LISTA DE TEMAS MATEMÁTICOS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

automorfismo interno es un automorfismo de un grupo , anillo o álgebra dado por la acción de conjugación de un elemento fijo, llamado elemento de conjugación . Estos automorfismos internos forman un subgrupo del grupo de automorfismos, y el cociente del grupo de automorfismos por este subgrupo da lugar al concepto de grupo de automorfismos externos .

Definición [ editar ]

Si G es un grupo (o un anillo) y g es un elemento de G (si G es un anillo, entonces g debe ser una unidad ), entonces la función

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ varphi _ {g} \ colon G & \ longrightarrow G \\\ varphi _ {g} (x) &: = g ^ {- 1} xg \ end {alineado}}}

se denomina (derecha) conjugación por g (ver también clase de conjugación ). Esta función es un homomorfismo de G : para todos.$${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2} \ en G},

$${\ displaystyle \ varphi _ {g} (x_ {1} x_ {2}) = g ^ {- 1} x_ {1} x_ {2} g = (g ^ {- 1} x_ {1} g) ( g ^ {- 1} x_ {2} g) = \ varphi _ {g} (x_ {1}) \ varphi _ {g} (x_ {2})}

donde la tercera igualdad viene dada por la inserción de la identidad entre $${\ displaystyle x_ {1}} y $${\ displaystyle x_ {2}}. Además, tiene un inverso deizquierda y derecha , es decir,$${\ displaystyle \ varphi _ {g ^ {- 1}}}. Así,$${\ displaystyle \ varphi _ {g}}es biyectivo , por lo que es un isomorfismo de G en sí mismo, es decir, un automorfismo. Un automorfismo interno es cualquier automorfismo que surge de la conjugación. ^[1]

Cuando se discute la conjugación correcta, la expresión $${\ displaystyle g ^ {- 1} xg} A menudo se denota exponencialmente por $${\ displaystyle x ^ {g}}. Esta notación se usa porque la composición de las conjugaciones es asociativa:$${\ displaystyle (x ^ {g_ {1}}) ^ {g_ {2}} = x ^ {g_ {1} g_ {2}}} para todos $${\ displaystyle g_ {1}, g_ {2} \ en G}. Esto demuestra que la conjugación da una acción correcta de G sobre sí misma.

Grupos de automorfismos internos y externos [ editar ]

La composición de dos automorfismos internos es nuevamente un automorfismo interno, y con esta operación, la colección de todos los automorfismos internos de G es un grupo, el grupo de automorfismos internos de Gdenota Inn ( G ) .

Inn ( G ) es un subgrupo normal de la totalidad de grupo automorphism Aut ( G ) de G . El grupo de automorfismo externo , Out ( G ) es el grupo cociente

Fuera ( G ) ≡ Aut ( G ) / Inn ( G )

El grupo de automorfismos externos mide, en cierto sentido, cuántos automorfismos de G no son internos. Cada automorfismo no interno produce un elemento no trivial de Out ( G ) , pero diferentes automorfismos no internos pueden producir el mismo elemento de Out ( G ) .

Decir que la conjugación de x por una hoja x sin cambios es equivalente a decir que a y x conmutan:

a ⁻¹ xa = x ⇔ ax = xa .

Por lo tanto, la existencia y el número de automorfismos internos que no son el mapeo de identidad es un tipo de medida del fracaso de la ley conmutativa en el grupo (o anillo).

Un automorfismo de un grupo G es interior si y sólo si se extiende a cada grupo que contiene G . ^[2]

Al asociar el elemento a ∈ G con el automorfismo interno f ( x ) = x ^a en Inn ( G ) como arriba, se obtiene un isomorfismo entre el grupo cociente G / Z ( G ) (donde Z ( G ) es el centro de G ) y el grupo de automorfismo interno:

G / Z ( G ) = Inn ( G ) .

Esto es una consecuencia del primer teorema de isomorfismo , porque Z ( G ) es precisamente el conjunto de aquellos elementos de G que dan el mapeo de identidad como un automorfismo interno correspondiente (la conjugación no cambia nada).

