FORMAS GEOMÉTRICAS - SUPERFICIES

No debe confundirse con la superficie cónica . Para otras aplicaciones, vea Cono (desambiguación) .

Un cono circular recto y un cono circular oblicuo.

Un doble cono (no mostrado infinitamente extendido)

Un cono es una forma geométrica tridimensional que se difunde suavemente desde una base plana (con frecuencia, aunque no necesariamente, circular) a un punto llamado vértice o vértice .

Un cono está formado por un conjunto de segmentos de línea , medias líneas o líneas que conectan un punto común, el vértice, a todos los puntos en una base que está en un plano que no contiene el vértice. Dependiendo del autor, la base se puede restringir para que sea un círculo , cualquier forma cuadrática unidimensional en el plano, cualquier figura unidimensional cerrada o cualquiera de los puntos anteriores más todos los puntos incluidos. Si los puntos encerrados están incluidos en la base, el cono es un objeto sólido ; De lo contrario es un bidimensional.Objeto en el espacio tridimensional. En el caso de un objeto sólido, el límite formado por estas líneas o líneas parciales se denomina superficie lateral ; Si la superficie lateral es ilimitada, es una superficie cónica .

En el caso de los segmentos de línea, el cono no se extiende más allá de la base, mientras que en el caso de las líneas medias, se extiende infinitamente lejos. En el caso de las líneas, el cono se extiende infinitamente lejos en ambas direcciones desde el vértice, en cuyo caso a veces se le llama doble cono . La mitad de un cono doble en un lado del vértice se llama nappe .

El eje de un cono es la línea recta (si existe) que pasa a través del vértice, alrededor de la cual la base (y todo el cono) tiene una simetría circular .

En el uso común en geometría elemental , se supone que los conos son circulares rectos , donde circularsignifica que la base es un círculo y derecha significa que el eje pasa a través del centro de la base en ángulo recto con respecto a su plano. ^[1] Si el cono es circular a la derecha, la intersección de un plano con la superficie lateral es una sección cónica . En general, sin embargo, la base puede tener cualquier forma ^[2] y el vértice puede estar en cualquier lugar (aunque generalmente se supone que la base está delimitada y, por lo tanto, tiene un área finita)., y que el vértice se encuentra fuera del plano de la base). En contraste con los conos derechos hay conos oblicuos, en los cuales el eje pasa de manera perpendicular por el centro de la base. ^[3]

Un cono con una base poligonal se llama pirámide .

Según el contexto, "cono" también puede significar específicamente un cono convexo o un cono proyectivo .

Los conos también pueden generalizarse a dimensiones más altas .

Más terminología [ editar ]

El perímetro de la base de un cono se denomina "directriz", y cada uno de los segmentos de línea entre la directriz y el vértice es una "generatriz" o "línea generadora" de la superficie lateral. (Para la conexión entre este sentido del término "directriz" y la directriz de una sección cónica, ver esferas de Dandelin ).

El "radio base" de un cono circular es el radio de su base; a menudo esto se llama simplemente el radio del cono. La apertura de un cono circular derecho es el ángulo máximo entre dos líneas generatrices; si la generatriz forma un ángulo θ con respecto al eje, la abertura es de 2 θ .

Ilustración de Problemata Mathematica ... publicada en Acta Eruditorum , 1734.

Un cono con una región que incluye su vértice cortado por un plano se denomina " cono truncado "; Si el plano de truncamiento es paralelo a la base del cono, se denomina frustum . ^[1] Un "cono elíptico" es un cono con una base elíptica . ^[1] Un "cono generalizado" es la superficie creada por el conjunto de líneas que pasan a través de un vértice y cada punto en un límite (también vea casco visual ).

