FORMAS GEOMÉTRICAS - SUPERFICIES

Para girar el elipsoide de equilibrio, vea Jacobi elipsoide .

Ejemplos de elipsoides con ecuación. $${\ displaystyle {x ^ {2} \ sobre a ^ {2}} + {y ^ {2} \ sobre b ^ {2}} + {z ^ {2} \ sobre c ^ {2}} = 1: }
esfera (arriba, a = b = c = 4),
esferoide (abajo a la izquierda, a = b = 5, c = 3),elipsoide
triaxial (abajo a la derecha, a = 4.5, b = 6, c = 3)

Un elipsoide es una superficie que puede obtenerse de una esfera deformándola por medio de escalas direccionales , o más generalmente, de una transformación afín .

Un elipsoide es una superficie cuadrática ; es decir, una superficie que puede definirse como el conjunto cero de un polinomio de grado dos en tres variables. Entre las superficies cuadráticas, un elipsoide se caracteriza por cualquiera de las dos propiedades siguientes. Cada sección transversal plana es una elipse , o está vacía, o se reduce a un solo punto (esto explica el nombre, que significa "elipse como"). Está limitado , lo que significa que puede estar encerrado en una esferasuficientemente grande .

Un elipsoide tiene tres ejes de simetría perpendiculares en pares que se intersecan en un centro de simetría , llamado el centrodel elipsoide. Los segmentos de línea que están delimitados en los ejes de simetría por el elipsoide se llaman los ejes principales , o simplemente los ejes del elipsoide. Si los tres ejes tienen diferentes longitudes, se dice que el elipsoide es triaxial o rara vez escaleno , y los ejes están definidos de manera única.

Si dos de los ejes tienen la misma longitud, entonces el elipsoide es un "elipsoide de revolución ", también llamado esferoide . En este caso, el elipsoide es invariante bajo una rotación alrededor del tercer eje, y por lo tanto hay infinitas formas de elegir los dos ejes perpendiculares de la misma longitud. Si el tercer eje es más corto, el elipsoide es un esferoide oblato ; Si es más largo, es un esferoide prolado . Si los tres ejes tienen la misma longitud, el elipsoide es una esfera .

Ecuación estándar [ editar ]

Usando un sistema de coordenadas cartesiano en el que el origen es el centro del elipsoide y los ejes de coordenadas son los ejes del elipsoide, la ecuación implícita del elipsoide tiene la forma estándar

$${\ displaystyle {x ^ {2} \ sobre a ^ {2}} + {y ^ {2} \ sobre b ^ {2}} + {z ^ {2} \ sobre c ^ {2}} = 1, }

donde a , b , c son números reales positivos .

Los puntos ( a , 0, 0) , (0, b , 0) y (0, 0, c ) se encuentran en la superficie. Los segmentos de línea desde el origen hasta estos puntos se denominan semiejes principales del elipsoide, porque a , b , c son la mitad de la longitud de los ejes principales. Corresponden al eje semi mayor y al eje semi menor de una elipse .

Si {\ displaystyle a = b> c,}uno tiene un esferoide oblato ; Si{\ displaystyle a = b uno tiene un esferoide prolado ; Si$${\ displaystyle a = b = c,}uno tiene una esfera .

Parametrización [ editar ]

El elipsoide se puede parametrizar de varias maneras, que son más fáciles de expresar cuando los ejes del elipsoide coinciden con los ejes de coordenadas. Una elección común es

{\ displaystyle {\ begin {alineado} x & = a \ cos (\ theta) \ cos (\ varphi), \\ y & = b \ cos (\ theta) \ sin (\ varphi), \\ z & = c \ sin (\ theta), \ end {alineado}} \, \!}

dónde

$${\ displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}} \ leq \ theta \ leq {\ frac {\ pi} {2}}, \ qquad - \ pi \ leq \ varphi \ leq \ pi.}

Estos parámetros pueden interpretarse como coordenadas esféricas , donde$${\ displaystyle \ pi / 2- \ theta} es el ángulo polar, y $${\ displaystyle \ varphi}es el ángulo acimutal del punto ( x , y , z ) del elipsoide.

Volumen y área de superficie [ editar ]

Volumen [ editar ]

El volumen delimitado por el elipsoide es

$${\ displaystyle V = {\ frac {4} {3}} \ pi abc.}

Tenga en cuenta que esta ecuación se reduce a la del volumen de una esfera cuando los tres radios elípticas son iguales, y a la de un achatado o prolato esferoide cuando dos de ellos son iguales.

