FORMAS GEOMÉTRICAS - SUPERFICIES

Para el orgánulo llamado conoide utilizado por los parásitos intracelulares , ver mizocitosis .

conoide circular derecho: directrix (rojo) es un círculo, el eje (azul) es perpendicular al plano directrix (amarillo)

En geometría, un conoide (griego: κωνος cono y -ειδης similar) es una superficie reglada , cuyas reglas (líneas) cumplen las condiciones adicionales.

(1) Todas las resoluciones son paralelas a un plano, el plano directriz .

(2) Todas las reglas intersecan una línea fija, el eje .

• El conoide es un conoide derecho , si su eje es perpendicular a su plano directriz. De ahí que todas las reglas sean perpendiculares al eje.

Debido a que (1) cualquier conoide es una superficie catalana y puede representarse paramétricamente por

• $${\ displaystyle \ mathbf {x} (u, v) = \ mathbf {c} (u) + v \ mathbf {r} (u) \,}

Cualquier curva $${\ displaystyle \ mathbf {x} (u_ {0}, v)} con parámetro fijo $${\ displaystyle u = u_ {0}} es un fallo, $${\ displaystyle \ mathbf {c} (u)}Describe la directriz y los vectores.$${\ displaystyle \ mathbf {r} (u)}Son todos paralelos al plano directriz. La planaridad de los vectores.$${\ displaystyle \ mathbf {r} (u)} puede ser representado por

$${\ displaystyle \ det (\ mathbf {r}, \ mathbf {\ dot {r}}, \ mathbf {\ ddot {r}}) = 0}.

• Si la directriz es un círculo, el conoide se llama conoide circular .

El término conoide ya fue usado por Arquímedes en su tratado Sobre conoides y esferoides .

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Dos vistas de P ² con una tapa cruzada.

En matemáticas , una tapa cruzada es una superficie bidimensional en 3 espacios que es unilateral y la imagen continua de una tira de Möbius que se interseca en un intervalo . En el dominio, la imagen inversa de este intervalo es un intervalo más largo que la asignación a 3 espacios "se pliega a la mitad". En el punto donde el intervalo más largo se dobla por la mitad en la imagen, la configuración cercana es la del paraguas de Whitney .

El intervalo de intersección propia impide que la tapa cruzada sea homeomórfica a la tira de Möbius , pero solo hay dos puntos en la imagen (los puntos finales del intervalo de intersección propia) donde la imagen no puede ser la de una inmersión. El borde delimitador de una tapa cruzada es un simple circuito cerrado. Al igual que ciertas versiones de la tira de Möbius, puede tomar la forma de un círculo simétrico .

Una tapa cruzada que se ha cerrado pegando un disco a su límite es un modelo del plano proyectivo real P ²(nuevamente con un intervalo de auto-intersección y dos puntos donde este modelo no es una inmersión de P ² ) .

Dos casquillos cruzados pegados juntos en sus límites forman un modelo de la botella de Klein , esta vez con dos intervalos de auto-intersección y cuatro puntos donde este modelo no es una inmersión.

Un importante teorema de topología , el teorema de clasificación para superficies , establece que cada dos dimensiones compacto colector sin límite es homeomorfo a una esfera con un número (posiblemente 0) de "asas" y 0, 1, o 2-casquillos cruzadas.

Para otras aplicaciones, vea Cilindro (desambiguación) .

Una lata vacía

Un cilindro (del griego κύλινδρος - kulindros , "roller, tumbler" ^[1] ) ha sido tradicionalmente un sólido tridimensional, una de las formas geométricas curvilíneas más básicas . Es la versión idealizada de una lata física sólida que tiene tapas en la parte superior e inferior.

Esta vista tradicional todavía se usa en tratamientos elementales de geometría, pero el punto de vista matemático avanzado se ha desplazado a la superficiecurvilínea infinita y así es como un cilindro se define ahora en varias ramas modernas de geometría y topología.

