TERMODINÁMICA

No debe confundirse con la constante de Stefan-Boltzmann .

Valores de k [1]	Unidades
1.380 648 52 (79) × 10 −23	J⋅K −1
8.617 3303 (50) × 10 −5	eV ⋅K −1
1.380 648 52 (79) × 10 −16	erg ⋅K −1
Para más detalles, vea § Valor en diferentes unidades a continuación.

La constante de Boltzmann ( k _B o k ) es una constante física que relaciona la energía cinéticarelativa media de las partículas en un gas con la temperatura del gas ^[2] y se presenta en la ley de Planck de la radiación del cuerpo negro y en la fórmula de entropía de Boltzmann . Fue introducido por Max Planck , pero lleva el nombre de Ludwig Boltzmann .

Es la constante de gas R dividida por la constante de Avogadro N _A :

$${\ displaystyle k = {\ frac {R} {N _ {\ text {A}}}}.}

La constante de Boltzmann tiene la dimensión de la energía dividida por la temperatura, lo mismo que la entropía. A partir de 2017, su valor en unidades SI es una cantidad medida. El valor recomendado (a partir de 2015, con incertidumbre estándar entre paréntesis) es 1,380 648 52 (79) × 10 ^-23  J / K . ^[3]

Las mediciones actuales de la constante de Boltzmann dependen de la definición de kelvin en términos del punto triple del agua . En la redefinición de unidades base del SI adoptada en la 26ª Conferencia General sobre Pesos y Medidas (CGPM) el 16 de noviembre de 2018, ^[4] la definición de kelvin se cambió a una basada en un valor numérico exacto y fijo de la constante de Boltzmann, similar a la forma en que la velocidad de la luz recibió un valor numérico exacto en la 17ª CGPM en 1983. ^[5] El valor final (basado en el valor ajustado de CODATA de 2017 de 1.380 649 03 (51) × 10 ⁻²³ J / K ) es 1,380 649 × 10 ^-23  J / K .

Puente de la física macroscópica a la microscópica [ editar ]

La constante de Boltzmann, k , es un factor de escala entre la física macroscópica ( temperatura termodinámica ) y la física microscópica ( energía térmica ). Macroscópicamente, la ley del gas ideal establece que, para un gas ideal , el producto de la presión p y el volumen V es proporcional al producto de la cantidad de sustancia n (en moles ) y la temperatura absoluta T :

$${\ displaystyle pV = nRT,}

donde R es la constante de gas ( 8.314 4598 (48) J⋅K ⁻¹ ⋅mol ^−1 [1] ). La introducción de la constante de Boltzmann transforma la ley del gas ideal en una forma alternativa:

$${\ displaystyle pV = NkT,}

donde N es el número de moléculas de gas. Para n = 1 mol , N es igual al número de partículas en un mol (el número de Avogadro ).

Rol en la equipartición de la energía [ editar ]

Artículo principal: Equipartición de energía.

Dado un termodinámico sistema a una temperatura absoluta T , la energía térmica media llevado por cada grado microscópico de libertad en el sistema es 1/2 kT (es decir, aproximadamente 2,07 × 10 ^-21  J , o 0.013  eV , a temperatura ambiente).

En la mecánica estadística clásica , se predice que este promedio se mantendrá exactamente para los gases ideales homogéneos . Gases ideales monoatómicos (los 6 gases nobles) poseen tres grados de libertad por átomo, correspondientes a las tres direcciones del espacio, lo que significa una energía térmica de 3/2 kT por átomo. Esto se corresponde muy bien con los datos experimentales. La energía térmica se puede utilizar para calcular la velocidad cuadrática media de los átomos, que resulta ser inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa atómica . Las velocidades medias cuadradas de la raíz encontradas a temperatura ambiente lo reflejan con precisión, y van desde 1370 m / s paraHelio , hasta 240 m / s para xenón .

