Bioestadística Clínica

Propiedades de la probabilidad Demostraciones 1) p(Ac) = 1 - p(A) Ac representa el suceso complementario de A, es decir el formado por todos los resultados que no están en A. 2) A1Ì A2 Þ p(A1) £ p(A2) 3) p(Æ) = 0 4) p(A) £ 1 5) p(A È B) = p(A) + p(B) - p(A Ç B) (Regla general de la adicción) Ejemplo 2: Un 15% de los pacientes atendidos en un hospital son hipertensos, un 10% son obesos y un 3% son hipertensos y obesos. ¿Qué probabilidad hay de que elegido un paciente al azar sea obeso o hipertenso? A = {obeso} B = {hipertenso} A Ç B = {hipertenso y obeso} A È B = {obeso o hipertenso} p(A) = 0,10; p(B) = 0,15; p(A Ç B) = 0,03 p(A È B) = 0,10 + 0,15 - 0,03 = 0,22 Propiedades de la probabilidad 1. La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1, por tanto la probabilidad del suceso contrario es: 2. Probabilidad del suceso imposible es cero. 3. La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades restándole la probabilidad de su intersección. 4. Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de éste. 5. Si A1, A2, ..., Ak son incompatibles dos a dos entonces: 6 Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x1, x2, ..., xn} entonces: Ejemplo:  La probabilidad de sacar par, al tirar un dado, es: P(par) = P(2) + P(4) + P(6) Probabilidad condicionada Como la probabilidad está ligada a nuestra ignorancia sobre los resultados de la experiencia, el hecho de que ocurra un suceso, puede cambiar la probabilidad de los demás. El proceso de realizar la historia clínica, explorar y realizar pruebas complementarias ilustra este principio. La probabilidad de que ocurra el suceso A si ha ocurrido el suceso B se denomina probabilidad condicionada y se define Esta definición es consistente, es decir cumple los axiomas de probabilidad. Cuando ocurre un suceso cambia el espacio muestral, por eso cambia la probabilidad. A veces es más fácil calcular la probabilidad condicionada teniendo en cuenta este cambio de espacio muestral.  Ejemplo 3: Una mujer es portadora de la enfermedad de Duchenne ¿Cuál es la probabilidad de que su próximo hijo tenga la enfermedad? Según las leyes de Mendel, todos los posibles genotipos de un hijo de una madre portadora (xX) y un padre normal (XY) son xX, xY, XX, XY y tienen la misma probabilidad. El espacio muestral es W = {xX, xY, XX, XY} el suceso A={hijo enfermo} corresponde al genotipo xY, por tanto, según la definición clásica de probabilidad p(A) = 1/4 = 0,25 La mujer tiene el hijo y es varón ¿qué probabilidad hay de que tenga la enfermedad? Se define el suceso B = {ser varón} = {xY, XY} la probabilidad pedida es p(A|B) y aplicando la definición anterior p(B) = 0,5; A Ç B = {xY}; p(A ÇB) = 0,25; p(A|B) = 0,25/0,5 = 0,5 Si sabemos que es varón, el espacio muestral ha cambiado, ahora es B. Por lo tanto se puede calcular p(A|B) aplicando la definición clásica de probabilidad al nuevo espacio muestral p(A|B) = 1/2 = 0,5  Ejemplo 4: Se sabe que el 50% de la población fuma y que el 10% fuma y es hipertensa. ¿Cuál es la probabilidad de que un fumador sea hipertenso? A = {ser hipertenso} B = {ser fumador} A Ç B = {ser hipertenso y fumador} p(A|B) = 0,10/0,50 = 0,20 Obsérvese que los coeficientes falso-positivo y falso-negativo de las pruebas diagnósticas son probabilidades condicionadas. La fórmula anterior se puede poner p(A Ç B) = p(B) p(A|B) = p(A) p(B|A) llamada regla de la multiplicación, que se puede generalizar a más sucesos p(A1 Ç A2 Ç A3) = p((A1 Ç A2) Ç A3) = p(A1 Ç A2) p(A3|A1 Ç A2) = p(A1) p(A2|A1) p(A3|A1 Ç A2) En general p(A1 Ç A2 Ç A3 ...) = p(A1) p(A2|A1) p(A3|A1 Ç A2) ... llamado principio de las probabilidades compuestas y especialmente útil para aquellas situaciones en que las probabilidades condicionadas son más fáciles de obtener que las probabilidades de las intersecciones. Ejemplo 5: Se sabe por estudios previos que el 0,1% de la población tiene problemas vasculares. Un estudio sobre individuos con problemas vasculares revela que el 20% de ellos son placas de ateroma. Si el 10% de los individuos con placas de ateroma están expuestos a muerte súbita por desprendimiento de trombos ¿qué probabilidad tiene un individuo cualquiera de estar expuesto a muerte súbita por desprendimiento de trombos de una placa de ateroma? A1 = {problemas vasculares}; A2 = {placas de ateroma}; A3 = {expuesto a muerte súbita por ....} p(A1) = 0,001; p(A2|A1) = 0,20; p(A3|A1 Ç A2) = 0,1 p(A1 Ç A2 Ç A3) = 0,001 x 0,20 x 0,1 = 0,000002  Ejemplo 6: Una urna contiene 10 bolas, de las cuales 3 son rojas, 5 verdes y 2 azules. Se extraen al azar 3 bolas. Calcular la probabilidad de que la primera sea azul, y las otras dos verdes. Definimos A1 = {la 1ª bola es azul}; A2 = {la 2ª bola es verde}; A3 = {la 3ª bola es verde} p(A1) = 2/10 aplicando la definición clásica de probabilidad, puesto que hay 10 bolas y 2 son verdes. p(A2|A1) = 5/9; si la primera bola extraída es azul, en la urna quedan 9 bolas, 5 de ellas verdes. p(A3|A1 Ç A2) = 4/8; si la primera bola extraída es azul y la segunda verde en la urna quedan 8 bolas, 4 de ellas verdes. p(A1 Ç A2 Ç A3) = 2/10 x 5/9 x 4/8 = 1/18 Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B». No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos. Un ejemplo clásico es el lanzamiento de una moneda para luego lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad que en el dado salga un 6 dado que ya haya salido una cara en la moneda? Esta probabilidad se denota de esta manera: P(6|C). El condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de Bayes. Definición Dado un espacio de probabilidad ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ y dos eventos (o sucesos) ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}$ con ${\displaystyle P(B)>0}$, la probabilidad condicional de A dado B está definida como: ${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}.}$ ${\displaystyle P(A\mid B)}$ se puede interpretar como, tomando los mundos en los que B se cumple, la fracción en los que también se cumple A. ... Interpretación Tomando los casos en los que B se cumple, ${\displaystyle P(A\mid B)}$ se puede interpretar como la parte en los que también se cumple A. Si el evento B es, por ejemplo, tener la gripe, y el evento A es tener dolor de cabeza, ${\displaystyle P(A\mid B)}$ sería la probabilidad de tener dolor de cabeza cuando se está enfermo de gripe. Propiedades ${\displaystyle P(A\mid B)+P({\bar {A}}\mid B)=1}$ ${\displaystyle B\subseteq A\to P(B\mid A)=1}$ Es decir, si todos los que tienen gripe siempre tienen dolor de cabeza, entonces la probabilidad de tener dolor de cabeza dado que tengo gripe es 1. ${\displaystyle P(A)=P(A\mid B)\cdot P(B)+P(A\mid {\bar {B}})\cdot P({\bar {B}})}$ La proporción de zona verde dentro de B es la misma que la de A en todo el espacio y, de la misma forma, la proporción de la zona verde dentro de A es la misma que la de B en todo el espacio. Son sucesos independientes. Independencia de sucesos Dos sucesos aleatorios A y B son independientes si y sólo si: ${\displaystyle P(A\cap B)\ =\ P(A)P(B).}$ O sea que si A y B son independientes, su probabilidad conjunta, ${\displaystyle P(A\cap B)}$ ó ${\displaystyle P(A,B).