LISTA DE TEMAS MATEMÁTICOS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

álgebra sobre un campo (a menudo llamado simplemente álgebra ) es un espacio vectorial equipado con un producto bilineal . Por lo tanto, un álgebra es una estructura algebraica , que consiste en un conjunto , junto con operaciones de multiplicación, adición y multiplicación escalar por elementos del campo subyacente , y satisface los axiomas implicados por "espacio vectorial" y "bilineal". ^[1]

La operación de multiplicación en un álgebra puede o no ser asociativa , lo que lleva a las nociones de álgebra asociativa y álgebra no asociativa . Dado un entero n , el anillo de matrices cuadradas reales de orden n es un ejemplo de un álgebra asociativa sobre el campo de los números reales bajo la suma de la matriz y la multiplicación de lamatriz, ya que la multiplicación de la matriz es asociativa. Espacio euclidiano tridimensional con multiplicación dada por el producto cruzado vectoriales un ejemplo de un álgebra no asociativa sobre el campo de los números reales, ya que el producto cruzado vectorial no es asociativo, satisfaciendo la identidad de Jacobi en su lugar.

Un álgebra es unital o unitaria si tiene un elemento de identidad con respecto a la multiplicación. El anillo de matrices cuadradas reales de orden n forma un álgebra unital ya que la matriz de identidad de orden n es el elemento de identidad con respecto a la multiplicación de matrices. Es un ejemplo de un álgebra asociativa unital, un anillo (unital) que también es un espacio vectorial.

Muchos autores usan el término álgebra para referirse a álgebra asociativa , o álgebra asociativa unital , o en algunos temas como la geometría algebraica , el álgebra conmutativa asociativa unital .

Reemplazar el campo de los escalares por un anillo conmutativo conduce a la noción más general de un álgebra sobre un anillo . Los álgebras no se deben confundir con espacios vectoriales equipados con una forma bilineal , como espacios interiores de productos , ya que, para ese espacio, el resultado de un producto no está en el espacio, sino en el campo de los coeficientes.

Definición y motivación [ editar ]

Primer ejemplo: los números complejos [ editar ]

Cualquier número complejo puede escribirse un + bi , donde un y b son números reales y i es la unidad imaginaria . En otras palabras, un número complejo está representado por el vector ( a , b ) sobre el campo de los números reales. Así que los números complejos forman un espacio vectorial real bidimensional, donde la suma viene dada por ( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d) Y la multiplicación escalar es dada por c ( un , b ) = ( ca , cb ), donde todos un , b , c y d son números reales. Usamos el símbolo · para multiplicar dos vectores juntos, que usamos multiplicación compleja para definir: ( a , b ) · ( c , d ) = ( ac - bd , ad + bc ).

Las siguientes afirmaciones son propiedades básicas de los números complejos. Si x , y , z son números complejos y a, b son números reales, entonces

• ( x + y ) · z = ( x · z ) + ( y · z ). En otras palabras, multiplicar un número complejo por la suma de otros dos números complejos, es lo mismo que multiplicar por cada número en la suma, y ​​luego sumar.
• ( a x ) · ( b y ) = ( ab ) ( x · y ). Esto muestra que la multiplicación compleja es compatible con la multiplicación escalar por los números reales.

Este ejemplo se ajusta a la siguiente definición al tomar el campo K como los números reales y el espacio vectorial A como los números complejos.

Definición [ editar ]

Sea K un campo y A sea ​​un espacio vectorial sobre K equipado con una operación binaria adicional de A × A a A, indicada aquí por · (es decir, si x e y son dos elementos de A , x · y es el producto de x y y ). Entonces A es un álgebra sobre K si las siguientes identidades son válidas para todos los elementos x , y , yz de A , y todos los elementos (a menudo llamados escalares ) a y b de K :

• Distribución derecha : ( x + y ) · z = x · z + y · z
• Distribución izquierda: x · ( y + z ) = x · y + x · z
• Compatibilidad con escalares: ( a x ) · ( b y ) = ( ab ) ( x · y ).

Estos tres axiomas son otra forma de decir que la operación binaria es bilineal . Un álgebra sobre K veces también se llama una K-álgebra , y K es llamado el campo de base de A . La operación binaria se refiere a menudo como la multiplicación en A . La convención adoptada en este artículo es que la multiplicación de elementos de un álgebra no es necesariamente asociativa , aunque algunos autores usan el término álgebra para referirse a un álgebra asociativa .

