MECÁNICA CUÁNTICA

Las formulaciones matemáticas de la mecánica cuántica son aquellos formalismos matemáticos que permiten una descripción rigurosa de la mecánica cuántica . Tales se distinguen de los formalismos matemáticos para las teorías desarrolladas antes de principios de 1900 mediante el uso de estructuras matemáticas abstractas, como los espacios de Hilbert de dimensión infinita y los operadores en estos espacios. Muchas de estas estructuras provienen del análisis funcional , un área de investigación dentro de las matemáticas puras que fue influenciada en parte por las necesidades de la mecánica cuántica. En resumen, los valores de los observables físicos como la energía y el impulso.ya no se consideraban como valores de funciones en el espacio de fase , sino como valores propios ; más precisamente como valores espectrales de operadores lineales en el espacio de Hilbert. ^[1]

Estas formulaciones de la mecánica cuántica se siguen utilizando hoy en día. En el corazón de la descripción se encuentran ideas de estado cuántico y observables cuánticos que son radicalmente diferentes de los utilizados en modelos anteriores de realidad física. Si bien las matemáticas permiten el cálculo de muchas cantidades que pueden medirse experimentalmente, existe un límite teórico definido para los valores que pueden medirse simultáneamente. Esta limitación fue aclarada por primera vez por Heisenberg a través de un experimento mental , y está representada matemáticamente en el nuevo formalismo por la no conmutatividad de operadores que representan observables cuánticos.

Antes de la aparición de la mecánica cuántica como una teoría separada , las matemáticas utilizadas en física consistían principalmente en el análisis matemático formal , comenzando con el cálculo y aumentando la complejidad hasta la geometría diferencial y las ecuaciones diferenciales parciales . La teoría de la probabilidadfue utilizada en la mecánica estadística . La intuición geométrica jugó un papel importante en las dos primeras y, en consecuencia, las teorías de la relatividad.Fueron formulados enteramente en términos de conceptos geométricos. La fenomenología de la física cuántica surgió aproximadamente entre 1895 y 1915, y durante los 10 a 15 años anteriores a la aparición de la teoría cuántica (alrededor de 1925) los físicos continuaron pensando en la teoría cuántica dentro de los límites de lo que ahora se llama física clásica , y en particular Dentro de las mismas estructuras matemáticas. El ejemplo más sofisticado de esto es la regla de cuantización de Sommerfeld-Wilson-Ishiwara , que se formuló enteramente en el espacio de fase clásico .

Historia del formalismo [ editar ]

La "vieja teoría cuántica" y la necesidad de nuevas matemáticas [ editar ]

Artículo principal: Teoría cuántica antigua.

En la década de 1890, Planck pudo derivar el espectro del cuerpo negro que luego se usó para evitar la catástrofe ultravioleta clásica al suponer de manera poco ortodoxa que, en la interacción de la radiación electromagnética con la materia , la energía solo podía intercambiarse en unidades discretas, lo que él llamó quanta. . Planck postuló una proporcionalidad directa entre la frecuencia de radiación y la cantidad de energía en esa frecuencia. La constante de proporcionalidad, h , ahora se llama constante de Planck en su honor.

En 1905, Einstein explicó ciertas características del efecto fotoeléctrico al suponer que los cuantos de energía de Planck eran partículas reales, que luego se denominaron fotones .

Todos estos desarrollos fueron fenomenológicos y desafiaron la física teórica de la época. Bohr y Sommerfeld modificaron la mecánica clásica en un intento de deducir el modelo de Bohr apartir de los primeros principios. Propusieron que, de todas las órbitas clásicas cerradas trazadas por un sistema mecánico en su espacio de fase , solo se permitían las que encerraban un área que era un múltiplo de la constante de Planck. La versión más sofisticada de este formalismo fue la llamada cuantización de Sommerfeld-Wilson-Ishiwara . Aunque el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno podría explicarse de esta manera, el espectro del átomo de helio (clásicamente unProblema de 3 cuerpos ) no se pudo predecir. El estado matemático de la teoría cuántica permaneció incierto durante algún tiempo.

En 1923, De Broglie propuso que la dualidad onda-partícula se aplicaba no solo a los fotones, sino a los electrones y a cualquier otro sistema físico.