La teoría cinética da la presión media p para un gas ideal como

$${\ displaystyle p = {\ frac {1} {3}} {\ frac {N} {V}} m {\ overline {v ^ {2}}}.}

Combinación con la ley del gas ideal.

$${\ displaystyle pV = NkT}

muestra que la energía cinética de traslación promedio es

$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} m {\ overline {v ^ {2}}} = {\ tfrac {3} {2}} kT.}

Teniendo en cuenta que la velocidad del vector de movimiento de traslación v tiene tres grados de libertad (una para cada dimensión) da la energía media por grado de libertad igual a un tercio de eso, es decir 1/2 kT .

La ecuación del gas ideal también es obedecida de cerca por los gases moleculares; pero la forma de la capacidad de calor es más complicada, porque las moléculas poseen grados internos adicionales de libertad, así como los tres grados de libertad para el movimiento de la molécula en su totalidad. Los gases diatómicos, por ejemplo, poseen un total de seis grados de libertad simple por molécula que están relacionados con el movimiento atómico (tres traslacionales, dos rotacionales y uno vibracional). A temperaturas más bajas, no todos estos grados de libertad pueden participar completamente en la capacidad de calor del gas, debido a los límites mecánicos cuánticos de la disponibilidad de estados excitados en la energía térmica relevante por molécula.

Papel en Boltzmann factores [ editar ]

Más generalmente, los sistemas en equilibrio a temperatura T tienen la probabilidad P _i de ocupar un estado icon energía E ponderada por el factor de Boltzmann correspondiente :

$${\ displaystyle P_ {i} \ propto {\ frac {\ exp \ left (- {\ frac {E} {kT}} \ right)} {Z}},}

donde Z es la función de partición . Una vez más, es la cantidad kT similar a la energía la que toma importancia central.

Las consecuencias de esto incluyen (además de los resultados para los gases ideales mencionados arriba) la ecuación de Arrhenius en la cinética química .

Papel en la definición estadística de la entropía [ editar ]

Más información: Entropía (termodinámica estadística).

La tumba de Boltzmann en Zentralfriedhof , Viena, con fórmula de busto y entropía.

En mecánica estadística, la entropía S de un sistema aislado en equilibrio termodinámico se define como el logaritmo natural de W , el número de distintos estados microscópicos disponibles para el sistema dadas las restricciones macroscópicas (como una energía total fija E ):

$${\ displaystyle S = k \, \ ln W.}

Esta ecuación, que relaciona los detalles microscópicos, o microestados, del sistema (a través de W ) con su estado macroscópico (a través de la entropía S ), es la idea central de la mecánica estadística. Tal es su importancia que está inscrita en la lápida de Boltzmann.

La constante de proporcionalidad k sirve para hacer que la entropía mecánica estadística sea igual a la entropía termodinámica clásica de Clausius:

$${\ displaystyle \ Delta S = \ int {\ frac {{\ rm {d}} Q} {T}}.

Uno podría elegir, en cambio, una entropía adimensional sin escala en términos microscópicos de tal manera que

$${\ displaystyle {S '= \ ln W}, \ quad \ Delta S' = \ int {\ frac {\ mathrm {d} Q} {kT}}.

Esta es una forma más natural y esta entropía reescalada corresponde exactamente a la entropía de informaciónposterior de Shannon .

La energía característica kT es, por lo tanto, la energía requerida para aumentar la entropía reescalada en un nat.

Papel en la física de los semiconductores: la tensión térmica [ editar ]

En los semiconductores , la ecuación del diodo Shockley -la relación entre el flujo de corriente eléctrica y el potencial electrostático a través de un p-n de unión -depends en una tensión característica llamada la tensión térmica , que se denota V _T . La tensión térmica depende de la temperatura absoluta T como

$${\ displaystyle V _ {\ mathrm {T}} = {kT \ over q},}

donde q es la magnitud de la carga eléctrica sobre el electrón con un valor de 1,602 176 6,208 (98) × 10 ^-19  C . ^[1] Equivalentemente,

$${\ displaystyle {V _ {\ mathrm {T}} \ over T} = {k \ over q} \ approx 8.61733034 \ times 10 ^ {- 5} \ \ mathrm {V / K}.}

