MECÁNICA CUÁNTICA

El cálculo cuántico , a veces llamado cálculo sin límites , es equivalente al cálculo infinitesimal tradicional sin la noción de límites . Define "q-calculus" y "h-calculus", donde ostensiblemente representa la constante de Planck, mientras que q representa la cuantía. Los dos parámetros están relacionados por la fórmula

$${\ displaystyle q = e ^ {ih} = e ^ {2 \ pi i \ hbar} \,}

dónde $${\ displaystyle \ scriptstyle \ hbar = {\ frac {h} {2 \ pi}} \,}Es la constante de Planck reducida .

Diferenciación [ editar ]

En el cálculo q y el cálculo h, los diferenciales de funciones se definen como

$${\ displaystyle d_ {q} (f (x)) = f (qx) -f (x) \,}

y

$${\ displaystyle d_ {h} (f (x)) = f (x + h) -f (x) \,}

respectivamente. Los derivados de funciones se definen como fracciones por la derivada q

$${\ displaystyle D_ {q} (f (x)) = {\ frac {d_ {q} (f (x))} {d_ {q} (x)}} = {\ frac {f (qx) -f (x)} {(q-1) x}}}

y por

$${\ displaystyle D_ {h} (f (x)) = {\ frac {d_ {h} (f (x))} {d_ {h} (x)}} = {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}

En el límite , cuando h va a 0, o de manera equivalente a q va a 1, estas expresiones toman la forma de la derivada del cálculo clásico.

Integración [ editar ]

q-integral [ editar ]

Una función F ( x ) es una antiderivada q de f ( x ) si D _q F ( x ) =  f ( x ). La q-antiderivada (o q-integral) se denota por$${\ displaystyle \ int f (x) \, d_ {q} x}y una expresión para F ( x ) se puede encontrar en la fórmula $${\ displaystyle \ int f (x) \, d_ {q} x = (1-q) \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} xq ^ {j} f (xq ^ {j})}que se llama la integral de Jackson de f ( x ). Para 0 < q <1 font=""> , la serie converge a una función F ( x ) en un intervalo (0, A ] si | f ( x ) x ^α | está delimitada en el intervalo (0, A ] para algunos 0 ≤ α < 1 .

La integral q es una integral de Riemann-Stieltjes con respecto a una función de paso que tiene infinitos puntos de aumento en los puntos q ^j , con el salto en el punto q ^{j que} es q ^j . Si llamamos a esta función de paso g _q ( t ) entonces dg _q ( t ) = d _q t . ^[1]

h-integral [ editar ]

Una función F ( x ) es una antiderivada h de f ( x ) si D _h F ( x ) =  f ( x ). La h-antiderivada (o h-integral) se denota por$${\ displaystyle \ int f (x) \, d_ {h} x}. Si a y b difieren en un múltiplo entero de h, entonces la integral definida$${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, d_ {h} x}viene dada por una suma de Riemann de f ( x ) en el intervalo [ a , b ] dividido en subintervalos de ancho  h .

Ejemplo [ editar ]

La derivada de la función. $${\ displaystyle x ^ {n}} (para algunos enteros positivos $${\ displaystyle n}) en el cálculo clásico es $${\ displaystyle nx ^ {n-1}}. Las expresiones correspondientes en q-calculus y h-calculus son

$${\ displaystyle D_ {q} (x ^ {n}) = {\ frac {q ^ {n} -1} {q-1}} x ^ {n-1} = [n] _ {q} \ x ^ {n-1}}

con el soporte q

$${\ displaystyle [n] _ {q} = {\ frac {q ^ {n} -1} {q-1}}}

y

$${\ displaystyle D_ {h} (x ^ {n}) = x ^ {n-1} + hx ^ {n-2} + \ cdots + h ^ {n-1}}

respectivamente. La expresion$${\ displaystyle [n] _ {q} x ^ {n-1}}es entonces el análogo de cálculo q de la regla de potencia simple para potencias integrales positivas. En este sentido, la función.$${\ displaystyle x ^ {n}}sigue siendo bueno en el cálculo q, pero bastante feo en el cálculo h - el análogo del cálculo h$${\ displaystyle x ^ {n}}es en cambio el factorial de caída ,$${\ displaystyle (x) _ {n}: = x (x-1) \ cdots (x-n + 1).} Uno puede avanzar y desarrollar, por ejemplo, nociones equivalentes de la expansión de Taylor , etcétera, e incluso llegar a los análogos del cálculo q para todas las funciones habituales que uno desearía tener, como un análogo para la función seno cuya función q El derivado es el análogo apropiado para el coseno .

