LISTA DE TEMAS MATEMÁTICOS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

álgebra no asociativa ^[1] (o álgebra distributiva ) es un álgebra sobre un campo donde no se asume que la operación de multiplicación binaria es asociativa . Es decir, una estructura algebraica A es un álgebra no asociativa sobre un campo K si es un espacio vectorial sobre K y está equipada con una operación de multiplicación binaria K - bilineal A × A → A que puede o no ser asociativa. Los ejemplos incluyen álgebras de Lie,Las álgebras de Jordania , los octoniones y el espacio euclidiano tridimensional equipados con la operación de productos cruzados . Como no se supone que la multiplicación sea asociativa, es necesario usar paréntesis para indicar el orden de las multiplicaciones. Por ejemplo, las expresiones ( ab ) ( cd ), ( a ( bc )) d y a ( b ( cd )) pueden producir respuestas diferentes.

Si bien este uso de no asociativo significa que la asociatividad no se asume, no significa que la asociatividad esté prohibida. En otras palabras, "no asociativo" significa "no necesariamente asociativo", así como "no conmutativo" significa "no necesariamente conmutativo" para los anillos no conmutativos .

Un álgebra es unital o unitaria si tiene un elemento de identidad I con Ix = x = xI para todas las x en el álgebra. Por ejemplo, los octoniones son unitales, pero las álgebras de Lie nunca lo son.

La estructura de álgebra de efecto no asociativo de A puede ser estudiada mediante la asociación con otras álgebras asociativas que son subálgebra de la álgebra completa de K - endomorfismos de A como un K espacio-vector. Dos de ellos son el álgebra de derivación y el álgebra envolvente (asociativa) , siendo este último en un sentido "el álgebra asociativa más pequeña que contiene A ".

Más generalmente, algunos autores consideran el concepto de un álgebra no asociativa sobre un anillo conmutativo R : Un módulo R equipado con una operación de multiplicación binaria bilineal R. ^[2] Si una estructura obedece a todos los axiomas del anillo aparte de la asociatividad (por ejemplo, cualquier R -algebra), entonces es naturalmente una$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}-algebra, por lo que algunos autores se refieren a no asociativos. $${\ displaystyle \ mathbb {Z}}-algebras como anillos no asociativos .

Álgebras identidades satisfactorias [ editar ]

Las estructuras en forma de anillo con dos operaciones binarias y ninguna otra restricción son una clase amplia, una que es demasiado general para estudiarla. Por esta razón, los tipos más conocidos de álgebras no asociativas satisfacen identidades que simplifican un poco la multiplicación. Estos incluyen las siguientes identidades.

En la lista, x , Y y z elementos arbitrarios denotan de un álgebra.

• Asociativo : ( xy ) z = x ( yz ).
• Conmutativo : xy = yx .
• Anticonceptivo : ^[3] xy = - yx . ^[4]
• Identidad de Jacobi : ^[3] [5] ( xy ) z + ( yz ) x + ( zx ) y = 0.
• Identidad de Jordan : ^[6] [7] ( xy ) ( x ² ) = x ( y ( x ² )).
• Potencia asociativa : ^{[8] [9] [10]} Para todas las x , tres potencias no negativas de x se asocian. Es decir, si a , by c son poderes no negativos de x , entonces a ( bc ) = ( ab ) c . Esto es equivalente a decir que x ^m x ⁿ = x ^{n + m} para todos los enteros no negativos m y n .
• Alternativa : ^{[11] [12] [13]} ( xx ) y = x ( xy ) y ( yx ) x = y ( xx ).
• Flexible : ^[14] [15] x ( yx ) = ( xy ) x .
• Elástico: ^[16] Flexible y ( xy ) ( xx ) = x ( y ( xx )), x ( xx ) y = ( xx ) ( xy ).

Estas propiedades están relacionadas por

1. asociativo implica alternativa implica poder asociativo ;
2. asociativo implica la identidad jordana implica poder asociativo ;
3. Cada una de las propiedades asociativa , conmutativa , anticomutativa , identidad de Jordania y la identidad de Jacobi implican individualmente flexibilidad ^[14] [15] , lo que implica poder asociativo .
4. Para un campo con la característica no dos, ser conmutativo y anticonmutativo implica que el álgebra es solo {0}.