A temperatura ambiente ( 300 K ), V _T es de aproximadamente 25,85 mV . ^[8] [9] El voltaje térmico también es importante en plasmas y soluciones de electrolitos; en ambos casos, proporciona una medida de cuánto se ve afectada la distribución espacial de los electrones o iones por un límite mantenido a un voltaje fijo. ^[10] [11]

Historia [ editar ]

Aunque Boltzmann vinculó por primera vez la entropía y la probabilidad en 1877, la relación nunca se expresó con una constante específica hasta que Max Planck introdujo por primera vez k , y le dio un valor preciso ( 1.346 × 10 ⁻²³  J / K , aproximadamente 2.5% más bajo que la cifra de hoy ), en su derivación de la ley de radiación de cuerpo negro en 1900–1901. ^[12] Antes de 1900, las ecuaciones que involucraban factores de Boltzmann no se escribían usando las energías por molécula y la constante de Boltzmann, sino que usaban una forma de la constante de gas R y las energías macroscópicas para cantidades macroscópicas de la sustancia. La forma concisa icónica de la ecuación S= k Ln W en la lápida de Boltzmann se debe de hecho a Planck, no a Boltzmann. Planck en realidad lo introdujo en el mismo trabajo que su homónimo h . ^[13]

En 1920, Planck escribió en su conferencia del Premio Nobel : ^[14]

Esta constante a menudo se conoce como la constante de Boltzmann, aunque, por lo que sé, el mismo Boltzmann nunca la introdujo, un estado de cosas peculiar, que puede explicarse por el hecho de que Boltzmann, como aparece en sus expresiones ocasionales, nunca pensó en el Posibilidad de realizar una medida exacta de la constante.

Este "estado de cosas peculiar" se ilustra con referencia a uno de los grandes debates científicos de la época. Hubo un considerable desacuerdo en la segunda mitad del siglo XIX en cuanto a si los átomos y las moléculas eran reales o si simplemente eran una herramienta heurística para resolver problemas. No hubo acuerdo sobre si las moléculas químicas , medidas en pesos atómicos , eran iguales a las moléculas físicas , según lo medido por la teoría cinética . La conferencia de Planck en 1920 continuó: ^[14]

Nada puede ilustrar mejor el ritmo de progreso positivo y frenético que el arte de los experimentadores ha logrado en los últimos veinte años, que el hecho de que desde ese momento no solo se ha descubierto uno, sino que se ha descubierto un gran número de métodos para medir la masa de una molécula con prácticamente la misma precisión que la obtenida para un planeta.

En 2017, las medidas más precisas de la constante de Boltzmann se obtuvieron mediante termometría de gas acústica, que determina la velocidad del sonido de un gas monoatómico en una cámara elipsoidal triaxial utilizando microondas y resonancias acústicas. ^[15] [16] Este esfuerzo de una década fue realizado con diferentes técnicas por varios laboratorios; ^[a] es una de las piedras angulares de la redefinición de 2018 del Sistema Internacional de Unidades . Basándose en estas mediciones, el CODATA recomendó 1.380 649 × 10 ⁻²³ J⋅K ⁻¹como el valor fijo final de la constante de Boltzmann que se usará para el Sistema Internacional de Unidades . ^[17]

Valor en diferentes unidades [ editar ]

