LISTA DE TEMAS MATEMÁTICOS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

clases de conjugación ; los miembros de la misma clase de conjugación comparten muchas propiedades, y el estudio de las clases de conjugación de grupos no abelianos revela muchas características importantes de su estructura. ^[1] [2] Para un grupo abeliano , cada clase de conjugación es un conjunto que contiene un elemento ( conjunto de singleton ).

Las funciones que son constantes para los miembros de la misma clase de conjugación se denominan funciones de clase .

Definición [ editar ]

Que G sea ​​un grupo. Dos elementos a y b de G son conjugados , si existe un elemento g en G tal que gag ⁻¹ = b . También se dice que b es un conjugado de a y que a es un conjugado de b .

En el caso del grupo GL ( n ) de matrices invertibles , la relación de conjugación se llama similitud de matriz .

Se puede demostrar fácilmente que la conjugación es una relación de equivalencia y, por lo tanto, divide G en clases de equivalencia . (Esto significa que cada elemento del grupo pertenece precisamente a una clase de conjugación, y las clases Cl ( a ) y Cl ( b ) son iguales si y solo si a y b están conjugadas, y se separan de locontrario). La clase de equivalencia que contiene el elemento a en G es

Cl ( a ) = { b ∈ G | existe g ∈ G con b = gag ⁻¹ }

y se llama la clase de conjugación de a . El número de clase de G es el número de clases de conjugación distintas (no equivalentes). Todos los elementos que pertenecen a la misma clase de conjugación tienen el mismo orden .

Se puede hacer referencia a las clases de conjugación describiéndolas, o más brevemente mediante abreviaturas como "6A", que significa "cierta clase de conjugación de elementos del orden 6", y "6B" sería una clase de conjugación diferente de elementos del orden 6; La clase de conjugación 1A es la clase de conjugación de la identidad. En algunos casos, las clases de conjugación pueden describirse de manera uniforme; por ejemplo, en el grupo simétrico pueden describirse por la estructura del ciclo.

Ejemplos [ editar ]

El grupo simétrico S ₃ , que consta de las 6 permutaciones de tres elementos, tiene tres clases de conjugación:

• sin cambio (abc → abc)
• transponiendo dos (abc → acb, abc → bac, abc → cba)
• una permutación cíclica de los tres (abc → bca, abc → cab)

Estas tres clases también corresponden a la clasificación de las isometrías de un triángulo equilátero .

Tabla que muestra bab ⁻¹ para todos los pares ( a , b ) con a , b ∈ S ₄ (comparar lista numerada )     Cada fila contiene todos los elementos de la clase deconjugación de a , y cada columna contiene todos los elementos de S ₄ .

El grupo simétrico S ₄ , que consta de las 24 permutaciones de cuatro elementos, tiene cinco clases de conjugación, enumeradas con sus estructuras de ciclo y órdenes:

(1) ₄

Sin cambios (1 elemento: {(1, 2, 3, 4)})

(2)

Intercambiando dos (6 elementos: {(1, 2, 4, 3), (1, 4, 3, 2), (1, 3, 2, 4), (4, 2, 3, 1), (3, 2, 1, 4), (2, 1, 3, 4)})

(3)

Una permutación cíclica de tres (8 elementos: {(1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (3, 2, 4, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 1, 3, 2), (2, 4, 3, 1), (3, 1, 2, 4), (2, 3, 1, 4)})

(4)

Una permutación cíclica de los cuatro (6 elementos: {(2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (3, 1, 4, 2), (3, 4, 2, 1) , (4, 1, 2, 3), (4, 3, 1, 2)})

(2) (2)

Intercambiando dos, y también los otros dos (3 elementos: {(2, 1, 4, 3), (4, 3, 2, 1), (3, 4, 1, 2)})

Las rotaciones adecuadas del cubo , que se pueden caracterizar por permutaciones de las diagonales del cuerpo, también se describen por conjugación en S ₄ .

