FORMAS FEOMÉTRICAS - SUPERFICIES

 indicatriz Dupin es un método para caracterizar la forma local de una superficie . Dibuja un plano paralelo al plano tangente y una pequeña distancia de él. Considera la intersección de la superficie con este plano. La forma de la intersección está relacionada con la curvatura gaussiana . La indicación de Dupin es el resultado del proceso de limitación a medida que el plano se acerca al plano tangente. La indicatriz fue inventada por Charles Dupin .

Para los puntos elípticos donde la curvatura gaussiana es positiva, la intersección estará vacía o formará una curva cerrada. En el límite esta curva formará una elipse alineada con las direcciones principales .

Para los puntos hiperbólicos, donde la curvatura gaussiana es negativa, la intersección formará una hipérbola . Se formarán dos hipérbola diferentes a cada lado del plano tangente. Estas hipérbola comparten el mismo eje y asíntotas. Las direcciones de las asíntotas son las mismas que las direcciones asintóticas .

 superficie es una variedadbidimensional . Algunas superficies surgen como los límites de los sólidos tridimensionales; por ejemplo, la esfera es el límite de la bola sólida. Otras superficies surgen como gráficas de funciones de dos variables; Vea la figura de la derecha. Sin embargo, las superficies también se pueden definir de forma abstracta, sin hacer referencia a ningún espacio ambiental. Por ejemplo, la botella de Klein es una superficie que no se puede incrustar en el espacio euclidiano tridimensional.

Las superficies topológicas a veces están equipadas con información adicional, como una métrica riemanniana o una estructura compleja, que las conecta con otras disciplinas dentro de las matemáticas, como la geometría diferencial y el análisis complejo . Las diversas nociones matemáticas de la superficie se pueden utilizar para modelar superficies en el mundo físico.

Se muestra una superficie abierta con los contornos x , y y z .

En general [ editar ]

Más información: Superficie (matemáticas).

En matemáticas , una superficie es una forma geométrica que se asemeja a un plano deformado . Los ejemplos más familiares surgen como límites de objetos sólidos en el espacio euclidiano tridimensional ordinario R ³ , como esferas . La definición exacta de una superficie puede depender del contexto. Típicamente, en geometría algebraica , una superficie puede cruzarse a sí misma (y puede tener otras singularidades ), mientras que, en topología y geometría diferencial , puede que no.

Una superficie es un espacio bidimensional ; esto significa que un punto de movimiento en una superficie puede moverse en dos direcciones (tiene dos grados de libertad ). En otras palabras, alrededor de casi todos los puntos, hay un parche de coordenadas en el que se define un sistema de coordenadas bidimensional . Por ejemplo, la superficie de la Tierra se asemeja (idealmente) a una esfera bidimensional , y la latitud y longitudproporcionan coordenadas bidimensionales en ella (excepto en los polos y en el meridiano 180 ).

El concepto de superficie es ampliamente utilizado en física , ingeniería , gráficos por computadora y muchas otras disciplinas, principalmente en la representación de superficies de objetos físicos. Por ejemplo, al analizar las propiedades aerodinámicas de un avión , la consideración central es el flujo de aire a lo largo de su superficie.

Definiciones y primeros ejemplos [ editar ]

Una superficie (topológica) es un espacio topológico en el que cada punto tiene un vecindario abierto homeomórfico a un subconjunto abierto del plano Euclidiano E ² . Tal vecindario, junto con el correspondiente homeomorfismo, se conoce como una tabla (coordenada) . Es a través de este gráfico que el vecindario hereda las coordenadas estándar en el plano euclidiano. Estas coordenadas se conocen como coordenadas locales y estos homeomorfismos nos llevan a describir las superficies como localmente euclidianas .

En la mayoría de los escritos sobre el tema, a menudo se supone, explícita o implícitamente, que, como espacio topológico, una superficie también es no vacía, segundo contable y Hausdorff . También se suele suponer que las superficies en consideración están conectadas.

El resto de este artículo asumirá, a menos que se especifique lo contrario, que una superficie no está vacía, Hausdorff, segundo contable y conectada.