La situación cambió rápidamente en los años 1925–1930, cuando se encontraron fundamentos matemáticos a través del innovador trabajo de Erwin Schrödinger , Werner Heisenberg , Max Born , Pascual Jordan y el trabajo fundacional de John von Neumann , Hermann Weyl y Paul Dirac , y fue posible unificar varios enfoques diferentes en términos de un nuevo conjunto de ideas. La interpretación física de la teoría también se aclaró en estos años después de que Werner Heisenberg descubrió las relaciones de incertidumbre y Niels Bohr introdujo la idea de la complementariedad .

La "nueva teoría cuántica" [ editar ]

La mecánica de la matriz de Werner Heisenberg fue el primer intento exitoso de replicar la cuantización observada de los espectros atómicos . Más tarde, en el mismo año, Schrödinger creó su mecánica de olas . El formalismo de Schrödinger se consideraba más fácil de entender, visualizar y calcular, ya que conducía a ecuaciones diferenciales , que los físicos ya estaban familiarizados con la resolución. Dentro de un año, se demostró que las dos teorías eran equivalentes.

El propio Schrödinger inicialmente no entendió la naturaleza probabilística fundamental de la mecánica cuántica, ya que pensó que el cuadrado absoluto de la función de onda de un electrón debería interpretarse como la densidad de carga de un objeto manchado en un volumen de espacio extendido, posiblemente infinito. . Fue Max Born quien introdujo la interpretación del cuadrado absoluto de la función de onda como la distribución de probabilidad de la posición de un objeto puntual . La idea de Born pronto fue tomada por Niels Bohr en Copenhague, quien luego se convirtió en el "padre" de la interpretación de la mecánica cuántica de Copenhague. Función de onda de Schrödingerpuede verse que está estrechamente relacionado con la clásica ecuación de Hamilton-Jacobi . La correspondencia con la mecánica clásica era aún más explícita, aunque algo más formal, en la mecánica matricial de Heisenberg. En su proyecto de tesis doctoral, Paul Dirac ^[2] descubrió que la ecuación para los operadores en la representación de Heisenberg , como se le llama ahora, se traduce en ecuaciones clásicas para la dinámica de ciertas cantidades en el formalismo hamiltoniano de la mecánica clásica, cuando uno Los expresa a través de los corchetes de Poisson , un procedimiento ahora conocido como cuantificación canónica .

Para ser más precisos, ya antes de Schrödinger, el joven postdoctoral Werner Heisenberg inventó su mecánica matricial , que fue la primera mecánica cuántica correcta: el avance esencial. La formulación de la mecánica de matrices de Heisenberg se basaba en álgebras de matrices infinitas, una formulación muy radical a la luz de las matemáticas de la física clásica, aunque partió de la terminología de índices de los experimentalistas de esa época, ni siquiera consciente de que sus "esquemas de índices" Eran matrices, como Born le señaló pronto. De hecho, en estos primeros años, el álgebra lineal no era generalmente popular entre los físicos en su forma actual.

Aunque el propio Schrödinger después de un año demostró la equivalencia de su mecánica ondulatoria y la mecánica matricial de Heisenberg, la reconciliación de los dos enfoques y su abstracción moderna como movimientos en el espacio de Hilbert generalmente se atribuye a Paul Dirac , quien escribió un relato lúcido en su clásico de 1930. Los principios de la mecánica cuántica . Es el tercer pilar, y posiblemente el más importante, de ese campo (pronto fue el único que descubrió una generalización relativista de la teoría). En su relato mencionado anteriormente, introdujo la notación bra-ket , junto con una formulación abstracta en términos del espacio de Hilbert utilizado en el análisis funcional.; mostró que los enfoques de Schrödinger y Heisenberg eran dos representaciones diferentes de la misma teoría, y encontró una tercera, la más general, que representaba la dinámica del sistema. Su trabajo fue particularmente fructífero en todo tipo de generalizaciones del campo.

La primera formulación matemática completa de este enfoque, conocida como los axiomas de Dirac-von Neumann , se acredita generalmente en el libro de John von Neumann , 1932 Mathematical Foundations of Quantum Mechanics , aunque Hermann Weyl ya se había referido a los espacios de Hilbert (a los que llamó espacios unitarios ) En su clásico de 1927 de papel y libro. Fue desarrollado en paralelo con un nuevo enfoque de la teoría espectral matemática basada en operadores lineales en lugar de las formas cuadráticas que fue David Hilbert.Se acercó una generación anterior. Aunque las teorías de la mecánica cuántica continúan evolucionando hasta nuestros días, existe un marco básico para la formulación matemática de la mecánica cuántica que subyace en la mayoría de los enfoques y se remonta al trabajo matemático de John von Neumann . En otras palabras, las discusiones sobre la interpretación de la teoría , y las extensiones de la misma, ahora se realizan principalmente sobre la base de suposiciones compartidas sobre los fundamentos matemáticos.