En general, el número de clases de conjugación en el grupo simétrico S _n es igual al número de particiones enteras de n . Esto se debe a que cada clase de conjugación corresponde exactamente a una partición de {1, 2, ..., n } en ciclos , hasta la permutación de los elementos de {1, 2, ..., n }.

En general, el grupo euclidiano se puede estudiar mediante la conjugación de isometrías en el espacio euclidiano .

Propiedades [ editar ]

• El elemento de identidad es siempre el único elemento en su clase, que es Cl ( e ) = { e }
• Si G es abeliano , entonces gag ⁻¹ = a para todos a y g en G ; así Cl ( un ) = { a } para todos una en G .
• Si dos elementos a y b de G pertenecen a la misma clase de conjugación (es decir, si están conjugados), entonces tienen el mismo orden . Más generalmente, cada declaración acerca de una se puede traducir en una declaración acerca de b = gag ^-1 , porque el mapa φ ( x ) = GXG ^-1 es un automorfismo de G .
• Un elemento a de G se encuentra en el centro Z ( G ) de G si y solo si su clase de conjugación tiene solo un elemento, uno mismo. Más generalmente, si C _G ( a ) denota el centralizador de a en G , es decir, el subgrupo que consta de todos los elementos g, de modo que ga = ag , entonces el índice [ G  : C _G ( a )]es igual al número de elementos en la clase de conjugación de a (por el teorema de estabilización de la órbita ).
• Si a y b son conjugados, entonces también lo son sus poderes a ^k y b ^k . (Prueba: si a = gbg ⁻¹ , entonces a ^k = ( gbg ⁻¹ ) ( gbg ⁻¹ )… ( gbg ⁻¹ ) = gb ^k g ⁻¹ .) Así, tomando kLos poderes dan un mapa sobre las clases de conjugación, y uno puede considerar qué clases de conjugación están en su preimagen. Por ejemplo, en el grupo simétrico, el cuadrado de un elemento de tipo (3) (2) (un ciclo de 3 y un ciclo de 2) es un elemento de tipo (3), por lo tanto, una de las clases de encendido de (3) es la clase (3) (2); La clase (6) es otra.

Ecuación de la clase de conjugación [ editar ]

Si G es un grupo finito , entonces para cualquier elemento de grupo a , los elementos en la clase de conjugación de a están en una correspondencia uno a uno con los cosets del centralizador C _G ( a ) . Esto se puede observar al observar que cualquiera de los dos elementos b y c que pertenecen al mismo coset (y, por lo tanto, b = cz para algunas z en el centralizador C _G ( a )  ) dan lugar al mismo elemento cuando se conjugan a : bab ⁻¹= cza ( cz ) ⁻¹ = czaz ⁻¹ c ⁻¹ = czz ⁻¹ ac ⁻¹ = cac ⁻¹ . Esto también se puede ver en el teorema del estabilizador de la órbita , cuando se considera que el grupo actúa sobre sí mismo a través de la conjugación, de modo que las órbitas son clases de conjugación y los subgrupos de estabilizadores son centralizadores. Lo contrario se sostiene también.

Por lo tanto, el número de elementos en la clase de conjugación de a es el índice [ G  : C _G ( a )] del centralizador C _G ( a ) en G  ; por lo tanto, el tamaño de cada clase de conjugación divide el orden del grupo.

Además, si elegimos un único elemento representativo x _i de cada clase de conjugación, inferimos de la separación de las clases de conjugación que | G | = ∑ _i [ G  : C _G ( x _i )] , donde C _G ( x _i ) es el centralizador del elemento x _i . Al observar que cada elemento del centro Z ( G ) forma una clase de conjugación que contiene solo en sí misma, se genera la ecuación de clase : ^[3]

| G | = | Z ( G ) | + ∑ _i [ G  : C _G ( x _i )]

donde la suma es sobre un elemento representativo de cada clase de conjugación que no está en el centro.

El conocimiento de los divisores de la orden de grupo | G | a menudo se puede utilizar para obtener información sobre el orden del centro o de las clases de conjugación.