Historia [ editar ]

El cálculo h es solo el cálculo de diferencias finitas , que había sido estudiado por George Boole y otros, y ha demostrado ser útil en varios campos, entre ellos la combinatoria y la mecánica de fluidos . El cálculo q, aunque en cierto sentido se remonta a Leonhard Euler y Carl Gustav Jacobi , recién comienza a ver más utilidad en la mecánica cuántica , teniendo una conexión íntima con las relaciones de conmutación y el álgebra de Lie .

Para una introducción más accesible y menos técnica a este tema, vea Introducción a la mecánica cuántica .

Funciones de onda del electrón en un átomo de hidrógeno a diferentes niveles de energía. La mecánica cuántica no puede predecir la ubicación exacta de una partícula en el espacio, solo la probabilidad de encontrarla en diferentes ubicaciones. ^[1] Las áreas más brillantes representan una mayor probabilidad de encontrar el electrón.

Parte de una serie en
Mecánica cuántica
$${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle} Ecuación de Schrödinger
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Ecuaciones
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Temas avanzados
Científicos
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La mecánica cuántica ( QM ; también conocida como física cuántica , teoría cuántica , modelo mecánico ondulatorioo mecánica matricial ), incluida la teoría del campo cuántico, es una teoría fundamental en física que describe la naturaleza en las escalas más pequeñas de los niveles de energía de los átomos y partículas subatómicas. . ^[2]

La física clásica , la física existente antes de la mecánica cuántica, describe la naturaleza a escala ordinaria (macroscópica). La mayoría de las teorías de la física clásica se pueden derivar de la mecánica cuántica como una aproximación válida a gran escala (macroscópica). ^[3] La mecánica cuántica difiere de la física clásica en que la energía , el momento , el momento angular y otras cantidades de un sistema unido están restringidos a valores discretos ( cuantificación ); Los objetos tienen características tanto de partículas como de ondas ( dualidad onda-partícula).); y hay límites a la precisión con la que se pueden medir las cantidades ( principio de incertidumbre ). ^{[nota 1]}

La mecánica cuántica surgió gradualmente de teorías para explicar las observaciones que no podían conciliarse con la física clásica, como la solución de Max Planck en 1900 para el problema de la radiación del cuerpo negro , y de la correspondencia entre energía y frecuencia en el artículo de Albert Einstein en 1905. lo que explica el efecto fotoeléctrico . Erwin Schrödinger , Werner Heisenberg , Max Born y otros reconsideraron profundamente la teoría cuántica temprana amediados de la década de 1920 . La teoría moderna está formulada en varios formalismos matemáticos especialmente desarrollados.. En una de ellas, una función matemática, la función de onda , proporciona información sobre la amplitud de probabilidad de la posición, el momento y otras propiedades físicas de una partícula .

Las aplicaciones importantes de la teoría cuántica ^[5] incluyen la química cuántica , la óptica cuántica , la computación cuántica , los imanes superconductores , los diodos emisores de luz y el láser , el transistor y los semiconductores como el microprocesador , imágenes médicas y de investigación tales como imágenes de resonancia magnética y electrones. La microscopía . Las explicaciones de muchos fenómenos biológicos y físicos están enraizadas en la naturaleza del enlace químico, sobre todo en la macro molécula de ADN.

Historia [ editar ]

Fisica moderna
$${\ displaystyle {\ hat {H}} | \ psi _ {n} (t) \ rangle = i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi _ {n} (t) \ sonar $${\ displaystyle {\ frac {1} {{c} ^ {2}}} {\ frac {{\ partial} ^ {2} {\ phi} _ {n}} {{\ partial t} ^ {2} }} - {{\ nabla} ^ {2} {\ phi} _ {n}} + {\ left ({\ frac {mc} {\ hbar}} \ right)} ^ {2} {\ phi} _ {n} = 0} Dinámicas de los colectores : ecuaciones de Schrödinger y Klein-Gordon
Fundadores[espectáculo]
Conceptos[espectáculo]
Ramas[espectáculo]
Científicos[espectáculo]
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Artículo principal: Historia de la mecánica cuántica.

La investigación científica sobre la naturaleza ondulatoria de la luz comenzó en los siglos XVII y XVIII, cuando científicos como Robert Hooke , Christiaan Huygens y Leonhard Euler propusieron una teoría ondulatoria de la luz basada en observaciones experimentales. ^[7] En 1803, Thomas Young , un polimatólogoinglés , realizó el famoso experimento de doble rendija que luego describió en un artículo titulado Sobre la naturaleza de la luz y los colores . Este experimento jugó un papel importante en la aceptación general de la teoría ondulatoria de la luz .