Desarrollos posteriores [ editar ]

La aplicación de la nueva teoría cuántica al electromagnetismo dio como resultado la teoría cuántica de campos , que se desarrolló a partir de 1930. La teoría cuántica de campos ha impulsado el desarrollo de formulaciones más sofisticadas de la mecánica cuántica, de las cuales las que aquí se presentan son casos especiales simples.

• Formulación integral del camino.
• Formulación espacio-fase de la mecánica cuántica y cuantización geométrica.
• Formulación de partículas firmadas ^[3]
• Teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo curvo.
• Teoría de campos cuántica axiomática , algebraica y constructiva.
• C * formalismo algebraico
• Modelo estadístico generalizado de mecánica cuántica.

En un frente diferente, von Neumann originalmente envió una medición cuántica con su infame postulado sobre el colapso de la función de onda , lo que plantea una serie de problemas filosóficos. Durante los 70 años transcurridos, el problema de la medición se convirtió en un área de investigación activa y generó nuevas formulaciones de mecánica cuántica.

• Estado relativo / Interpretación de la mecánica cuántica en muchos mundos.
• Decoherencia
• Historias consistentes en formulación de mecánica cuántica.
• Formulación de la lógica cuántica de la mecánica cuántica.

Un tema relacionado es la relación con la mecánica clásica. Se supone que cualquier nueva teoría física se reducirá a las antiguas teorías exitosas en alguna aproximación. Para la mecánica cuántica, esto se traduce en la necesidad de estudiar el llamado límite clásico de la mecánica cuántica . Además, como enfatizó Bohr, las habilidades cognitivas humanas y el lenguaje están inextricablemente vinculados al reino clásico, por lo que las descripciones clásicas son intuitivamente más accesibles que las cuánticas. En particular, la cuantificación , a saber, la construcción de una teoría cuántica cuyo límite clásico es una teoría clásica dada y conocida, se convierte en un área importante de la física cuántica en sí misma.

Finalmente, algunos de los creadores de la teoría cuántica (en particular Einstein y Schrödinger) estaban descontentos con lo que pensaban que eran las implicaciones filosóficas de la mecánica cuántica. En particular, Einstein tomó la posición de que la mecánica cuántica debe estar incompleta, lo que motivó la investigación de las llamadas teorías de variables ocultas . El problema de las variables ocultas se ha convertido en parte en un problema experimental con la ayuda de la óptica cuántica .

• de Broglie - Bohm - Formulación de onda piloto de campana de la mecánica cuántica
• Las desigualdades de campana
• Teorema de Kochen-Specker

Estructura matemática de la mecánica cuántica [ editar ]

Un sistema físico es generalmente descrito por tres ingredientes básicos: estados ; observables ; y la dinámica (o ley de la evolución del tiempo ) o, más generalmente, un grupo de simetrías físicas . Una descripción clásica se puede dar de una manera bastante directa mediante un modelo de mecánica de fase-espacio : los estados son puntos en un espacio de fase simpléctico , las funciones observables son valores reales en él, la evolución temporal viene dada por un grupo de transformaciones simplécticas de un solo parámetro. Del espacio de fase, y las simetrías físicas se realizan mediante transformaciones simplécticas. Una descripción cuántica normalmente consiste en un espacio de HilbertDe los estados, los observables son operadores autoadjuntos en el espacio de estados, la evolución temporal viene dada por un grupo de un parámetro de transformaciones unitarias en el espacio de estados de Hilbert, y las simetrías físicas se realizan mediante transformaciones unitarias. (Es posible, mapear esta imagen del espacio de Hilbert a una formulación de espacio de fase , de forma invertida. Vea a continuación).

Postulados de la mecánica cuántica [ editar ]

El siguiente resumen del marco matemático de la mecánica cuántica se remonta en parte a los axiomas de Dirac-von Neumann .