Ejemplo [ editar ]

Considere un p- grupo G finito (es decir, un grupo con orden p ⁿ , donde p es un número primo y n > 0 ). Vamos a demostrar que cada grupo p finito tiene un centro no trivial . 

Dado que el orden de cualquier clase de conjugación de G debe dividir el orden de G , se deduce que cada clase de conjugación H _i que no está en el centro también tiene algún poder de p ^k _i , donde 0 < k _i < n . Pero entonces la ecuación de clase requiere que | G | = p ⁿ = | Z ( G ) | + ∑ _i p ^k _i . De esto vemos que p debe dividir | Z ( G ) | , Por lo |Z ( G ) | > 1 .

En particular, cuando n = 2, G es un grupo abeliano, ya que para cualquier elemento de grupo a , a es de orden p o p ² , si a es de orden p ² , entonces G es isomorfo al grupo cíclico de orden p ² , por lo tanto abeliano Por otro lado, si cualquier elemento no trivial en G es de orden p , por lo tanto, por la conclusión anterior | Z ( G ) | > 1 , entonces | Z ( G ) | = p > 1 o p ² . Solo tenemos que considerar el caso cuando| Z ( G ) | = P > 1, entonces no es un elemento b de G que no está en el centro de G . Tenga en cuenta que b es de orden p , por lo que el subgrupo de G generado por b contiene p elementos y, por lo tanto, es un subconjunto adecuado deC _G ( b ), porqueC _G ( b )incluye todos los elementos de este subgrupo y el centro que no contener b Pero al menos p elementos. Por lo tanto, el orden de C _G ( b ) es estrictamente mayor que p , por lo tanto | C _G ( b ) | = P ² , por lo tanto, b es un elemento del centro de G . Por lo tanto, G es abeliano. 

Conjugación de subgrupos y subconjuntos generales [ editar ]

Más generalmente, dado cualquier subconjunto S de G ( S no necesariamente un subgrupo), definimos un subconjunto T de G para ser conjugado a S si existe alguna g en G tal que T = gSg ⁻¹ . Podemos definir Cl ( S )como el conjunto de todos los subconjuntos T de G tal que T es conjugado a S .

Un teorema de uso frecuente es que, dado cualquier subconjunto S de G , el índice de N ( S ) (el normalizador de S ) en G es igual al orden de Cl ( S ):

$${\ displaystyle | \ operatorname {Cl} (S) | = [G: N (S)]}

A continuación, si g y h están en G , entonces gSg ⁻¹ = hSh ⁻¹ si y solo si g ⁻¹ h está en N ( S ), en otras palabras, si y solo si g y h están en el mismo coset de N ( S ).

Tenga en cuenta que esta fórmula generaliza la que se dio anteriormente para el número de elementos en una clase de conjugación (sea S = { a }).

Lo anterior es particularmente útil cuando se habla de subgrupos de G . Por lo tanto, los subgrupos se pueden dividir en clases de conjugación, con dos subgrupos que pertenecen a la misma clase si y solo si están conjugados. Los subgrupos conjugados son isomorfos , pero los subgrupos isomorfos no necesitan ser conjugados. Por ejemplo, un grupo abeliano puede tener dos subgrupos diferentes que son isomorfos, pero nunca están conjugados.

Conjugacy como acción de grupo [ editar ]

Si definimos

g. x = gxg ⁻¹

Para cualquier par de elementos g y x en G , entonces tenemos una acción de grupo de G en G . Las órbitas de esta acción son las clases de conjugación, y el estabilizador de un elemento dado es el centralizador del elemento . ^[4]

Del mismo modo, podemos definir una acción de grupo de G en el conjunto de todos los subconjuntos de G , escribiendo

g. S = gSg ⁻¹ ,

o en el conjunto de los subgrupos de G .

Interpretación geométrica [ editar ]

Las clases de conjugación en el grupo fundamental de un espacio topológico conectado al camino se pueden considerar como clases de equivalencia de bucles libres bajo homotopía libre.