Vea también: 2019 redefinición de unidades base SI

Valores de k	Unidades	Comentarios
1.380 648 52 (79) × 10 −23	J / K	Unidades SI , valor CODATA 2014 , J / K = m 2 ⋅kg / (s 2 ⋅K) en unidades base SI [1]
8.617 3303 (50) × 10 −5	eV / K	Valor CODATA de 2014 [1] 1  electronvolt = 1.602 176 6208 (98) × 10 −19  J [1] 1/k =11 604 .519 (11) K / eV
2.083 6612 (12) × 10 10	Hz / K	2014 de CODATA valor [1] 1 Hz ⋅ h = 6.626 070 040 (81) × 10 -34  J [1]
3.166 8114 (29) × 10 −6	E H / K	E H = 2 R ∞ hc = 4.359 744 650 (54) × 10 −18  J [1] =6.579 683 920 729 (33) Hz ⋅ h [1]
1.0	Unidades atómicas	por definición
1.380 648 52 (79) × 10 −16	erg / K	Sistema CGS , 1  erg = 1 × 10 −7  J
3.297 6230 (30) × 10 −24	cal / K	1  tabla de vapor de  calorías = 4.1868 J
1.832 0128 (17) × 10 −24	cal / ° R	1  Rankine = 5/9  K
5.657 3016 (51) × 10 −24	ft lb / ° R	Fuerza de 1  pie-libra = 1.355 817 948 331 4004  J
0.695 034 76 (63)	cm −1 / K	Valor CODATA de 2010 [1] 1 cm −1  ⋅ hc = 1.986 445 683 (87) × 10 −23  J
0.001 987 2041 (18)	kcal / (mol ⋅K)	R anotó kB, a menudo usado en mecánica estadística, usando calorías termoquímicas = 4.184 julios
0.008 314 4621 (75)	kJ / (mol⋅K)	R anotó kB, a menudo usado en mecánica estadística.
4.10	pN⋅nm	kT en nanómetro piconewton a 24 ° C , utilizado en biofísica
−228.599 1678 (40)	dBW / (K⋅Hz)	en decibelios vatios , utilizados en telecomunicaciones (consulteJohnson-Nyquist noise )
1.442 695 041 ...	Sh	en shannons (logaritmo base 2), utilizado en la entropía de la información (valor exacto 1/ln (2) )
1	nat	en nats (logaritmo base e ), utilizado en la entropía de la información ( ver § Unidades de Planck , a continuación )

Como k es una constante física de proporcionalidad entre la temperatura y la energía, su valor numérico depende de la elección de las unidades de energía y temperatura. El pequeño valor numérico de la constante de Boltzmann en unidades SI significa que un cambio de temperatura en 1 K solo cambia la energía de una partícula en una pequeña cantidad. Un cambio de 1  ° C se define para ser el mismo que un cambio de 1 K . La energía característica kT es un término que se encuentra en muchas relaciones físicas.

La constante de Boltzmann establece una relación entre la longitud de onda y la temperatura (dividiendo hc / kpor una longitud de onda da una temperatura) con un micrómetro relacionado con 14 387.770 K, y también una relación entre voltaje y temperatura (multiplicando el voltaje por k en unidades de eV / K) con un voltio relacionado con 11 604.519 K. La relación de estas dos temperaturas, 14 387.770 K / 11 604.519 K ≈ 1.239842, es el valor numérico de hc en unidades de eV⋅μm.

Unidades planck [ editar ]

La constante de Boltzmann proporciona un mapeo de esta energía microscópica característica E a la escala de temperatura macroscópica T = E/k . En la investigación en física, a menudo se encuentra otra definición al establecer k en la unidad, lo que resulta en las unidades de Planck o unidades naturales para la temperatura y la energía. En este contexto, la temperatura se mide eficazmente en unidades de energía y la constante de Boltzmann no se necesita explícitamente. ^[18]

La fórmula de equipartición para la energía asociada con cada grado clásico de libertad se convierte entonces en

$${\ displaystyle E _ {\ mathrm {dof}} = {\ tfrac {1} {2}} T \}

El uso de unidades naturales simplifica muchas relaciones físicas; En esta forma, la definición de entropía termodinámica coincide con la forma de entropía de información :

$${\ displaystyle S = - \ sum P_ {i} \ ln P_ {i}.}

donde P _i es la probabilidad de cada microestado .

El valor elegido para una gunit de la temperatura de Planck es el correspondiente a la energía de la masa de Planck o 1.416 808 (33) × 10 ³²  K .

gas Bose ideal es una fase cuántica-mecánica de la materia , análoga a un gas ideal clásico . Está compuesto por bosones , que tienen un valor entero de giro y obedecen a las estadísticas de Bose-Einstein . La mecánica estadística de los bosones fue desarrollada por Satyendra Nath Bose para un gas de fotones , y extendida a partículas masivas por Albert Einstein, quien se dio cuenta de que un gas ideal de bosones formaría un condensado a una temperatura suficientemente baja, a diferencia de un gas ideal clásico. Este condensado se conoce como un condensado de Bose-Einstein .