• Cada sistema físico está asociado con un (topológicamente) separable complejo espacio de Hilbert H con producto interno ⟨ varphi | Psi ⟩. Los rayos (es decir, los subespacios de dimensión compleja 1) en H están asociados con los estados cuánticos del sistema. En otras palabras, los estados cuánticos pueden identificarse con clases de equivalencia de vectores de longitud 1 en H , donde dos vectores representan el mismo estado si difieren solo por un factor de fase . Posibilidad de separaciónes una hipótesis matemáticamente conveniente, con la interpretación física de que, por supuesto, muchas observaciones son suficientes para determinar de manera única el estado. "Un estado mecánico cuántico es un rayo en el espacio proyectivo de Hilbert , no un vector . Muchos libros de texto no logran hacer esta distinción, lo que podría deberse en parte al hecho de que la ecuación de Schrödinger en sí misma involucra" vectores "del espacio de Hilbert, con el resultado que el uso impreciso del "vector de estado" en lugar del rayo es muy difícil de evitar ". ^[4]

• El espacio de Hilbert de un sistema compuesto es el producto del tensor de espacio de Hilbert de los espacios de estado asociados con los sistemas de componentes (por ejemplo, JM Jauch, Fundamentos de la mecánica cuántica , sección 11.7). Para un sistema no relativista que consiste en un número finito de partículas distinguibles, los sistemas componentes son las partículas individuales.

• Las simetrías físicas actúan sobre el espacio de Hilbert de los estados cuánticos de manera unitaria o antiunitaria debido al teorema de Wigner (la supersimetría es otra cuestión completamente).

• Físicos observables están representados por hermitianos matrices en H .

• El valor de expectativa (en el sentido de la teoría de probabilidad) del observable A para el sistema en el estado representado por el vector unitario ψ ∈ H es

$${\ displaystyle \ langle \ psi \ mid A \ mid \ psi \ rangle}

• Por teoría espectral , podemos asociar una medida de probabilidad para los valores de A en cualquier estado ψ . También se puede demostrar que los valores posibles de lo observable A en cualquier estado deben pertenecer al espectro de una . En el caso especial, A tiene solo un espectro discreto , los posibles resultados de medir A son sus valores propios . Más precisamente, si representan el estado ψ en la base formada por los vectores propios de A, entonces el cuadrado del módulo del componente unido a un vector propio dado es la probabilidad de observar su valor propio correspondiente.

• Más generalmente, un estado puede representarse por un operador llamado de densidad , que es una clase de traza , el operador auto-adjunto no negativo ρ normalizado para ser de la traza 1. El valor esperado de Aen el estado ρ es

$${\ displaystyle \ operatorname {tr} (A \ rho)}

• Si ρ _ψ es el proyector ortogonal en el subespacio unidimensional de H que abarca | Psi ⟩ , entonces

$${\ displaystyle \ operatorname {tr} (A \ rho _ {\ psi}) = \ left \ langle \ psi \ mid A \ mid \ psi \ right \ rangle}

• Los operadores de densidad son aquellos que están en el cierre del casco convexo de los proyectores ortogonales unidimensionales. A la inversa, los proyectores ortogonales unidimensionales son puntos extremos del conjunto de operadores de densidad. Los físicos también llaman a los proyectores ortogonales unidimensionales estados puros y otros operadores de densidad estados mixtos .

En este formalismo, se puede establecer el principio de incertidumbre de Heisenberg y demostrarlo como un teorema, aunque la secuencia histórica exacta de los eventos, con respecto a quién derivó qué y en qué marco, es el tema de las investigaciones históricas fuera del alcance de este artículo.

Además, a los postulados de la mecánica cuántica también se deben agregar declaraciones básicas sobre las propiedades del giro y el principio de exclusión de Pauli , ver más abajo.

Fotos de dinámica [ editar ]

Artículo principal: Imágenes dinámicas.

• En la llamada imagen de Schrödinger de la mecánica cuántica, la dinámica se da de la siguiente manera:

La evolución temporal del estado viene dada por una función diferenciable de los números reales R , que representan instantes de tiempo, al espacio de Hilbert de los estados del sistema. Este mapa se caracteriza por una ecuación diferencial de la siguiente manera: Si | ψ ( t )⟩ denota el estado del sistema en cualquier momento t, la siguiente ecuación de Schrödinger es válida:

Ecuación de Schrödinger (general) $${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {d} {dt}} \ left | \ psi (t) \ right \ rangle = H \ left | \ psi (t) \ right \ rangle}

donde H es un operador auto-adjunto densamente definido, llamado sistema Hamiltoniano , i es la unidad imaginaria y ħ es la constante de Planck reducida . Como observable, H corresponde a la energía total del sistema.

