MECÁNICA CUÁNTICA

+ Hc es una abreviatura de “ plus el H ermitian c onjugate ”; lo que significa es que hay términos adicionales que son los conjugados de Hermitian de todos los términos anteriores, y es un atajo conveniente para omitir la mitad de los términos realmente presentes. ^[1]

Contexto y uso [ editar ]

La convención de notación "+ hc" es común en la física de partículas en el contexto de escribir fórmulas para los lagrangianos y hamiltonianos , que convencionalmente se requiere que sean operadores hermitianos . ^[1] Las matemáticas de la mecánica cuántica se basan en números complejos , mientras que casi todas las observaciones (mediciones) son solo números reales . Agregar su propio conjugado a un operador garantiza que la combinación sea Hermitian, que a su vez garantiza que los valores propios del operador combinado sean números reales, adecuados para predecir los valores de las observaciones / mediciones del comportamiento de las partículas.

Por lo tanto, interpretar la expresión.

$${\ displaystyle A + B + C + {\ text {hc}}}

como significado ^[1]

$${\ displaystyle A + A ^ {\ dagger} + B + B ^ {\ dagger} + C + C ^ {\ dagger}}

En las expresiones de arriba, $${\ displaystyle A ^ {\ dagger}}Se utiliza como símbolo para el conjugado hermitiano de operador.$${\ displaystyle A}, que es una notación más antigua en matemáticas, pero aún está muy extendida en la mecánica cuántica; es comúnmente escrito como$${\ displaystyle A ^ {\ ast}}en matemáticas (particularmente en álgebra lineal ), pero esa notación a veces se usa en mecánica cuántica solo para el conjugado complejo , y no para el transpuesto de conjugado (conjugado de Hermitian) .

 símbolos Wigner 3-j , también llamados símbolos 3- jm , son una alternativa a los coeficientes de Clebsch-Gordan con el propósito de agregar momenta angular. ^[1] Mientras que los dos enfoques abordan exactamente el mismo problema físico, los símbolos 3- j lo hacen de manera más simétrica, y por lo tanto tienen propiedades de simetría mayores y más simples que los coeficientes de Clebsch-Gordan.

Relación matemática con los coeficientes de Clebsch-Gordan [ editar ]

Los símbolos de 3 j se dan en términos de los coeficientes de Clebsch-Gordan por

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ m_ {1} & m_ {2} & m_ {3} \ end {pmatrix}} \ equiv {\ frac {(-1 ) ^ {j_ {1} -j_ {2} -m_ {3}}} {\ sqrt {2j_ {3} +1}}} \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} | j_ {3} \, (- m_ {3}) \ rangle.}

Los j  y los m  son números cuánticos de momento angular, es decir, cada j (y cada m correspondiente ) es un número entero no negativo o un entero de mitad impar. El exponente del factor de signo es siempre un número entero, por lo que permanece igual cuando se transpone al lado izquierdo, y la relación inversa sigue al realizar la sustitución m ₃ → - m ₃ :

{\ displaystyle \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} | j_ {3} \, m_ {3} \ rangle = (- 1) ^ {- j_ { 1} + j_ {2} -m_ {3}} {\ sqrt {2j_ {3} +1}} {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ m_ {1} & m_ {2} & - m_ {3} \ end {pmatrix}}}.

Relación de definición con los coeficientes de Clebsch-Gordan [ editar ]

Los coeficientes CG se definen para expresar la adición de dos momentos angulares en términos de un tercero:

$${\ displaystyle | j_ {3} \, m_ {3} \ rangle = \ sum _ {m_ {1} = - j_ {1}} ^ {j_ {1}} \ sum _ {m_ {2} = - j_ {2}} ^ {j_ {2}} \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} | j_ {3} \, m_ {3} \ rangle | j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} \ rangle.}

Los símbolos 3- j , por otro lado, son los coeficientes con los que se deben agregar tres momentos angulares para que el resultado sea cero:

{\ displaystyle \ sum _ {m_ {1} = - j_ {1}} ^ {j_ {1}} \ suma _ {m_ {2} = - j_ {2}} ^ {j_ {2}} \ suma _ {m_ {3} = - j_ {3}} ^ {j_ {3}} | j_ {1} m_ {1} \ rangle | j_ {2} m_ {2} \ rangle | j_ {3} m_ {3} \ rangle {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ m_ {1} & m_ {2} & m_ {3} \ end {pmatrix}} = | 0 \, 0 \ rangle.}

Aquí, $${\ displaystyle | 0 \, 0 \ rangle} es el estado de momento angular cero ($${\ displaystyle j = m = 0}). Es evidente que el símbolo 3 j trata a los tres momentos angulares involucrados en el problema de suma en igualdad de condiciones, y por lo tanto es más simétrico que el coeficiente CG.

Desde el estado $${\ displaystyle | 0 \, 0 \ rangle}no se modifica por la rotación, también se dice que la contracción del producto de tres estados de rotación con un símbolo de 3 j es invariante en las rotaciones.

Reglas de selección [ editar ]

El símbolo de Wigner 3- j es cero a menos que se cumplan todas estas condiciones:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & m_ {i} \ in \ {- j_ {i}, - j_ {i} + 1, -j_ {i} +2, \ ldots, j_ {i} \}, \ quad (i = 1,2,3). \\ & m_ {1} + m_ {2} + m_ {3} = 0 \\ & | j_ {1} -j_ {2} | \ leq j_ {3} \ leq j_ {1} + j_ {2} \\ & (j_ {1} + j_ {2} + j_ {3}) {\ text {es un entero (y, además, un entero par si}} m_ {1 } = m_ {2} = m_ {3} = 0 {\ text {)}} \\\ final {alineado}}}

Propiedades de simetría [ editar ]

Un símbolo de 3 j es invariante bajo una permutación uniforme de sus columnas:

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ m_ {1} & m_ {2} & m_ {3} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} j_ { 2} & j_ {3} & j_ {1} \\ m_ {2} & m_ {3} & m_ {1} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} j_ {3} & j_ {1} & j_ {2} \ \ m_ {3} & m_ {1} & m_ {2} \ end {pmatrix}}.

Una permutación impar de las columnas da un factor de fase:

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ m_ {1} & m_ {2} & m_ {3} \ end {pmatrix}} = (- 1) ^ {j_ { 1} + j_ {2} + j_ {3}} {\ begin {pmatrix} j_ {2} & j_ {1} & j_ {3} \\ m_ {2} & m_ {1} & m_ {3} \ end {pmatrix} } = (- 1) ^ {j_ {1} + j_ {2} + j_ {3}} {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {3} & j_ {2} \\ m_ {1} & m_ {3 } & m_ {2} \ end {pmatrix}} = (- 1) ^ {j_ {1} + j_ {2} + j_ {3}} {\ begin {pmatrix} j_ {3} & j_ {2} & j_ {1 } \\ m_ {3} & m_ {2} & m_ {1} \ end {pmatrix}}.}

Cambiando el signo de la $${\ displaystyle m} Los números cuánticos (inversión de tiempo) también dan una fase:

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ - m_ {1} & - m_ {2} & - m_ {3} \ end {pmatrix}} = (- 1 ) ^ {j_ {1} + j_ {2} + j_ {3}} {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ m_ {1} & m_ {2} & m_ {3} \ end {pmatrix}}.}

Los símbolos de 3 j también tienen las denominadas simetrías Regge, que no se deben a permutaciones ni a la inversión de tiempo. ^[2] Estas simetrías son,

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ m_ {1} & m_ {2} & m_ {3} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} j_ { 1} & {\ frac {j_ {2} + j_ {3} -m_ {1}} {2}} & {\ frac {j_ {2} + j_ {3} + m_ {1}} {2}} \\ j_ {3} -j_ {2} & {\ frac {j_ {2} -j_ {3} -m_ {1}} {2}} - m_ {3} & {\ frac {j_ {2} - j_ {3} + m_ {1}} {2}} + m_ {3} \ end {pmatrix}}.

