LISTA DE TEMAS MATEMÁTICOS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

El problema de Burnside , planteado por William Burnside en 1902 y una de las preguntas más antiguas y más influyentes de la teoría de grupos , pregunta si un grupo finamente generado en el que cada elemento tiene un orden finito debe ser necesariamente un grupo finito . Evgeny Golod e Igor Shafarevich proporcionaron un contraejemplo en 1964. El problema tiene muchas variantes (ver acotadas y restringidas a continuación) que difieren en las condiciones adicionales impuestas a las órdenes de los elementos del grupo.

Breve historia [ editar ]

El trabajo inicial apuntaba hacia la respuesta afirmativa. Por ejemplo, si un grupo G se genera finitamente y el orden de cada elemento de G es un divisor de 4, entonces G es finito. Además, AI Kostrikin pudo demostrar en 1958 que entre los grupos finitos con un número dado de generadores y un exponente principal dado, existe uno más grande. Esto proporciona una solución para el problema de Burnside restringido en el caso del exponente principal. (Más tarde, en 1989, Efim Zelmanov pudo resolver el problema restringido de Burnside para un exponente arbitrario). Issai Schurhabía mostrado en 1911 que cualquier grupo periódica finitamente generado que era un subgrupo del grupo de invertibles n × n matrices complejo fue finito; usó este teorema para probar el teorema de Jordan-Schur . ^[1]

Sin embargo, la respuesta general al problema de Burnside resultó ser negativa. En 1964, Golod y Shafarevich construyeron un grupo infinito de tipo Burnside sin suponer que todos los elementos tienen un orden uniformemente acotado. En 1968, Pyotr Novikov y Sergei Adian suministraron una solución negativa al problema del exponente acotado para todos los exponentes impares mayores que 4381. En 1982, A. Yu. Ol'shanskiiencontró algunos contraejemplos sorprendentes para exponentes impares suficientemente grandes (más de 10 ¹⁰ ) y proporcionó una prueba considerablemente más simple basada en ideas geométricas.

El caso de los exponentes pares resultó ser mucho más difícil de resolver. En 1992, SV Ivanov anunció la solución negativa para exponentes pares suficientemente grandes divisibles por una gran potencia de 2 (las pruebas detalladas se publicaron en 1994 y ocuparon unas 300 páginas). El trabajo conjunto posterior de Ol'shanskii e Ivanov estableció una solución negativa a un análogo del problema de Burnside para grupos hiperbólicos , siempre que el exponente sea suficientemente grande. Por el contrario, cuando el exponente es pequeño y diferente de 2,3,4 y 6, se sabe muy poco.

Problema general de Burnside [ editar ]

Un grupo G se llama periódico si cada elemento tiene un orden finito; en otras palabras, para cada g en G , existe un entero positivo n tal que g ⁿ = 1. Claramente, cada grupo finito es periódico. Existen grupos fácilmente definidos, tales como el p ^∞ -Grupo que son grupos periódicos infinitos; pero el último grupo no puede ser generado finamente.

Problema general de Burnside. Si G es un grupo periódico finamente generado, ¿entonces G es necesariamente finito?

Esta pregunta se responde negativamente a en 1964 por Evgeny Golod y Igor Shafarevich , que dio un ejemplo de un infinito p -grupo que se genera un número finito (ver Golod-Shafarevich teorema ). Sin embargo, las órdenes de los elementos de este grupo no están limitadas a priori por una única constante.

Burnside problema acotado [ editar ]

La gráfica de Cayley del grupo Burnside libre de 27 elementos de rango 2 y exponente 3.

Parte de la dificultad con el problema general de Burnside es que los requisitos de ser finitos y periódicos proporcionan muy poca información sobre la posible estructura de un grupo. Por lo tanto, nos planteamos más requisitos en G . Considere un grupo periódico G con la propiedad adicional de que existe un número entero n mínimo , de manera que para todo g en G , g ⁿ = 1. Se dice que un grupo con esta propiedad es periódico con exponente n limitado , o simplemente un grupo con exponente n . Problema de Burnside para grupos con exponente acotado pregunta:

Problema de Burnside Si G es un grupo finamente generado con exponente n , ¿es G necesariamente finito?

Resulta que este problema se puede reformular como una pregunta sobre la finitud de los grupos en una familia en particular. El grupo Burnside libre de rango m y exponente n , denotado B ( m , n ), es un grupo con mgeneradores distinguidos x ₁ , ..., x _m en el que la identidad x ⁿ = 1 se cumple para todos los elementos x , y que es el grupo "más grande" que satisface estos requisitos. Más precisamente, la propiedad característica de B ( m , n ) es que, dado cualquier grupo G con mgeneradores g ₁ , ..., g _m y del exponente n , hay un homomorfismo único de B ( m , n ) a G que mapea el i th generador x _i de B ( m , n ) en el i th generador g _yo de g . En el lenguaje de las presentaciones grupales , el grupo B de Burnside gratuito ( m , n ) tiene m generadores x ₁ , ..., x _my las relaciones x ⁿ = 1 para cada palabra x en x ₁ , ..., x _m , y cualquier grupo G con m generadores de exponente n se obtiene de ella al imponer relaciones adicionales. La existencia del grupo Burnside libre y su singularidad hasta un isomorfismo se establecen mediante técnicas estándar de la teoría de grupos. Por lo tanto, si G es cualquier grupo finito de exponente n , entonces G es una imagen homomórfica de B ( m , n ), donde mes el número de generadores deG . El problema de Burnside ahora se puede replantear de la siguiente manera:

Problema de Burnside II. ¿Para qué enteros positivos m , n es el grupo B de Burnside libre ( m , n ) finito?