Alternativamente, según el teorema de Stone, se puede afirmar que existe un mapa unitario de un parámetro fuertemente continuo U ( t ) : H → H tal que

$${\ displaystyle \ left | \ psi (t + s) \ right \ rangle = U (t) \ left | \ psi (s) \ right \ rangle}

para todos los tiempos s , t . La existencia de un Hamiltoniano autoadjunto H tal que

$${\ displaystyle U (t) = e ^ {- (i / \ hbar) tH}}

es una consecuencia del teorema de Stone sobre grupos unitarios de un solo parámetro . Se supone que H no depende del tiempo y que la perturbación comienza en t ₀ = 0 ; de lo contrario, se debe usar la serie Dyson , escrita formalmente como

$${\ displaystyle U (t) = {\ mathcal {T}} \ left [\ exp \ left (- {\ frac {i} {\ hbar}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} \, {\ rm {d}} t '\, H (t') \ derecha) \ derecha] \ ,,}

dónde $${\ displaystyle {\ mathcal {T}}}es el símbolo de orden del tiempo de Dyson .

(Este símbolo permuta un producto de operadores no conmutadores de la forma

$${\ displaystyle B_ {1} (t_ {1}) \ cdot B_ {2} (t_ {2}) \ cdot \ dots \ cdot B_ {n} (t_ {n})}

en la expresión reordenada determinada únicamente

$${\ displaystyle B_ {i_ {1}} (t_ {i_ {1}}) \ cdot B_ {i_ {2}} (t_ {i_ {2}}) \ cdot \ dots \ cdot B_ {i_ {n}} (estaño}})} con $${\ displaystyle t_ {i_ {1}} \ geq t_ {i_ {2}} \ geq \ dots \ geq t_ {i_ {n}} \ ,.}

El resultado es una cadena causal, la causa principal en el pasado en los rs máximos, y finalmente el efectopresente en los lhs más extremos.)

• La imagen de Heisenberg de la mecánica cuántica se centra en los observables y, en lugar de considerar que los estados varían en el tiempo, considera que los estados son fijos y los observables como cambiantes. Para pasar de Schrödinger a la imagen de Heisenberg, uno necesita definir estados independientes del tiempo y operadores dependientes del tiempo, por lo tanto:

$${\ displaystyle \ left | \ psi \ right \ rangle = \ left | \ psi (0) \ right \ rangle}

$${\ displaystyle A (t) = U (-t) AU (t). \ quad}

Luego se comprueba fácilmente que los valores esperados de todos los observables son los mismos en ambas imágenes

$${\ displaystyle \ langle \ psi \ mid A (t) \ mid \ psi \ rangle = \ langle \ psi (t) \ mid A \ mid \ psi (t) \ rangle}

y que los operadores de Heisenberg dependientes del tiempo satisfacen

Foto de Heisenberg (general) $${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} A (t) = {\ frac {i} {\ hbar}} [H, A (t)] + {\ frac {\ partial A (t)} { \ parcial t}},}

lo cual es cierto para el tiempo dependiente de A = A ( t ) . Observe que la expresión del conmutador es puramente formal cuando uno de los operadores no tiene límites . Uno podría especificar una representación para que la expresión le dé sentido.

• La llamada imagen de Dirac o imagen de interacción tiene estados dependientes del tiempo y observables, que evolucionan con respecto a diferentes hamiltonianos. Esta imagen es más útil cuando la evolución de los observables se puede resolver exactamente, limitando cualquier complicación a la evolución de los estados. Por esta razón, el Hamiltoniano para los observables se llama "Hamiltoniano libre" y el Hamiltoniano para los estados se llama "Hamiltoniano de interacción". En simbolos:

Foto de Dirac $${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {d} {dt}} \ left | \ psi (t) \ right \ rangle = {H} _ {\ rm {int}} (t) \ left | \ psi (t ) \ right \ rangle} $${\ displaystyle i \ hbar {d \ over dt} A (t) = [A (t), H_ {0}].}

Sin embargo, la imagen de interacción no siempre existe. En las teorías de campos cuánticos que interactúan, el teorema de Haag establece que la imagen de interacción no existe. Esto se debe a que el Hamiltoniano no se puede dividir en una parte libre e interactiva dentro de un sector de superselección . Además, incluso si en la imagen de Schrödinger el Hamiltoniano no depende del tiempo, por ejemplo, H = H ₀ + V , en la imagen de interacción lo hace, al menos, si V no conmuta con H ₀ , ya que

$${\ displaystyle H _ {\ rm {int}} (t) \ equiv e ^ {{(i / \ hbar}) tH_ {0}} \, V \, e ^ {{(- i / \ hbar}) tH_ {0}}}.