}$ puede ser expresada como el producto de las probabilidades individuales. Equivalentemente: ${\displaystyle P(A|B)\ =\ P(A)}$ ${\displaystyle P(B|A)\ =\ P(B).}$ En otras palabras, si A y B son independientes, la probabilidad condicional de A dado B es simplemente la probabilidad de A y viceversa. Exclusividad mutua Los conjuntos A y B no intersecan. Son mutuamente excluyentes. Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes si y sólo si ${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$. Entonces, ${\displaystyle P(A\cap B)=0}$. Además, si ${\displaystyle P(B)>0}$ entonces ${\displaystyle P(A\mid B)}$ es igual a 0. La falacia de la probabilidad condicional La falacia de la probabilidad condicional se basa en asumir que P(A|B) es casi igual a P(B|A). El matemático John Allen Paulos analiza en su libro El hombre anumérico este error muy común cometido por personas que desconocen la probabilidad. La verdadera relación entre P(A|B) y P(B|A) es la siguiente: ${\displaystyle P(B\mid A)=P(A\mid B)\cdot {\frac {P(B)}{P(A)}}}$ (Teorema de Bayes) Problemas de ejemplo La paradoja del falso positivo La magnitud del error cometido con esta falacia se entiende mejor en términos de probabilidades condicionales. Supongamos un grupo de personas de las que el 1 % sufre una cierta enfermedad, y el resto está bien. Escogiendo un individuo al azar: ${\displaystyle P(enfermo)=1\%=0.01}$ y ${\displaystyle P(sano)=99\%=0.99}$ Supongamos que aplicando una prueba a una persona que no tiene la enfermedad, hay una posibilidad del 1 % de conseguir un falso positivo, esto es: ${\displaystyle P(positivo|sano)=1\%}$ y ${\displaystyle P(negativo|sano)=99\%}$ Finalmente, supongamos que aplicando la prueba a una persona que tiene la enfermedad, hay una posibilidad del 1 % de un falso negativo, esto es: ${\displaystyle P(negativo|enfermo)=1\%}$ y ${\displaystyle P(positivo|enfermo)=99\%}$ Ahora, uno puede calcular lo siguiente: La fracción de individuos en el grupo que están sanos y dan negativo: ${\displaystyle P(sano\cap negativo)=P(sano)\times P(negativo|sano)=99\%\times 99\%=98.01\%}$ La fracción de individuos en el grupo que están enfermos y dan positivo: ${\displaystyle P(enfermo\cap positivo)=P(enfermo)\times P(positivo|enfermo)=1\%\times 99\%=0.99\%}$ La fracción de individuos en el grupo que dan falso positivo: ${\displaystyle P(sano\cap positivo)=P(sano)\times P(positivo|sano)=99\%\times 1\%=0.99\%}$ La fracción de individuos en el grupo que dan falso negativo: ${\displaystyle P(enfermo\cap negativo)=P(enfermo)\times P(negativo|enfermo)=1\%\times 1\%=0.01\%}$ Además, la fracción de individuos en el grupo que dan positivo: ${\displaystyle P(positivo)=P(sano\cap positivo)+P(enfermo\cap positivo)=0.99\%+0.99\%=1.98\%}$ Finalmente, la probabilidad de que un individuo realmente tenga la enfermedad, dado un resultado de la prueba positivo: ${\displaystyle P(enfermo|positivo)={\frac {P(enfermo\cap positivo)}{P(positivo)}}={\frac {0.99\%}{1.98\%}}=50\%}$ En este ejemplo, debería ser fácil ver la diferencia entre las probabilidades condicionadas P (positivo | enfermo) (que es del 99 %) y P (enfermo | positivo) (que es del 50 %): la primera es la probabilidad de que un individuo enfermo dé positivo en la prueba; la segunda es la probabilidad de que un individuo que da positivo en la prueba tenga realmente la enfermedad. Con los números escogidos aquí, este último resultado probablemente sería considerado inaceptable: la mitad de la gente que da positivo en realidad está sana.