La solución completa al problema de Burnside en este formulario no se conoce. Burnside consideró algunos casos fáciles en su artículo original:

• B (1, n ) es el grupo cíclico de orden n .
• B ( m , 2) es el producto directo de m copias del grupo cíclico de orden 2 y, por lo tanto, finito. ^{[nota 1]}

Se conocen los siguientes resultados adicionales (Burnside, Sanov, M. Hall ):

• B ( m , 3), B ( m , 4) y B ( m , 6) son finitos para toda m .

El caso particular de B (2, 5) permanece abierto: a partir de 2005 no se sabía si este grupo es finito.

El avance en el problema de Burnside se logró por Pyotr Novikov y Sergei Adian en 1968. Usando un argumento combinatorio complicada, demostraron que por cada extraño número n con n > 4381, existen grupos infinitos, finitamente generados de exponente n . Adian más tarde mejoró el límite en el exponente impar a 665. ^[2] El caso de exponente par resultó ser considerablemente más difícil. Fue solo en 1994 que Sergei Vasilievich Ivanov pudo probar un análogo del teorema de Novikov-Adian: para cualquier m > 1 y una n ≥ 2 ⁴⁸ , n divisible por 2⁹ , el grupo B ( m , n ) es infinito; junto con el teorema de Novikov-Adian, esto implica infinitud para todos m > 1 y n ≥ 2 ⁴⁸ . IG Lysënok mejoró esto en 1996 a m > 1 y n ≥ 8000. Novikov-Adian, Ivanov y Lysënok establecieron resultados considerablemente más precisos sobre la estructura de los grupos de Burnside libres. En el caso del exponente impar, se demostró que todos los subgrupos finitos de los grupos Burnside libres son grupos cíclicos. En el caso del exponente par, cada subgrupo finito está contenido en un producto de dos grupos diedros, y existen subgrupos finitos no cíclicos. Por otra parte, la palabra y la conjugación.Se demostró que los problemas pueden resolverse efectivamente en B ( m , n ) tanto para los casos de exponentes impares como pares n .

Una famosa clase de contraejemplo del problema de Burnside está formada por grupos infinitos no cíclicos generados finamente en los que cada subgrupo no trivial propio es un grupo cíclico finito , los llamados Monstruos Tarski . Los primeros ejemplos de tales grupos fueron construidos por A. Yu. Ol'shanskii en 1979 usando métodos geométricos, resolviendo afirmativamente a O. Yu. El problema de Schmidt. En 1982, Ol'shanskii pudo fortalecer sus resultados para establecer la existencia, para cualquier número primo psuficientemente grande (se puede tomar p > 10 ⁷⁵ ) de un grupo infinito finamente generado en el que cada subgrupo apropiado no trivial es un grupo cíclico de orden p. En un artículo publicado en 1996, Ivanov y Ol'shanskii resolvieron un análogo del problema de Burnside en un grupo hiperbólico arbitrario para exponentes suficientemente grandes.

Problema de Burnside restringido [ editar ]

Formulado en la década de 1930, plantea otra pregunta relacionada:

Problema restringido de Burnside. Si se sabe que un grupo G con m generadores y exponente nes finito, se puede concluir que el orden de G está limitada por una constante que sólo depende de m y n ? De manera equivalente, ¿hay solo un número finito de grupos finitos con m generadores de exponente n , hasta el isomorfismo ?

Esta variante del problema de Burnside también se puede expresar en términos de ciertos grupos universales con m generadores y exponente n . Por los resultados básicos de la teoría de grupos, la intersección de dos subgrupos de índice finito en cualquier grupo es en sí misma un subgrupo de índice finito. Sea M la intersección de todos los subgrupos del grupo B de Burnside libre ( m , n ) que tienen un índice finito, luego M es un subgrupo normal de B ( m , n ) (de lo contrario, existe un subgrupo g ⁻¹ Mg con finito índice que contiene elementos que no están en M). Por lo tanto, uno puede definir un grupo B ₀ ( m , n ) ser el grupo de factor B ( m , n ) / M . Cada grupo finito de exponente n con m generadores es una imagen homomórfica de B ₀ ( m , n ). El problema de Burnside restringido pregunta si B ₀ ( m , n ) es un grupo finito.