Automorfismos no internos de p- grupos finitos [ editar ]

Un resultado de Wolfgang Gaschütz dice que si G es un grupo p no abeliano finito , entonces G tiene un automorfismo de orden de potencia p que no es interno.

Es un problema abierto si cada no abeliano p -Grupo G tiene un automorfismo de orden p . La última pregunta tiene una respuesta positiva cada vez que G tiene una de las siguientes condiciones:

1. G es nilpotente de la clase 2
2. G es un p- grupo regular
3. G / Z ( G ) es un potente p -Grupo
4. El centralizador en G , C _G , del centro, Z , del subgrupo Frattini , Φ , de G , C _G ∘ Z ∘Φ ( G ) , no es igual a Φ ( G )

Tipos de grupos [ editar ]

El grupo de automorfismo interno de un grupo G , Inn ( G ) , es trivial (es decir, consiste solo en el elemento de identidad ) si y solo si G es abeliano .

El grupo Inn ( G ) es cíclico solo cuando es trivial.

En el extremo opuesto del espectro, los automorfismos internos pueden agotar todo el grupo de automorfismos; un grupo cuyos automorfismos son todos internos y cuyo centro es trivial se llama completo . Este es el caso de todos los grupos simétricos en n elementos cuando n no es 2 o 6, cuando n = 6 el grupo simétrico tiene una clase única no trivial de automorfismos externos, y cuando n = 2 el grupo simétrico, a pesar de tener sin automorfismos externos, es abeliano, lo que da a un centro no trivial que lo descalifica para que no esté completo.

Si el grupo de automorfismo interno de un grupo perfecto G es simple, entonces G se llama quasisimple .

Lie algebra case [ editar ]

Un automorfismo de un álgebra de Lie 𝔊 se llama un automorfismo interior si es de la forma Ad _g , donde Ad es el mapa adjunto y g es un elemento de un grupo de Lie cuya álgebra de Lie es 𝔊 . La noción de automorfismo interno para los álgebras de Lie es compatible con la noción de grupos en el sentido de que un automorfismo interno de un grupo de Lie induce un automorfismo interno único del correspondiente álgebra de Lie.

Extensión [ editar ]

Si G es el grupo de unidades de un anillo , A , entonces un automorfismo interno en G se puede extender a un mapeo en la línea proyectiva sobre A por el grupo de unidades del anillo de matriz , M ₂ ( A ) . En particular, los automorfismos internos de los grupos clásicos pueden extenderse de esa manera.

 cierre de conjugado de un subconjunto S de un grupo G es el subgrupo de G generadopor S ^G , es decir, el cierre de S ^G bajo la operación de grupo, donde S ^G es el conjunto de los conjugados de los elementos de S :

S ^G = { g ⁻¹ sg | g ∈ G y s ∈ S }

El cierre conjugado de S se denota < S ^G > o < S > ^G .

El cierre conjugado de cualquier subconjunto S de un grupo G es siempre un subgrupo normal de G ; de hecho, es la más pequeña (por inclusión) subgrupo normal de G que contiene S . Por esta razón, el cierre conjugado también se llama el cierre normal de de S o el subgrupo normal generada por S . El cierre normal también puede ser caracterizado como la intersección de todos los subgrupos normales de G que contienen S . Cualquier subgrupo normal es igual a su cierre normal.

El cierre conjugado de un subconjunto singleton { a } de un grupo G es un subgrupo normal generada por una y todos los elementos de G que son conjugado a una . Por lo tanto, cualquier grupo simple es el cierre conjugado de cualquier elemento de grupo sin identidad. El cierre conjugado del conjunto vacío.$${\ displaystyle \ varnothing}Es el grupo trivial .

Contraste el cierre normal de S con el normalizador de S , que es (para S un grupo) el mayor subgrupo de G en el que S en sí es normal. (Esto no tiene por qué ser normal en el grupo G más grande , al igual que < S > no tiene por qué ser normal en su conjugado / cierre normal.)

Dual al concepto de cierre normal, es la de interior normal, o núcleo normales , definido como la unión de todos los subgrupos normales contenidos en S .