Por lo tanto, la serie Dyson mencionada anteriormente tiene que usarse de todos modos.

La imagen de Heisenberg es la más cercana a la mecánica hamiltoniana clásica (por ejemplo, los conmutadores que aparecen en las ecuaciones anteriores se traducen directamente en los soportes clásicos de Poisson ); pero esto ya es más bien "alto", y la imagen de Schrödinger se considera más fácil de visualizar y comprender por la mayoría de las personas, a juzgar por los relatos pedagógicos de la mecánica cuántica. La imagen de Dirac es la que se utiliza en la teoría de la perturbación y está especialmente asociada a la teoría cuántica de campos y la física de muchos cuerpos .

Se pueden escribir ecuaciones similares para cualquier grupo de simetrías unitarias de un solo parámetro del sistema físico. El tiempo se reemplazaría por una coordenada adecuada que parametrizara el grupo unitario (por ejemplo, un ángulo de rotación o una distancia de traslación) y el hamiltoniano se reemplazaría por la cantidad conservada asociada a la simetría (por ejemplo, momento angular o lineal).

Representaciones [ editar ]

La forma original de la ecuación de Schrödinger depende de la elección de una representación particular de las relaciones de conmutación canónicas de Heisenberg . El teorema de Stone-von Neumann establece que todas las representaciones irreductibles de las relaciones de conmutación de Heisenberg de dimensión finita son unitariamente equivalentes. Una comprensión sistemática de sus consecuencias ha llevado a la formulación de la mecánica cuántica en el espacio de fase , que funciona en el espacio de fase completa en lugar del espacio de Hilbert , por lo tanto, con un enlace más intuitivo al límite clásico del mismo. Esta imagen también simplifica las consideraciones de cuantización., la extensión de la deformación de la mecánica clásica a la cuántica.

El oscilador armónico cuántico es un sistema de solución exacta donde las diferentes representaciones se pueden comparar fácilmente. Allí, aparte de las representaciones de Heisenberg, Schrödinger (posición o momento) o espacio de fase, también se encuentra la representación Fock (número) y la representación Segal – Bargmann (espacio Fock o estado coherente) (llamada Irving Segal y Valentine Bargmann ). Los cuatro son unitariamente equivalentes.

El tiempo como operador [ editar ]

El marco presentado hasta ahora señala el tiempo como el parámetro del que todo depende. Es posible formular mecánicos de tal manera que el tiempo se convierta en un observable asociado a un operador autoadjuntado. En el nivel clásico, es posible parametrizar arbitrariamente las trayectorias de las partículas en términos de un parámetro no físico s , y en ese caso el tiempo t se convierte en una coordenada generalizada adicional del sistema físico. A nivel cuántico, las traducciones en s serían generadas por un H  -  E "hamiltoniano" , donde Ees el operador de energía y H es el hamiltoniano "ordinario". Sin embargo, desde ses un parámetro no físico , losestados físicos deben dejarse invariantes por " s -evolution", por lo que el espacio de estado físico es el núcleo de H  -  E (esto requiere el uso de un espacio de Hilbert amañado y una renormalización de la norma).

Esto se relaciona con la cuantización de sistemas restringidos y la cuantificación de teorías gauge . También es posible formular una teoría cuántica de "eventos" donde el tiempo se vuelve observable (ver D. Edwards).

Girar [ editar ]

Además de sus otras propiedades, todas las partículas poseen una cantidad llamada espín , un momento angular intrínseco . A pesar del nombre, las partículas no giran literalmente alrededor de un eje, y el giro mecánico cuántico no tiene correspondencia en la física clásica. En la representación de la posición, una función de onda sin giro tiene la posición ry el tiempo t como variables continuas, ψ = ψ ( r , t ) , para las funciones de onda del giro, el giro es una variable discreta adicional: ψ = ψ ( r , t , σ ) , donde σ toma los valores;

$${\ displaystyle \ sigma = -S \ hbar, - (S-1) \ hbar, \ dots, 0, \ dots, + (S-1) \ hbar, + S \ hbar \ ,.}

Es decir, el estado de una sola partícula con espín S se representa mediante un espinor componente (2 S + 1)de funciones de onda de valores complejos.