En el caso del exponente principal p , este problema fue ampliamente estudiado por AI Kostrikin durante la década de 1950, antes de la solución negativa del problema general de Burnside. Su solución, que establece la finitud de B ₀ ( m , p ), utiliza una relación con preguntas profundas acerca de las identidades en álgebras de Lieen características finitas. El caso del exponente arbitrario ha sido resuelto completamente en forma afirmativa por Efim Zelmanov , quien recibió la Medalla Fields en 1994 por su trabajo.

grupo de bucle es un grupo de bucles en un grupo topológico G con multiplicación definida por puntos.

Definición [ editar ]

En su forma más general de un grupo de bucle es un grupo de mapeos de un colector de M a un grupo topológico G .

Más específicamente, ^[1] deje que M = S ¹ , el círculo en el plano complejo, y que LG indique el espacio de los mapas continuos S ¹ → G , es decir

$${\ displaystyle LG = \ {\ gamma: S ^ {1} \ a G | \ gamma \ en C (S ^ {1}, G) \},}

Equipado con la topología compacta . Un elemento de LG se llama un bucle en G . La multiplicación puntual de tales bucles le da a LG la estructura de un grupo topológico. Parametrizar S ¹ con θ ,

$${\ displaystyle \ gamma: \ theta \ en S ^ {1} \ mapsto \ gamma (\ theta) \ en G,}

y definir la multiplicación en LG por

$${\ displaystyle (\ gamma _ {1} \ gamma _ {2}) (\ theta) \ equiv \ gamma _ {1} (\ theta) \ gamma _ {2} (\ theta).}

Asociatividad sigue de asociatividad en G . Lo inverso está dado por

$${\ displaystyle \ gamma ^ {- 1}: \ gamma ^ {- 1} (\ theta) \ equiv \ gamma (\ theta) ^ {- 1},}

y la identidad por

$${\ displaystyle e: \ theta \ mapsto e \ en G.}

El espacio LG se llama el grupo bucle libre en G . Un grupo de bucles es cualquier subgrupo del grupo de bucles libres LG .

Ejemplos [ editar ]

Un ejemplo importante de un grupo de bucles es el grupo.

$${\ displaystyle \ Omega G \,}

de bucles basado en G . Se define como el núcleo del mapa de evaluación.

$${\ displaystyle e_ {1}: LG \ to G},

y por lo tanto es un subgrupo normal cerrado de LG . (Aquí, e ₁ es el mapa que envía un bucle a su valor en 1 ). Tenga en cuenta que podemos incrustar G en LG como el subgrupo de bucles constantes. En consecuencia, llegamos a una secuencia exacta dividida

$${\ displaystyle 1 \ to \ Omega G \ to LG \ to G \ to 1}.

El espacio LG se divide como un producto semi-directo ,

$${\ displaystyle LG = \ Omega G \ rtimes G}.

También podemos pensar en Ω G como el espacio de lazos en G . Desde este punto de vista, Ω G es un espacio H con respecto a la concatenación de bucles. A primera vista, esto parece proporcionar a Ω G dos mapas de productos muy diferentes. Sin embargo, se puede demostrar que la concatenación y la multiplicación puntual son homotópicas . Así, en términos de la teoría de homotopía de Ω G , estos mapas son intercambiables.

Chuu-Lian Terng y Karen Uhlenbeck utilizaron grupos de bucles para explicar el fenómeno de las transformaciones de Bäcklund en las ecuaciones de solitones .

grupo fundamental es un grupo matemático asociado a cualquier espacio topológico puntiagudo dado que proporciona una manera de determinar cuándo dos caminos , que comienzan y terminan en un punto base fijo , pueden deformarse continuamente entre sí. Registra información sobre la forma básica, o agujeros, del espacio topológico . El grupo fundamental es el primer y más simple grupo de homotopía . El grupo fundamental es un invariante topológico : los espacios topológicos homeomorfos tienen el mismo grupo fundamental.

Los grupos fundamentales pueden estudiarse utilizando la teoría de los espacios de cobertura , ya que un grupo fundamental coincide con el grupo de transformaciones de cubierta del espacio de cobertura universal asociado . La abelianización del grupo fundamental se puede identificar con el primer grupo de homología del espacio. Cuando el espacio topológico es homeomórfico a un complejo simple , su grupo fundamental puede describirse explícitamente en términos de generadores y relaciones .

Henri Poincaré definió el grupo fundamental en 1895 en su artículo " Analysis situs ". ^[1] El concepto surgió en la teoría de las superficies de Riemann , en el trabajo de Bernhard Riemann , Poincaré y Felix Klein . Describe las propiedades de la monodromía de las funciones de valor complejo y proporciona una clasificación topológica completa de las superficies cerradas .

Intuición [ editar ]

Comience con un espacio (p. Ej., Una superficie) y un punto en él, y todos los bucles comienzan y terminan en este punto: las rutas que comienzan en este punto, deambulan y finalmente regresan al punto de inicio. Dos bucles se pueden combinar de una manera obvia: viajar a lo largo del primer bucle, luego a lo largo del segundo. Dos bucles se consideran equivalentes si uno puede deformarse en el otro sin romperse. El conjunto de todos estos bucles con este método de combinación y esta equivalencia entre ellos es el grupo fundamental para ese espacio en particular.

