LISTA DE TEMAS MATEMÁTICOS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

el teorema de Cayley , llamado así en honor a Arthur Cayley , indica que cada grupo Ges isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico actúa sobre G . ^[1] Esto se puede entender como un ejemplo de la acción de grupo de G en los elementos de G . ^[2]

Una permutación de un conjunto G es cualquier función biyectiva que lleva G a G ; y el conjunto de todas estas funciones forma un grupo bajo la composición de la función , llamado grupo simétrico en G , y escrito como Sym ( G ). ^[3]

El teorema de Cayley coloca a todos los grupos en la misma base, considerando cualquier grupo (incluidos los grupos infinitos como ( R , +)) como un grupo de permutación de algún conjunto subyacente. Por lo tanto, los teoremas que son verdaderos para los subgrupos de grupos de permutación son verdaderos para los grupos en general. Sin embargo, Alperin y Bell señalan que "en general, el hecho de que los grupos finitos estén integrados en grupos simétricos no ha influido en los métodos utilizados para estudiar los grupos finitos". ^[4]

La acción regular utilizada en la prueba estándar del teorema de Cayley no produce la representación de G en un grupo de permutación de orden mínimo . Por ejemplo,$${\ displaystyle S_ {3}}, en sí ya un grupo simétrico de orden 6, estaría representado por la acción regular como un subgrupo de $${\ displaystyle S_ {6}}(un grupo de orden 720). ^[5] El problema de encontrar una incorporación de un grupo en un grupo simétrico de orden mínimo es bastante más difícil.

Historia [ editar ]

Si bien parece lo suficientemente elemental, debe notarse que en ese momento no existían las definiciones modernas, y cuando Cayley introdujo lo que ahora se llama grupos, no quedó claro de inmediato que esto fuera equivalente a los grupos conocidos anteriormente, que son ahora se llama grupos de permutación . El teorema de Cayley unifica los dos.

Aunque Burnside ^[8] atribuye el teorema a Jordan , ^[9] Eric Nummela ^[10], sin embargo, argumenta que el nombre estándar, "Teorema de Cayley", es de hecho apropiado. Cayley, en su artículo original de 1854, ^[11] demostró que la correspondencia en el teorema es uno a uno, pero no demostró explícitamente que se trataba de un homomorfismo (y, por lo tanto, de una incrustación). Sin embargo, Nummela señala que Cayley dio a conocer este resultado a la comunidad matemática en ese momento, por lo que es anterior a Jordan por 16 años aproximadamente.

El teorema fue publicado más tarde por Walther Dyck en 1882 ^[12] y se atribuye a Dyck en la primera edición del libro de Burnside. ^[13]

Demostración del teorema [ editar ]

Si g es cualquier elemento de un grupo G con operación ∗, considere la función f _g  : G → G , definida por f _g ( x ) = g ∗ x . Por la existencia de inversos, esta función tiene un inverso de dos caras,$${\ displaystyle f_ {g ^ {- 1}}}. Entonces la multiplicación por g actúa como una función biyectiva . Por lo tanto, f _g es una permutación de G , y también lo es un miembro de Sym ( G ).

El conjunto K = { f _g  : g ∈ G } es un subgrupo de Sym ( G ) que es isomorfo a G . La forma más rápida de establecer esto es considerar la función T  : G → Sym ( G ) con T ( g ) = f _g por cada g en G . T es un homomorfismo de grupo porque (usando · para denotar la composición en Sym ( G )):

$${\ displaystyle (f_ {g} \ cdot f_ {h}) (x) = f_ {g} (f_ {h} (x)) = f_ {g} (h * x) = g * (h * x) = (g * h) * x = f_ {g * h} (x),}

para todo x en G , y por lo tanto:

$${\ displaystyle T (g) \ cdot T (h) = f_ {g} \ cdot f_ {h} = f_ {g * h} = T (g * h).}

El homomorfismo T es inyectivo, ya que T ( g ) = id _G (el elemento de identidad de Sym ( G )) implica que g ∗ x = x para todo x en G , y que x sea ​​el elemento de identidad e de G produce g = g ∗ e = e , es decir, el núcleo es trivial. Alternativamente, T también es inyectiva ya que g ∗ x =g ′ ∗ x implica que g = g ′ (porque cada grupo escancelativo ).

Por lo tanto G es isomorfo a la imagen de T , que es el subgrupo K .

T a veces se llama la representación regular de G .

Configuración alternativa de la prueba [ editar ]

Una configuración alternativa utiliza el lenguaje de las acciones grupales . Consideramos el grupo$${\ displaystyle G} como un conjunto G, que se puede demostrar que tiene representación de permutación, por ejemplo $${\ displaystyle \ phi}.

En primer lugar, supongamos $${\ displaystyle G = G / H} con $${\ displaystyle H = \ {e \}}. Entonces la acción de grupo es$${\ displaystyle ge}por clasificación de las órbitas G (también conocido como teorema del estabilizador de la órbita).