Más en general, una superficie (topológico) con frontera es una Hausdorff espacio topológico en el que cada punto tiene una abierta barrio homeomorfa a algún subconjunto abierto del cierre del semiplano superior H ² en C. Estos homeomorfismos también se conocen como tablas (coordenadas) . El límite del semiplano superior es el eje x . Un punto en la superficie mapeado a través de un gráfico al eje x se denomina punto límite . La colección de tales puntos se conoce como el límite.de la superficie que es necesariamente una única, es decir, la unión de curvas cerradas. Por otro lado, un punto mapeado por encima del eje x es un punto interior . La colección de puntos interiores es el interior de la superficie que no está siempre vacío . El disco cerrado es un ejemplo simple de una superficie con límite. El límite del disco es un círculo.

El término superficie utilizado sin calificación se refiere a superficies sin límite. En particular, una superficie con límite vacío es una superficie en el sentido habitual. Una superficie con contorno vacío que es compacta se conoce como una superficie "cerrada". La esfera bidimensional, el toro bidimensional y el plano proyectivo realson ejemplos de superficies cerradas.

La tira de Möbius es una superficie en la que la distinción entre sentido horario y antihorario puede definirse localmente, pero no globalmente. En general, se dice que una superficie es orientable si no contiene una copia homeomórfica de la tira de Möbius; De manera intuitiva, tiene dos "lados" distintos. Por ejemplo, la esfera y el toro son orientables, mientras que el plano proyectivo real no lo es (porque el plano proyectivo real con un punto eliminado es homeomorfo a la franja de Möbius abierta).

En la geometría diferencial y algebraica , se agrega una estructura extra sobre la topología de la superficie. Estas estructuras añadidas pueden ser una estructura de suavidad (que permite definir mapas diferenciables desde y hacia la superficie), una métrica riemanniana (que permite definir la longitud y los ángulos en la superficie), una estructura compleja (que permite definir holomorfos). mapas hacia y desde la superficie, en cuyo caso la superficie se llama superficie de Riemann , o una estructura algebraica (que permite detectar singularidades , como las intersecciones y las cúspides, que no se pueden describir únicamente en términos de la topología subyacente) ).

Superficies definidas extrínsecamente e incrustaciones [ editar ]

Una esfera se puede definir paramétricamente (por x = r sin θ cos φ , y = r sin θ sin φ , z = r cos θ ) o implícitamente (por x ² + y ² + z ² - r ² = 0. )

Históricamente, las superficies se definieron inicialmente como subespacios de espacios euclidianos. A menudo, estas superficies eran el lugar de los ceros de ciertas funciones, generalmente funciones polinomiales. Dicha definición consideraba la superficie como parte de un espacio más grande (euclidiano), y como tal se denominó extrínseca .

En la sección anterior, una superficie se define como un espacio topológico con ciertas propiedades, a saber, Hausdorff y localmente euclidiana. Este espacio topológico no se considera un subespacio de otro espacio. En este sentido, la definición dada anteriormente, que es la definición que los matemáticos usan actualmente, es intrínseca .

No se requiere una superficie definida como intrínseca para satisfacer la restricción adicional de ser un subespacio del espacio euclidiano. Puede parecer posible que algunas superficies definidas intrínsecamente no sean superficies en el sentido extrínseco. Sin embargo, el teorema de inclusión de Whitney afirma que todas las superficies pueden, de hecho, integrarse homeomorfamente en el espacio euclidiano, de hecho en E ⁴ : los enfoques extrínsecos e intrínsecos resultan equivalentes.

De hecho, cualquier superficie compacta que sea orientable o tenga un límite se puede incrustar en E ³ ; por otro lado, el plano proyectivo real, que es compacto, no orientable y sin límite, no se puede incrustar en E ³ (ver Gramain). Las superficies de Steiner , incluidas la superficie de Boy , la superficie romana y el casquillo transversal , son modelos del plano proyectivo real en E ³ , pero solo la superficie de Boy es una superficie sumergida . Todos estos modelos son singulares en los puntos donde se entrecruzan.

La esfera cornuda de Alexander es una incrustación patológica bien conocida de la esfera dos en la esfera tres.

Un toro anudado.