Asociado [ editar ]

Artículo principal: Asociado

El asociado en A es el K - mapa multilineal $${\ displaystyle [\ cdot, \ cdot, \ cdot]: A \ veces A \ veces A \ a A} dada por

$${\ displaystyle [x, y, z] = (xy) zx (yz). \,}

Mide el grado de no asociatividad de $${\ displaystyle A}, Y se puede utilizar para expresar convenientemente algunos posibles identidades satisfechas por A .

• Asociativo: el asociado es idénticamente cero;
• Alternativa: el asociado está alternando , el intercambio de cualquiera de los dos términos cambia el signo;
• Flexible: $${\ displaystyle [x, y, x] = 0};
• Jordán: $${\ displaystyle [x, y, x ^ {2}] = 0}. ^[17]

El núcleo es el conjunto de elementos que se asocian con todos los demás: ^[18] es decir, la n en A tal que

$${\ displaystyle [n, A, A] = [A, n, A] = [A, A, n] = \ {0 \} \.}

El núcleo es un subanillo asociativo de A .

Centro [ editar ]

El centro de una A es el conjunto de elementos que conmutan y se asocian con todo en A , que es la intersección de

$${\ displaystyle C (A) = \ {n \ en A \ | \ nr = rn \, \ forall r \ in A \, \}}

con el núcleo. Resulta que para los elementos de C (A) es suficiente que dos de los conjuntos$${\ displaystyle ([n, A, A], [A, n, A], [A, A, n])} son $${\ displaystyle \ {0 \}} para que el tercero sea también el conjunto cero.

Ejemplos [ editar ]

• El espacio euclidiano R ³ con la multiplicación dada por el producto cruzado del vector es un ejemplo de un álgebra que es anticomutativa y no asociativa. El producto cruzado también satisface la identidad jacobi.
• Las álgebras de mentira son álgebras que satisfacen la anticomutatividad y la identidad jacobi.
• Álgebras de campos vectoriales en una variedad diferenciable (si K es R o los números complejos C ) o una variedad algebraica (para K en general );
• Las álgebras de Jordania son álgebras que satisfacen la ley conmutativa y la identidad de Jordania. ^[7]
• Cada álgebra asociativa da lugar a un álgebra de Lie utilizando el conmutador como corchete de Lie. De hecho, cada álgebra de Lie puede construirse de esta manera, o es una subalgebra de un álgebra de Lie así construida.
• Cada álgebra asociativa sobre un campo de característica diferente de 2 da lugar a un álgebra jordana al definir una nueva multiplicación x * y = (1/2) ( xy + yx ). En contraste con el caso del álgebra de Lie, no todos los álgebra de Jordania pueden construirse de esta manera. Los que se pueden llamar especiales .
• Las álgebras alternativas son álgebras que satisfacen la propiedad alternativa. Los ejemplos más importantes de álgebras alternativas son los octoniones (un álgebra sobre los reales) y las generalizaciones de los octoniones sobre otros campos. Todas las álgebras asociativas son alternativas. Hasta el isomorfismo, la única alternativa real de dimensión finita, las álgebras de división (ver más abajo) son los reales, complejos, cuaterniones y octoniones.
• Las álgebras asociativas de poder son aquellas álgebras que satisfacen la identidad asociativa de poder. Los ejemplos incluyen todas las álgebras asociativas, todas las álgebras alternativas, las álgebras de Jordania y las sedeniones .
• El álgebra hiperbólica del cuaternión sobre R , que era un álgebra experimental antes de la adopción del espacio de Minkowski para la relatividad especial .

Más clases de álgebras:

• Álgebras graduadas . Estos incluyen la mayoría de las álgebras de interés para el álgebra multilineal , como el álgebra tensorial , el álgebra simétrica y el álgebra exterior sobre un espacio vectorial determinado . Las álgebras graduadas se pueden generalizar a álgebras filtradas .
• Álgebra de división , en la que existen inversos multiplicativos. Las álgebras de división alternativa finita-dimensional sobre el campo de los números reales han sido clasificadas. Son los números reales (dimensión 1), los números complejos (dimensión 2), los cuaterniones (dimensión 4) y los octoniones (dimensión 8). Los cuaterniones y octoniones no son conmutativos. De estos álgebras, todos son asociativos excepto los octoniones.
• Álgebras cuadráticas , que requieren que xx = re + sx , para algunos elementos r y s en el campo de suelo, y ae una unidad para el álgebra. Los ejemplos incluyen todas las álgebras alternativas de dimensión finita y el álgebra de matrices reales de 2 por 2. Hasta el isomorfismo, las únicas álgebras cuadráticas reales sin divisores de cero son los reales, los complejos, los cuaterniones y los octoniones.
• Las álgebras de Cayley-Dickson (donde K es R ), que comienzan con:
  • C (un álgebra conmutativa y asociativa);
  • los cuaterniones H (un álgebra asociativa);
  • los octoniones (una álgebra alternativa );
  • los sedeniones , y la secuencia infinita de álgebras de Cayley-Dickson (álgebras asociativas de poder ).
• Las álgebras de Poisson se consideran en cuantización geométrica . Llevan dos multiplicaciones, convirtiéndolas en álgebras conmutativas y álgebras de Lie de diferentes maneras.
• Las álgebras genéticas son álgebras no asociativas usadas en genética matemática.
• Sistemas triples

Véase también: lista de álgebras

Propiedades [ editar ]

Hay varias propiedades que pueden ser familiares de la teoría de anillos, o de álgebras asociativas, que no siempre son ciertas para las álgebras no asociativas. A diferencia del caso asociativo, los elementos con un inverso multiplicativo (de dos lados) también podrían ser un divisor de cero . Por ejemplo, todos los elementos no nulos de las sedeniones tienen un inverso de dos caras, pero algunos de ellos también son divisores cero.

Álgebra no asociativa gratuita [ editar ]

El álgebra libre no asociativa en un conjunto X sobre un campo K se define como el álgebra con base que consiste en todos los monomios no asociativos, productos formales finitos de elementos de X paréntesis de retención. El producto de monomials u , v es solo ( u ) ( v ). El álgebra es unital si uno toma el producto vacío como un monomio. ^[19]

Kurosh demostró que cada subalgebra de un álgebra no asociativa libre es gratuita. ^[20]

Álgebras asociadas [ editar ]

Un álgebra A sobre un campo K es en particular un K espacio-vector y así se puede considerar el asociativo álgebra End _K ( A ) de K -linear endomorphism espacio vectorial de A . Podemos asociarnos a la estructura del álgebra en A dos subalgebras del Fin _K ( A ), el álgebra de derivación y el álgebra envolvente (asociativa) .

Álgebra de derivación [ editar ]

Artículo principal: Álgebra de derivación.

Una derivación en A es un mapa D con la propiedad

$${\ displaystyle D (x \ cdot y) = D (x) \ cdot y + x \ cdot D (y) \.}

Las derivaciones en A forman un subespacio Der _K ( A ) en el final _K ( A ). El conmutador de dos derivaciones es nuevamente una derivación, de modo que el corchete de Lie le da a Der _K ( A ) una estructura de álgebra de Lie . ^[21]

Álgebra envolvente [ editar ]

Hay mapas lineales L y R unidos a cada elemento a de un álgebra A : ^[22]

$${\ displaystyle L (a): x \ mapsto ax; \ \ R (a): x \ mapsto xa \.}

El álgebra de envoltura asociativa o el álgebra de multiplicación de A es el álgebra asociativa generada por los mapas lineales izquierdo y derecho. ^[17] [23] El centroide de A es el centralizador del álgebra envolvente en el álgebra de endomorfismo Fin _K ( A ). Un álgebra es central si su centroide consiste en los múltiplos K -escalar de la identidad. ^[10]

Algunas de las posibles identidades satisfechas por álgebras no asociativas pueden expresarse convenientemente en términos de los mapas lineales: ^[24]

• Conmutativo: cada L ( a ) es igual a la R ( a ) correspondiente;
• Asociativo: cualquier L conmuta con cualquier R ;
• Flexible: cada L ( a ) conmuta con la R ( a ) correspondiente;
• Jordania: cada L ( a ) conmuta con R ( a ² );
• Alternativa: cada L ( a ) ² = L ( a ² ) y de manera similar para la derecha.