El volumen de un elipsoide es$${\ displaystyle {\ frac {2} {3}}}el volumen de un cilindro elíptico circunscrito , y$${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {6}}} El volumen de la caja circunscrita.

Los volúmenes de las casillas inscritas y circunscritas son respectivamente:

$${\ displaystyle V _ {\ text {inscrito}} = {\ frac {8} {3 {\ sqrt {3}}}} abc, \ qquad V _ {\ text {circunscribed}} = 8abc.}

Área de superficie [ editar ]

El área de superficie de un elipsoide general (triaxial) es ^[1] [2]

$${\ displaystyle S = 2 \ pi c ^ {2} + {\ frac {2 \ pi ab} {\ sin (\ varphi)}} \ left (E (\ varphi, k) \, \ sin ^ {2} (\ varphi) + F (\ varphi, k) \, \ cos ^ {2} (\ varphi) \ right),}

dónde

$${\ displaystyle \ cos (\ varphi) = {\ frac {c} {a}}, \ qquad k ^ {2} = {\ frac {a ^ {2} (b ^ {2} -c ^ {2} )} {b ^ {2} (a ^ {2} -c ^ {2})}}, \ qquad a \ geq b \ geq c,}

y donde F (, k) y E (φ, k) son integrales elípticas incompletas del primer y segundo tipo, respectivamente. [1]

El área de superficie de un elipsoide de revolución (o esferoide ) se puede expresar en términos de funciones elementales :

{\ displaystyle S _ {\ text {oblate}} = 2 \ pi a ^ {2} \ left (1 + {\ frac {c ^ {2}} {ea ^ {2}}} \ cdot {\ mbox {arctanh }} (e) \ right) \ quad {\ mbox {where}} \ quad e ^ {2} = 1 - {\ frac {c ^ {2}} {a ^ {2}}} \ quad (c < una),}

{\ displaystyle S _ {\ text {prolate}} = 2 \ pi a ^ {2} \ left (1 + {\ frac {c} {ae}} \ cdot \ arcsin (e) \ right) \ quad \ qquad { \ mbox {where}} \; \ quad e ^ {2} = 1 - {\ frac {a ^ {2}} {c ^ {2}}} \ quad (c> a),}

que, según se desprende de las identidades trigonométricas básicas, son expresiones equivalentes (es decir, la fórmula para $${\ displaystyle S _ {\ rm {oblate}}}se puede utilizar para calcular el área de superficie de un elipsoide prolado y viceversa). En ambos casos, e puede identificarse nuevamente como la excentricidad de la elipse formada por la sección transversal a través del eje de simetría. (Ver elipse ). Las derivaciones de estos resultados se pueden encontrar en fuentes estándar, por ejemplo Mathworld . ^[3]

Fórmula aproximada [ editar ]

$${\ displaystyle S \ approx 4 \ pi {\ sqrt [{p}] {\ frac {a ^ {p} b ^ {p} + a ^ {p} c ^ {p} + b ^ {p} c ^ {p}} {3}}}. \, \!}

Aquí p ≈ 1.6075 produce un error relativo de como máximo 1.061%; ^[4] un valor de p = 8/5 = 1.6 es óptimo para elipsoides casi esféricos, con un error relativo de como máximo 1.178%.

En el límite "plano" de c mucho más pequeño que a , b , el área es de aproximadamente 2 π ab , equivalente a p ≈ 1.5850 .

Secciones planas [ editar ]

Propiedades [ editar ]

Plano de un elipsoide.

La intersección de un plano y una esfera es un círculo (o se reduce a un solo punto, o está vacío). Cualquier elipsoide es la imagen de la esfera unitaria bajo alguna transformación afín, y cualquier plano es la imagen de otro plano bajo la misma transformación. Entonces, debido a que las transformaciones afines trazan círculos a elipses, la intersección de un plano con un elipsoide es una elipse o un punto único, o está vacía. ^[5] Obviamente, los esferoides contienen círculos. Esto también es cierto, pero menos obvio, para los elipsoides triaxiales (consulte la sección Circular ).

Determinación de la elipse de una sección plana [ editar ]

Sección plana de un elipsoide (ver ejemplo)

Dado: elipsoide$${\ displaystyle \ {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {2 }} {c ^ {2}}} = 1 \} y el plano con ecuación $${\ displaystyle \ n_ {x} x + n_ {y} y + n_ {z} z = d \,}que tienen una elipse en común. 
Se busca: tres vectores$${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {0}} (centro) y $${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {1}, \; {\ vec {f}} _ {2}} (vectores conjugados), de modo que la elipse pueda representarse mediante la ecuación paramétrica

$${\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ vec {f}} _ {0} + {\ vec {f}} _ {1} \ cos t + {\ vec {f}} _ {2} \ sin t \ quad}(Ver elipse ).