Ahora, la representación es fiel si $${\ displaystyle \ phi} es inyectivo, es decir, si el núcleo de $${\ displaystyle \ phi}es trivial Suponer$${\ displaystyle g \ in \ ker \ phi} Entonces, $${\ displaystyle g = ge = \ phi (g) .e}por la equivalencia de la representación de permutación y la acción de grupo. Pero desde$${\ displaystyle g \ in \ ker \ phi}, $${\ displaystyle \ phi (g) = e} y por lo tanto $${\ displaystyle \ ker \ phi}es trivial Entonces{\ displaystyle \ mathrm {Im} \ phi y así el resultado se sigue utilizando el primer teorema de isomorfismo .

Comentarios sobre la representación del grupo regular [ editar ]

El elemento de grupo de identidad corresponde a la permutación de identidad. Todos los demás elementos del grupo corresponden a desajustes : permutaciones que no dejan ningún elemento sin cambios. Como esto también se aplica a las potencias de un elemento de grupo, más bajo que el orden de ese elemento, cada elemento corresponde a una permutación que consiste en ciclos de la misma longitud: esta longitud es el orden de ese elemento. Los elementos de cada ciclo forman un coset correcto del subgrupo generado por el elemento.

Ejemplos de la representación de grupo regular [ editar ]

Z ₂ = {0,1} con módulo de adición 2; el elemento de grupo 0 corresponde a la permutación de identidad e, el elemento de grupo 1 a permutación (12). Por ejemplo, 0 +1 = 1 y 1 + 1 = 0, así que 1 -> 0 y 0 -> 1, como lo harían bajo una permutación.

Z ₃ = {0,1,2} con módulo de adición 3; el elemento de grupo 0 corresponde a la permutación de identidad e, el elemento de grupo 1 a permutación (123) y el elemento de grupo 2 a permutación (132). Por ejemplo, 1 + 1 = 2 corresponde a (123) (123) = (132).

Z ₄ = {0,1,2,3} con módulo de adición 4; los elementos corresponden a e, (1234), (13) (24), (1432).

Los elementos de los cuatro grupos de Klein {e, a, b, c} corresponden a e, (12) (34), (13) (24) y (14) (23).

S ₃ ( grupo diédrico de orden 6 ) es el grupo de todas las permutaciones de 3 objetos, pero también un grupo de permutación de los 6 elementos del grupo, y este último es cómo se realiza mediante su representación regular.

*	mi	una	segundo	do	re	F	permutación
mi	mi	una	segundo	do	re	F	mi
una	una	mi	re	F	segundo	do	(12) (35) (46)
segundo	segundo	F	mi	re	do	una	(13) (26) (45)
do	do	re	F	mi	una	segundo	(14) (25) (36)
re	re	do	una	segundo	F	mi	(156) (243)
F	F	segundo	do	una	mi	re	(165) (234)

Declaración más general del teorema [ editar ]

Una declaración más general del teorema de Cayley consiste en considerar el núcleo de un grupo arbitrario$${\ displaystyle G}. En general si$${\ displaystyle G} es un grupo y $${\ displaystyle H} es un subgrupo con {\ displaystyle | G: H | <\ infty}, entonces $${\ displaystyle G / Core_ {G} (H)} es isomorfo a un subgrupo de $${\ displaystyle \ Sigma _ {| G: H |}}. En particular si$${\ displaystyle G} Es un grupo finito y nos propusimos $${\ displaystyle H = 1} Entonces obtenemos el resultado clásico.

El lema de Burnside , a veces también llamado teorema de conteo de Burnside , el lema de Cauchy-Frobenius , el teorema de conteo de órbitas o el Lemma que no es de Burnside , es un resultado en la teoría de grupos que a menudo es útil para tener en cuenta la simetría cuando se cuentan objetos matemáticos. Sus diversos epónimos se basan en William Burnside , George Pólya , Augustin Louis Cauchy y Ferdinand Georg Frobenius . El resultado no se debe al propio Burnside, quien simplemente lo cita en su libro "Sobre la teoría de los grupos de orden finito", y lo atribuye a Frobenius (1887). ^[1]

En lo que sigue, vamos G sea un finito grupo que actúa sobre un conjunto X . Para cada g en G, digamos que X ^gdenota el conjunto de elementos en X que están fijados por g (también se dice que quedan invariantes por g ), es decir, X ^g = { x ∈ X | g . x = x }. El lema de Burnside afirma la siguiente fórmula para el número de órbitas , denotado |X / G |: ^[2]

$${\ displaystyle | X / G | = {\ frac {1} {| G |}} \ sum _ {g \ en G} | X ^ {g} |.}

Por lo tanto, el número de órbitas (un número natural o + ∞ ) es igual al número promedio de puntos fijados por un elemento de G (que también es un número natural o infinito). Si G es infinito, la división por | G | puede que no esté bien definido; en este caso se sostiene la siguiente afirmación en aritmética cardinal :

$${\ displaystyle | G || X / G | = \ sum _ {g \ en G} | X ^ {g} |.}

Ejemplo de aplicación [ editar ]

El número de coloraciones rotacionalmente distintas de las caras de un cubo que usan tres colores se puede determinar a partir de esta fórmula de la siguiente manera.