La representación cuadrática Q se define por ^[25]

$${\ displaystyle Q (a): x \ mapsto 2a \ cdot (a \ cdot x) - (a \ cdot a) \ cdot x \}

o equivalente

$${\ displaystyle Q (a) = 2L ^ {2} (a) -L (a ^ {2}) \.}

El artículo sobre álgebras envolventes universales describe la construcción canónica de álgebras envolventes, así como los teoremas de tipo PBW para ellos. Para las álgebras de Lie, tales álgebras envolventes tienen una propiedad universal, que no es válida, en general, para las álgebras no asociativas. El ejemplo más conocido es, quizás el álgebra de Albert , un álgebra de Jordania excepcional que no está envuelto por la construcción canónica del álgebra envolvente para las álgebras de Jordania.

semiringuito es una estructura algebraica similar a un anillo , pero sin el requisito de que cada elemento debe tener un inverso aditivo .

El término equipo de perforación también se utiliza de vez en cuando ^[1] -Este originó como una broma, lo que sugiere que las plataformas son ri n gs sin n elementos egative, similar a la utilización de rng para significan ar ing sin un multiplicativo i dentity.

Definición [ editar ]

Un semiring es un conjunto R equipado con dos operaciones binarias + y ⋅, llamadas suma y multiplicación, de modo que: ^{[2] [3] [4]}

• ( R , +) es un monoide conmutativo con elemento de identidad 0:
  • ( a + b ) + c = a + ( b + c )
  • 0 + a = a + 0 = a
  • a + b = b + a
• ( R , ⋅) es un monoide con elemento de identidad 1:
  • ( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c )
  • 1⋅ a = a ⋅1 = a
• Multiplicación izquierda y derecha distribuye sobre la suma:
  • a ⋅ ( b + c ) = ( a ⋅ b ) + ( a ⋅ c )
  • ( a + b ) ⋅ c = ( a ⋅ c ) + ( b ⋅ c )
• Multiplicación por 0 aniquilados R :
  • 0⋅ a = a ⋅0 = 0

En comparación con un anillo , un semiring omite el requisito de inversos bajo la suma; es decir, solo requiere un monoide conmutativo , no un grupo conmutativo . En un anillo, esto implica la existencia de un cero multiplicativo, por lo que aquí debe especificarse explícitamente.

El símbolo ⋅ se suele omitir de la notación; es decir, a ⋅ b se acaba de escribir ab . De manera similar, se acepta un orden de operaciones , según el cual applied se aplica antes de +; es decir, a + bc es a + ( bc ).

Hay algunos autores que prefieren omitir el requisito de que un semiringuito tenga un 0 o 1. Esto hace que la analogía entre timbre y semiring por un lado y el grupo y el semigrupo por otro lado funcionen sin problemas. Estos autores a menudo usan rig para el concepto definido aquí. ^{[nota 1]}

Teoría [ editar ]

Gran parte de la teoría de los anillos sigue teniendo sentido cuando se aplica a semirings arbitrarios ^{[ cita requerida ]}. En particular, se puede generalizar la teoría de álgebras sobre anillos conmutativos directamente a una teoría de álgebras sobre semirremutativos conmutativos. Entonces, un anillo es simplemente un álgebra sobre la semirruta conmutativa Z de enteros .

Los semirrentamientos idempotentes son especiales a la teoría de semired ya que cualquier anillo que sea idempotente bajo adición es trivial Uno puede definir un orden parcial ≤ en un semiringuito identivo estableciendo a ≤ b cuando a + b = b (o, de manera equivalente, si existe una x tal que a + x = b ). Es fácil ver que 0 es el elemento mínimo con respecto a este orden: 0 ≤ a para todos a . La suma y la multiplicación respetan el ordenamiento en el sentido de que a ≤ b implicaac ≤ bc y ca ≤ cb y ( a + c ) ≤ ( b + c ) .

Aplicaciones [ editar ]

Los semirings tropicales (max, +) y (min, +) en los reales, se utilizan a menudo en la evaluación del rendimientoen sistemas de eventos discretos. Los números reales son los "costos" o "tiempo de llegada"; la operación "máxima" corresponde a tener que esperar todos los requisitos previos de un evento (por lo tanto, tomar el tiempo máximo), mientras que la operación "mínima" corresponde a poder elegir la mejor opción, menos costosa; y + corresponde a la acumulación a lo largo del mismo camino.