Los bosones son partículas mecánicas cuánticas que siguen las estadísticas de Bose-Einstein , o equivalentemente, que poseen un giro entero . Estas partículas pueden clasificarse como elementales: son el bosón de Higgs , el fotón , el gluón , el W / Z y el hipotiton gravitón ; o compuesto como el átomo de hidrógeno , el átomo de ¹⁶ O , el núcleo de deuterio , mesones , etc. Además, algunas cuasipartículas en sistemas más complejos también pueden considerarse bosones como los plasmones(cuantos de ondas de densidad de carga ).

El primer modelo que trató un gas con varios bosones, fue el gas de fotones , un gas de fotones, desarrollado por Bose . Este modelo condujo a una mejor comprensión de la ley de Planck y la radiación del cuerpo negro . El gas fotónico se puede expandir fácilmente a cualquier tipo de conjunto de bosones sin interacción sin masa. El gas fonón , también conocido como modelo Debye , es un ejemplo en el que los modos normales de vibración de la red cristalina de un metal, pueden tratarse como bosones sin masa efectivos. Peter Debye utilizó el modelo de gas fonón para explicar el comportamiento de la capacidad térmica de los metales a baja temperatura.

Un ejemplo interesante de un gas Bose es un conjunto de átomos de helio-4 . Cuando un sistema de ⁴ átomos de He se enfría a una temperatura cercana al cero absoluto , hay muchos efectos mecánicos cuánticos presentes. Por debajo de 2,17 kelvins , el conjunto comienza a comportarse como un superfluido , un fluido con una viscosidad casi nula . El gas Bose es el modelo cuantitativo más simple que explica esta transición de fase . Principalmente cuando un gas de bosones se enfría, se forma un condensado de Bose-Einstein , un estado en el que una gran cantidad de bosones ocupan la energía más baja, el estado fundamental y los efectos cuánticos son visibles macroscópicamente comola interferencia de ondas .

La teoría de los condensados ​​de Bose-Einstein y los gases de Bose también pueden explicar algunas características de la superconductividad en las que los portadores de carga se juntan en pares ( pares de Cooper) y se comportan como bosones. Como resultado, los superconductores se comportan como si no tuvieran resistividad eléctrica a bajas temperaturas.

El modelo equivalente para las partículas de medio entero (como los electrones o los átomos de helio-3 ), que siguen las estadísticas de Fermi-Dirac , se llama gas de Fermi (un conjunto de fermiones que no interactúan ). Con una densidad y temperatura del número de partículas suficientemente bajas, tanto el gas Fermi como el gas Bose se comportan como un gas ideal clásico .

Gran conjunto canónico [ editar ]

La termodinámica de un gas Bose ideal se calcula mejor utilizando el gran conjunto canónico . La función de gran partición para un gas Bose viene dada por:

$${\ displaystyle {\ mathcal {Z}} (z, \ beta, V) = \ prod _ {i} \ left (1-ze ^ {- \ beta \ epsilon _ {i}} \ right) ^ {- g_ {yo}}}

donde cada término en el producto corresponde a una energía particular ε _i  ; g _i  es el número de estados con energía ε _i  ; z  es la actividad absoluta (o "fugacidad"), que también puede expresarse en términos del potencial químico μ definiendo:

$${\ displaystyle z (\ beta, \ mu) = e ^ {\ beta \ mu}}

y β se define como:

$${\ displaystyle \ beta = {\ frac {1} {k _ {\ rm {B}} T}}}

donde k _B  es la constante de Boltzmann y T  es la temperatura . Todas las cantidades termodinámicas se pueden derivar de la función de partición grande y consideraremos todas las cantidades termodinámicas ser funciones de sólo el tres variables z  , β (o T  ), y V  . Todas las derivadas parciales se toman con respecto a una de estas tres variables, mientras que las otras dos se mantienen constantes. Es más conveniente lidiar con el gran potencial adimensional que se define como:

$${\ displaystyle \ Omega = - \ ln ({\ mathcal {Z}}) = \ sum _ {i} g_ {i} \ ln \ left (1-ze ^ {- \ beta \ epsilon _ {i}} \ Correcto).}