El cambio en el significado básico (sólido frente a superficie) ha creado cierta ambigüedad con la terminología. Generalmente se espera que el contexto aclare el significado. En este artículo, ambos puntos de vista se presentan y distinguen al referirse a cilindros sólidos y superficies cilíndricas , pero tenga en cuenta que en la literatura, el término sin adornos podría referirse a cualquiera de estos o a un objeto aún más especializado, el cilindro circular derecho. .

Cilindros sólidos [ editar ]

Las definiciones y los resultados en esta sección están tomados del texto de 1913, Geometría plana y sólida de George Wentworth y David Eugene Smith ( Wentworth y Smith 1913 ).

Una superficie cilíndrica es una superficie que consta de todos los puntos en todas las líneas que son paralelas a una línea dada y que pasan a través de una curva de plano fijo en un plano no paralelo a la línea dada. Cualquier línea en esta familia de líneas paralelas se llama elemento de la superficie cilíndrica. Desde un punto de vista cinemático , dada una curva plana, llamada directriz , una superficie cilíndrica es esa superficie trazada por una línea, llamada generatriz , no en el plano de la directriz, moviéndose paralela a sí misma y siempre pasando a través de la directriz . Cualquier posición particular de la generatriz es un elemento de la superficie cilíndrica.

Un derecho y un cilindro circular oblicuo.

Un sólido delimitado por una superficie cilíndrica y dos planos paralelos se denomina cilindro (sólido) . Los segmentos de línea determinados por un elemento de la superficie cilíndrica entre los dos planos paralelos se denominan elementos del cilindro . Todos los elementos de un cilindro tienen longitudes iguales. La región limitada por la superficie cilíndrica en cualquiera de los planos paralelos se denomina base del cilindro. Las dos bases de un cilindro son figuras congruentes . Si los elementos del cilindro son perpendiculares a los planos que contienen las bases, el cilindro es un cilindro recto , de lo contrario se llama cilindro oblicuo . Si las bases sonDiscos (regiones cuyo límite es un círculo ) el cilindro se denomina cilindro circular . En algunos tratamientos elementales, un cilindro siempre significa un cilindro circular. ^[2]

La altura (o altitud) de un cilindro es la distancia perpendicular entre sus bases.

El cilindro obtenido al rotar un segmento de línea alrededor de una línea fija con la que es paralelo es un cilindro de revolución . Un cilindro de revolución es un cilindro circular recto. La altura de un cilindro de revolución es la longitud del segmento de línea generador. La línea sobre la que gira el segmento se llama eje del cilindro y pasa a través de los centros de las dos bases.

Un cilindro circular derecho con radio r y altura h

Cilindros circulares derechos [ editar ]

El cilindro de término desnudo a menudo se refiere a un cilindro sólido con extremos circulares perpendiculares al eje, es decir, un cilindro circular recto, como se muestra en la figura. La superficie cilíndrica sin los extremos se llama un cilindro abierto . Las fórmulas para el área de la superficie y el volumen de un cilindro circular derecho se conocen desde la antigüedad temprana.

Un cilindro circular recto también se puede considerar como el sólido de revolución generado al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. Estos cilindros se utilizan en una técnica de integración (el "método de disco") para obtener volúmenes de sólidos de revolución. ^[3]

Secciones cilíndricas [ editar ]

Sección cilíndrica

Una sección cilíndrica es la intersección de la superficie de un cilindro con un plano . Son, en general, curvas y son tipos especiales de secciones planas . La sección cilíndrica por un plano que contiene dos elementos de un cilindro es un paralelogramo . ^[4] Tal sección cilíndrica de un cilindro recto es un rectángulo . ^[4]

Una sección cilíndrica en la que el plano de intersección se interseca y es perpendicular a todos los elementos del cilindro se llama una sección derecha . ^[5] Si una sección derecha de un cilindro es un círculo, entonces el cilindro es un cilindro circular. En general, si una sección derecha de un cilindro es una sección cónica (parábola, elipse, hipérbola), se dice que el cilindro sólido es parabólico, elíptico o hiperbólico, respectivamente.