La incrustación elegida (si existe) de una superficie en otro espacio se considera información extrínseca; No es esencial para la superficie en sí. Por ejemplo, un toro se puede incrustar en E ³ de la manera "estándar" (que parece un panecillo ) o en forma de nudo (ver figura). Los dos toros incrustados son homeomorfos, pero no isotópicos : son topológicamente equivalentes, pero sus incrustaciones no lo son.

Se dice que la imagen de una función inyectiva continua de R ² a R ^{n de}dimensión superior es una superficie paramétrica . Dicha imagen se llama así porque las direcciones x e y del dominio R ² son 2 variables que parametrizan la imagen. Una superficie paramétrica no necesita ser una superficie topológica. Una superficie de revolución se puede ver como un tipo especial de superficie paramétrica.

Si f es una función suave de R ³ a R cuyo gradiente no es cero, entonces el lugar geométrico de ceros de f define una superficie, conocida como superficie implícita . Si se elimina la condición de gradiente de no desaparición, entonces el locus cero puede desarrollar singularidades.

Construcción a partir de polígonos [ editar ]

Cada superficie cerrada se puede construir a partir de un polígono orientado con un número par de lados, llamado polígono fundamental de la superficie, mediante la identificación por pares de sus bordes. Por ejemplo, en cada polígono de abajo, al unir los lados con etiquetas coincidentes ( A con A , B con B ), de manera que las flechas apuntan en la misma dirección, se obtiene la superficie indicada.

• 

  esfera
 
• 

  plano proyectivo real
 
• 

  toro
 
• 

  Botella de Klein

Cualquier polígono fundamental se puede escribir simbólicamente de la siguiente manera. Comience en cualquier vértice y proceda alrededor del perímetro del polígono en cualquier dirección hasta regresar al vértice inicial. Durante este recorrido, registre la etiqueta en cada borde en orden, con un exponente de -1 si el borde apunta en dirección opuesta a la dirección del recorrido. Los cuatro modelos anteriores, cuando se recorren en el sentido de las agujas del reloj comenzando en la parte superior izquierda, producen

• esfera: $${\ displaystyle ABB ^ {- 1} A ^ {- 1}}
• Plano proyectivo real: $${\ displaystyle ABAB}
• toro: $${\ displaystyle ABA ^ {- 1} B ^ {- 1}}
• Botella de Klein: $${\ displaystyle ABAB ^ {- 1}}.

Tenga en cuenta que tanto la esfera como el plano proyectivo pueden realizarse como cocientes del 2-gon, mientras que el toro y la botella de Klein requieren un 4-gon (cuadrado).

La expresión así derivada de un polígono fundamental de una superficie resulta ser la única relación en una presentación del grupo fundamental de la superficie con las etiquetas de borde de polígono como generadores. Esto es una consecuencia del teorema de Seifert-van Kampen .

Pegar bordes de polígonos es un tipo especial de proceso de espacio de cociente . El concepto de cociente se puede aplicar en mayor generalidad para producir construcciones de superficies nuevas o alternativas. Por ejemplo, el plano proyectivo real se puede obtener como el cociente de la esfera identificando todos los pares de puntos opuestos en la esfera. Otro ejemplo de un cociente es la suma conectada.

Sumas conectadas [ editar ]

La suma conectada de las dos superficies M y N , denominada M # N , se obtiene al quitar un disco de cada una de ellas y pegarlas a lo largo de los componentes de los límites que resultan. El límite de un disco es un círculo, por lo que estos componentes de contorno son círculos. La característica de Euler. $${\ displaystyle \ chi}de M # N es la suma de las características de Euler de los sumandos, menos dos:

$${\ displaystyle \ chi (M {\ mathbin {\ #}} N) = \ chi (M) + \ chi (N) -2. \,}

La esfera S es un elemento de identidad para la suma conectado, lo que significa que S # M = M . Esto se debe a que eliminar un disco de la esfera deja un disco, que simplemente reemplaza el disco eliminado de M al pegar.

Suma Conectado con el toroide T también se describe como la fijación de un "mango" a la otra sumando M . Si Mes orientable, entonces T # M también lo es . La suma conectada es asociativa, por lo que la suma conectada de una colección finita de superficies está bien definida.