Observe que cuando una operación binaria en un espacio vectorial es conmutativa , como en el ejemplo anterior de los números complejos, se deja distributivo exactamente cuando es distributivo correcto. Pero en general, para las operaciones no conmutativas (como el siguiente ejemplo de los cuaterniones), no son equivalentes y, por lo tanto, requieren axiomas separados.

Un ejemplo motivador: quaternions [ editar ]

Artículo principal: Quaternion

Los números reales pueden ser vistos como un uno espacio dimensional vector con una multiplicación compatible, y por lo tanto un álgebra unidimensional sobre sí misma. Del mismo modo, como hemos visto anteriormente, los números complejos forman un dos espacio vectorial dimensional sobre el campo de los números reales, y por lo tanto forman un álgebra de dos dimensiones sobre los reales. En ambos ejemplos, cada vector que no es cero tiene un inverso , lo que los convierte en dos álgebras de división . Aunque no existen álgebras divisorias en 3 dimensiones, en 1843, los cuaternionesse definieron y proporcionaron el ahora famoso ejemplo tridimensional de un álgebra sobre los números reales, donde uno no solo puede multiplicar vectores, sino también dividir. Cualquier cuaternión puede escribirse como ( a , b , c , d ) = a + b i + c j + d k . A diferencia de los números complejos, los cuaterniones son un ejemplo de un álgebra no conmutativa : por ejemplo, (0,1,0,0) · (0,0,1,0) = (0,0,0,1) pero (0,0,1,0) · (0,1,0,0) = (0,0,0, −1).

Los cuaterniones pronto fueron seguidos por varios otros sistemas numéricos hipercomplejos , que fueron los primeros ejemplos de álgebras en un campo.

Otro ejemplo motivador: el producto cruzado [ editar ]

Artículo principal: Producto cruzado.

Los ejemplos anteriores son álgebras asociativas. Un ejemplo de un álgebra no asociativa es un espacio vectorial tridimensional equipado con el producto cruzado . Este es un ejemplo simple de una clase de álgebras no asociativas, que se usa ampliamente en matemáticas y física , las álgebras de Lie .

Conceptos básicos [ editar ]

Homomorfismos de álgebra [ editar ]

Artículo principal: homomorfismo de álgebra.

Dada K -álgebras A y B , un K -algebra homomorfismo es un K - mapa lineal f : A → B tal que f ( xy ) = f ( x ) f ( y) para todas las x , y en A . El espacio de todos los homomorfismos de álgebra K entre A y B se escribe con frecuencia como

$${\ displaystyle \ mathbf {Hom} _ {K {\ text {-alg}}} (A, B).}

Un isomorfismo de álgebra K es un homomorfismo de álgebra K biyectivo . Para todos los propósitos prácticos, las álgebras isomorfas se diferencian solo por notación.

Subalgebras e ideales [ editar ]

Artículo principal: Subestructura (matemáticas)

Una subálgebra de un álgebra sobre un campo K es un subespacio lineal que tiene la propiedad de que el producto de cualquiera de sus dos elementos está nuevamente en el subespacio. En otras palabras, una subalgebra de un álgebra es un subconjunto de elementos que se cierra bajo la suma, la multiplicación y la multiplicación escalar. En símbolos, decimos que un subconjunto L de un K -algebra A es un subálgebra si para cada x , y en L y C en K , se tiene que x · y , x + y , y cxestán todos en L .

En el ejemplo anterior de los números complejos vistos como un álgebra bidimensional sobre los números reales, la línea real unidimensional es una subalgebra.

Un ideal izquierdo de un K -algebra es un subespacio lineal que tiene la propiedad de que cualquier elemento del subespacio multiplicado a la izquierda por cualquier elemento del álgebra produce un elemento del subespacio. En símbolos, se dice que un subconjunto L de un K -álgebra A es un ideal a izquierda si para cada x e y en L , Zen A y C en K , tenemos los siguientes tres estados.

• 1) x + y está en L ( L está cerrado por adición),
• 2) cx está en L ( L está cerrado bajo la multiplicación escalar),
• 3) z · x está en L ( L está cerrado bajo la multiplicación de la izquierda por elementos arbitrarios).