En 1838, Michael Faraday descubrió los rayos catódicos . Estos estudios fueron seguidos por la declaración de 1859 del problema de la radiación del cuerpo negro por Gustav Kirchhoff , la sugerencia de Ludwig Boltzmann de 1877 de que los estados de energía de un sistema físico pueden ser discretos y la hipótesis cuántica de 1900 de Max Planck . ^[8] La hipótesis de Planck de que la energía se irradia y se absorbe en "cuantos" discretos (o paquetes de energía) coincide exactamente con los patrones observados de la radiación del cuerpo negro.

En 1896, Wilhelm Wien determinó empíricamente una ley de distribución de la radiación del cuerpo negro, ^[9]conocida como la ley de Wien en su honor. Ludwig Boltzmann llegó a este resultado de forma independiente considerando las ecuaciones de Maxwell . Sin embargo, era válido solo en altas frecuencias y subestimaba la luminosidad en bajas frecuencias. Más tarde, Planck corrigió este modelo utilizando la interpretación estadística de la termodinámica de Boltzmann y propuso lo que ahora se llama la ley de Planck , que llevó al desarrollo de la mecánica cuántica.

Siguiendo la solución de Max Planck en 1900 para el problema de la radiación del cuerpo negro (reportado en 1859), Albert Einstein ofreció una teoría cuántica para explicar el efecto fotoeléctrico (1905, reportado en 1887). Alrededor de 1900–1910, la teoría atómica y la teoría corpuscular de la luz ^[10] llegaron a ser ampliamente aceptadas como un hecho científico; estas últimas teorías pueden verse como teorías cuánticas de la materia y la radiación electromagnética , respectivamente.

Entre los primeros en estudiar los fenómenos cuánticos en la naturaleza se encuentran Arthur Compton , CV Raman y Pieter Zeeman , cada uno de los cuales tiene un efecto cuántico que lleva su nombre. Robert Andrews Millikan estudió el efecto fotoeléctrico experimentalmente, y Albert Einstein desarrolló una teoría para ello. Al mismo tiempo, Ernest Rutherford descubrió experimentalmente el modelo nuclear del átomo, para el cual Niels Bohr desarrolló su teoría de la estructura atómica, que luego fue confirmada por los experimentos de Henry Moseley . En 1913, Peter Debye extendió la teoría de la estructura atómica de Niels Bohr, introduciendo órbitas elípticas., un concepto también introducido por Arnold Sommerfeld . ^[11] Esta fase es conocida como antigua teoría cuántica .

Según Planck, cada elemento de energía ( E ) es proporcional a su frecuencia ( ν ):

$${\ displaystyle E = h \ nu \},

Max Planck es considerado el padre de la teoría cuántica.

donde h es la constante de Planck .

Planck insistió cautelosamente en que esto era simplemente un aspecto de los procesos de absorción y emisión de radiación y no tenía nada que ver con la realidad física de la radiación en sí. ^[12] De hecho, consideró su hipótesis cuántica como un truco matemático para obtener la respuesta correcta en lugar de un descubrimiento considerable. ^[13] Sin embargo, en 1905, Albert Einsteininterpretó de manera realista la hipótesis cuántica de Planck y la utilizó para explicar el efecto fotoeléctrico , en el que la luz brillante sobre ciertos materiales puede expulsar electrones del material. Ganó el Premio Nobel de Física de 1921 por este trabajo.

Einstein desarrolló más esta idea para mostrar que una onda electromagnéticacomo la luz también podría describirse como una partícula (más tarde llamada fotón ), con una cantidad discreta de energía que dependía de su frecuencia. ^[14]

La Conferencia Solvay de 1927 en Bruselas.

Los cimientos de la mecánica cuántica se establecieron durante la primera mitad del siglo XX por Max Planck , Niels Bohr , Werner Heisenberg , Louis de Broglie , Arthur Compton , Albert Einstein , Erwin Schrödinger , Max Born , John von Neumann , Paul Dirac , Enrico Fermi , Wolfgang Pauli , Max von Laue , Freeman Dyson , David Hilbert , Wilhelm Wien , Satyendra Nath Bose , Arnold Sommerfeld, y otros . La interpretación de Copenhague de Niels Bohr fue ampliamente aceptada.