Sea X el conjunto de 3 ⁶ posibles combinaciones de colores de cara que se pueden aplicar a un cubo en una orientación particular, y deje que el grupo de rotación G del cubo actúe sobre X de la manera natural. Entonces, dos elementos de X pertenecen a la misma órbita precisamente cuando uno es simplemente una rotación del otro. El número de colorantes rotacionalmente distintos es por lo tanto el mismo que el número de órbitas y se puede encontrar contando los tamaños de los conjuntos fijos para los 24 elementos de G .

Cubo con caras de colores.

• Un elemento de identidad que deja sin cambios los 3 ⁶ elementos de X
• Seis rotaciones de cara de 90 grados, cada una de las cuales deja sin cambios 3 ³ de los elementos de X
• Tres rotaciones de cara de 180 grados, cada una de las cuales deja sin cambios 3 ⁴ de los elementos de X
• ocho rotaciones de vértices de 120 grados, cada una de las cuales deja 3 ² de los elementos de X sin cambios
• Seis rotaciones de borde de 180 grados, cada una de las cuales deja sin cambios 3 ³ de los elementos de X

Un examen detallado de estos automorfismos se puede encontrar aquí .

El tamaño promedio de la solución es por lo tanto

$${\ displaystyle {\ frac {1} {24}} \ left (3 ^ {6} +6 \ cdot 3 ^ {3} +3 \ cdot 3 ^ {4} +8 \ cdot 3 ^ {2} +6 \ cdot 3 ^ {3} \ right) = 57.}

Por lo tanto, hay 57 coloraciones rotacionalmente distintas de las caras de un cubo en tres colores. En general, el número de coloraciones rotacionalmente distintas de las caras de un cubo en n colores viene dado por

$${\ displaystyle {\ frac {1} {24}} \ left (n ^ {6} + 3n ^ {4} + 12n ^ {3} + 8n ^ {2} \ right).

Prueba [ editar ]

El primer paso en la prueba del lema es volver a expresar la suma sobre los elementos del grupo g  ∈  G como una suma equivalente sobre el conjunto de elementos x  ∈  X :

$${\ displaystyle \ sum _ {g \ en G} | X ^ {g} | = | \ {(g, x) \ en G \ veces X \ mid g \ cdot x = x \} | = \ sum _ { x \ en X} | G_ {x} |.}

(Aquí X ^g  = { x  ∈  X  |  gx  =  x } es el subconjunto de todos los puntos de X fijados por g  ∈  G , mientras que G _x = { g  ∈  G  |  gx  =  x } es el subgrupo estabilizador de G que corrige el punto x  ∈  X. )

El teorema del estabilizador de la órbita dice que hay una bijección natural para cada x  ∈  X entre la órbita de x , Gx  = { gx  | g  ∈  G } ⊆  X , y el conjunto de cosets izquierdos G / G _x de su subgrupo estabilizador G _x . Con el teorema de Lagrange esto implica

$${\ displaystyle | G \ cdot x | = [G \,: \, G_ {x}] = | G | / | G_ {x} |.}

Por lo tanto, nuestra suma sobre el conjunto X puede reescribirse como

$${\ displaystyle \ sum _ {x \ en X} | G_ {x} | = \ sum _ {x \ en X} {\ frac {| G |} {| G \ cdot x |}} = | G | \ suma _ {x \ en X} {\ frac {1} {| G \ cdot x |}}.}

Finalmente, observe que X es la unión desunida de todas sus órbitas en X / G , lo que significa que la suma sobre X puede dividirse en sumas separadas sobre cada órbita individual.

$${\ displaystyle \ sum _ {x \ en X} {\ frac {1} {| G \ cdot x |}} = \ sum _ {A \ en X / G} \ sum _ {x \ en A} {\ frac {1} {| A |}} = \ sum _ {A \ en X / G} 1 = | X / G |.}

Poner todo junto da el resultado deseado:

$${\ displaystyle \ sum _ {g \ en G} | X ^ {g} | = | G | \ cdot | X / G |.}

Esta prueba es esencialmente también la prueba de la fórmula de la ecuación de clase , simplemente tomando la acción de G sobre sí misma ( X = G ) para ser conjugada, g . x = GXG ^-1 , en cuyo caso G _x instancia para el centralizador de x en G .

Historia: el lema que no es de Burnside [ editar ]

William Burnside declaró y demostró este lema, atribuyéndolo a Frobenius 1887 , en su libro de 1897 sobre grupos finitos. Pero, incluso antes de Frobenius, la fórmula era conocida por Cauchy en 1845. De hecho, el lema era aparentemente tan conocido que Burnside simplemente omitió atribuirlo a Cauchy. En consecuencia, a este lema se le conoce a veces como el lema que no es el de Burnside ^[3] (véase también la ley de eponimia de Stigler ). Esto es menos ambiguo de lo que parece: Burnside contribuyó con muchos lemas en este campo.