Si (3) se reemplazara con x · z está en L , entonces esto definiría un ideal correcto . Un ideal de dos caras es un subconjunto que es un ideal tanto a la izquierda como a la derecha. El término ideal en sí mismo generalmente se toma para significar un ideal de dos caras. Por supuesto, cuando el álgebra es conmutativa, entonces todas estas nociones de ideal son equivalentes. Observe que las condiciones (1) y (2) juntos son equivalentes a L ser un subespacio lineal de A . De la condición (3) se deduce que cada ideal de izquierda o derecha es una subalgebra.

Es importante notar que esta definición es diferente de la definición de un ideal de un anillo , ya que aquí requerimos la condición (2). Por supuesto, si el álgebra es unital, entonces la condición (3) implica la condición (2).

Extensión de los escalares [ editar ]

Artículo principal: Extensión de los escalares.

Si tenemos una extensión de terreno de F / K , es decir, un campo grande F que contiene K , entonces no es una forma natural para construir un álgebra sobre F desde cualquier álgebra sobre K . Es la misma construcción que se usa para hacer un espacio vectorial sobre un campo más grande, a saber, el producto tensorial$${\ displaystyle V_ {F}: = V \ otimes _ {K} F}. Entonces, si A es un álgebra sobre K , entonces$${\ displaystyle A_ {F}}es un álgebra sobre F .

Tipos de álgebras y ejemplos [ editar ]

Álgebras sobre campos vienen en muchos tipos diferentes. Estos tipos se especifican insistiendo en algunos axiomas adicionales, como la conmutatividad o la asociatividad de la operación de multiplicación, que no se requieren en la definición amplia de un álgebra. Las teorías correspondientes a los diferentes tipos de álgebras son a menudo muy diferentes.

Álgebra unital [ editar ]

Un álgebra es unital o unitaria si tiene una unidad o elemento de identidad I con Ix = x = xI para todas las x en el álgebra.

Álgebra cero [ editar ]

Un álgebra se llama álgebra cero si uv = 0 para todos u , v en el álgebra, ^[2] no debe confundirse con el álgebra con un elemento. Es inherentemente no unital (excepto en el caso de un solo elemento), asociativo y conmutativo.

Uno puede definir un álgebra cero unital tomando la suma directa de los módulos de un campo (o más generalmente un anillo) K y un espacio K- vector (o módulo) V , y definiendo el producto de cada par de elementos de V a ser cero. Es decir, si λ , μ ∈ K y u , v ∈ V , entonces ( λ + u ) ( μ + v ) = λμ + ( λv + μu ) . Si e ₁, ... e _d es una base de V , el álgebra cero unital es el cociente del anillo polinomial K [ E ₁ , ..., E _n ] por el idealgenerado por E _i E _j para cada par ( i , j ) .

Un ejemplo de álgebra cero unital es el álgebra de números duales , la álgebra R unital cero construida a partir de un espacio vectorial real unidimensional.

Estas álgebras cero unitales pueden ser más útiles en general, ya que permiten traducir cualquier propiedad general de las álgebras a propiedades de espacios o módulos vectoriales . Por ejemplo, la teoría de las bases de Gröbner fue introducida por Bruno Buchberger para ideales en un anillo polinomial R = K [ x ₁ , ..., x _n ] sobre un campo. La construcción del álgebra cero unital sobre una R libre.-módulo permite extender esta teoría como una teoría de base de Gröbner para submódulos de un módulo libre. Esta extensión permite, para calcular una base de Gröbner de un submódulo, utilizar, sin ninguna modificación, cualquier algoritmo y cualquier software para calcular las bases de ideales de Gröbner.

Álgebra asociativa [ editar ]

Artículo principal: Álgebra asociativa.