A mediados de la década de 1920, los desarrollos en la mecánica cuántica llevaron a convertirse en la formulación estándar para la física atómica. En el verano de 1925, Bohr y Heisenberg publicaron resultados que cerraron la vieja teoría cuántica. Debido a su comportamiento de partícula en ciertos procesos y medidas, los cuantos de luz se denominaron fotones (1926). En 1926, Erwin Schrödinger sugirió una ecuación diferencial parcial para las funciones de onda de partículas como los electrones. Y cuando se restringió efectivamente a una región finita, esta ecuación permitió solo ciertos modos, correspondientes a estados cuánticos discretos, cuyas propiedades resultaron ser exactamente las mismas que las implicadas por la mecánica matricial. ^[15]De la simple postulación de Einstein nació una serie de debates, teorizaciones y pruebas. Por lo tanto, surgió todo el campo de la física cuántica , lo que llevó a su aceptación más amplia en la Quinta Conferencia de Solvay en 1927. ^{[ cita requerida ]}

Se encontró que las partículas subatómicas y las ondas electromagnéticas no son simplemente partículas ni ondas, sino que tienen ciertas propiedades de cada una. Esto originó el concepto de dualidad onda-partícula . ^{[ cita requerida ]}

Para 1930, la mecánica cuántica se había unificado y formalizado aún más por el trabajo de David Hilbert , Paul Dirac y John von Neumann ^[16] con mayor énfasis en la medición , la naturaleza estadística de nuestro conocimiento de la realidad y la especulación filosófica sobre el "observador". . Desde entonces ha penetrado en muchas disciplinas, incluida la química cuántica , la electrónica cuántica , la óptica cuántica y la ciencia de la información cuántica . Sus desarrollos modernos especulativos incluyen la teoría de cuerdas y las teorías de gravedad cuántica . También proporciona un marco útil para muchas características de los modernostabla periódica de elementos , y describe los comportamientos de los átomos durante el enlace químico y el flujo de electrones en los semiconductores de computadora , y por lo tanto, desempeña un papel crucial en muchas tecnologías modernas. ^{[ cita requerida ]}

Si bien la mecánica cuántica se construyó para describir el mundo de lo muy pequeño, sino que también es necesario para explicar algunos macroscópicas fenómenos tales como superconductores , ^[17] y superfluidos . ^[18]

La palabra quantum deriva del latín , que significa "qué grande" o "cuánto". ^[19] En mecánica cuántica, se refiere a una unidad discreta asignada a ciertas cantidades físicas , como la energía de un átomo en reposo (ver Figura 1). El descubrimiento de que las partículas son paquetes discretos de energía con propiedades de onda llevó a la rama de la física que se ocupa de los sistemas atómicos y subatómicos, que hoy en día se denomina mecánica cuántica. Es la base de la matemática marco de muchos campos de la física y química , incluyendo condensada física de la materia , física del estado sólido ,física atómica , física molecular , física computacional , química computacional , química cuántica, la física de partículas , química nuclear , y la física nuclear . ^{[20] [se necesita una mejor fuente ]} Algunos aspectos fundamentales de la teoría aún se estudian activamente. ^[21]

La mecánica cuántica es esencial para comprender el comportamiento de los sistemas en escalas de longitud atómica y más pequeñas. Si la naturaleza física de un átomo fuera descrita únicamente por la mecánica clásica , los electrones no orbitarían el núcleo, ya que los electrones en órbita emitían radiación (debido al movimiento circular ) y chocaban rápidamente con el núcleo debido a esta pérdida de energía. Este marco no pudo explicar la estabilidad de los átomos. En cambio, los electrones permanecen en un orbital de partículas-onda incierto, no determinista, manchado y probabilístico alrededor del núcleo, desafiando los supuestos tradicionales de la mecánica clásica y el electromagnetismo .^[22]

La mecánica cuántica se desarrolló inicialmente para proporcionar una mejor explicación y descripción del átomo, especialmente las diferencias en los espectros de luz emitidos por diferentes isótopos del mismo elemento químico , así como las partículas subatómicas. En resumen, el modelo atómico cuántico-mecánico ha tenido un éxito espectacular en el ámbito donde la mecánica clásica y el electromagnetismo fallan.

En términos generales, la mecánica cuántica incorpora cuatro clases de fenómenos que la física clásica no puede explicar:

• cuantización de ciertas propiedades físicas
• entrelazamiento cuántico
• principio de incertidumbre
• dualidad onda-partícula

Sin embargo, más tarde, en octubre de 2018, los físicos informaron que el comportamiento cuántico se puede explicar con la física clásica para una sola partícula, pero no para las partículas múltiples como en el enredo cuántico y los fenómenos relacionados con la no localidad . ^[23] [24]

Formulaciones matemáticas [ editar ]

Artículo principal: Formulación matemática de la mecánica cuántica.