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ m_ {1} & m_ {2} & m_ {3} \ end {pmatrix}} = (- 1) ^ {j_ { 1} + j_ {2} + j_ {3}} {\ begin {pmatrix} {\ frac {j_ {2} + j_ {3} + m_ {1}} {2}} & {\ frac {j_ {1 } + j_ {3} + m_ {2}} {2}} & {\ frac {j_ {1} + j_ {2} + m_ {3}} {2}} \\ j_ {1} - {\ frac {j_ {2} + j_ {3} -m_ {1}} {2}} & j_ {2} - {\ frac {j_ {1} + j_ {3} -m_ {2}} {2}} & j_ { 3} - {\ frac {j_ {1} + j_ {2} -m_ {3}} {2}} \ end {pmatrix}}.

Con las simetrías Regge, el símbolo 3- j tiene un total de 72 simetrías. Estos se muestran mejor mediante la definición de un símbolo de Regge que es una correspondencia de uno a uno entre él y un símbolo de 3 j y asume las propiedades de un cuadrado semi-mágico ^[3]

{\ displaystyle R = {\ begin {array} {| ccc |} \ hline -j_ {1} + j_ {2} + j_ {3} & j_ {1} -j_ {2} + j_ {3} & j_ {1 } + j_ {2} -j_ {3} \\ j_ {1} -m_ {1} & j_ {2} -m_ {2} & j_ {3} -m_ {3} \\ j_ {1} + m_ {1 } & j_ {2} + m_ {2} & j_ {3} + m_ {3} \\\ hline \ end {array}}}

¡Por lo que las 72 simetrías ahora corresponden a 3! fila y 3! Intercambios de columnas más una transposición de la matriz. Estos hechos se pueden utilizar para diseñar un esquema de almacenamiento efectivo. ^[4]

Relaciones de ortogonalidad [ editar ]

Un sistema de dos momentos angulares con magnitudes j ₁ y j ₂ , por ejemplo, puede describirse en términos de los estados de base no acoplados (marcados por los números cuánticos m ₁ y m ₂ ), o los estados de base acoplados (etiquetados por j ₃ y m ₃ ). Los símbolos 3- j constituyen una transformación unitaria entre estas dos bases, y esta unitaridad implica las relaciones de ortogonalidad,

${\displaystyle (2j_{3}+1)\sum _{m_{1}m_{2}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j'_{3}\\m_{1}&m_{2}&m'_{3}\end{pmatrix}}=\delta _{j_{3},j'_{3}}\delta _{m_{3},m'_{3}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}.}$

${\displaystyle \sum _{j_{3}m_{3}}(2j_{3}+1){\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}'&m_{2}'&m_{3}\end{pmatrix}}=\delta _{m_{1},m_{1}'}\delta _{m_{2},m_{2}'}.}$

El delta triangular { j ₁   j ₂   j ₃ } es igual a 1 cuando la tríada ( j ₁ , j ₂ , j ₃ ) satisface las condiciones del triángulo, y cero en caso contrario. El delta triangular a veces se denomina a veces confusamente ^[5] un "símbolo 3-j" (sin la "m") en analogía con los símbolos 6-j y 9-j , todos los cuales son sumas irreducibles de símbolos 3-jm donde no hay Las variables m permanecen.

Relación con armónicos esféricos [ editar ]

Los símbolos de 3 jm dan la integral de los productos de tres armónicos esféricos.