Sección plana de la esfera unitaria (ver ejemplo)

Solución: La escalada.$${\ displaystyle \ u = {\ frac {x} {a}} \, \ v = {\ frac {y} {b}} \, \ w = {\ frac {z} {c}} \} transforma el elipsoide en la esfera unitaria $${\ displaystyle u ^ {2} + v ^ {2} + w ^ {2} = 1 \} y el plano dado en el plano con la ecuación $${\ displaystyle \ n_ {x} au + n_ {y} bv + n_ {z} cw = d \}. Dejar$${\ displaystyle \ m_ {u} u + m_ {v} v + m_ {w} w = \ delta \}Ser la forma normal de HESSEdel nuevo plano y $${\ displaystyle \; {\ vec {m}} = (m_ {u}, m_ {v}, m_ {w}) ^ {T} \;}Su unidad de vector normal. Por lo tanto
$${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {0} = \ delta \; {\ vec {m}} \;}es el centro del círculo de intersección y$${\ displaystyle \; \ rho = {\ sqrt {1- \ delta ^ {2}}} \;}su radio (ver diagrama). 
En caso de$${\ displaystyle \ m_ {w} = \ pm 1 \} permitir $${\ displaystyle \ quad {\ vec {e}} _ {1} = (\ rho, 0,0) ^ {T} \;, \ {\ vec {e}} _ {2} = (0, \ rho , 0) ^ {T} \ ;.}(El plano es horizontal!) 
En caso de$${\ displaystyle \ m_ {w} \ neq \ pm 1 \} permitir $${\ displaystyle \ quad {\ vec {e}} _ {1} = \ rho \, {\ frac {(m_ {v}, - m_ {u}, 0) ^ {T}} {\ sqrt {m_ { u} ^ {2} + m_ {v} ^ {2}}}} \;, \ {\ vec {e}} _ {2} = {\ vec {m}} \ times {\ vec {e}} _ {1} \.}
En cualquier caso los vectores. $${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {1}, {\ vec {e}} _ {2}} Son ortogonales, paralelas al plano de intersección y tienen longitud. $${\ displaystyle \ rho}(radio del circulo). Por lo tanto, el círculo de intersección puede ser descrito por la ecuación paramétrica$${\ displaystyle \; {\ vec {u}} = {\ vec {e}} _ {0} + {\ vec {e}} _ {1} \ cos t + {\ vec {e}} _ {2} \ sin t \ ;.}
La escala inversa (ver arriba) transforma la esfera unitaria de nuevo al elipsoide y los vectores $${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {0}, {\ vec {e}} _ {1}, {\ vec {e}} _ {2}} se mapean en vectores $${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {0}, {\ vec {f}} _ {1}, {\ vec {f}} _ {2}}, que fueron buscados por la representación paramétrica de la elipse de intersección. 
La forma de encontrar los vértices y semiejes de la elipse se describe en elipse .

Ejemplo: Los diagramas muestran un elipsoide con los semiejes.$${\ displaystyle \; a = 4, \; b = 5, \; c = 3 \;} que se corta por el plano $${\ displaystyle \; x + y + z = 5 \ ;.}

En posición general [ editar ]

Como cuadric [ editar ]

Más generalmente, un elipsoide orientado arbitrariamente, centrado en v , se define por las soluciones x a la ecuación

$${\ displaystyle (\ mathbf {xv}) ^ {\ mathrm {T}} \! A \, (\ mathbf {xv}) = 1,}

donde A es una matriz definida positiva y x , v son vectores .

Los vectores propios de A definen los ejes principales del elipsoide y los valores propios de A son los recíprocos de los cuadrados de los semiejes:$${\ displaystyle a ^ {- 2}}, $${\ displaystyle b ^ {- 2}} y $${\ displaystyle c ^ {- 2}}. ^[6] Una transformación lineal invertible aplicada a una esfera produce un elipsoide, que puede incorporarse a la forma estándar anterior mediante una rotación adecuada , una consecuencia de la descomposición polar (consulte también el teorema espectral ). Si la transformación lineal está representada por una matriz simétrica de 3 por 3 , entonces los vectores propios de la matriz son ortogonales (debido al teorema espectral) y representan las direcciones de los ejes del elipsoide; las longitudes de los semiejes se calculan a partir de los valores propios. La descomposición del valor singular y la descomposición polar son descomposiciones de matriz estrechamente relacionadas con estas observaciones geométricas.

Representación paramétrica [ editar ]

Elipsoide como imagen afín de la esfera unitaria.