Ver también: Lógica cuántica.

En la formulación matemáticamente rigurosa de la mecánica cuántica desarrollada por Paul Dirac , ^[25] David Hilbert , ^[26] John von Neumann , ^[27] y Hermann Weyl , ^[28] se simbolizan los posibles estados de un sistema mecánico cuántico ^[29] como Vectores unitarios (llamados vectores de estado ). Formalmente, estos residen en un espacio complejo de Hilbert que se puede separar  , que se denomina espacio de estado o espacio de Hilbert asociado.del sistema, que está bien definido hasta un número complejo de norma 1 (el factor de fase). En otras palabras, los estados posibles son puntos en el espacio proyectivo de un espacio de Hilbert, generalmente llamado espacio proyectivo complejo . La naturaleza exacta de este espacio de Hilbert depende del sistema; por ejemplo, el espacio de estado para los estados de posición y de impulso es el espacio de funciones integrablesde forma cuadrada , mientras que el espacio de estado para el giro de un solo protón es solo el producto de dos planos complejos. Cada observable está representado por un operador lineal máximo hermitiano (precisamente: por un autoadjunto ) que actúa sobre el espacio de estado. Cada estado propiode un observable corresponde a un vector propio del operador, y el valor propio asociado corresponde al valor del observable en ese estado propio. Si el espectro del operador es discreto, el observable puede alcanzar solo esos valores propios discretos.

En el formalismo de la mecánica cuántica, el estado de un sistema en un momento dado se describe mediante una función de onda compleja , también conocida como vector de estado en un espacio vectorial complejo . ^[30]Este objeto matemático abstracto permite el cálculo de probabilidades de resultados de experimentos concretos. Por ejemplo, permite calcular la probabilidad de encontrar un electrón en una región particular alrededor del núcleo en un momento determinado. Contrariamente a la mecánica clásica, nunca se pueden hacer predicciones simultáneas de variables conjugadas, como la posición y el impulso, a la precisión arbitraria. Por ejemplo, se puede considerar (a cierta probabilidad) que los electrones están ubicados en algún lugar dentro de una región determinada del espacio, pero con sus posiciones exactas desconocidas. Los contornos de densidad de probabilidad constante, a menudo denominados "nubes", se pueden dibujar alrededor del núcleo de un átomo para conceptualizar dónde podría ubicarse el electrón con mayor probabilidad. El principio de incertidumbre de Heisenberg cuantifica la incapacidad de localizar con precisión la partícula dado su momento conjugado. ^[31]

De acuerdo con una interpretación, como resultado de una medición, la función de onda que contiene la información de probabilidad para un sistema colapsa desde un estado inicial dado a un estado propio en particular. Los posibles resultados de una medición son los valores propios del operador que representa lo observable, lo que explica la elección de los operadores hermitianos , para los cuales todos los valores propios son reales. La distribución de probabilidad de un observable en un estado dado se puede encontrar calculando la descomposición espectral del operador correspondiente. El principio de incertidumbre de Heisenberg está representado por la afirmación de que los operadores correspondientes a ciertos observables no conmutan .

La naturaleza probabilística de la mecánica cuántica se deriva así del acto de medición. Este es uno de los aspectos más difíciles de entender de los sistemas cuánticos. Fue el tema central en los famosos debates de Bohr-Einstein , en el que los dos científicos intentaron aclarar estos principios fundamentales a través de experimentos de pensamiento . En las décadas posteriores a la formulación de la mecánica cuántica, la cuestión de qué constituye una "medición" ha sido ampliamente estudiada. Se han formulado nuevas interpretaciones de la mecánica cuántica que eliminan el concepto de " colapso de la función de onda " (ver, por ejemplo, la interpretación del estado relativo).). La idea básica es que cuando un sistema cuántico interactúa con un aparato de medición, sus respectivas funciones de onda se enredan , de modo que el sistema cuántico original deja de existir como una entidad independiente. Para más detalles, vea el artículo sobre medición en mecánica cuántica . ^[32]