Definición [ editar ]

Deje X un espacio topológico, y dejar que x ₀ ser un punto de  X . Estamos interesados ​​en el siguiente conjunto de funciones continuas llamadas bucles con punto base x ₀ .

$${\ displaystyle \ {f: [0,1] \ a X: \ f (0) = x_ {0} = f (1) \}}

Ahora, el grupo fundamental de X con el punto base x ₀ es este conjunto módulo homotopy h

$${\ displaystyle \ {f: [0,1] \ a X: \ f (0) = x_ {0} = f (1) \} / h}

equipado con la multiplicación grupal definida por

{\ displaystyle (f * g) (t) = {\ begin {cases} f (2t) & 0 \ leq t \ leq {\ tfrac {1} {2}} \\ g (2t-1) & {\ tfrac {1} {2}} \ leq t \ leq 1 \ end {cases}}}

Así, el bucle f  ∗  g primero sigue al bucle f con "dos veces la velocidad" y luego sigue g con "dos veces la velocidad". El producto de dos clases de bucles de homotopía [ f ] y [ g ] se define entonces como [ f  ∗  g ], y se puede demostrar que este producto no depende de la elección de los representantes.

Con el producto anterior, el conjunto de todas las clases de homotopía de bucles con el punto base x ₀ forma el grupo fundamental de X en el punto x ₀ y se denota

$${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x_ {0}),}

o simplemente π ( X ,  x ₀ ). El elemento de identidad es el mapa constante en el punto base, y la inversa de un bucle f es el bucle g definido por g (t) = f (1 -  t ). Es decir, g sigue f hacia atrás.

Aunque el grupo fundamental en general depende de la elección del punto base, resulta que, hasta el isomorfismo (en realidad, incluso hasta el isomorfismo interno ), esta elección no hace ninguna diferencia siempre que el espacio X esté conectado al camino . Por lo tanto, para espacios conectados a la ruta, podemos escribir π ₁ ( X ) en lugar de π ₁ ( X ,  x ₀ ) sin ambigüedad siempre que nos preocupemos solo por la clase de isomorfismo .

Ejemplos [ editar ]

Grupo fundamental trivial [ editar ]

Más información: Espacio simplemente conectado y espacio contratable.

En el espacio euclidiano ( R ⁿ ) o cualquier subconjunto convexo de R ⁿ , solo hay una clase de bucles de homotopía, y el grupo fundamental es, por lo tanto, el grupo trivial con un elemento. Más generalmente, cualquier espacio contratable tiene un grupo fundamental trivial. Un espacio conectado a un camino cuyo grupo fundamental es trivial se llama simplemente conectado .

Infinito grupo fundamental cíclico [ editar ]

El círculo . Cada clase de homotopía consta de todos los bucles que se enrollan alrededor del círculo un número determinado de veces (que pueden ser positivos o negativos, dependiendo de la dirección del bobinado). El producto de un bucle que se enrolla alrededor de m veces y otro que enrolla alrededor de n veces es un bucle que se enrolla alrededor de m  +  n veces. Así que el grupo fundamental del círculo es isomorfo a ( Z , +), el grupo aditivo de los números enteros . Este hecho se puede utilizar para proporcionar pruebas del teorema de punto fijo de Brouwer y del teorema de Borsuk-Ulam en la dimensión 2.

Dado que el grupo fundamental es un invariante de homotopía, la teoría del número de devanado para el plano complejo menos un punto es la misma que para el círculo.

En contraste con el círculo, que es la esfera 1, para cada $${\ displaystyle n \ geq 2}La n-esfera está simplemente conectada, por lo que tiene un grupo fundamental trivial.

Grupos libres de rango superior [ editar ]

A diferencia de los grupos de homología y los grupos de homotopía superiores asociados a un espacio topológico, el grupo fundamental no necesita ser abeliano . Por ejemplo, el grupo fundamental de la figura ochoes el grupo libre en dos letras. Más generalmente, el grupo fundamental de cualquier gráfico es un grupo libre . Si el gráfico G está conectado, entonces el rango del grupo libre es igual al número de bordes que no están en un árbol de expansión .

El grupo fundamental del avión perforado en n puntos es también el grupo libre con n generadores. El generador i -th es la clase del bucle que gira alrededor de la punción i -th sin pasar por ningún otro pinchazo.

La teoría de nudos [ editar ]

Artículo principal: Grupo de nudos.

Un ejemplo algo más sofisticado de un espacio con un grupo fundamental no abeliano es el complemento de un nudo de trébol en R ³ , como se conoce, cuyo grupo fundamental es el grupo trenzado $${\ displaystyle B_ {3}}.