El algoritmo Floyd-Warshall para las rutas más cortas se puede reformular como un cálculo sobre un álgebra (min, +) . De manera similar, el algoritmo de Viterbi para encontrar la secuencia de estado más probable correspondiente a una secuencia de observación en un modelo de Markov oculto también se puede formular como un cálculo sobre un álgebra (máx, ×) de probabilidades. Estos algoritmos de programación dinámica sebasan en la propiedad distributiva de sus semirings asociados para calcular cantidades en un gran número de términos (posiblemente exponencial) más eficientemente que enumerar cada uno de ellos. ^[5] [6]

Ejemplos [ editar ]

Por definición, cualquier anillo es también semired. Un ejemplo motivador de un semiringuito es el conjunto de números naturales N (incluido el cero ) en la suma y multiplicación ordinarias. Del mismo modo, los números racionales no negativos y los números reales no negativos forman semirrematos. Todos estos semirings son conmutativos. ^{[7] [8] [9]}

En general [ editar ]

• El conjunto de todos los ideales de un anillo dado forma un semiringuito bajo la suma y multiplicación de ideales.
• Cualquier quantale unital es un semiringuito idempotente, o dioido, bajo unión y multiplicación.
• Cualquier celosía distributiva acotada es un semiringuito conmutativo, idempotente bajo unirse y reunirse.
• En particular, un álgebra de Boole es tal semired. Un anillo booleano es también un semicerrado, de hecho, un anillo, pero no es idempotente bajo la adición . Un semiringuito booleano es un islamorfo semired para un subconjunto de un álgebra booleana. ^[7]
• Una red de desvío normal en un anillo R es una semigente idempotente para la multiplicación de operaciones y nabla, donde esta última operación se define por$${\ displaystyle a \ nabla b = a + b + ba-aba-bab}.
• Cualquier c-semiring es también un semiring, donde la adición es idempotente y se define sobre conjuntos arbitrarios.
• Las clases de isomorfismo de objetos en cualquier categoría distributiva , bajo operaciones de coproducto y producto , forman un semiringuito conocido como una plataforma de Burnside. ^[10] Una plataforma de Burnside es un anillo si la categoría es trivial .

Semiring de conjuntos [ editar ]

Un semiring ( de conjuntos ) ^[11] es una colección S no vacía de conjuntos de tal manera que

1. $${\ displaystyle \ emptyset \ en S}
2. Si $${\ displaystyle E \ en S} y $${\ displaystyle F \ en S} entonces $${\ displaystyle E \ cap F \ en S}.
3. Si $${\ displaystyle E \ en S} y $${\ displaystyle F \ en S}entonces existe un número finito de conjuntos mutuamente desunidos $${\ displaystyle C_ {i} \ en S} para $${\ displaystyle i = 1, \ ldots, n} tal que $${\ displaystyle E \ setminus F = \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} C_ {i}}.

Tales semirings se usan en la teoría de la medida. Un ejemplo de un semiring de conjuntos es la colección de intervalos reales semicerrados, semicerrados $${\ displaystyle [a, b) \ subset \ mathbb {R}}.

Ejemplos específicos [ editar ]