En general, la mecánica cuántica no asigna valores definidos. En cambio, hace una predicción utilizando una distribución de probabilidad ; es decir, describe la probabilidad de obtener los posibles resultados al medir un observable. A menudo, estos resultados están sesgados por muchas causas, como densas nubes de probabilidad. Las nubes de probabilidad son aproximadas (pero mejores que el modelo de Bohr ), por lo que la ubicación de los electrones viene dada por una función de probabilidad , el valor propio de la función de onda , de modo que la probabilidad es el módulo cuadrado de la amplitud compleja , o la atracción nuclear del estado cuántico . ^[33] [34]Naturalmente, estas probabilidades dependerán del estado cuántico en el "instante" de la medición. Por lo tanto, la incertidumbre está involucrada en el valor. Sin embargo, hay ciertos estados que están asociados con un valor definido de un observable particular. Estos se conocen como estados propios de lo observable ("eigen" puede traducirse del alemán como "inherente" o "característico"). ^[35]

En el mundo cotidiano, es natural e intuitivo pensar que todo (cada observable) está en un estado propio. Todo parece tener una posición definida, un impulso definido, una energía definida y un tiempo definido de ocurrencia. Sin embargo, la mecánica cuántica no señala los valores exactos de la posición y el momento de una partícula (ya que son pares conjugados ) o su energía y tiempo (ya que también son pares conjugados). Más bien, proporciona solo un rango de probabilidades en el que a esa partícula se le puede dar su momento y su probabilidad de momento. Por lo tanto, es útil usar diferentes palabras para describir estados que tienen valores inciertos y estados que tienen valores definidos (estados propios).

Por lo general, un sistema no estará en un estado propio del observable (partícula) que nos interesa. Sin embargo, si uno mide lo observable, la función de onda será instantáneamente un estado propio (o estado propio "generalizado") de ese observable. Este proceso se conoce como colapso de la función de onda , un proceso controvertido y muy debatido ^[36] que implica expandir el sistema en estudio para incluir el dispositivo de medición. Si se conoce la función de onda correspondiente en el instante anterior a la medición, se podrá calcular la probabilidad de que la función de onda se colapse en cada uno de los estados propios posibles.

Por ejemplo, la partícula libre en el ejemplo anterior usualmente tendrá una función de onda que es un paquete de onda centrado alrededor de alguna posición media x ₀ (ni un estado propio de posición ni de momento). Cuando se mide la posición de la partícula, es imposible predecir con certeza el resultado. ^[32] Es probable, pero no seguro, que esté cerca de x ₀ , donde la amplitud de la función de onda es grande. Después de que se realiza la medición, habiendo obtenido algún resultado x , la función de onda colapsa en un estado propio de posición centrado en x . ^[37]

La evolución temporal de un estado cuántico se describe mediante la ecuación de Schrödinger , en la que el Hamiltoniano (el operador correspondiente a la energía total del sistema) genera la evolución temporal. La evolución temporal de las funciones de onda es determinista en el sentido de que, dada una función de onda en un momento inicial , hace una predicción definitiva de cuál será la función de onda en cualquier momento posterior . ^[38]

Durante una medición , por otro lado, el cambio de la función de onda inicial a otra función de onda posterior no es determinista, es impredecible (es decir, aleatorio ). Una simulación de evolución en el tiempo se puede ver aquí. ^[39] [40]

Las funciones de onda cambian a medida que avanza el tiempo. La ecuación de Schrödinger describe cómo las funciones de onda cambian con el tiempo, desempeñando un papel similar a la segunda ley de Newton en la mecánica clásica . La ecuación de Schrödinger, aplicada al ejemplo antes mencionado de la partícula libre, predice que el centro de un paquete de ondas se moverá a través del espacio a una velocidad constante (como una partícula clásica sin fuerzas que actúen sobre él). Sin embargo, el paquete de onda también se extenderá a medida que avanza el tiempo, lo que significa que la posición se vuelve más incierta con el tiempo. Esto también tiene el efecto de convertir un estado propio de posición (que se puede considerar como un paquete de onda infinitamente afilada) en un paquete de onda ampliado que ya no representa un estado propio de posición (definido, cierto).^[41]

Fig. 1: Densidades de probabilidadcorrespondientes a las funciones de onda de un electrón en un átomo de hidrógeno que posee niveles de energía definidos (que se incrementan desde la parte superior de la imagen hasta la parte inferior: n = 1, 2, 3, ...) y momentos de ángulos ( Aumentar de izquierda a derecha: s , p , d , ...). Las áreas más densas corresponden a una mayor densidad de probabilidad en una medición de posición. Dichas funciones de onda son directamente comparables a las figuras de Chladni de los modos de vibración acústicos en la física clásica , y también son modos de oscilación, que poseen una energía aguda y, por lo tanto, una frecuencia definida . losel momento angular y la energía se cuantifican , y solo toman valores discretos como los que se muestran (como es el caso de las frecuencias resonantesen la acústica)