Grupos de mentiras [ editar ]

El grupo fundamental de un grupo de Lie conectado es siempre conmutativo. ^[2] [3]

El grupo fundamental de un grupo de Lie compacto se puede calcular mediante uno de dos métodos. El primero, aplicable a los grupos clásicos compactos, es inductivo y se basa en la larga secuencia exacta de grupos de homotopía para los haces de fibras . Consideremos, por ejemplo, el caso del grupo unitario especial.$${\ displaystyle \ mathrm {SU} (n)}, con $${\ displaystyle n \ geq 2}. Este grupo actúa transitivamente en la esfera unitaria.$${\ displaystyle S ^ {2n-1}} dentro $${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} = \ mathbb {R} ^ {2n}}. El estabilizador de un punto en la esfera es isomorfo a$${\ displaystyle \ mathrm {SU} (n-1)}. Entonces se puede mostrar ^[4] que SU (n) es un paquete de fibra con base$${\ displaystyle S ^ {2n-1}} y fibra $${\ displaystyle \ mathrm {SU} (n-1)}. Ya que$${\ displaystyle n \ geq 2}, la esfera $${\ displaystyle S ^ {2n-1}}tiene una dimensión de al menos 3. Así, el primer y segundo grupo de homotopía de la base son triviales. La secuencia exacta larga luego muestra que los grupos fundamentales de la fibra y el espacio total son isomorfos: Eso es:

$${\ displaystyle \ pi _ {1} (\ mathrm {SU} (n)) \ cong \ pi _ {1} (\ mathrm {SU} (n-1))}.

Ya que $${\ displaystyle \ mathrm {SU} (1)} es el grupo trivial (un solo punto, que simplemente está conectado), luego concluimos inductivamente que $${\ displaystyle \ mathrm {SU} (n)} está simplemente conectado para todos $${\ displaystyle n}. Un argumento similar muestra que$${\ displaystyle \ mathrm {SO} (n)}Tiene el mismo grupo fundamental para todos. $${\ displaystyle n \ geq 3}a saber $${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2}. ^[5]

El método inductivo da los siguientes resultados:

• Los grupos unitarios especiales. $${\ displaystyle \ mathrm {SU} (n)} está simplemente conectado para todos $${\ displaystyle n};
• El grupo especial ortogonal. $${\ displaystyle \ mathrm {SO} (n)} tiene grupo fundamental $${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2} para $${\ displaystyle n \ geq 3} y grupo fundamental $${\ displaystyle \ mathbb {Z}} para $${\ displaystyle n = 2};
• El grupo simplecto compacto. $${\ displaystyle \ mathrm {Sp} (n)} está simplemente conectado para todos $${\ displaystyle n};
• El grupo unitario $${\ displaystyle \ mathrm {U} (n)} tiene grupo fundamental $${\ displaystyle \ mathbb {Z}} para todos $${\ displaystyle n}.

El segundo método de cálculo de grupos fundamentales se aplica a todos los grupos de Lie compactos conectados y utiliza la maquinaria del toro máximo y el sistema de raíz asociado . Específicamente, vamos$${\ displaystyle T} ser un toro máximo en un grupo de Lie compacto y conectado $${\ displaystyle K}, y deja $${\ displaystyle {\ mathfrak {t}}} se el álgebra de mentira de $${\ displaystyle T}. Dejar$${\ displaystyle \ Gamma \ subset {\ mathfrak {t}}}denota el kernel del mapeo exponencial, y deja $${\ displaystyle I}denota el conjunto de entero lineal de combinación de coroots. Entonces el grupo fundamental de$${\ displaystyle K} es isomorfo al cociente $${\ displaystyle \ Gamma / I}. ^[6] Este método muestra, por ejemplo, que cualquier grupo de Lie compacto y conectado para el cual el sistema raíz asociado es de tipo$${\ displaystyle G_ {2}}está simplemente conectado. ^[7] Por lo tanto, hay (hasta el isomorfismo) solo un grupo de Lie compacto y conectado que tiene un álgebra de Lie de tipo$${\ displaystyle G_ {2}}; Este grupo está simplemente conectado y tiene centro trivial.

El grupo fundamental de grupos de Lie no compactos puede reducirse al caso compacto, ya que dicho grupo es homotópico a su subgrupo compacto máximo. ^[8] Así, por ejemplo,$${\ displaystyle \ mathrm {SL} (n, \ mathbb {C})} está simplemente conectado porque su subgrupo máximo compacto $${\ displaystyle \ mathrm {SU} (n)} está simplemente conectado.

El grupo fundamental $${\ displaystyle \ pi _ {1} (G)}es el grupo de componentes conectados del grupo de bucle asociado de$${\ displaystyle G}.

Functorialidad [ editar ]

Si f  : X → Y es un mapa continuo, x ₀  ∈  X e y ₀  ∈  Y con f ( x ₀ ) =  y ₀ , entonces cada bucle en X con el punto base x ₀ se puede componer con f para obtener un bucle en Y con punto base y ₀ . Esta operación es compatible con la relación de equivalencia de homotopía y con la composición de los bucles. El homomorfismo de gruporesultante , llamado homomorfismo inducido., se escribe como π ( f ) o, más comúnmente,

$${\ displaystyle f _ {*}: \ pi _ {1} (X, x_ {0}) \ a \ pi _ {1} (Y, y_ {0}).}

Este mapeo de mapas continuos a homomorfismos de grupo es compatible con la composición de los mapas y los morfismos de identidad. En otras palabras, tenemos un functor de la categoría de espacios topológicos con punto base a la categoría de grupos .