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & {} \ quad \ int Y_ {l_ {1} m_ {1}} (\ theta, \ varphi) Y_ {l_ {2} m_ {2}} (\ theta, \ varphi) Y_ {l_ {3} m_ {3}} (\ theta, \ varphi) \, \ sin \ theta \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} \ varphi \\ & = {\ sqrt {\ frac {(2l_ {1} +1) (2l_ {2} +1) (2l_ {3} +1)} {4 \ pi}}} {\ begin {pmatrix} l_ {1} & l_ {2 } & l_ {3} \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} l_ {1} & l_ {2} & l_ {3} \\ m_ {1} & m_ {2} & m_ {3} \ end {pmatrix }} \ end {alineado}}}

con $${\ displaystyle l_ {1}}, $${\ displaystyle l_ {2}} y $${\ displaystyle l_ {3}} enteros

Relación con las integrales de los armónicos esféricos ponderados por espín [ editar ]

Existen relaciones similares para los armónicos esféricos ponderados por giro si$${\ displaystyle s_ {1} + s_ {2} + s_ {3} = 0}:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & {} \ quad \ int d {\ mathbf {\ hat {n}}} \, {} _ {s_ {1}} Y_ {j_ {1} m_ {1}} ({\ mathbf {\ hat {n}}}) \, {} _ {s_ {2}} Y_ {j_ {2} m_ {2}} ({\ mathbf {\ hat {n}}}) \, {} _ {s_ {3}} Y_ {j_ {3} m_ {3}} ({\ mathbf {\ hat {n}}}) \\ [8pt] & = {\ sqrt {\ frac {(2j_ { 1} +1) (2j_ {2} +1) (2j_ {3} +1)} {4 \ pi}}} {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ m_ {1} & m_ {2} & m_ {3} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ - s_ {1} & - s_ {2} & - s_ {3} \ end {pmatrix}} \ end {alineado}}}

Las relaciones de recursividad [ editar ]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & {} \ quad - {\ sqrt {(l_ {3} \ mp s_ {3}) (l_ {3} \ pm s_ {3} +1)}} {\ begin {pmatrix} l_ {1} & l_ {2} & l_ {3} \\ s_ {1} & s_ {2} & s_ {3} \ pm 1 \ end {pmatrix}} \\ & = {\ sqrt {(l_ {1 } \ mp s_ {1}) (l_ {1} \ pm s_ {1} +1)}} {\ begin {pmatrix} l_ {1} & l_ {2} & l_ {3} \\ s_ {1} \ pm 1 & s_ {2} & s_ {3} \ end {pmatrix}} + {\ sqrt {(l_ {2} \ mp s_ {2}) (l_ {2} \ pm s_ {2} +1)}} {\ begin {pmatrix} l_ {1} & l_ {2} & l_ {3} \\ s_ {1} & s_ {2} \ pm 1 & s_ {3} \ end {pmatrix}} \ end {alineado}}}

Expresiones asintóticas [ editar ]

por $${\ displaystyle l_ {1} \ ll l_ {2}, l_ {3}}un símbolo 3- j distinto de cero tiene

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} l_ {1} & l_ {2} & l_ {3} \\ m_ {1} & m_ {2} & m_ {3} \ end {pmatrix}} \ approx (-1) ^ {l_ {3} + m_ {3}} {\ frac {d_ {m_ {1}, l_ {3} -l_ {2}} ^ {l_ {1}} (\ theta)} {\ sqrt {2l_ {3} +1}}}}

dónde $${\ displaystyle \ cos (\ theta) = - 2m_ {3} / (2l_ {3} +1)} y $${\ displaystyle d_ {mn} ^ {l}}Es una función de Wigner. En general, una mejor aproximación que obedece a la simetría de Regge está dada por

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} l_ {1} & l_ {2} & l_ {3} \\ m_ {1} & m_ {2} & m_ {3} \ end {pmatrix}} \ approx (-1) ^ {l_ {3} + m_ {3}} {\ frac {d_ {m_ {1}, l_ {3} -l_ {2}} ^ {l_ {1}} (\ theta)} {\ sqrt {l_ {2} + l_ {3} +1}}}}

dónde $${\ displaystyle \ cos (\ theta) = (m_ {2} -m_ {3}) / (l_ {2} + l_ {3} +1)}.