Siguiendo el procedimiento descrito en el artículo de gas en una caja , podemos aplicar la aproximación de Thomas-Fermi que asume que la energía promedio es grande en comparación con la diferencia de energía entre los niveles para que la suma anterior pueda reemplazarse por una integral:

$${\ displaystyle \ Omega \ approx \ int _ {0} ^ {\ infty} \ ln \ left (1-ze ^ {- \ beta E} \ right) \, dg.}

La degeneración dg  puede expresarse para muchas situaciones diferentes mediante la fórmula general:

$${\ displaystyle dg = {\ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)}} \, {\ frac {E ^ {\, \ alpha -1}} {E _ {\ rm {c}} ^ {\ alpha }}} ~ dE}

donde α es una constante, E _c es una energía crítica , y Γ es la función Gamma . Por ejemplo, para un gas Bose masivo en una caja, α = 3/2 y la energía crítica está dada por:

$${\ displaystyle {\ frac {1} {(\ beta E _ {\ rm {c}}) ^ {\ alpha}}} = {\ frac {Vf} {\ Lambda ^ {3}}}}

donde Λ es la longitud de onda térmica . Para un gas Bose masivo en una trampa armónica tendremos α = 3 y la energía crítica está dada por:

$${\ displaystyle {\ frac {1} {(\ beta E_ {c}) ^ {\ alpha}}} = {\ frac {f} {(\ hbar \ omega \ beta) ^ {3}}}}

donde V (r) = mO ² r ² /2  es el potencial armónico. Se ve que E _c  es una función de volumen solamente.

Podemos resolver la ecuación para el gran potencial al integrar la serie de Taylor del término integrando por término, o al darnos cuenta de que es proporcional a la transformada de Mellin de Li ₁ ( z exp (- β E )) donde Li _s ( x ) es la función polilogaritmo . La solucion es:

$${\ displaystyle \ Omega \ approx - {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha +1} (z)} {\ left (\ beta E_ {c} \ right) ^ {\ alpha}}} .}

El problema con esta aproximación continua para un gas Bose es que el estado fundamental ha sido efectivamente ignorado, lo que da una degeneración de cero para la energía cero. Esta inexactitud se vuelve grave cuando se trata con el condensado de Bose-Einstein y se tratará en la siguiente sección.

Inclusión del estado fundamental [ editar ]

El número total de partículas se encuentra a partir del gran potencial por

$${\ displaystyle N = -z {\ frac {\ partial \ Omega} {\ partial z}} \ approx {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha} (z)} {(\ beta E_ { c}) ^ {\ alpha}}}}

El término polilogaritmo debe permanecer real y positivo, y el valor máximo que puede tener es en z = 1, donde es igual a ζ ( α ) donde ζ es la función zeta de Riemann . Para un fijo N  , el valor más grande posible que βpuede tener es un valor crítico beta _c  donde

$${\ displaystyle N = {\ frac {\ zeta (\ alpha)} {(\ beta _ {\ rm {c}} E _ {\ rm {c}}) ^ {\ alpha}}}}

Esto corresponde a una temperatura crítica T _c = 1 / k _B β _c por debajo de la cual se rompe la aproximación de Thomas-Fermi. La ecuación anterior se puede resolver para la temperatura crítica:

$${\ displaystyle T _ {\ rm {c}} = \ left ({\ frac {N} {\ zeta (\ alpha)}} \ right) ^ {1 / \ alpha} {\ frac {E _ {\ rm {c }}} {k _ {\ rm {B}}}}}

Por ejemplo, para $${\ displaystyle \ alpha = 3/2} y utilizando el valor indicado anteriormente de $${\ textstyle E _ {\ rm {c}}} rendimientos

$${\ displaystyle T _ {\ rm {c}} = \ left ({\ frac {N} {Vf \ zeta (3/2)}} \ right) ^ {2/3} {\ frac {h ^ {2} } {2 \ pi mk _ {\ rm {B}}}}}