Resulta que este funtor no puede distinguir los mapas que son homotópicos en relación con el punto base: si f , g : X → Y son mapas continuos con f ( x ₀ ) = g ( x ₀ ) = y ₀ , yf y g son homotópico en relación a { x ₀ }, entonces f _∗ = g _∗ . Como consecuencia, dos homotopías equivalentes a espacios conectados a la ruta tienen grupos fundamentales isomorfos:

$${\ displaystyle X \ simeq Y \ Rightarrow \ pi _ {1} (X, x_ {0}) \ cong \ pi _ {1} (Y, y_ {0}).}

Como un caso especial importante, si X está conectado a una ruta, entonces cualquiera de los dos puntos básicos da grupos isomorfos fundamentales, con un isomorfismo dado por una elección de ruta entre los puntos básicos dados.

El funtor de grupo fundamental lleva productos a productos y coproductos a coproductos. Es decir, si X e Y están conectadas, entonces

$${\ displaystyle \ pi _ {1} (X \ veces Y, (x_ {0}, y_ {0})) \ cong \ pi _ {1} (X, x_ {0}) \ times \ pi _ {1 } (Y, y_ {0})}

y si son también contractibles localmente , entonces

$${\ displaystyle \ pi _ {1} (X \ vee Y) \ cong \ pi _ {1} (X) * \ pi _ {1} (Y).}

(En la última fórmula, $${\ displaystyle \ vee}denota la suma de cuña de los espacios topológicos con el punto base y * el producto libre de los grupos.) Ambas fórmulas se generalizan a productos arbitrarios. Además, la última fórmula es un caso especial del teorema de Seifert-van Kampen que establece que el funtor de grupo fundamental lleva las expulsiones junto con las inclusiones a las expulsiones.

Fibraciones [ editar ]

Artículo principal: Fibración

Una generalización de un producto de espacios viene dada por una fibración ,

$${\ displaystyle F \ to E \ to B.}

Aquí el espacio total E es una especie de " retorcida producto" del espacio base B y la fibra F . En general, los grupos fundamentales de B , E y F son términos en una secuencia larga y exacta que involucra grupos de homotopía superiores . Cuando todos los espacios están conectados, esto tiene las siguientes consecuencias para los grupos fundamentales:

• π ₁ ( B ) y π ₁ ( E ) son isomorfos si F está simplemente conectado
• π _n +1 ( B ) y π _n ( F ) son isomorfos si E es contractible.

Relación con el primer grupo de homología [ editar ]

Los grupos fundamentales de un espacio topológico X están relacionados con su primer grupo de homologíasingular , porque un bucle también es un ciclo singular. Al asignar la clase de homotopía de cada bucle en un punto base x ₀ a la clase de homología del bucle, se obtiene un homomorfismo del grupo fundamental π ₁ ( X ,  x ₀ ) al grupo de homología H ₁ ( X ). Si X está conectado a la ruta, entonces este homomorfismo es superyectivo y su núcleo es el subgrupo de conmutador de π ₁ ( X , x ₀ ), y H ₁ ( X ) es por lo tanto isomorfo a la abelianización de π ₁ ( X ,  x ₀ ). Este es un caso especial del teorema de Hurewicz de la topología algebraica.

Espacio de cobertura universal [ editar ]

Artículo principal: Espacio de cobertura.

Si X es un espacio topológico que está conectado a la ruta, localmente conectado y localmente simplemente conectado, entonces tiene un espacio de cobertura universal simplemente conectado en el que el grupo fundamental π ₁ ( X , x ₀ ) actúa libremente mediante transformaciones de la cubierta con espacio de cociente X . Este espacio se puede construir de manera análoga al grupo fundamental tomando pares ( x , γ), donde x es un punto en X y γ es una clase de homotopía de rutas de x ₀ a x y la acción de π₁ ( X ,  x ₀ ) es por concatenación de caminos. Se determina únicamente como un espacio de cobertura.

Ejemplos [ editar ]

Círculo [ editar ]

La cubierta universal de un círculo S ¹ es la línea R , tenemos S ¹ = R / Z . Por lo tanto, π ₁ ( S ¹ , x ) = Z para cualquier punto base x .

Toro [ editar ]

Al tomar el producto cartesiano de dos ejemplos del ejemplo anterior, vemos que la cubierta universal de un toro bidimensional T ² = S ¹ × S ¹ es el plano R ² y tenemos T ² = R ² / Z ² . Por lo tanto, π ₁ ( T ² , x ) = Z ² para cualquier punto base x .

De manera similar, el grupo fundamental del toro n- dimensional T ⁿ es igual a Z ⁿ .

Espacios proyectivos reales [ editar ]

Para n ≥ 1, el espacio proyectivo real real n- dimensional P ⁿ ( R ) se obtiene factorizando la esfera n-dimensional S ⁿ por la simetría central: P ⁿ ( R ) = S ⁿ / Z ₂ . Dado que la n- esfera S ⁿ está simplemente conectada para n ≥ 2, concluimos que es la cobertura universal del espacio proyectivo real. Así, el grupo fundamental de P ⁿ ( R ) es igual a Z ₂para cualquier n ≥ 2.