Tensor métrico [ editar ]

La siguiente cantidad actúa como un tensor métrico en la teoría del momento angular y también se conoce como un símbolo de Wigner 1-jm , ^[1]

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} j \\ m \ quad m '\ end {pmatrix}}: = {\ sqrt {2j + 1}} {\ begin {pmatrix} j & 0 & j \\ m & 0 & m' \ end {pmatrix} } = (- 1) ^ {j-m '} \ delta _ {m, -m'}}

Puede usarse para realizar la inversión de tiempo en momentos angulares.

Otras propiedades [ editar ]

{\ displaystyle \ sum _ {m} (- 1) ^ {jm} {\ begin {pmatrix} j & j & J \\ m & -m & 0 \ end {pmatrix}} = {\ sqrt {2j + 1}} ~ \ delta _ { J, 0}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int _ {- 1} ^ {1} P_ {l_ {1}} (x) P_ {l_ {2}} (x) P_ {l} (x ) \, dx = {\ begin {pmatrix} l & l_ {1} & l_ {2} \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}} ^ {2}}

Relación con los coeficientes de Racah V [ editar ]

Los símbolos Wigner 3-j están relacionados con los coeficientes de Racah V ^[6] por una fase simple:

{\ displaystyle V (j_ {1} j_ {2} j_ {3}; m_ {1} m_ {2} m_ {3}) = (- 1) ^ {j_ {1} -j_ {2} -j_ { 3}} {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ m_ {1} & m_ {2} & m_ {3} \ end {pmatrix}}}

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Diagrama de Jucys para el símbolo Wigner 6-j. El signo más en los nodos indica una lectura en sentido contrario a las agujas del reloj de sus líneas circundantes. Debido a sus simetrías, hay muchas formas en que se puede dibujar el diagrama. Se puede crear una configuración equivalente tomando su imagen reflejada y, por lo tanto, cambiando las ventajas a menos.

Los símbolos 6- j de Wigner fueron introducidos por Eugene Paul Wigner en 1940 y publicados en 1965. Se definen como una suma sobre los productos de cuatro símbolos Wigner 3-j ,

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ j_ {4} & j_ {5} & j_ {6} \ end {Bmatrix}} = \ sum _ {m_ {1} , \ dots, m_ {6}} (- 1) ^ {\ sum _ {k = 1} ^ {6} (j_ {k} -m_ {k})} {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ - m_ {1} & - m_ {2} & - m_ {3} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {5} & j_ {6} \\ m_ {1} & - m_ {5} & m_ {6} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} j_ {4} & j_ {2} & j_ {6} \\ m_ {4} & m_ {2} & -m_ {6} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} j_ {4} & j_ {5} & j_ {3} \\ - m_ {4} & m_ {5} & m_ {3} \ end {pmatrix} }.}

La suma es sobre los seis m _i permitidos por las reglas de selección de los símbolos de 3 j .

Están estrechamente relacionados con los coeficientes W de Racah , que se utilizan para el acoplamiento de 3 momentos angulares, aunque los símbolos Wigner 6- j tienen mayor simetría y, por lo tanto, proporcionan un medio más eficiente para almacenar los coeficientes de acoplamiento. ^[1] Su relación está dada por:

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ j_ {4} & j_ {5} & j_ {6} \ end {Bmatrix}} = (- 1) ^ {j_ { 1} + j_ {2} + j_ {4} + j_ {5}} W (j_ {1} j_ {2} j_ {5} j_ {4}; j_ {3} j_ {6}).}

Las relaciones de simetría [ editar ]

El símbolo 6- j es invariante bajo cualquier permutación de las columnas:

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ j_ {4} & j_ {5} & j_ {6} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {Bmatrix} j_ { 2} & j_ {1} & j_ {3} \\ j_ {5} & j_ {4} & j_ {6} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {Bmatrix} j_ {1} & j_ {3} & j_ {2} \ \ j_ {4} & j_ {6} & j_ {5} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {Bmatrix} j_ {3} & j_ {2} & j_ {1} \\ j_ {6} & j_ {5} & j_ { 4} \ end {Bmatrix}} = \ cdots}