Secciones cilíndricas de un cilindro circular recto.

Para un cilindro circular recto, hay varias formas en que los planos pueden encontrarse con un cilindro. Primero, considera los planos que intersectan una base en un punto como máximo. Un plano es tangente al cilindro si se encuentra con el cilindro en un solo elemento. Las secciones correctas son círculos y todos los demás planos intersectan la superficie cilíndrica en una elipse . ^[6] Si un plano corta una base del cilindro exactamente en dos puntos, entonces el segmento de línea que une estos puntos es parte de la sección cilíndrica. Si tal plano contiene dos elementos, tiene un rectángulo como una sección cilíndrica, de lo contrario los lados de la sección cilíndrica son porciones de una elipse. Finalmente, si un plano contiene más de dos puntos de una base, contiene toda la base y la sección cilíndrica es un círculo.

En el caso de un cilindro circular derecho con una sección cilíndrica que es una elipse, la excentricidad e de la sección cilíndrica y el eje semi-mayor a de la sección cilíndrica dependen del radio del cilindro r y del ángulo αentre el plano secante y eje del cilindro, de la siguiente manera:

$${\ displaystyle e = \ cos \ alpha,}

$${\ displaystyle a = {\ frac {r} {\ sin \ alpha}}.}

Volumen [ editar ]

Si la base de un cilindro circular tiene un radio r y el cilindro tiene una altura h , entonces su volumen viene dado por

V = π r ² h .

Esta fórmula sostiene si el cilindro es un cilindro correcto o no. ^[7]

Esta fórmula puede establecerse usando el principio de Cavalieri .

Un cilindro elíptico sólido con la semi-ejes una y b para la elipse base y la altura h

En general, por el mismo principio, el volumen de cualquier cilindro es el producto del área de una base y la altura. Por ejemplo, un cilindro elíptico con una base que tiene un eje semi-mayor a , un eje semi-menor b y una altura h tiene un volumen V = Ah , donde A es el área de la elipse base (= π ab ). Este resultado para los cilindros elípticos derechos también se puede obtener por integración, donde el eje del cilindro se toma como el eje x positivo y A ( x ) = A el área de cada sección transversal elíptica, por lo tanto:

$${\ displaystyle V = \ int _ {0} ^ {h} A (x) dx = \ int _ {0} ^ {h} \ pi abdx = \ pi ab \ int _ {0} ^ {h} dx = \ pi abh.}

Usando coordenadas cilíndricas , el volumen de un cilindro circular derecho se puede calcular por integración sobre

$${\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {h} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {r} s \, \, ds \, d \ phi \, dz }

$${\ displaystyle = \ pi \, r ^ {2} \, h.}

Área de superficie [ editar ]

Teniendo el radio r y la altitud (altura) h , el área de superficie de un cilindro circular recto, orientado de modo que su eje sea vertical, consta de tres partes:

• el área de la base superior: π r ²
• El área de la base inferior: π r ²
• el área del lado: 2π rh

El área de las bases superior e inferior es la misma, y se llama el área de la base , B . El área de la cara se conoce como el área lateral , L .

Un cilindro abierto no incluye elementos superiores ni inferiores, y por lo tanto tiene área de superficie (área lateral)

L = 2π rh .

El área de superficie del sólido cilindro circular derecho se compone de la suma de los tres componentes: superior, inferior y lateral. Su superficie es por lo tanto,

A = L + 2 B = 2π rh + 2π r ² = 2π r ( h + r ) = π d ( r + h ) ,

donde d = 2 r es el diámetro de la parte superior o inferior circular.

Para un volumen dado, el cilindro circular derecho con el área de superficie más pequeña tiene h = 2 r . De manera equivalente, para un área de superficie dada, el cilindro circular derecho con el mayor volumen tiene h = 2 r , es decir, el cilindro encaja perfectamente en un cubo de longitud lateral = altitud (= diámetro del círculo base). ^[8]

El área lateral, L , de un cilindro circular, que no necesita ser un cilindro recto, está más generalmente dada por:

L = e × p ,

donde e es la longitud de un elemento yp es el perímetro de una sección derecha del cilindro. ^[9] Esto produce la fórmula anterior para el área lateral cuando el cilindro es un cilindro circular recto.