Algunas funciones de onda producen distribuciones de probabilidad que son constantes o independientes del tiempo, como cuando se encuentra en un estado estacionario de energía constante, el tiempo desaparece en el cuadrado absoluto de la función de onda. Muchos sistemas que son tratados dinámicamente en la mecánica clásica son descritos por tales funciones de onda "estáticas". Por ejemplo, un solo electrón en un átomo no excitado se representa clásicamente como una partícula que se mueve en una trayectoria circular alrededor del núcleo atómico , mientras que en la mecánica cuántica se describe mediante una función de onda estática, esféricamente simétrica , que rodea el núcleo ( Fig. 1 ) ( sin embargo, tenga en cuenta que solo los estados de momento angular más bajos, etiquetados como s, son simétricamente esféricas). ^[42]

La ecuación de Schrödinger actúa sobre la amplitud de probabilidad total , no simplemente su valor absoluto. Mientras que el valor absoluto de la amplitud de probabilidad codifica información sobre probabilidades, su fase codifica información sobre la interferencia entre estados cuánticos. Esto da lugar al comportamiento "ondulatorio" de los estados cuánticos. Como resultado, las soluciones analíticas de la ecuación de Schrödinger están disponibles solo para un número muy pequeño de hamiltonianos modelo relativamente simples , de los cuales el oscilador armónico cuántico , la partícula en una caja , el catión dihidrógeno y el átomo de hidrógenoSon los representantes más importantes. Incluso el átomo de helio , que contiene solo un electrón más que el átomo de hidrógeno, ha desafiado todos los intentos de un tratamiento totalmente analítico.

Existen varias técnicas para generar soluciones aproximadas, sin embargo. En el importante método conocido como teoría de la perturbación , uno usa el resultado analítico para un modelo mecánico cuántico simple para generar un resultado para un modelo más complicado que se relaciona con el modelo más simple mediante (por ejemplo, la adición de una energía potencial débil) . Otro método es el enfoque de "ecuación de movimiento semi-clásica", que se aplica a los sistemas para los cuales la mecánica cuántica produce solo desviaciones débiles (pequeñas) del comportamiento clásico. Estas desviaciones se pueden calcular basándose en el movimiento clásico. Este enfoque es particularmente importante en el campo del caos cuántico .

Formulaciones matemáticamente equivalentes de la mecánica cuántica [ editar ]

Existen numerosas formulaciones matemáticamente equivalentes de la mecánica cuántica. Una de las formulaciones más antiguas y utilizadas es la " teoría de la transformación " propuesta por Paul Dirac , que unifica y generaliza las dos formulaciones más antiguas de la mecánica cuántica: la mecánica matricial(inventada por Werner Heisenberg ) y la mecánica ondulatoria (inventada por Erwin Schrödinger ). ^[43]

Especialmente desde que Werner Heisenberg recibió el Premio Nobel de Física en 1932 por la creación de mecánica cuántica, el papel de Max Born en el desarrollo de QM se pasó por alto hasta el premio Nobel de 1954. El papel se destaca en una biografía de 2005 de Born, que relata su papel en la formulación matricial de la mecánica cuántica y el uso de amplitudes de probabilidad. El mismo Heisenberg reconoce haber aprendido matrices de Born, como se publicó en un festival de 1940 en honor a Max Planck . ^[44] En la formulación matricial, el estado instantáneo de un sistema cuántico codifica las probabilidades de sus propiedades medibles, u " observables". Los ejemplos de observables incluyen energía , posición , momento y momento angular . Los observables pueden ser continuos (por ejemplo, la posición de una partícula) o discretos (por ejemplo, la energía de un electrón unido a un átomo de hidrógeno). ^[45] Una formulación alternativa de la mecánica cuántica es la formulación integral de la trayectoria de Feynman , en la cual una amplitud mecánica cuántica se considera una suma sobre todas las trayectorias clásicas y no clásicas posibles entre los estados inicial y final. Esta es la contraparte mecánica cuántica de El principio de acción en la mecánica clásica.