Nuevamente, actualmente no podemos calcular los resultados por debajo de la temperatura crítica, porque los números de partículas que utilizan la ecuación anterior se vuelven negativos. El problema aquí es que la aproximación de Thomas-Fermi ha puesto a cero la degeneración del estado fundamental, lo cual es incorrecto. No hay un estado fundamental para aceptar el condensado y, por lo tanto, la ecuación se descompone. Sin embargo, resulta que la ecuación anterior proporciona una estimación bastante precisa del número de partículas en los estados excitados, y no es una mala aproximación simplemente "agregar" un término de estado fundamental:

$${\ displaystyle N = N_ {0} + {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha} (z)} {(\ beta E _ {\ rm {c}}) ^ {\ alpha}}} }

donde N ₀  es el número de partículas en el condensado del estado fundamental:

$${\ displaystyle N_ {0} = {\ frac {g_ {0} \, z} {1-z}}}

Figura 1: Varios parámetros de gas Bose en función de la temperatura normalizada τ. El valor de α es 3/2. Las líneas continuas son para N = 10,000, las líneas de puntos son para N = 1000. Las líneas negras son la fracción de partículas excitadas, el azul es la fracción de partículas condensadas. El negativo del potencial químico μ se muestra en rojo, y las líneas verdes son los valores de z. Se ha asumido que k = ε _c = 1.

Esta ecuación ahora se puede resolver hasta cero absoluto en temperatura. La Figura 1 muestra los resultados de la solución a esta ecuación para α = 3/2 , con k = ε _c = 1 que corresponde a un gas de bosones en una caja . La línea negra continua es la fracción de estados excitados 1-N ₀ / N  para N  = 10,000 y la línea negra de puntos es la solución para N  = 1000. Las líneas azules son la fracción de partículas condensadas N ₀ / N  Las líneas rojas representan los valores del negativo del potencial químico μ y las líneas verdes representan los valores correspondientes de z . El eje horizontal es la temperatura normalizada τ definida por

$${\ displaystyle \ tau = {\ frac {T} {T _ {\ rm {c}}}}}

Se puede ver que cada uno de estos parámetros se vuelve lineal en τ ^α en el límite de baja temperatura y, a excepción del potencial químico, lineal en 1 / τ ^α en el límite de alta temperatura. A medida que aumenta el número de partículas, las fracciones condensadas y excitadas tienden hacia una discontinuidad a la temperatura crítica.

La ecuación para el número de partículas se puede escribir en términos de la temperatura normalizada como:

$${\ displaystyle N = {\ frac {g_ {0} \, z} {1-z}} + N ~ {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha} (z)} {\ zeta ( \ alpha)}} ~ \ tau ^ {\ alpha}}

Para un N  y τ dados , esta ecuación se puede resolver para τ ^α y luego se puede encontrar una solución en serie para z  mediante el método de inversión de series , ya sea en potencias de τ ^α o como una expansión asintótica en potencias inversas de τ ^α . A partir de estas expansiones, podemos encontrar el comportamiento del gas cerca de T = 0 y en Maxwell-Boltzmann a medida que T se  acerca al infinito. En particular, estamos interesados ​​en el límite a medida que N se  acerca al infinito, lo que puede determinarse fácilmente a partir de estas expansiones.

También se puede calcular las fluctuaciones de la ocupación de los estados. Por debajo de la transición, las fluctuaciones en la ocupación en el estado fundamental aumentan. Sin embargo, la magnitud es dependiente del conjunto. En el tratamiento de conjunto canónico del sujeto, las fluctuaciones pasan a ser del orden del número de partículas. Sin embargo, en el conjunto canónico, las fluctuaciones son mucho más pequeñas.