Cilindro hueco

Cilindro hueco circular derecho (concha cilíndrica) [ editar ]

Un cilindro hueco circular derecho (o armazón cilíndrico ) es una región tridimensional limitada por dos cilindros circulares derechos que tienen el mismo eje y dos bases anulares paralelas perpendiculares al eje común de los cilindros, como se muestra en el diagrama.

Deje que la altura sea h , radio interior r , y el radio externo R . El volumen está dado por

$${\ displaystyle V = \ pi (R ^ {2} -r ^ {2}) h = 2 \ pi \ left ({\ frac {R + r} {2}} \ right) h (Rr).}.

Por lo tanto, el volumen de una cubierta cilíndrica es igual a 2 π (radio promedio) (altitud) (grosor). ^[10]

El área de superficie, incluyendo la parte superior e inferior, está dada por

$${\ displaystyle A = 2 \ pi (R + r) h + 2 \ pi (R ^ {2} -r ^ {2}).}.

Las cubiertas cilíndricas se utilizan en una técnica de integración común para encontrar volúmenes de sólidos de revolución. ^[11]

En la esfera y el cilindro [ editar ]

Una esfera tiene 2/3 del volumen y área de superficie de su cilindro circunscripto, incluidas sus bases.

Artículo principal: Sobre la esfera y el cilindro.

En el tratado por este nombre, escrito c. 225 AEC, Arquímedes obtuvo el resultado del que estaba más orgulloso, a saber, la obtención de las fórmulas para el volumen y el área de superficie de una esfera al explotar la relación entre una esfera y su cilindro circular derecho circunscrito de la misma altura y diámetro . La esfera tiene un volumen de dos terciosdel cilindro circunscrito y una superficie de dos tercios del volumen del cilindro (incluidas las bases). Como los valores para el cilindro ya eran conocidos, obtuvo, por primera vez, los valores correspondientes para la esfera. El volumen de una esfera de radio r es 4/3π r ³ = 2/3 (2 π r ³ ) . La superficie de esta esfera es 4 π r ² = 2/3 (6 π r ² ) . Una esfera esculpida y un cilindro fueron colocados en la tumba de Arquímedes a petición suya.

Superficies cilíndricas [ editar ]

En algunas áreas de geometría y topología, el término cilindro se refiere a lo que hemos llamado una superficie cilíndrica. Para repetir, a lo largo de esta sección, un cilindro se define como una superficie que consta de todos los puntos en todas las líneas que son paralelas a una línea dada y que pasan a través de una curva de plano fijo en un plano no paralelo a la línea dada. ^[12] Dichos cilindros se han denominado, a veces, cilindros generalizados. A través de cada punto de un cilindro generalizado, pasa una línea única que está contenida en el cilindro. ^[13]Por lo tanto, esta definición puede reformularse para decir que un cilindro es cualquier superficie reglada queabarca una familia de un solo parámetro de líneas paralelas.

Un cilindro que tiene una sección derecha que es una elipse , parábola o hipérbola se denomina cilindro elíptico, cilindro parabólico o cilindro hiperbólico , respectivamente. Estas son superficies cuadráticas degeneradas . ^[14]

Cilindro parabolico

Cuando los ejes principales de un quadric se alinean con el marco de referencia (siempre posible para un quadric), una ecuación general del quadric en tres dimensiones viene dada por

$${\ displaystyle f (x, y, z) = Axe ^ {2} + Por ^ {2} + Cz ^ {2} + Dx + Ey + Gz + H = 0,}

siendo los coeficientes números reales y no todos A , B y C siendo 0. Si al menos una variable no aparece en la ecuación, el quadric está degenerado. Si falta una variable, podemos suponer, mediante una rotación adecuada de los ejes, que la variable z no aparece y que la ecuación general de este tipo de quadric degenerado se puede escribir como ^[15]

$${\ displaystyle A \ left (x + {\ frac {D} {2A}} \ right) ^ {2} + B \ left (y + {\ frac {E} {2B}} \ right) ^ {2} = \ rho,}

dónde

$${\ displaystyle \ rho = -H + {\ frac {D ^ {2}} {4A}} + {\ frac {E ^ {2}} {4B}}.