• Las fracciones de terminación (no negativas) $${\ displaystyle {\ frac {\ mathbb {N} _ {0}} {b ^ {\ mathbb {N} _ {0}}}}: = \ left \ {mb ^ {- n} \ mid m \ in \ mathbb {N} _ {0} \ wedge n \ in \ mathbb {N} _ {0} \ right \}}en un sistema numérico posicional a una base dada$${\ displaystyle b \ in \ mathbb {N}}.
  Además, tenemos $${\ displaystyle {\ frac {\ mathbb {N} _ {0}} {b ^ {\ mathbb {N} _ {0}}}} \ subseteq {\ frac {\ mathbb {N} _ {0}} { c ^ {\ mathbb {N} _ {0}}}}}Si $${\ displaystyle b \ mid c}. Además,$${\ displaystyle {\ frac {\ mathbb {Z} _ {0}} {b ^ {\ mathbb {Z} _ {0}}}}: = {\ frac {\ mathbb {N} _ {0}} { b ^ {\ mathbb {N} _ {0}}}} \ cup \ left (- {\ frac {\ mathbb {N} _ {0}} {b ^ {\ mathbb {N} _ {0}}} }\Correcto)} Es el anillo de todas las fracciones de terminación a base. $${\ displaystyle b}que es denso en$${\ displaystyle \ mathbb {Q}} para {\ displaystyle | b |> 1}.
• Los números naturales extendidos N ∪ {∞} con suma y multiplicación extendidos (y 0⋅∞ = 0 ). ^[8]
• Dada una semired S , la matriz semiring $${\ displaystyle M_ {n} (S)}de la cuadrícula n- por- n las matrices forman un semiring bajo la suma y multiplicación ordinarias de matrices, y este semiring de matrices generalmente no es conmutativo aunque S puede ser conmutativo. Por ejemplo, las matrices con entradas no negativas,$${\ displaystyle M_ {n} (\ mathbb {N})}, formar una matriz semiring. ^[7]
• Si A es un monoide conmutativo, el Fin establecido ( A ) de los endomorfismos f  : A → A casi forma un semiaje, donde la adición es una adición puntual y la multiplicación es la composición de la función . El morfismo cero y la identidad son los elementos neutrales respectivos. Esto no es un verdadero semiaje, ya que la composición no se distribuye por la suma puntual: a · ( b + c ) ≠ ( a · b ) + ( a · c ) . Si unes el monoide aditivo de los números naturales que obtenemos la semiringulación de los números naturales como Fin ( A ), y si A = S ^ n con S a semiring, obtenemos (después de asociar cada morfismo a una matriz) la semiringura del cuadrado n -by - n matrices con coeficientes en s .
• La semilación booleana : la semirruta conmutativa B formada por el álgebra booleana de dos elementos y definida por 1 + 1 = 1 : ^{[3] [8] [9]} esto es idempotente ^[12] y es el ejemplo más simple de un semiring que es no un anillo Dados dos conjuntos X e Y , las relaciones binarias entre X e Y corresponden a matrices indexadas por X e Y con entradas en el semiring Booleano, la suma de matrices corresponde a la unión de relaciones y la multiplicación de matricesCorresponde a la composición de las relaciones . ^[13]
• Dado un conjunto U , el conjunto de relaciones binarias sobre U es un semiringuito con la unión (de relaciones como conjuntos) y la multiplicación de la composición de las relaciones . El cero de semiring es la relación vacía y su unidad es la relación de identidad . ^[14] Estas relaciones corresponden a la matriz semired(de hecho, matriz semialgebra) de matrices cuadradas indexadas por U con entradas en la semiringura booleana, y luego la suma y la multiplicación son las operaciones habituales de la matriz, mientras que cero y la unidad son la matriz cero usual y matriz de identidad .
• N [ x ], los polinomios con coeficientes de número natural forman un semiring conmutativo. De hecho, este es el libre semiring conmutativa en un solo generador { x }.
• Semirings tropicales se definen de diversas maneras. La semired máxima + R ∪ {−∞}, es una semiringuilla conmutativa, idempotente con max ( a , b ) que sirve como suma semiring (identidad −∞) y suma ordinaria (identidad 0) que sirve como multiplicación semiring. En una formulación alternativa, el semisado tropical es R ∪ {∞}, y min reemplaza a max como la operación de adición. ^[15] Una versión relacionada tiene R ∪ {± ∞}como conjunto subyacente. ^[3] [16]
• El conjunto de números cardinales más pequeños que cualquier cardinal infinito dado forman un semiringuito bajo suma y multiplicación cardinales. La clase de todos los cardenales de un modelo interno forma una semired (clase) bajo la suma y multiplicación cardinal (modelo interno).
• La probabilidad de conexión de números reales no negativos bajo la suma y multiplicación habituales. ^[3]
• El registro semiring en R ∪ ± ∞ con la adición dada por