La suma conectada de dos planos proyectivos reales, P # P , es la botella K de Klein . La suma conectada del plano proyectivo real y la botella de Klein es homeomorfa de la suma conectada del plano proyectivo real con el toro; en una fórmula, P # K = P # T . Por lo tanto, la suma conectada de tres planos proyectivos reales es homeomorfa a la suma conectada del plano proyectivo real con el toro. Cualquier suma conectada que involucre un plano proyectivo real no es orientable.

Superficies cerradas [ editar ]

La "superficie abierta" redirige aquí. No debe confundirse con la superficie libre .

Una superficie cerrada es una superficie compacta y sin límite . Ejemplos de ello son espacios como la esfera , el toro y la botella de Klein . Ejemplos de superficies no cerradas son: un disco abierto , que es una esfera con una punción; un cilindro , que es una esfera con dos pinchazos; y la tira de Möbius . Al igual que con cualquier colector cerrado , una superficie incrustada en el espacio euclidiano que se cierra con respecto a la topología euclidiana heredada no es necesariamente una superficie cerrada; por ejemplo, un disco incrustado en$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}} que contiene su límite es una superficie topológicamente cerrada, pero no una superficie cerrada.

Clasificación de superficies cerradas [ editar ]

Algunos ejemplos de superficies cerradas orientables (izquierda) y superficies con contorno (derecha). Izquierda: algunas superficies cerradas orientables son la superficie de una esfera, la superficie de un toro y la superficie de un cubo. (El cubo y la esfera son topológicamente equivalentes entre sí). Derecha: Algunas superficies con borde son la superficie del disco , la superficie cuadrada y la superficie del hemisferio. Los límites se muestran en rojo. Los tres de estos son topológicamente equivalentes entre sí.

El teorema de clasificación de superficies cerradas establece que cualquier superficie cerrada conectada es homeomórfica para algunos miembros de una de estas tres familias:

1. la esfera;
2. la suma conectada de g tori, para$${\ displaystyle g \ geq 1};
3. la suma conectada de k planos proyectivos reales, para$${\ displaystyle k \ geq 1}.

Las superficies en las dos primeras familias son orientables . Es conveniente combinar las dos familias considerando la esfera como la suma conectada de 0 toros. El número g de toros involucrados se llama el génerode la superficie. La esfera y el toro tienen las características de Euler 2 y 0, respectivamente, y en general la característica de Euler de la suma conectada de g tori es 2 - 2 g .

Las superficies en la tercera familia son no orientables. La característica de Euler del plano proyectivo real es 1, y en general la característica de Euler de la suma conectada de k de ellos es 2 - k .

De ello se deduce que una superficie cerrada está determinada, hasta el homeomorfismo, por dos piezas de información: su característica de Euler, y si es orientable o no. En otras palabras, la característica y la orientabilidad de Euler clasifican completamente las superficies cerradas hasta el homeomorfismo.

Las superficies cerradas con múltiples componentes conectados se clasifican según la clase de cada uno de sus componentes conectados, y por lo tanto, uno generalmente asume que la superficie está conectada.

Estructura monoico [ editar ]

Al relacionar esta clasificación con las sumas conectadas, las superficies cerradas hasta el homeomorfismo forman un monoide conmutativo bajo la operación de la suma conectada, al igual que las múltiples de cualquier dimensión fija. La identidad es la esfera, mientras que el plano proyectivo real y el toro generan este monoide, con una única relación P # P # P = P # T , que también puede escribirse P # K = P # T , ya que K = P # P . Esta relación es conocida a veces como el teorema de Dyck después deWalther von Dyck , quien lo demostró en ( Dyck 1888 ), y la triple superficie cruzada P # P # P se denomina en consecuencia superficie de Dyck . ^[1]

Geométricamente, la suma de conexión con un toro ( # T ) agrega un asa con ambos extremos unidos al mismo lado de la superficie, mientras que la suma de conexión con una botella Klein ( # K ) agrega un asa con los dos extremos unidos a los lados opuestos de una superficie orientable; en presencia de un plano proyectivo ( # P ), la superficie no es orientable (no hay noción de lado), por lo que no hay diferencia entre unir un toro y un frasco de Klein, lo que explica la relación.

