sss, ssn, sns, nss, snn, nsn, nns, nnn}  Donde, por ejemplo, 'sns' significa el primero y el tercero la padecen y el segundo no. Hay que asegurarse que no se olvida ninguno. En este espacio muestral, el suceso "dos hijos padecen hemofilia" se representa como A1={ssn, sns, nss} y el suceso "los dos primeros no la padecen" como A2={nns, nnn} Opción b: Pueden padecer hemofilia los tres hijos (3), dos (2), ...W2={3, 2, 1, 0} En este espacio muestral, el suceso "dos hijos padecen hemofilia" es A1={2} y el suceso "los dos primeros no la padecen" no se puede representar porque en el espacio muestral no está contemplado el orden. http://www.hrc.es/bioest/Probabilidad_12.html En la vida cotidiana aparecen muchas situaciones en las que los resultados observados son diferentes aunque las condiciones iniciales en las que se produce la experiencia sean las mismas. Por ejemplo, al lanzar una moneda unas veces resultará cara y otras cruz.. Estos fenómenos, denominados aleatorios, se ven afectados por la incertidumbre. En el lenguaje habitual, frases como "probablemente...", "es poco probable que...", "hay muchas posibilidades de que..." hacen referencia a esta incertidumbre. La teoría de la probabilidad pretende ser una herramienta para modelizar y tratar con situaciones de este tipo; Por otra parte, cuando aplicamos las técnicas estadísticas a la recogida, análisis e interpretación de los datos, la teoría de la probabilidad proporciona una base para evaluar la fiabilidad de las conclusiones alcanzadas y las inferencias realizadas. Debido al importante papel desempeñado por la probabilidad dentro de la estadística, es necesario familiarizarse con sus elementos básicos, lo que constituye el objetivo del presente tema. Comenzamos con una motivación sobre la incertidumbre y los distintos grados de incertidumbre, relacionándolos de manera intuitiva con los enfoques más tradicionales para asignar probabilidades. Posteriormente, se introduce el sentido de la probabilidad en términos de experimentos aleatorios, espacio muestral, sucesos, etc. , llegando a la formalización axiomática de la probabilidad y sus principales propiedades, junto con las expresiones de la probabilidad condicionada y los teoremas de la probabilidad compuesta o del producto, de la probabilidad total y de Bayes.