Grupos de mentiras [ editar ]

Deje que G sea una, simplemente conectado conectado grupo de Lie compacto , por ejemplo el grupo unitario especial SU ( n ), y dejar que Γ un subgrupo finito de G . Entonces el espacio homogéneo X  =  G / Γ tiene grupo fundamental Γ, que actúa por la multiplicación a la derecha en el espacio recubrimiento universal G . Entre las muchas variantes de esta construcción, una de las más importantes está dada por los espacios localmente simétricos X  = Γ \ G / K , donde

• G es un grupo de Lie conectado, no compacto, conectado simplemente ( semisimple ),
• K es un subgrupo máximo compacto de G
• Γ es un subgrupo discreto de G, libre de torsión y contable .

En este caso, el grupo fundamental es Γ y el espacio de cobertura universal G / K es realmente contractible (por la descomposición de Cartan para los grupos Lie ).

Como ejemplo, tome G  = SL (2, R ), K  = SO (2) y Γ cualquier subgrupo de congruencia sin torsión del grupo modular SL (2, Z ).

De la realización explícita, también se deduce que el espacio de cobertura universal de un grupo topológico Hconectado a la ruta es nuevamente un grupo G topológico conectado a la ruta . Además, el mapa de cobertura es un homomorfismo abierto continuo de G sobre H con el núcleo Γ, un subgrupo normal discreto cerrado de G :

$${\ displaystyle 1 \ to \ Gamma \ to G \ to H \ to 1.}

Desde G es un grupo conectado con una acción continua por conjugación en un grupo discreto Γ, debe actuar trivialmente, de modo que Γ tiene que ser un subgrupo de la centro de G . En particular, π ₁ ( H ) = Γ es un grupo abeliano ; Esto también se puede ver fácilmente directamente sin usar espacios de cobertura. El grupo G se llama el grupo recubrimiento universal de  H .

Como lo sugiere el grupo de cobertura universal, existe una analogía entre el grupo fundamental de un grupo topológico y el centro de un grupo; esto se elabora en celosía de grupos de cobertura .

Grupo de ruta de borde de un complejo simplicial [ editar ]

Si X es un conectado complejo simplicial , un -recorrido de borde en X se define para ser una cadena de vértices conectados por bordes en X . Dos de borde caminos se dice que son borde equivalente si uno se puede obtener de la otra por conmutación sucesivamente entre un borde y los dos bordes opuestos de un triángulo en X . Si ves un vértice fijo en X , un borde-bucle en v es un camino de borde que comienza y termina en v . El grupo de ruta de borde E ( X ,  v) se define como el conjunto de clases de equivalencia de borde de los bucles de borde en v , con producto e inverso definidos por concatenación y reversión de los bucles de borde.

El grupo edge-path es naturalmente isomorfo a π ₁ (| X |,  v ), el grupo fundamental de la realización geométrica | X | de x . ^[9] Dado que depende solo del 2-esqueleto X ² de X (es decir, los vértices, bordes y triángulos de X ), los grupos π ₁ (| X |, v ) y π ₁ (| X ² |,  v ) son isomorfos.

El grupo de ruta de borde se puede describir explícitamente en términos de generadores y relaciones . Si T es un árbol de expansión máxima en el esqueleto 1 de X , entonces E ( X ,  v ) es canónicamente isomorfo al grupo con generadores (las rutas de borde orientadas de X que no aparecen en T ) y las relaciones (las equivalencias de borde correspondiente a los triángulos en X ). Un resultado similar se mantiene si T se reemplaza por cualquier complejo simplemente conectado, en particular, contratable de X. Esto a menudo proporciona una forma práctica de computar grupos fundamentales y se puede utilizar para mostrar que cada grupo presentado de manera finitasurge como el grupo fundamental de un complejo de simplicidad finito. También es uno de los métodos clásicos utilizados para superficies topológicas , que se clasifican por sus grupos fundamentales.

El espacio de cobertura universal de un complejo X simplificado conectado finito también se puede describir directamente como un complejo simplicial que utiliza trayectorias de borde. Sus vértices son pares ( w , γ) donde w es un vértice de X y γ es una clase de rutas de equivalencia de bordes de v a w . Los k -simplices que contienen ( w , γ) corresponden naturalmente a los k -simplices que contienen w . Cada nuevo vértice u de k -simplex da un borde wu y, por tanto, por concatenación, un nuevo camino γ _u desdev a u . Los puntos ( w , γ) y ( u , γ _u ) son los vértices del simplex "transportado" en el espacio de cobertura universal. El grupo borde-path actúa naturalmente por concatenación, la preservación de la estructura simplicial, y el espacio cociente es sólo X.