La clave para una representación paramétrica de un elipsoide en una posición general es la definición alternativa:

• Un elipsoide es una imagen afín de la esfera unitaria.

Una transformación afín puede representarse por una traducción con un vector$${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {0}} y una matriz regular de 3 × 3 $${\ displaystyle A}:

$${\ displaystyle {\ vec {x}} \ mapsto {\ vec {f}} _ {0} + A {\ vec {x}} = {\ vec {f}} _ {0} + x {\ vec { f}} _ {1} + y {\ vec {f}} _ {2} + z {\ vec {f}} _ {3}},

dónde $${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {1}, {\ vec {f}} _ {2}, {\ vec {f}} _ {3}} son los vectores de columnas de la matriz $${\ displaystyle A}.

Una representación paramétrica de un elipsoide en una posición general se puede obtener mediante la representación paramétrica de una esfera unitaria (ver arriba) y una transformación afín:

• {\ displaystyle {\ vec {x}} (\ theta, \ varphi) = {\ vec {f}} _ {0} + {\ vec {f}} _ {1} \ cos \ theta \ cos \ varphi + {\ vec {f}} _ {2} \ cos \ theta \ sin \ varphi + {\ vec {f}} _ {3} \ sin \ theta, \ quad - \ pi / 2 \ leq \ theta \ leq \ pi / 2, \ 0 \ leq \ varphi <2 font="" pi="">.

Si los vectores $${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {1}, {\ vec {f}} _ {2}, {\ vec {f}} _ {3}} Forma un sistema ortogonal, los puntos con vectores. $${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {0} \ pm {\ vec {f}} _ {i}, \ i = 1,2,3,} Son los vértices del elipsoide y $${\ displaystyle | {\ vec {f}} _ {1} |, | {\ vec {f}} _ {2} |, | {\ vec {f}} _ {3} |} Son los ejes semi-principales.

Un vector normal de superficie en el punto. $${\ displaystyle {\ vec {x}} (\ theta, \ varphi)} es

$${\ displaystyle {\ vec {n}} (\ theta, \ varphi) = {\ vec {f}} _ {2} \ times {\ vec {f}} _ {3} \ cos \ theta \ cos \ varphi + {\ vec {f}} _ {3} \ times {\ vec {f}} _ {1} \ cos \ theta \ sin \ varphi + {\ vec {f}} _ {1} \ times {\ vec {f}} _ {2} \ sin \ theta.}

Para cualquier elipsoide existe una representación implícita. $${\ displaystyle F (x, y, z) = 0}. Si por simplicidad el centro del elipsoide es el origen, es decir$${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {0} = (0,0,0) ^ {T}}, la siguiente ecuación describe el elipsoide anterior: ^[7]

$${\ displaystyle F (x, y, z) = \ operatorname {det} ({\ vec {x}}, {\ vec {f}} _ {2}, {\ vec {f}} _ {3}) ^ {2} \; + \; \ operatorname {det} ({\ vec {f}} _ {1}, {\ vec {x}}, {\ vec {f}} _ {3}) ^ {2 } \; + \; \ operatorname {det} ({\ vec {f}} _ {1}, {\ vec {f}} _ {2}, {\ vec {x}}) ^ {2} \; - \; \ operatorname {det} ({\ vec {f}} _ {1}, {\ vec {f}} _ {2}, {\ vec {f}} _ {3}) ^ {2} = 0}

Aplicaciones [ editar ]

La forma elipsoidal encuentra muchas aplicaciones prácticas:

Geodesia

• Elipsoide terrestre , una figura matemática que se aproxima a la forma de la Tierra.
• Elipsoide de referencia , una figura matemática que se aproxima a la forma de los cuerpos planetarios en general.

Mecánica

• El elipsoide de Poinsot , un método geométrico para visualizar el movimiento sin par de un cuerpo rígidogiratorio . Otro enfoque utiliza el elipsoide MacCullagh .
• El elipsoide de estrés de Lamé , una alternativa al círculo de Mohr para la representación gráfica del estado de estrés en un punto.
• Manipulabilidad elipsoide , que se utiliza para describir la libertad de movimiento de un robot.

Cristalografía

• Elipsoide de índice , un diagrama de un elipsoide que representa la orientación y la magnitud relativa de los índices de refracción en un cristal.
• Elipsoide térmico , elipsoides utilizados en la cristalografía para indicar las magnitudes y direcciones de la vibración térmica de los átomos en las estructuras cristalinas.