Si AB > 0 esta es la ecuación de un cilindro elíptico . ^[15] Se puede obtener una simplificación adicional mediante la traducción de los ejes y la multiplicación escalar. Si$${\ displaystyle \ rho}tiene el mismo signo que los coeficientes A y B , entonces la ecuación de un cilindro elíptico puede reescribirse en coordenadas cartesianas como:

$${\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = 1.}

Esta ecuación de un cilindro elíptico es una generalización de la ecuación del cilindro circular ordinario ( a = b). Los cilindros elípticos también se conocen como cilindroides , pero ese nombre es ambiguo, ya que también puede referirse al conoide Plücker .

Si $${\ displaystyle \ rho}Tiene un signo diferente a los coeficientes, obtenemos los cilindros elípticos imaginarios :

$${\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = - 1,}

que no tienen puntos reales en ellos. ($${\ displaystyle \ rho = 0} da un solo punto real.)

Si A y B tienen signos diferentes y$${\ displaystyle \ rho \ neq 0}, obtenemos los cilindros hiperbólicos , cuyas ecuaciones pueden reescribirse como:

$${\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {y} {b}} \ right) ^ {2} = 1.}

Finalmente, si AB = 0 supone, sin pérdida de generalidad , que B = 0 y A = 1 para obtener los cilindros parabólicos con ecuaciones que se pueden escribir como: ^[16]

$${\ displaystyle {x} ^ {2} + 2a {y} = 0.}

En geometría proyectiva , un cilindro es simplemente un cono cuyo vértice está en el infinito, que corresponde visualmente a un cilindro en perspectiva que parece ser un cono hacia el cielo.

Geometría proyectiva [ editar ]

En geometría proyectiva , un cilindro es simplemente un cono cuyo vértice (vértice) se encuentra en el plano en el infinito . Si el cono es un cono cuadrático, el plano en el infinito que pasa a través del vértice puede intersecar el cono en dos líneas reales, una sola línea real (en realidad, un par de líneas coincidentes), o solo en el vértice. Estos casos dan lugar a cilindros hiperbólicos, parabólicos o elípticos respectivamente. ^[17]

Este concepto es útil cuando se consideran cónicas degeneradas , que pueden incluir las cónicas cilíndricas.

Prismas [ editar ]

El edificio del planetario Tycho Brahe , Copenhague, es un ejemplo de un cilindro truncado

Un cilindro circular sólido puede verse como el caso límite de un prisma n- gonal donde n se acerca al infinito . La conexión es muy fuerte y muchos textos antiguos tratan prismas y cilindros simultáneamente. Las fórmulas para el área de superficie y el volumen se derivan de las fórmulas correspondientes para los prismas utilizando prismas inscritos y circunscritos y luego dejando que el número de lados del prisma aumente sin límite. ^[18]De hecho, una razón para el énfasis inicial (y, a veces, el tratamiento exclusivo) en los cilindros circulares es que la base circular es el único tipo de figura geométrica para la cual esta técnica funciona con el uso de consideraciones solo elementales (no es atractivo para el cálculo o para las matemáticas más avanzadas). ). La terminología sobre prismas y cilindros es idéntica. Así, por ejemplo, dado que un prisma truncado es un prisma cuyas bases no se encuentran en planos paralelos, un cilindro sólido cuyas bases no se encuentran en planos paralelos se llamaría un cilindro truncado .

Desde un punto de vista poliédrico, un cilindro también puede verse como un doble de un bicono como una bipirámide de lados infinitos .