• el álgebra de todo n -by- n matrices sobre el campo (o anillo conmutativo) K . Aquí la multiplicación es la multiplicación ordinaria de matrices .
• Álgebra grupal , donde un grupo sirve como base del espacio vectorial y la multiplicación de álgebra extiende la multiplicación grupal.
• el álgebra conmutativa K [ x ] de todos los polinomios sobre K (ver anillo polinomial ).
• álgebra de funciones , como la R- álgebra de todas las funciones continuas de valor real definidas en el intervalo [0,1], o la C -algebra de todas las funciones holomorfas definidas en algún conjunto abierto fijo en el plano complejo . Estos también son conmutativos.
• Las álgebras de incidencia se construyen sobre ciertos conjuntos parcialmente ordenados .
• álgebras de operadores lineales , por ejemplo en un espacio de Hilbert . Aquí la multiplicación de álgebra viene dada por la composición de los operadores. Estas álgebras también llevan una topología ; muchos de ellos se definen en un espacio de Banach subyacente , que los convierte en álgebras de Banach . Si también se da una involución, obtenemos B * -algebras y C * -algebras . Estos son estudiados en el análisis funcional .

Álgebra no asociativa [ editar ]

Artículo principal: Álgebra no asociativa.

Un álgebra no asociativa ^[3] (o álgebra distributiva ) sobre un campo K es un espacio K- vector A equipado con un mapa K - bilineal $${\ displaystyle A \ times A \ rightarrow A}. El uso de "no asociativo" aquí significa que la asociatividad no se asume, pero no significa que esté prohibida. Es decir, significa "no necesariamente asociativo".

Ejemplos detallados en el artículo principal incluyen:

• Octoniones
• Mentiras álgebras
• Álgebras de Jordania
• Álgebras alternativas
• Álgebras flexibles
• Álgebras asociativas de poder

Álgebras y anillos [ editar ]

La definición de un K -algebra asociativa con unidad también se da con frecuencia de una manera alternativa. En este caso, un álgebra sobre un campo K es un anillo A junto con un anillo homomorfismo

$${\ displaystyle \ eta \ colon K \ to Z (A),}

donde Z ( A ) es el centro de A . Como η es un morfismo de anillo, entonces uno debe tener que A es el anillo de cero o que η es inyectivo . Esta definición es equivalente a la anterior, con multiplicación escalar.

$${\ displaystyle K \ times A \ to A}

dada por

$${\ displaystyle (k, a) \ mapsto \ eta (k) a.}

Dados dos tales asociativo unital K -álgebras A y B , un unital K -algebra morfismo f : A → B es un morfismo anillo que conmuta con la multiplicación escalar definido por η , que uno puede escribir como

$${\ displaystyle f (ka) = kf (a)}

para todos $${\ displaystyle k \ en K} y $${\ displaystyle a \ in A}. En otras palabras, el siguiente diagrama conmuta:

{\ displaystyle {\ begin {matrix} && K && \\ & \ eta _ {A} \ swarrow & \, & \ eta _ {B} \ searrow & \\ A && {\ begin {matrix} f \\\ longrightarrow \ end {matrix}} && B \ end {matrix}}}

Coeficientes de estructura [ editar ]

Artículo principal: Constantes de estructura.

Para álgebra de más de un campo, la multiplicación bilineal de A × A a A está completamente determinada por la multiplicación de base elementos de A . A la inversa, una vez que se ha elegido una base para A , los productos de los elementos básicos pueden establecerse arbitrariamente y luego extenderse de manera única a un operador bilineal en A , es decir, la multiplicación resultante satisface las leyes de álgebra.

Por lo tanto, dado el campo K , cualquier álgebra de dimensión finita se puede especificar hasta el isomorfismo al dar su dimensión (digamos n ), y especificar n ³ coeficientes de estructura c _{i , j , k} , que son escalares . Estos coeficientes de estructura determinan la multiplicación en A mediante la siguiente regla:

$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ mathbf {e} _ {j} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} c_ {i, j, k} \ mathbf {e} _ {k }}

donde e ₁ , ..., e _n forman una base de A .

Sin embargo, tenga en cuenta que varios conjuntos diferentes de coeficientes de estructura pueden dar lugar a álgebras isomorfas.

En la física matemática , los coeficientes de estructura generalmente se escriben con índices superiores e inferiores, a fin de distinguir sus propiedades de transformación en las transformaciones de coordenadas. Específicamente, los índices más bajos son índices covariantes y se transforman a través de retrocesos , mientras que los índices superiores son contravariantes , y se transforman bajo presión . Por lo tanto, los coeficientes de estructura a menudo se escriben c _i , j ^k , y su regla de definición se escribe usando la notación de Einstein como

e _i e _j = c _i , j ^k e _k .