Dos clases de partículas con muy diferente comportamiento son bosones que tienen espín entero ( S  = 0, 1, 2 ... ), y fermiones que poseen giro de medio entero ( S  = ¹ / ₂ , ³ / ₂ , ⁵ / ₂ , ... ).

Principio de Pauli [ editar ]

La propiedad del giro se relaciona con otra propiedad básica concerniente a los sistemas de N partículas idénticas: el principio de exclusión de Pauli , que es una consecuencia del siguiente comportamiento de permutación de una función de onda de N- partículas; de nuevo en la representación de la posición, se debe postular que para la transposición de dos de las N partículas, siempre se debe tener

Principio de Pauli $${\ displaystyle \ psi (\ dots, \, \ mathbf {r} _ {i}, \ sigma _ {i}, \, \ dots, \, \ mathbf {r} _ {j}, \ sigma _ {j }, \, \ dots) = (- 1) ^ {2S} \ cdot \ psi (\ dots, \, \ mathbf {r} _ {j}, \ sigma _ {j}, \, \ dots, \ mathbf {r} _ {i}, \ sigma _ {i}, \, \ puntos)}

es decir, en la transposición de los argumentos de cualquiera de las dos partículas, la función de onda debería reproducirse , aparte de un prefactor (−1) ^2 S que es +1 para bosones , pero ( −1 ) para fermiones . Los electrones son fermiones con S  = 1/2 ; cuantos de luz son bosones con S  = 1 . En la mecánica cuántica no relativista, todas las partículas son bosones o fermiones ; En las teorías cuánticas relativistas también "supersimétricas".Existen teorías, donde una partícula es una combinación lineal de una parte bosónica y una parte fermiónica. Solo en la dimensión d = 2 se pueden construir entidades donde (−1) ^2 S se reemplaza por un número complejo arbitrario de magnitud 1, llamado anyons .

Aunque el espín y el principio de Pauli solo pueden derivarse de generalizaciones relativistas de la mecánica cuántica, las propiedades mencionadas en los últimos dos párrafos pertenecen a los postulados básicos ya en el límite no relativista. Especialmente, muchas propiedades importantes en la ciencia natural, por ejemplo, el sistema periódico de química, son consecuencias de las dos propiedades.

El problema de la medida [ editar ]

La imagen dada en los párrafos anteriores es suficiente para la descripción de un sistema completamente aislado. Sin embargo, no tiene en cuenta una de las principales diferencias entre la mecánica cuántica y la mecánica clásica, es decir, los efectos de la medición . ^[5] La descripción de von Neumann de la medición cuántica de un A observable , cuando el sistema se prepara en estado puro ψ es la siguiente (tenga en cuenta, sin embargo, que la descripción de von Neumann se remonta a la década de 1930 y se basa en experimentos realizados durante ese tiempo, más específicamente el experimento de Compton-Simon , no es aplicable a la mayoría de las mediciones actuales dentro del dominio cuántico):

• Que A tenga resolución espectral

$${\ displaystyle A = \ int \ lambda \, d \ operatorname {E} _ {A} (\ lambda),}

donde E _A es la resolución de la identidad (también llamado medida espectral ) asociado a A . Entonces, la probabilidad de que el resultado de la medición se encuentre en un intervalo B de R es | E _A ( B )  ψ | ² . En otras palabras, la probabilidad se obtiene al integrar la función característica de B contra la medida contable aditiva

$${\ displaystyle \ langle \ psi \ mid \ operatorname {E} _ {A} \ psi \ rangle.}

• Si el valor medido está contenido en B , inmediatamente después de la medición, el sistema estará en el estado (generalmente no normalizado) E _A ( B ) ψ . Si el valor medido no se encuentra en B , reemplace Bpor su complemento para el estado anterior.