Termodinámica [ editar ]

Agregar el estado fundamental a la ecuación para el número de partícula corresponde a agregar el término de estado fundamental equivalente al gran potencial:

$${\ displaystyle \ Omega = g_ {0} \ ln (1-z) - {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha +1} (z)} {\ left (\ beta E _ {\ rm {c}} \ derecha) ^ {\ alpha}}}}

Todas las propiedades termodinámicas ahora se pueden calcular a partir del gran potencial. La siguiente tabla enumera varias cantidades termodinámicas calculadas en el límite de baja temperatura y alta temperatura, y en el límite de número de partículas infinitas. Un signo igual (=) indica un resultado exacto, mientras que un símbolo de aproximación indica que solo los primeros términos de una serie en$${\ displaystyle \ tau ^ {\ alpha}} se muestra.

Cantidad	General	$${\ displaystyle T \ ll T_ {c} \,}	$${\ displaystyle T \ gg T_ {c} \,}
$${\ displaystyle z}		$${\ displaystyle \ approx {\ frac {\ zeta (\ alpha)} {\ tau ^ {\ alpha}}} - {\ frac {\ zeta ^ {2} (\ alpha)} {2 ^ {\ alpha} \ tau ^ {2 \ alpha}}}}	$${\ displaystyle = 1 \,}
Fracción de vapor $${\ displaystyle 1 - {\ frac {N_ {0}} {N}} \,}	$${\ displaystyle = {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha} (z)} {\ zeta (\ alpha)}} \, \ tau ^ {\ alpha}}	$${\ displaystyle = \ tau ^ {\ alpha} \,}	$${\ displaystyle = 1 \,}
Ecuación de estado $${\ displaystyle {\ frac {PV \ beta} {N}} = - {\ frac {\ Omega} {N}} \,}	$${\ displaystyle = {\ frac {{\ textrm {Li}} _ {\ alpha \! + \! 1} (z)} {\ zeta (\ alpha)}} \, \ tau ^ {\ alpha}}	$${\ displaystyle = {\ frac {\ zeta (\ alpha \! + \! 1)} {\ zeta (\ alpha)}} \, \ tau ^ {\ alpha}}	$${\ displaystyle \ approx 1 - {\ frac {\ zeta (\ alpha)} {2 ^ {\ alpha \! + \! 1} \ tau ^ {\ alpha}}}}
Energía Libre de Gibbs $${\ displaystyle G = \ ln (z) \,}	$${\ displaystyle = \ ln (z) \,}	$${\ displaystyle = 0 \,}	$${\ displaystyle \ approx \ ln \ left ({\ frac {\ zeta (\ alpha)} {\ tau ^ {\ alpha}}} \ right) - {\ frac {\ zeta (\ alpha)} {2 ^ { \ alpha} \ tau ^ {\ alpha}}}}

Se ve que todas las cantidades se aproximan a los valores de un gas ideal clásico en el límite de una gran temperatura. Los valores anteriores se pueden utilizar para calcular otras cantidades termodinámicas. Por ejemplo, la relación entre la energía interna y el producto de la presión y el volumen es la misma que para un gas ideal clásico en todas las temperaturas:

$${\ displaystyle U = {\ frac {\ partial \ Omega} {\ partial \ beta}} = \ alpha PV}

Una situación similar es válida para el calor específico a volumen constante.

$${\ displaystyle C_ {V} = {\ frac {\ parcial U} {\ parcial T}} = k _ {\ rm {B}} (\ alpha +1) \, U \ beta}

La entropía está dada por:

$${\ displaystyle TS = U + PV-G \,}

Tenga en cuenta que en el límite de alta temperatura, tenemos

$${\ displaystyle TS = (\ alpha +1) + \ ln \ left ({\ frac {\ tau ^ {\ alpha}} {\ zeta (\ alpha)}} \ right)}

que, para α = 3/2 es simplemente una reexpresión de la ecuación de Sackur-Tetrode . En una dimensión, los bosones con interacción delta se comportan como fermiones, obedecen al principio de exclusión de Pauli . En una dimensión, el gas Bose con interacción delta puede ser resuelto exactamente por Bethe ansatz . Chen-Ning Yang calculó los potenciales de energía libre y termodinámicos a granel . En un caso unidimensional las funciones de correlación también fueron evaluadas. ^[1] En una dimensión, el gas Bose es equivalente a la ecuación de Schrödinger no lineal cuántica .