Superficies con contorno [ editar ]

Las superficies compactas , posiblemente con borde, son superficies simplemente cerradas con un número finito de orificios (discos abiertos que se han eliminado). Por lo tanto, una superficie compacta conectada se clasifica por el número de componentes de límite y el género de la superficie cerrada correspondiente, de manera equivalente, por el número de componentes de límite, la orientabilidad y la característica de Euler. El género de una superficie compacta se define como el género de la superficie cerrada correspondiente.

Esta clasificación se deriva casi inmediatamente de la clasificación de superficies cerradas: la eliminación de un disco abierto de una superficie cerrada produce una superficie compacta con un círculo para el componente de contorno, y la eliminación de k discos abiertos produce una superficie compacta con k círculos separados para los componentes de contorno. Las ubicaciones precisas de los orificios son irrelevantes, ya que el grupo homeomorfismo actúa k -transitively en cualquier colector conectado de dimensión al menos 2.

A la inversa, el límite de una superficie compacta es un colector 1 cerrado, y por lo tanto es la unión desunida de un número finito de círculos; Al rellenar estos círculos con discos (formalmente, tomar el cono ) se obtiene una superficie cerrada.

La superficie orientable compacta única del género g y con k componentes de límite a menudo se denota$${\ displaystyle \ Sigma _ {g, k},}Por ejemplo, en el estudio del grupo de mapeo .

Superficies de Riemann [ editar ]

Una superficie de Riemann es un complejo de 1 colector. En un nivel puramente topológico, una superficie de Riemann es también una superficie orientable en el sentido de este artículo. De hecho, toda superficie orientable compacta se puede realizar como una superficie de Riemann. Así, las superficies compactas de Riemann se caracterizan topológicamente por su género: 0, 1, 2, ... Por otra parte, el género no caracteriza la estructura compleja. Por ejemplo, hay innumerables superficies Riemann compactas no isomorfas del género 1 (las curvas elípticas ).

Superficies no compactas [ editar ]

Las superficies no compactas son más difíciles de clasificar. Como ejemplo simple, se puede obtener una superficie no compacta pinchando (eliminando un conjunto finito de puntos de) un colector cerrado. Por otro lado, cualquier subconjunto abierto de una superficie compacta es en sí mismo una superficie no compacta; considere, por ejemplo, el complemento de un conjunto de Cantor en la esfera, también conocido como la superficie del árbol de Cantor . Sin embargo, no todas las superficies no compactas son un subconjunto de una superficie compacta; Dos contraejemplos canónicos son la escalera de Jacob y el monstruo del Lago Ness , que son superficies no compactas con un género infinito.

Una superficie no compacta M tiene un espacio no vacío de extremos E (M), que informalmente hablando describe las formas en que la superficie "se desplaza hasta el infinito". El espacio E (M) siempre es topológicamente equivalente a un subespacio cerrado del conjunto de Cantor . M puede tener un número finito o infinitamente contable N _h de asas, así como un número finito o contable infinito N _p de planos proyectivos . Si tanto N _h como N _p son finitos, entonces estos dos números, y el tipo de espacio de extremos topológico, clasifican la superficie M hasta la equivalencia topológica. Si cualquiera o ambos de N _h y N _pes infinito, entonces el tipo topológico de M depende no solo de estos dos números sino también de cómo el (los) infinito (s) se acercan al espacio de los fines. En general, el tipo topológico de M está determinado por los cuatro subespacios de E (M) que son puntos límite de infinitos mangos e infinitos planos proyectivos, puntos límite de solo mangos, puntos límite de solo planos proyectivos y puntos límite de ninguno .

Superficies que ni siquiera son segundas contables [ editar ]

Si se elimina la suposición de segunda contabilidad de la definición de una superficie, existen superficies topológicas (necesariamente no compactas) que no tienen una base contable para su topología. Quizás el ejemplo más simple es el producto cartesiano de la línea larga con el espacio de los números reales.

Otra superficie que no tiene una base contable para su topología, pero que no requiere que el Axioma de elección demuestre su existencia, es la variedad Prüfer , que puede describirse mediante simples ecuaciones que muestran que es una superficie analítica real . El colector Prüfer puede ser pensado como el medio plano superior junto con uno "lengua" adicional T _x colgando hacia abajo desde directamente debajo del punto ( x , 0), para cada real de  x .