Por ejemplo, supongamos que el espacio de estado es el complejo de n dimensiones. El espacio de Hilbert C ⁿ y A es una matriz hermitiana con valores propios λ _i , con los vectores propios correspondientes ψ _i . La medida con valor de proyección asociada con A , E _A , es entonces

$${\ displaystyle \ operatorname {E} _ {A} (B) = | \ psi _ {i} \ rangle \ langle \ psi _ {i} |,}

donde B es un conjunto Borel que contiene solo el valor propio λ _i . Si el sistema está preparado en estado.

$${\ displaystyle | \ psi \ rangle \,}

Entonces, la probabilidad de que una medición devuelva el valor λ _i puede calcularse integrando la medida espectral

$${\ displaystyle \ langle \ psi \ mid \ operatorname {E} _ {A} \ psi \ rangle}

sobre B _i . Esto da trivialmente.

$${\ displaystyle \ langle \ psi | \ psi _ {i} \ rangle \ langle \ psi _ {i} \ mid \ psi \ rangle = | \ langle \ psi \ mid \ psi _ {i} \ rangle | ^ {2 }.}

La propiedad característica del esquema de medición de von Neumann es que repetir la misma medición dará los mismos resultados. Esto también se llama el postulado de la proyección .

Una formulación más general reemplaza la medida con valor de proyección con una medida con valor de operador positivo (POVM) . Para ilustrar, retomamos el caso de dimensión finita. Aquí reemplazaríamos las proyecciones de rango 1.

$${\ displaystyle | \ psi _ {i} \ rangle \ langle \ psi _ {i} | \,}

por un conjunto finito de operadores positivos

$${\ displaystyle F_ {i} F_ {i} ^ {*} \,}

cuya suma sigue siendo el operador de identidad como antes (la resolución de identidad). Así como un conjunto de posibles resultados { λ ₁  ...  λ _n } se asocia a una medida con valor de proyección, lo mismo se puede decir para un POVM. Supongamos que el resultado de la medición es λ _i . En lugar de colapsar al estado (no normalizado)

$${\ displaystyle | \ psi _ {i} \ rangle \ langle \ psi _ {i} | \ psi \ rangle \,}

Después de la medición, el sistema ahora estará en el estado.

$${\ displaystyle F_ {i} | \ psi \ rangle. \,}

Dado que los operadores F _i F _i * no tienen que ser proyecciones mutuamente ortogonales, el postulado de proyección de von Neumann ya no es válido.

La misma formulación se aplica a los estados mixtos generales .

En el enfoque de von Neumann, la transformación de estado debida a la medición es distinta de la debida a la evolución del tiempo de varias maneras. Por ejemplo, la evolución del tiempo es determinista y unitaria, mientras que la medición no es determinista y no es unitaria. Sin embargo, dado que ambos tipos de transformación de estado llevan un estado cuántico a otro, muchos consideran que esta diferencia es insatisfactoria. El formalismo POVM considera la medición como una entre muchas otras operaciones cuánticas , que se describen mediante mapas completamente positivos que no aumentan la traza.

En cualquier caso, parece que los problemas mencionados anteriormente solo pueden resolverse si la evolución temporal incluyera no solo el sistema cuántico, sino también, y esencialmente, el aparato de medición clásico (ver arriba).

El estado relativo interpretación [ editar ]

Una interpretación alternativa de la medición es la interpretación relativa del estado de Everett , que más tarde se denominó " interpretación de los mundos múltiples " de la física cuántica.

Lista de herramientas matemáticas [ editar ]

Parte del folklore del sujeto se refiere a los física matemática de libros de texto Métodos de Física Matemáticareunidos por Richard Courant de David Hilbert 's Universidad de Göttingen cursos. La historia es contada (por los matemáticos) que los físicos habían descartado el material como no interesante en las áreas de investigación actuales, hasta el advenimiento de la ecuación de Schrödinger. En ese momento, se dio cuenta de que las matemáticas de la nueva mecánica cuántica ya estaban dispuestas en ella. También se dice que Heisenberg había consultado a Hilbert sobre su mecánica matricial., y Hilbert observó que su propia experiencia con matrices de dimensiones infinitas se había derivado de ecuaciones diferenciales, consejos que Heisenberg ignoró, perdiendo la oportunidad de unificar la teoría como hicieron Weyl y Dirac unos años más tarde. Cualquiera que sea la base de las anécdotas, las matemáticas de la teoría eran convencionales en ese momento, mientras que la física era radicalmente nueva.

Las herramientas principales incluyen:

• álgebra lineal : números complejos , vectores propios , valores propios
• Análisis funcional : espacios de Hilbert , operadores lineales , teoría espectral.
• Ecuaciones diferenciales : ecuaciones diferenciales parciales , separación de variables , ecuaciones diferenciales ordinarias , teoría de Sturm-Liouville , funciones propias
• Análisis armónico : transformadas de Fourier.