Mediciones y ecuaciones [ editar ]

Volumen [ editar ]

El volumen $${\ displaystyle V} De cualquier sólido cónico es un tercio del producto del área de la base. $${\ displaystyle A_ {B}} y la altura $${\ displaystyle h}^[4]

$${\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} A_ {B} h.}

En las matemáticas modernas, esta fórmula se puede calcular fácilmente mediante el cálculo. Es, hasta la escala, la integral. $${\ displaystyle \ int x ^ {2} dx = {\ tfrac {1} {3}} x ^ {3}.}Sin usar el cálculo, la fórmula se puede probar comparando el cono con una pirámide y aplicando el principio de Cavalieri, específicamente, comparando el cono con una pirámide cuadrada derecha (escalada verticalmente), que forma un tercio de un cubo. Esta fórmula no se puede probar sin usar tales argumentos infinitesimales, a diferencia de las fórmulas bidimensionales para el área poliédrica, aunque similar al área del círculo, y por lo tanto admitió pruebas menos rigurosas antes de la llegada del cálculo, con los antiguos griegos utilizando el método de agotamiento . Este es esencialmente el contenido del tercer problema de Hilbert : más precisamente, no todas las pirámides poliédricas son congruentes con las tijeras(se puede cortar en pedazos finitos y reorganizar en el otro), y por lo tanto el volumen no se puede calcular puramente usando un argumento de descomposición. ^[5]

Centro de masas [ editar ]

El centro de masa de un sólido cónico de densidad uniforme se encuentra a un cuarto del camino desde el centro de la base hasta el vértice, en la línea recta que une los dos.

Cono circular derecho [ editar ]

Volumen [ editar ]

Para un cono circular con radio r y altura h , la base es un círculo de área$${\ displaystyle \ pi r ^ {2}}y así la fórmula para el volumen se convierte en ^[6]

$${\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} \ pi r ^ {2} h.}

Altura inclinada [ editar ]

La altura inclinada de un cono circular derecho es la distancia desde cualquier punto en el círculo de su base hasta el vértice a través de un segmento de línea a lo largo de la superficie del cono. Es dado por$${\ displaystyle {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}}, dónde $${\ displaystyle r}es el radio de la base y$${\ displaystyle h}es la altura. Esto puede ser probado por el teorema de Pitágoras .

Área de superficie [ editar ]

El área superficial lateral de un cono circular derecho es$${\ displaystyle LSA = \ pi rl} dónde $${\ displaystyle r} es el radio del círculo en la parte inferior del cono y $${\ displaystyle l}Es la altura inclinada del cono. ^[4] El área de superficie del círculo inferior de un cono es la misma que para cualquier círculo,$${\ displaystyle \ pi r ^ {2}}. Por lo tanto, el área de superficie total de un cono circular derecho se puede expresar como cada uno de los siguientes:

• Radio y altura

$${\ displaystyle \ pi r ^ {2} + \ pi r {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}}

(el área de la base más el área de la superficie lateral; el término $${\ displaystyle {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}} es la altura inclinada)

$${\ displaystyle \ pi r \ left (r + {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}} \ right)}

dónde $${\ displaystyle r} es el radio y $${\ displaystyle h} es la altura.

• Radio y altura inclinada

$${\ displaystyle \ pi r ^ {2} + \ pi rl}

$${\ displaystyle \ pi r (r + l)}

dónde $${\ displaystyle r} es el radio y $${\ displaystyle l} Es la altura inclinada.

• Circunferencia y altura inclinada

$${\ displaystyle {\ frac {c ^ {2}} {4 \ pi}} + {\ frac {cl} {2}}}

$${\ displaystyle \ left ({\ frac {c} {2}} \ right) \ left ({\ frac {c} {2 \ pi}} + l \ right)}

dónde $${\ displaystyle c} es la circunferencia y $${\ displaystyle l} Es la altura inclinada.

• Ángulo y altura del ápice

$${\ displaystyle \ pi h ^ {2} \ tan {\ frac {\ Theta} {2}} \ left (\ tan {\ frac {\ Theta} {2}} + \ sec {\ frac {\ Theta} { 2}} \ derecha)}

dónde $${\ displaystyle \ Theta} es el ángulo del vértice y $${\ displaystyle h} es la altura.