El símbolo 6- j también es invariante si los argumentos superior e inferior se intercambian en cualquiera de las dos columnas:

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ j_ {4} & j_ {5} & j_ {6} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {Bmatrix} j_ { 4} & j_ {5} & j_ {3} \\ j_ {1} & j_ {2} & j_ {6} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {Bmatrix} j_ {1} & j_ {5} & j_ {6} \ \ j_ {4} & j_ {2} & j_ {3} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {Bmatrix} j_ {4} & j_ {2} & j_ {6} \\ j_ {1} & j_ {5} & j_ { 3} \ end {Bmatrix}}.}

Estas ecuaciones reflejan las 24 operaciones de simetría del grupo de automorfismo que dejan el gráfico tetraédrico de Yutsis asociado con 6 bordes invariantes: operaciones de espejo que intercambian dos vértices y cambian un par de bordes adyacentes.

El símbolo 6- j

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ j_ {4} & j_ {5} & j_ {6} \ end {Bmatrix}}}

es cero a menos que j ₁ , j ₂ y j ₃ satisfagan las condiciones del triángulo, es decir,

$${\ displaystyle j_ {1} = | j_ {2} -j_ {3} |, \ ldots, j_ {2} + j_ {3}}

En combinación con la relación de simetría para intercambiar argumentos superiores e inferiores, esto muestra que las condiciones del triángulo también deben cumplirse para las tríadas ( j ₁ , j ₅ , j ₆ ), ( j ₄ , j ₂ , j ₆ ) y ( j ₄ , j ₅ , j ₃ ). Además, la suma de cada uno de los elementos de una tríada debe ser un número entero. Por lo tanto, los miembros de cada tríada son todos enteros o contienen un entero y dos semi-enteros.

Caso especial [ editar ]

Cuando j ₆ = 0 la expresión para el símbolo 6- j es:

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ j_ {4} & j_ {5} & 0 \ end {Bmatrix}} = {\ frac {\ delta _ {j_ {2 }, j_ {4}} \ delta _ {j_ {1}, j_ {5}}} {\ sqrt {(2j_ {1} +1) (2j_ {2} +1)}}} (- 1) ^ {j_ {1} + j_ {2} + j_ {3}} {\ begin {Bmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \ end {Bmatrix}}.}

El delta triangular { j ₁   j ₂   j ₃ } es igual a 1 cuando la tríada ( j ₁ , j ₂ , j ₃ ) satisface las condiciones del triángulo, y cero en caso contrario. Las relaciones de simetría se pueden usar para encontrar la expresión cuando otro j es igual a cero.

Ortogonalidad relación [ editar ]

Los símbolos 6- j satisfacen esta relación de ortogonalidad:

{\ displaystyle \ sum _ {j_ {3}} (2j_ {3} +1) {\ begin {Bmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ j_ {4} & j_ {5} & j_ { 6} \ end {Bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ j_ {4} & j_ {5} & j_ {6} '\ end {Bmatrix}} = {\ frac {\ delta _ {j_ {6} ^ {} j_ {6} '}} {2j_ {6} +1}} {\ begin {Bmatrix} j_ {1} & j_ {5} & j_ {6} \ end { Bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} j_ {4} & j_ {2} & j_ {6} \ end {Bmatrix}}.