Iluminación

• Reflector elipsoidal
• Reflector elipsoidal reflector

Medicina

• Las mediciones obtenidas a partir de imágenes de resonancia magnética de la próstata se pueden usar para determinar el volumen de la glándula utilizando la aproximación L × W × H × 0.52 (donde 0.52 es una aproximación de π / 6) ^[8]

Propiedades dinámicas [ editar ]

La masa de un elipsoide de densidad uniforme ρ es:

$${\ displaystyle m = \ rho V = \ rho {\ frac {4} {3}} \ pi abc. \, \!}

Los momentos de inercia de un elipsoide de densidad uniforme son:

$${\ displaystyle I _ {\ mathrm {xx}} = {\ frac {m (b ^ {2} + c ^ {2})} {5}}, \ qquad I _ {\ mathrm {yy}} = {\ frac {m (c ^ {2} + a ^ {2})} {5}}, \ qquad I _ {\ mathrm {zz}} = {\ frac {m (a ^ {2} + b ^ {2}) } {5}},}

$${\ displaystyle I _ {\ mathrm {xy}} = I _ {\ mathrm {yz}} = I _ {\ mathrm {zx}} = 0. \, \!}

por $${\ displaystyle a = b = c} Estos momentos de inercia se reducen a los de una esfera de densidad uniforme.

Concepción artística de Haumea , un planeta enano Jacobi-elipsoide , con sus dos lunas.

Los elipsoides y los cuboides giran de manera estable a lo largo de sus ejes mayor o menor, pero no a lo largo de su eje medio. Esto se puede ver experimentalmente lanzando un borrador con un poco de giro. Además, las consideraciones del momento de inercia significan que la rotación a lo largo del eje mayor se perturba más fácilmente que la rotación a lo largo del eje menor. ^[9]

Un efecto práctico de esto es que los cuerpos astronómicos escalenos, como Haumea, generalmente giran a lo largo de sus ejes menores (como lo hace la Tierra, que es meramente oblata); Además, debido al bloqueo de las mareas , las lunas en órbita sincrónica , como Mimas,orbitan con su eje mayor alineado radialmente a su planeta.

Un cuerpo giratorio de fluido auto-gravitante homogéneo asumirá la forma de un esferoide Maclaurin ( esferoide oblato) o elipsoide de Jacobi (elipsoide escaleno) cuando se encuentre en equilibrio hidrostático y para velocidades de rotación moderadas. A rotaciones más rápidas, se pueden esperar formas piriformes u oviformes no elipsoidales , pero estas no son estables.

Dinamica de fluidos [ editar ]

El elipsoide es la forma más general para la cual ha sido posible calcular el flujo progresivo de fluido alrededor de la forma sólida. Los cálculos incluyen la fuerza requerida para pasar a través de un fluido y rotar dentro de él. Las aplicaciones incluyen determinar el tamaño y la forma de las moléculas grandes, la tasa de hundimiento de las partículas pequeñas y las capacidades de natación de los microorganismos . ^[10]

En probabilidad y estadística [ editar ]

Las distribuciones elípticas , que generalizan la distribución normal multivariada y se utilizan en finanzas , se pueden definir en términos de sus funciones de densidad . Cuando existen, las funciones de densidad f tienen la estructura:

$${\ displaystyle f (x) = k \ cdot g ((x- \ mu) \ Sigma ^ {- 1} (x- \ mu) ^ {\ mathrm {T}})}

dónde $${\ displaystyle k} es un factor de escala, $${\ displaystyle x} es un $${\ displaystyle n}vector de fila aleatoria tridimensional con vector mediano$${\ displaystyle \ mu} (que también es el vector medio si este último existe), $${\ displaystyle \ Sigma}es una matriz definida positiva que es proporcional a la matriz de covarianza si existe esta última, y$${\ displaystyle g}es una función de mapeo de los reales no negativos a los reales no negativos que dan un área finita debajo de la curva. ^[11] La distribución normal multivariable es el caso especial en el que$${\ displaystyle g (z) = e ^ {- z / 2}} para forma cuadrática $${\ displaystyle z}.

Por lo tanto, la función de densidad es una transformación escalar a escalar de una expresión cuadrática. Además, la ecuación para cualquier superficie de isodensidad indica que la expresión cuadrática es igual a alguna constante específica para ese valor de la densidad, y la superficie de isodensidad es un elipsoide.

En dimensiones superiores [ editar ]

El volumen de un elipsoide de dimensión superior (un hiperelipsoide ) se puede calcular utilizando la constante dimensional dada para el volumen de una hiperesfera . También se puede definir hiperelipsoides como imágenes de esferas bajo transformaciones lineales invertibles. El teorema espectral se puede usar de nuevo para obtener una ecuación estándar similar a la dada anteriormente.