Sector circular [ editar ]

El sector circular obtenido al desplegar la superficie de una parte del cono tiene:

• radio R

$${\ displaystyle R = {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}}

• longitud del arco L

$${\ displaystyle L = c = 2 \ pi r}

• ángulo central φ en radianes

$${\ displaystyle \ phi = {\ frac {L} {R}} = {\ frac {2 \ pi r} {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}}}

Forma de ecuación [ editar ]

Un cono circular recto sólido con altura. $${\ displaystyle h} y apertura $${\ displaystyle 2 \ theta}, cuyo eje es el $${\ displaystyle z} El eje de coordenadas y cuyo vértice es el origen, se describe paramétricamente como

$${\ displaystyle F (s, t, u) = \ left (u \ tan s \ cos t, u \ tan s \ sin t, u \ right)}

dónde $${\ displaystyle s, t, u} rango más $${\ displaystyle [0, \ theta)}, $${\ displaystyle [0,2 \ pi)}y $${\ displaystyle [0, h]}, respectivamente.

En forma implícita , el mismo sólido se define por las desigualdades.

$${\ displaystyle \ {F (x, y, z) \ leq 0, z \ geq 0, z \ leq h \},}

dónde

$${\ displaystyle F (x, y, z) = (x ^ {2} + y ^ {2}) (\ cos \ theta) ^ {2} -z ^ {2} (\ sin \ theta) ^ {2 }. \,}

Más generalmente, un cono circular recto con vértice en el origen, eje paralelo al vector $${\ displaystyle d}, y apertura $${\ displaystyle 2 \ theta}, viene dada por la ecuación vectorial implícita$${\ displaystyle F (u) = 0} dónde

$${\ displaystyle F (u) = (u \ cdot d) ^ {2} - (d \ cdot d) (u \ cdot u) (\ cos \ theta) ^ {2}}   o   $${\ displaystyle F (u) = u \ cdot d- | d || u | \ cos \ theta}

dónde $${\ displaystyle u = (x, y, z)}y $${\ displaystyle u \ cdot d}denota el producto punto .

Cono elíptico [ editar ]

En el sistema de coordenadas cartesiano , un cono elíptico es el lugar de una ecuación de la forma ^[7]

$${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = z ^ {2}.}

Es una imagen afín del cono unitario circular derecho con la ecuación.$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = z ^ {2} \.}Por el hecho de que la imagen afín de una sección cónica es una sección cónica del mismo tipo (elipse, parábola, ...) se obtiene:

• Cualquier sección plana de un cono elíptico es una sección cónica.

Obviamente, cualquier cono circular derecho contiene círculos. Esto también es cierto, pero menos obvio, en el caso general (ver sección circular ).

Geometría proyectiva [ editar ]

En geometría proyectiva , un cilindroes simplemente un cono cuyo vértice está en el infinito, que corresponde visualmente a un cilindro en perspectiva que parece ser un cono hacia el cielo.

En geometría proyectiva , un cilindro es simplemente un cono cuyo vértice está en el infinito. ^[8] Intuitivamente, si uno mantiene la base fija y toma el límite cuando el vértice va al infinito, obtiene un cilindro, el ángulo del lado aumenta como arctan , en el límite que forma un ángulo recto . Esto es útil en la definición de cónicas degeneradas , que requieren considerar las cónicas cilíndricas .

Dimensiones superiores [ editar ]

La definición de un cono puede extenderse a dimensiones más altas (ver conos convexos ). En este caso, se dice que un conjunto convexo C en el verdadero vector de espacio R ⁿ es un cono (con vértice en el origen) si para cada vector x en C y cada número real no negativo de una , el vector de hacha está en C . ^[2] En este contexto, los análogos de los conos circulares no suelen ser especiales; de hecho, uno está a menudo interesado en conos poliédricos .

En geometría , una superficie cónica ( general ) es la superficieilimitada formada por la unión de todas las líneas rectas que pasan a través de un punto fijo, el vértice o vértice , y cualquier punto de alguna curva de espacio fijo , la directriz , que no contiene el vértice Cada una de esas líneas se llama generatriz de la superficie.