  $${\ displaystyle x \ oplus y = - \ log (e ^ {- x} + e ^ {- y}) \,}

  con multiplicación +, elemento cero + ∞ y elemento unitario 0. ^[3]
• La familia de (clases de equivalencia de isomorfismo de) clases combinatorias (conjuntos de contables muchos objetos con tamaños enteros no negativos de manera que hay un número infinito de objetos de cada tamaño) con la clase vacía como el objeto cero, la clase que consiste solo en el vacío establecido como la unidad, unión desunida de clases como adición, y producto cartesiano de clases como multiplicación. ^[17]
• El semiringuito de Łukasiewicz : el intervalo cerrado [0, 1] con la suma dada al tomar el máximo de los argumentos ( a + b = max ( a , b ) ) y la multiplicación ab dada por max (0, a + b - 1) aparece En la lógica multivalor . ^[14]
• El semiringuito de Viterbi también está sobre el conjunto base [0, 1] y la suma por máximo, pero con la multiplicación como la multiplicación usual de reales; aparece en el análisis probabilístico . ^[14]
• Dado un alfabeto (conjunto finito) Σ, el conjunto de lenguajes formales sobre Σ (subconjuntos de Σ ^∗ ) es un semiring con producto inducido por concatenación de cadenas $${\ displaystyle L_ {1} \ cdot L_ {2} = \ left \ {w_ {1} w_ {2} \ mid w_ {1} \ en L_ {1}, w_ {2} \ en L_ {2} \ Correcto\}}y la adición como la unión de idiomas (es decir, simplemente la unión como conjuntos). El cero de este semiring es el conjunto vacío (idioma vacío) y la unidad de semiring es el idioma que contiene como único elemento la cadena vacía . ^[14]
• Generalizando el ejemplo anterior (al ver Σ ^∗ como el monoide libre sobre Σ), tome M como cualquier monoide; el conjunto de potencias P M de todos los subconjuntos de M forma una semired bajo una unión teórica de conjuntos como suma y multiplicación por setos$${\ displaystyle U \ cdot V = \ {u \ cdot v: u \ en U, \ v \ en V \}}. ^[9]
• Del mismo modo, si $${\ displaystyle (M, e, \ cdot)}es un monoide, entonces el conjunto de multisets finitos en$${\ displaystyle M}Forma un semiringuito. Es decir, un elemento es una función.$${\ displaystyle f: M \ to \ mathbb {N}}; dado un elemento de$${\ displaystyle M}, la función le dice cuántas veces ese elemento ocurre en el multiset que representa. La unidad aditiva es la función de cero constante. La unidad multiplicativa es la función de mapeo.$${\ displaystyle e} a 1, y todos los demás elementos de $${\ displaystyle M} a 0. La suma viene dada por $${\ displaystyle (f + g) (x) = f (x) + g (x)} y el producto viene dado por $${\ displaystyle (fg) (x) = \ sum \ {f (y) g (z) \ mid y \ cdot z = x \}}.

Variaciones [ editar ]

Un semiring conmutativo es aquel cuya multiplicación es conmutativa . ^[18]

Un semiringuito idempotente es aquel cuya adición es idempotente : a + a = a , ^[12] es decir, ( R , +, 0) es una semilattice de unión con cero .

Semirings completos y continuos [ editar ]

Un semiringuito completo es un semiringuito para el que el monoide de adición es un monoide completo , lo que significa que tiene una operación de suma infinita Σ _I para cualquier conjunto de índices I y que deben cumplir las siguientes leyes distributivas (infinitas): ^{[16] [14] [ 19]}

$${\ displaystyle \ sum _ {i \ en I} {\ left (a \ cdot a_ {i} \ right)} = a \ cdot \ left (\ sum _ {i \ in I} {a_ {i}} \ derecha); \ quad \ sum _ {i \ en I} {\ left (a_ {i} \ cdot a \ right)} = \ left (\ sum _ {i \ en I} {a_ {i}} \ right ) \ cdot a.}

Los ejemplos de semirings completos incluyen el conjunto de potencias de un monoide en unión; La matriz semired sobre un semiring completo está completa. ^[20]

Una semigrabación continua se define de manera similar como aquella para la cual el monoide de adición es un monoide continuo : es decir, parcialmente ordenado con la propiedad de los límites mínimos superiores, y para la cual la suma y la multiplicación respetan el orden y el suprema. El semiring N ∪ {∞} con la suma, multiplicación y orden extendidos, es un semiring continuo. ^[21]

Cualquier semiringuito continuo está completo: ^[16] esto puede tomarse como parte de la definición. ^[20]

Semirings estrella [ editar ]

Un semiringeado de estrellas (a veces escrito como un emblema de estrellas ) es un semiringuito con un operador unario adicional ^∗ , ^{[12] [14] [22] [23]} satisfactorio

$${\ displaystyle a ^ {*} = 1 + aa ^ {*} = 1 + a ^ {*} a.}

Un álgebra de Kleene es una estrella en semired con una adición idempotente: son importantes en la teoría de los lenguajes formales y las expresiones regulares . ^[14]

Completas semirings estrella [ editar ]

Definimos una noción de semired completa de estrellas en la que el operador estrella se comporta más como la estrella Kleene habitual : para una semiringura completa usamos el operador de suma infinita para dar la definición habitual de la estrella Kleene: ^[14]