Asintotica [ editar ]

Una fórmula notable para el comportamiento asintótico del símbolo 6- j fue conjeturada por primera vez por Ponzano y Regge ^[2] y luego probada por Roberts. ^[3] La fórmula asintótica se aplica cuando los seis números cuánticos j ₁ , ..., j ₆ se consideran grandes y se asocian al símbolo 6- j de la geometría de un tetraedro. Si el símbolo 6- j está determinado por los números cuánticos j ₁ , ..., j _6, el tetraedro asociado tiene longitudes de borde J _i = j _i +1/2 (i = 1, ..., 6) y el asintótico la fórmula está dada por

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} \\ j_ {4} & j_ {5} & j_ {6} \ end {Bmatrix}} \ sim {\ frac {1} { \ sqrt {12 \ pi | V |}}} \ cos {\ left (\ sum _ {i = 1} ^ {6} J_ {i} \ theta _ {i} + {\ frac {\ pi} {4 }}\Correcto)}.}

La notación es la siguiente: Cada θ _i es el ángulo diedro externo sobre el borde J _i del tetraedro asociado y el factor de amplitud se expresa en términos del volumen, V , de este tetraedro.

Interpretación matemática [ editar ]

En teoría de la representación , los símbolos 6- j son coeficientes matriciales del isomorfismo asociado en una categoría de tensor . ^[4] Por ejemplo, si nos dan tres representaciones V _i , V _j , V _k de un grupo (o grupo cuántico), uno tiene un isomorfismo natural

$${\ displaystyle (V_ {i} \ otimes V_ {j}) \ otimes V_ {k} \ a V_ {i} \ otimes (V_ {j} \ otimes V_ {k})}

de las representaciones de productos tensoriales, inducidas por coasociatividad de la bialgebra correspondiente . Uno de los axiomas que definen una categoría monoidal es que los asociados satisfacen una identidad de pentágono, que es equivalente a la identidad de Biedenharn-Elliot para los símbolos de 6 j .

Cuando una categoría monoidal es semisimple, podemos restringir nuestra atención a objetos irreducibles y definir espacios de multiplicidad.

$${\ displaystyle H_ {i, j} ^ {\ ell} = \ operatorname {Hom} (V _ {\ ell}, V_ {i} \ otimes V_ {j})}

Para que los productos tensoriales se descompongan como:

$${\ displaystyle V_ {i} \ otimes V_ {j} = \ bigoplus _ {\ ell} H_ {i, j} ^ {\ ell} \ otimes V _ {\ ell}}

donde la suma es sobre todas las clases de isomorfismo de objetos irreductibles. Entonces:

$${\ displaystyle (V_ {i} \ otimes V_ {j}) \ otimes V_ {k} \ cong \ bigoplus _ {\ ell, m} H_ {i, j} ^ {\ ell} \ otimes H _ {\ ell, k} ^ {m} \ otimes V_ {m} \ qquad {\ text {while}} \ qquad V_ {i} \ otimes (V_ {j} \ otimes V_ {k}) \ cong \ bigoplus _ {m, n } H_ {i, n} ^ {m} \ otimes H_ {j, k} ^ {n} \ otimes V_ {m}}

El isomorfismo asociativo induce un isomorfismo espacio vectorial.

$${\ displaystyle \ Phi _ {i, j} ^ {k, m}: \ bigoplus _ {\ ell} H_ {i, j} ^ {\ ell} \ otimes H _ {\ ell, k} ^ {m} \ to \ bigoplus _ {n} H_ {i, n} ^ {m} \ otimes H_ {j, k} ^ {n}}

y los símbolos 6j se definen como los mapas componentes:

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} i & j & \ ell \\ k & m & n \ end {Bmatrix}} = (\ Phi _ {i, j} ^ {k, m}) _ {\ ell, n}}

Cuando los espacios de multiplicidad tienen elementos de base canónicos y dimensión a lo sumo uno (como en el caso de SU (2) en la configuración tradicional), estos mapas de componentes pueden interpretarse como números, y los símbolos de 6 j se convierten en coeficientes de matriz ordinarios.

En términos abstractos, los símbolos 6- j son precisamente la información que se pierde al pasar de una categoría monoidal a su grupo Grothendieck , ya que uno puede reconstruir una estructura monoidal usando el asociador. Para el caso de representaciones de un grupo finito, la tabla de caracteres , junto con sus símbolos 6- j , determina de forma única el grupo hasta el isomorfismo, mientras que la tabla de caracteres por sí sola no lo hace.