Si aplica esto a los vectores escritos en notación de índice , entonces esto se convierte en

( xy ) ^k = c _i , j ^k x ⁱ y ^j .

Si K es solamente un anillo conmutativo y no un campo, entonces el mismo proceso funciona si A es un módulo libre sobre K . Si no lo es, entonces la multiplicación todavía está completamente determinada por su acción en un conjunto que abarca A ; sin embargo, las constantes de estructura no pueden especificarse arbitrariamente en este caso, y conocer solo las constantes de estructura no especifica el álgebra hasta el isomorfismo.

Clasificación de las álgebras de baja dimensión [ editar ]

Las álgebras asociativas unitales bidimensionales, tridimensionales y cuatridimensionales sobre el campo de los números complejos se clasificaron completamente hasta el isomorfismo por el Estudio de Eduard . ^[4]

Existen dos álgebras bidimensionales. Cada álgebra consta de combinaciones lineales (con coeficientes complejos) de dos elementos básicos, 1 (el elemento de identidad) y a . Según la definición de un elemento de identidad,

$${\ displaystyle \ textstyle 1 \ cdot 1 = 1 \ ,, \ quad 1 \ cdot a = a \ ,, \ quad a \ cdot 1 = a \ ,.}

Queda por especificar

$${\ displaystyle \ textstyle aa = 1}   para el primer álgebra,

$${\ displaystyle \ textstyle aa = 0}   para el segundo álgebra.

Existen cinco álgebras tridimensionales. Cada álgebra consta de combinaciones lineales de tres elementos de la base, 1 (el elemento de identidad), una y b . Teniendo en cuenta la definición de un elemento de identidad, basta con especificar

$${\ displaystyle \ textstyle aa = a \ ,, \ quad bb = b \ ,, \ quad ab = ba = 0}   para el primer álgebra,

$${\ displaystyle \ textstyle aa = a \ ,, \ quad bb = 0 \ ,, \ quad ab = ba = 0}   para el segundo álgebra,

$${\ displaystyle \ textstyle aa = b \ ,, \ quad bb = 0 \ ,, \ quad ab = ba = 0}   para el tercer álgebra,

$${\ displaystyle \ textstyle aa = 1 \ ,, \ quad bb = 0 \ ,, \ quad ab = -ba = b}   para el cuarto álgebra,

$${\ displaystyle \ textstyle aa = 0 \ ,, \ quad bb = 0 \ ,, \ quad ab = ba = 0}   para el quinto álgebra.

El cuarto álgebra no es conmutativo, otros son conmutativos.

Generalización: álgebra sobre un anillo [ editar ]

En algunas áreas de las matemáticas, como el álgebra conmutativa , es común considerar el concepto más general de un álgebra sobre un anillo , en donde un anillo conmutativo unital R reemplaza el campo K . La única parte de la definición que cambia es que se asume que A es un módulo R (en lugar de un espacio vectorial sobre K ).

Álgebras asociativas sobre los anillos [ editar ]

Artículo principal: Álgebra asociativa.

Un anillo A es siempre un álgebra asociativa sobre su centro y sobre los enteros . Un ejemplo clásico de un álgebra sobre su centro, es el álgebra de biquaternión dividido , que es isomorfo para$${\ displaystyle \ mathbb {H} \ times \ mathbb {H}}, el producto directo de dos álgebras de cuaternión . El centro de ese anillo es$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}}, y por lo tanto tiene la estructura de un álgebra sobre su centro, que no es un campo. Tenga en cuenta que el álgebra de biquaternión dividido también es naturalmente un 8-dimensional$${\ displaystyle \ mathbb {R}}-álgebra.

En el álgebra conmutativa, si A es un anillo conmutativo , entonces cualquier homomorfismo de anillo unital$${\ displaystyle R \ a A}define una estructura de R- módulo en A , y esto es lo que se conoce como la estructura de R -algebra. ^[5] Así que un anillo viene con un natural$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}-módulo de estructura, ya que se puede tomar el homomorfismo único. $${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ a A.}^[6] Por otro lado, no todos los anillos pueden recibir la estructura de un álgebra sobre un campo (por ejemplo, los enteros). Vea el campo con un elemento , para intentar dar a cada anillo una estructura que se comporte como un álgebra sobre un campo.