{\ displaystyle a ^ {*} = \ sum _ {j \ geq 0} {a ^ {j}} \ mid a ^ {j} = {\ begin {cases} 1 & j = 0 \\ a \ cdot a ^ { j-1} = a ^ {j-1} \ cdot a & j> 0 \ end {cases}}}

Conway semiring [ editar ]

Una semifinal de Conway es una semired que satisface las ecuaciones de suma-estrella y producto-estrella: ^[12] [24]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} (a + b) ^ {*} & = \ left (a ^ {*} b \ right) ^ {*} a ^ {*}, \\ (ab) ^ {* } & = 1 + a (ba) ^ {*} b. \ End {alineado}}}

En general, cada semired star completo es también un semiring Conway, ^[25] pero lo contrario no se cumple. Un ejemplo de semiconificación de Conway que no está completo es el conjunto de números racionales no negativos extendidos ( {x ∈ Q | x ≥ 0} ∪ {∞} ) con la suma y multiplicación habituales (esta es una modificación del ejemplo con extensión reales no negativos dados en esta sección al eliminar números irracionales). ^[14]

Un semiring de iteración es un semiring Conway que satisface los axiomas del grupo de Conway, ^[12] asociado por John Conway a grupos en semirremios en estrella. ^[26]

Ejemplos [ editar ]

Ejemplos de semirings en estrella incluyen:

• el semired ( antes mencionado ) de relaciones binarias sobre algún conjunto de base U en el cual$${\ displaystyle R ^ {*} = \ bigcup _ {n \ geq 0} R ^ {n}} para todos $${\ displaystyle R \ subseteq U \ times U}. Esta operación en estrella es en realidad el cierre reflexivo y transitivo de R (es decir, la relación binaria reflexiva y transitiva más pequeña sobre U que contiene R ). ^[14]
• el semiring de los lenguajes formales es también una semired completa, con la operación de la estrella coincidiendo con la estrella de Kleene (para conjuntos / idiomas). ^[14]
• El conjunto de reales extendidos no negativos , [0, ∞] , junto con la suma y multiplicación de reales, es una semired completa de estrellas con la operación en estrella dada por a ^∗ = 1 / (1 - a ) para 0 ≤ a < 1 (es decir, la serie geométrica ) y a ^∗ = ∞ para a ≥ 1 . ^[14]
• El semiringuito booleano con 0 ^∗ = 1 ^∗ = 1 . ^[a] [14]
• El semiringeado en N ∪ {∞}, con suma y multiplicación extendidas, y 0 ^∗ = 1 , a ^∗ = ∞ para a ≥ 1 . ^[a] [14]

1. ^ Saltar a:^a b The es una semired completa de la estrella y, por lo tanto, una semiring Conway. ^[14]

Dioide [ editar ]

El término dioido (para "doble monoide") se ha utilizado para significar varios tipos de semirremolques:

• Fue utilizado por Kuntzman en 1972 para denotar lo que ahora se denomina semiring. ^[27]
• El uso para significar subgrupo idempotente fue introducido por Baccelli et al. en 1992. ^[28]
• El nombre "dioid" también se usa a veces para denotar semirings ordenados naturalmente . ^[29]

Generalizaciones [ editar ]

Una generalización de semirings no requiere la existencia de una identidad multiplicativa, por lo que la multiplicación es un semigrupo en lugar de un monoide. Tales estructuras se denominan dobladillos ^[30] o semirremolques . ^[31] Otra generalización son los pre-semirremolques a la izquierda , ^[32] que adicionalmente no requieren distributividad derecha (o los pre-semirratos a la derecha , que no requieren distributividad a la izquierda).

Sin embargo, otra generalización son las semirredes : además de no requerir un elemento neutro para el producto, o la distributividad de la derecha (o la distributividad de la izquierda), no requieren que la adición sea conmutativa. Así como los números cardinales forman una semired (clase), los números ordinales forman un círculo cercano , cuando se tienen en cuenta la suma y multiplicación ordinales estándar . Sin embargo, la clase de ordinales se puede convertir en un semiringuito considerando las llamadas operaciones naturales (o Hessenberg) en su lugar.

En la teoría de categorías , un 2-rig es una categoría con operaciones funcionales similares a las de un rig. El hecho de que los números cardinales formen una plataforma puede clasificarse para decir que la categoría de conjuntos (o más generalmente, cualquier topos ) es una plataforma 2.