Cada superficie cónica está gobernada y se puede desarrollar . En general, una superficie cónica consiste en dos mitades sin congruentes congruentes unidas por el vértice. Cada mitad se llama nappe , y es la unión de todos los rayos que comienzan en el vértice y pasan a través de un punto de una curva de espacio fijo. (Sin embargo, en algunos casos, los dos nappes pueden cruzarse, o incluso coincidir con la superficie completa). Algunas veces, el término "superficie cónica" se usa para referirse a un solo nappe.

Si la directriz es un círculo. $${\ displaystyle C}, y el vértice se encuentra en el eje del círculo (la línea que contiene el centro de$${\ displaystyle C}y es perpendicular a su plano), se obtiene la superficie cónica circular derecha . Este caso especial a menudo se denomina cono , porque es una de las dos superficies distintas que unen el sólido geométrico de ese nombre. Este objeto geométrico también se puede describir como el conjunto de todos los puntos barridos por una línea que intercepta el eje y gira alrededor de él; o la unión de todas las líneas que intersectan el eje en un punto fijo$${\ displaystyle p}y en un ángulo fijo $${\ displaystyle \ theta}. La apertura del cono es el ángulo.$${\ displaystyle 2 \ theta}.

Más en general, cuando la directriz $${\ displaystyle C}es una elipse , o cualquier sección cónica , y el vértice es un punto arbitrario que no está en el plano de$${\ displaystyle C}, uno obtiene un cuadrático cónico , que es un caso especial de una superficie cuadrática .

Una superficie cilíndrica puede verse como un caso limitante de una superficie cónica cuyo vértice se desplaza hacia el infinito en una dirección particular. De hecho, en geometría proyectiva, una superficie cilíndrica es solo un caso especial de una superficie cónica.

Ecuaciones [ editar ]

Una superficie cónica $${\ displaystyle S}se puede describir paramétricamente como

$${\ displaystyle S (t, u) = v + uq (t)},

dónde $${\ displaystyle v} es el vértice y $${\ displaystyle q} es la directriz

Una superficie cónica circular derecha de apertura. $${\ displaystyle 2 \ theta}, cuyo eje es el $${\ displaystyle z} eje de coordenadas, y cuyo vértice es el origen, se describe paramétricamente como

$${\ displaystyle S (t, u) = (u \ sin \ theta \ cos t, u \ sin \ theta \ sin t, u \ cos \ theta)}

dónde $${\ displaystyle t} y $${\ displaystyle u} rango más $${\ displaystyle [0,2 \ pi)} y $${\ displaystyle (- \ infty, + \ infty)}, respectivamente. En forma implícita , la misma superficie es descrita por$${\ displaystyle S (x, y, z) = 0} dónde

$${\ displaystyle S (x, y, z) = (x ^ {2} + y ^ {2}) (\ cos \ theta) ^ {2} -z ^ {2} (\ sin \ theta) ^ {2 }.}

Más generalmente, una superficie cónica circular derecha con ápice en el origen, eje paralelo al vector $${\ displaystyle \ mathbf {d}}, y apertura $${\ displaystyle 2 \ theta}, viene dada por la ecuación vectorial implícita$${\ displaystyle S (\ mathbf {x}) = 0} dónde

$${\ displaystyle S (\ mathbf {x}) = (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {d}) ^ {2} - (\ mathbf {d} \ cdot \ mathbf {d}) (\ mathbf {x } \ cdot \ mathbf {x}) (\ cos \ theta) ^ {2}}

o

$${\ displaystyle S (\ mathbf {x}) = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {d} - | \ mathbf {d} || \ mathbf {x} | \ cos \ theta}

dónde $${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x, y, z)}y $${\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {d}}denota el producto punto .

En tres coordenadas, x, y y z, una superficie cónica con una directriz elíptica, con un vértice en el origen, viene dada por esta ecuación homogénea de grado 2:

$${\ displaystyle S (x, y, z) = ax ^ {2} + por ^ {2} + cz ^ {2} + 2uxy + 2vyz + 2wzx = 0.}

Una superficie cónica circular.