Interacciones con otras teorías científicas [ editar ]

Las reglas de la mecánica cuántica son fundamentales. Afirman que el espacio de estado de un sistema es un espacio de Hilbert (lo que es crucial, que el espacio tiene un producto interno ) y que los observables de ese sistema son operadores hermitianos que actúan sobre vectores en ese espacio, aunque no nos dicen qué espacio o espacio de Hilbert. cuales operadores Se pueden elegir adecuadamente para obtener una descripción cuantitativa de un sistema cuántico. Una guía importante para hacer estas elecciones es el principio de correspondencia., que establece que las predicciones de la mecánica cuántica se reducen a las de la mecánica clásica cuando un sistema se mueve a energías más altas o, de manera equivalente, números cuánticos más grandes, es decir, mientras que una sola partícula presenta un grado de aleatoriedad, en los sistemas que incorporan millones de partículas que toman el promedio. y, en el límite de alta energía, la probabilidad estadística de comportamiento aleatorio se aproxima a cero. En otras palabras, la mecánica clásica es simplemente una mecánica cuántica de grandes sistemas. Este límite de "alta energía" se conoce como el límite clásico o de correspondencia . Incluso se puede comenzar a partir de un modelo clásico establecido de un sistema particular, luego intentar adivinar el modelo cuántico subyacente que daría lugar al modelo clásico en el límite de correspondencia.

Problema sin resolver en la física : En el límite de correspondencia de la mecánica cuántica : ¿hay una interpretación preferida de la mecánica cuántica? ¿Cómo la descripción cuántica de la realidad, que incluye elementos como la " superposición de estados" y " colapso de la función de onda ", da lugar a la realidad que percibimos? (más problemas sin resolver en física)

Cuando se formuló originalmente la mecánica cuántica, se aplicó a modelos cuyo límite de correspondencia era la mecánica clásica no relativista . Por ejemplo, el modelo bien conocido del oscilador armónico cuántico utiliza una expresión explícitamente no relativista para la energía cinética del oscilador, y por lo tanto es una versión cuántica del oscilador armónico clásico .

Los primeros intentos de fusionar la mecánica cuántica con la relatividad especial implicaron el reemplazo de la ecuación de Schrödinger por una ecuación covariante, como la ecuación de Klein-Gordon o la ecuación de Dirac . Si bien estas teorías tuvieron éxito en explicar muchos resultados experimentales, tenían ciertas cualidades insatisfactorias derivadas de su abandono de la creación relativista y la aniquilación de partículas. Una teoría cuántica completamente relativista requería el desarrollo de la teoría cuántica de campos , que aplica la cuantificación a un campo (en lugar de un conjunto fijo de partículas). La primera teoría de campo cuántica completa, la electrodinámica cuántica , proporciona una descripción completamente cuántica de lainteracción electromagnética . El aparato completo de la teoría cuántica de campos es a menudo innecesario para describir sistemas electrodinámicos. Un enfoque más simple, que se ha empleado desde el inicio de la mecánica cuántica, es tratar las partículas cargadas como objetos mecánicos cuánticos sobre los que actúa un campo electromagnético clásico . Por ejemplo, el modelo cuántico elemental del átomo de hidrógeno describe el campo eléctrico del átomo de hidrógeno usando una$${\ displaystyle \ textstyle -e ^ {2} / (4 \ pi \ epsilon _ {_ {0}} r)} Potencial de Coulomb . Este enfoque "semi-clásico" falla si las fluctuaciones cuánticas en el campo electromagnético juegan un papel importante, como en la emisión de fotones por partículas cargadas .

También se han desarrollado teorías cuánticas de campo para la fuerza nuclear fuerte y la fuerza nuclear débil . La teoría cuántica de campos de la fuerza nuclear fuerte se llama cromodinámica cuántica y describe las interacciones de las partículas subnucleares, como los quarks y los gluones . La fuerza nuclear débil y la fuerza electromagnética se unificaron, en sus formas cuantificadas, en una única teoría cuántica de campos (conocida como teoría electrodébil ), por los físicos Abdus Salam , Sheldon Glashow y Steven Weinberg . Estos tres hombres compartieron el Premio Nobel de Física en 1979 por este trabajo.^[46]

Ha resultado difícil construir modelos cuánticos de gravedad , la fuerza fundamental restante . Las aproximaciones semiclásicas son factibles y han llevado a predicciones como la radiación de Hawking . Sin embargo, la formulación de una teoría completa de la gravedad cuántica se ve obstaculizada por aparentes incompatibilidades entre la relatividad general (la teoría de la gravedad más precisa actualmente conocida) y algunas de las suposiciones fundamentales de la teoría cuántica. La resolución de estas incompatibilidades es un área de investigación activa, y teorías como la teoría de cuerdas se encuentran entre los posibles candidatos para una futura teoría de la gravedad cuántica.

La mecánica clásica también se ha extendido al dominio complejo , con la mecánica clásica compleja 

que exhibe comportamientos similares a la mecánica cuántica.