Es bien sabido que este método también se puede utilizar para calcular el grupo fundamental de un espacio topológico arbitrario. Sin duda, esto lo sabían Eduard Čech y Jean Leray y aparecía explícitamente como comentario en un artículo de André Weil ; ^[10] otros autores como Lorenzo Calabi, Wu Wen-tsün y Nodar Berikashvili también han publicado pruebas. En el caso más simple de un espacio compacto X con un recubrimiento abierto finito en el cual todas las intersecciones finitas no vacías de conjuntos abiertos en el recubrimiento son contraíbles, el grupo fundamental puede identificarse con el grupo de borde-recorrido del complejo simplicial correspondiente al nervio de la cubierta .

Realización [ editar ]

• Cada grupo puede realizarse como el grupo fundamental de un complejo CW conectado de dimensión 2 (o superior). Sin embargo, como se señaló anteriormente, solo los grupos libres pueden aparecer como grupos fundamentales de complejos de CW unidimensionales (es decir, gráficos).
• Cada grupo finamente presentado puede realizarse como el grupo fundamental de una variedad compacta , conectada y lisa de dimensión 4 (o superior). Pero hay restricciones severas sobre qué grupos ocurren como grupos fundamentales de variedades de baja dimensión. Por ejemplo, ningún grupo abeliano libre de rango 4 o superior puede realizarse como el grupo fundamental de una variedad de dimensión 3 o menos. Se puede demostrar que cada grupo puede realizarse como el grupo fundamental de un espacio compacto de Hausdorff si y solo si no hay un cardinal medible . ^[11]

Conceptos relacionados [ editar ]

El grupo fundamental mide la estructura de orificios unidimensionales de un espacio. Para estudiar "agujeros de dimensiones superiores", se utilizan los grupos de homotopía . Los elementos de la n grupo homotopy -ésimo de X son clases de homotopía de (punto de base de preservación) Mapas de S ⁿ a X .

El conjunto de bucles en un punto base particular puede estudiarse sin considerar los bucles homotópicos como equivalentes. Este objeto más grande es el espacio de bucle .

Para los grupos topológicos , se puede asignar una multiplicación de grupo diferente al conjunto de bucles en el espacio, con la multiplicación puntual en lugar de la concatenación. El grupo resultante es el grupo de bucle .

Groupoid fundamental [ editar ]

Es conveniente considerar un camino en un espacio. $${\ displaystyle X} Según lo dado por un mapa $${\ displaystyle f: [0, r] \ a X} dónde $${\ displaystyle r \ geqslant 0}; entonces$${\ displaystyle f (0), f (r)} Se llaman los puntos iniciales y finales del camino y $${\ displaystyle r} También se llama la longitud de $${\ displaystyle f}. Si tambien$${\ displaystyle g: [0, s] \ a X} es un camino tal que $${\ displaystyle f (r) = g (0)} entonces podemos definir un camino $${\ displaystyle f \ circ g: [0, r + s] \ a X} ser $${\ displaystyle f} en $${\ displaystyle [0, r]} y $${\ displaystyle t \ mapsto g (tr)} en $${\ displaystyle [r, r + s]}. Esta composición hace estos caminos en$${\ displaystyle X} en una categoría . (En los textos, esta definición se puede encontrar en los libros de Crowell y Fox, y de R. Brown, que se enumeran a continuación).

Hay al menos dos formas de tomar clases de homotopía de dichos caminos en relación con los puntos finales. Crowell y Fox utilizan un cambio continuo de la longitud , mientras que en las rutas de Topología y Groupoids$${\ displaystyle f: [0, r] \ a X, \ g: [0, s] \ a X}con los mismos puntos finales son equivalentes si existen números reales$${\ displaystyle u, v \ geqslant 0} tal que $${\ displaystyle r + u = s + v} y $${\ displaystyle f_ {u}, g_ {v}: [0, r + u] \ a X} Son homotópicos en relación a sus puntos finales, donde {\ displaystyle f_ {u} (t) = {\ begin {cases} f (t), & t \ en [0, r] \\ f (r), & t \ en [r, r + u] \ end { casos}}}.

Esta construcción no produce un grupo, sino un groupoid , el groupoid fundamental del espacio.

De manera más general, se puede considerar el groupoid fundamental en un conjunto A de puntos base, elegido de acuerdo con la geometría de la situación; por ejemplo, en el caso del círculo, que se puede representar como la unión de dos conjuntos abiertos conectados cuya intersección tiene dos componentes, se puede elegir un punto base en cada componente. La exposición de esta teoría se dio en las ediciones del libro de 1968, 1988, ahora disponibles como Topología y groupoids , que también incluye relatos relacionados de espacios de cobertura y espacios de órbita. .

[...] las personas aún persisten obstinadamente, al calcular con grupos fundamentales, en la fijación de un solo punto base, en lugar de elegir inteligentemente un paquete completo de puntos que es invariante bajo las simetrías de la situación, que se pierden en el camino. En ciertas situaciones (como los teoremas de descenso para grupos fundamentales a la van Kampen) es mucho más elegante, incluso indispensable para entender algo, trabajar con groupoids fundamentales con respecto a un paquete adecuado de puntos básicos [...]