En 1925, Tibor Radó demostró que el teorema de todas las superficies de Riemann (es decir, las variedades complejas unidimensionales ) es necesariamente un segundo contable. Por el contrario, si se reemplazan los números reales en la construcción de la superficie de Prüfer por los números complejos, se obtiene una variedad compleja de dos dimensiones (que es necesariamente una variedad real de cuatro dimensiones) sin base contable.

Prueba [ editar ]

La clasificación de superficies cerradas se conoce desde la década de 1860, ^[1] y en la actualidad existen varias pruebas.

Las pruebas topológicas y combinatorias en general se basan en el difícil resultado de que cada compacta 2-múltiple es homeomórfica a un complejo simplicial , que es de interés por derecho propio. La prueba más común de la clasificación es ( Seifert & Threlfall 1934 ), ^[1] que lleva cada superficie triangulada a una forma estándar. Una prueba simplificada, que evita una forma estándar, fue descubierta por John H. Conway alrededor de 1992, que denominó "Prueba de irrelevancia cero" o "Prueba ZIP" y se presenta en ( Francis & Weeks 1999 ).

Una prueba geométrica, que produce un resultado geométrico más fuerte, es el teorema de uniformización . Esto fue probado originalmente solo para las superficies de Riemann en las décadas de 1880 y 1900 por Felix Klein , Paul Koebe y Henri Poincaré .

Las superficies en geometría [ editar ]

Artículo principal: Geometría diferencial de superficies.

Los poliedros , como el límite de un cubo , se encuentran entre las primeras superficies encontradas en la geometría. También es posible definir superficies lisas , en las que cada punto tiene un entorno difeomorfo a algún conjunto abierto en E ² . Esta elaboración permite que el cálculo se aplique a las superficies para demostrar muchos resultados.

Dos superficies lisas son difeomorfas si y solo si son homeomorfas. (El resultado análogo no es válido para variedades de dimensiones superiores). Por lo tanto, las superficies cerradas se clasifican hasta difeomorfismo por su característica y orientabilidad de Euler.

Las superficies lisas equipadas con métricas de Riemann son de importancia fundamental en la geometría diferencial . Una métrica riemanniana proporciona una superficie con nociones de geodésica , distancia , ángulo y área. También da lugar a la curvatura gaussiana , que describe la curvatura o curvatura de la superficie en cada punto. La curvatura es una propiedad geométrica rígida, en el sentido de que no se conserva por difeomorfismos generales de la superficie. Sin embargo, el famoso teorema de Gauss-Bonnet para superficies cerradas establece que la integral de la curvatura gaussiana K sobre toda la superficie S está determinada por la característica de Euler:

$${\ displaystyle \ int _ {S} K \; dA = 2 \ pi \ chi (S).}

Este resultado ejemplifica la relación profunda entre la geometría y la topología de las superficies (y, en menor medida, las variedades de dimensiones superiores).

Otra forma en que las superficies surgen en la geometría es pasar al dominio complejo. Un complejo de una sola variedad es una superficie orientada lisa, también llamada superficie de Riemann . Cualquier curva algebraica no singular compleja vista como una variedad compleja es una superficie de Riemann.

Cada superficie orientable cerrada admite una estructura compleja. Las estructuras complejas en una superficie orientada cerrada corresponden a clases de equivalencia conforme de métricas de Riemann en la superficie. Una versión del teorema de uniformización (debido a Poincaré ) establece que cualquier métrica de Riemann en una superficie orientada y cerrada es equivalente equivalente a una métrica esencialmente única de curvatura constante . Esto proporciona un punto de partida para uno de los enfoques de la teoría de Teichmüller , que proporciona una clasificación más precisa de las superficies de Riemann que la topológica solo por la característica de Euler.

Una superficie compleja es un complejo de dos múltiples y, por lo tanto, un verdadero múltiple de cuatro; No es una superficie en el sentido de este artículo. Las curvas algebraicas tampoco se definen sobre campos distintos a los números complejos, ni las superficies algebraicas se definen sobre campos distintos a los números reales.