FORMAS GEOMÉTRICAS - SUPERFICIES

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El cilindro es un ejemplo de una superficie desarrollable.

En matemáticas , una superficie desarrollable (o torse : arcaico) es una superficie lisa con cero curvatura gaussiana . Es decir, que es una superficie que puede ser aplanada en un plano sin distorsión (es decir, "estiramiento" o de "compresión"). A la inversa, es una superficie que se puede hacer transformando un plano (es decir, "doblando", "doblando", "rodando", "cortando" y / o "pegando"). En tres dimensiones, todas las superficies desarrollables son superficies regladas (pero no al revés). Hay superficies desarrollables en R ⁴ que no están descartadas.

Particularidades [ editar ]

Las superficies desarrollables que se pueden realizar en el espacio tridimensional incluyen:

• Cilindros y, más generalmente, el cilindro "generalizado"; Su sección transversal puede ser cualquier curva suave .
• Conos y, más generalmente, superficies cónicas ; lejos del vértice
• El oloide y el sphericon son miembros de una familia especial de sólidos que desarrollan toda su superficie cuando ruedan por un plano.
• Planos (trivial); que puede verse como un cilindro cuya sección transversal es una línea
• Superficies tangibles desarrollables ; que se construyen extendiendo las líneas tangentes de una curva espacial.
• El toro tiene una métrica bajo la cual se puede desarrollar, que se puede incrustar en el espacio tridimensional mediante el teorema de incrustación de Nash ^[2] y tiene una representación simple en cuatro dimensiones como el producto cartesiano de dos círculos: consulte Torus de Clifford .

Formalmente, en matemáticas, una superficie desarrollable es una superficie con una curvatura gaussiana cero . Una consecuencia de esto es que todas las superficies "desarrollables" incrustadas en el espacio 3D son superficies regladas (aunque los hiperboloides son ejemplos de superficies regladas que no son desarrollables). Debido a esto, muchas superficies desarrollables se pueden visualizar como la superficie formada al mover una línea recta en el espacio. Por ejemplo, un cono se forma manteniendo un punto final de una línea fija mientras se mueve el otro punto final en un círculo .

Aplicación [ editar ]

Las superficies desarrollables tienen varias aplicaciones prácticas.

Los Mecanismos desarrollables son mecanismos que se ajustan a una superficie desarrollable y pueden exhibir movimiento (despliegue) fuera de la superficie. ^[3] [4]

Muchas proyecciones cartográficas implican proyectar la Tierra en una superficie desarrollable y luego "desenrollar" la superficie en una región en el plano. Dado que pueden construirse doblando una hoja plana, también son importantes en la fabricación de objetos de chapa metálica , cartón y madera contrachapada . Una industria que utiliza extensamente las superficies desarrolladas es la construcción naval . ^[5]

Superficie no urbanizable [ editar ]

La mayoría de las superficies lisas (y la mayoría de las superficies en general) no son superficies desarrollables. Las superficies no desarrollables se denominan de forma variable como " curvatura doble ", " curvatura doble ", " curvatura compuesta ", " curvatura gaussiana no cero ", etc.

Algunas de las superficies no desarrollables más utilizadas son:

• Las esferas no son superficies desarrollables bajo ninguna métrica, ya que no se pueden desenrollar en un plano.
• El helicoide es una superficie reglada, pero a diferencia de las superficies regladas mencionadas anteriormente, no es una superficie desarrollable.
• El paraboloide hiperbólico y el hiperboloide son superficies doblemente gobernadas ligeramente diferentes, pero a diferencia de las superficies regladas mencionadas anteriormente, ninguna de ellas es una superficie desarrollable.

Aplicaciones de las superficies no desarrollables [ editar ]

Muchas capas de rejilla y estructuras de tracción y construcciones similares ganan fuerza al usar (cualquiera) forma doblemente curvada.

En geometría , la superficie de Dini es una superficie con una curvatura negativa constante que se puede crear torciendo una pseudosfera . ^[1] Lleva el nombre de Ulisse Dini ^[2] y se describe mediante las siguientes ecuaciones paramétricas : ^[3]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} x & = a \ cos u \ sin v \\ y & = a \ sin u \ sin v \\ z & = a \ left (\ cos v + \ ln \ tan {\ frac {v} {2}} \ derecha) + bu \ fin {alineado}}}

La superficie de Dini con 0 ≤  u  ≤ 4 π y 0.01 ≤  v  ≤ 1 y constantes a  = 1.0 yb  = 0.2.

Otra descripción es un helicoide construido a partir de la tractrix .

ciclón o cicluro Dupin de Dupin es cualquier inversión geométrica de un toro , cilindro o cono doble estándar . En particular, estos últimos son en sí mismos ejemplos de cicluros de Dupin. Fueron descubiertos por Charles Dupin en su disertación de 1803 bajo Gaspard Monge . ^[1] La propiedad clave de un ciclón Dupin es que es una superficie de canal (envolvente de una familia de esferas de un solo parámetro) de dos maneras diferentes. Esta propiedad significa que los cicluros de Dupin son objetos naturales en la geometría de la esfera de Lie .

Los cicluros de Dupin a menudo se conocen simplemente como cicluros , pero este último término también se usa para referirse a una clase más general de superficies de cuarzo que son importantes en la teoría de la separación de variables para la ecuación de Laplace en tres dimensiones.

Los cicluros de Dupin fueron investigados no solo por Dupin, sino también por A. Cayley y JC Maxwell .

En la actualidad, Dupin cylides se usa en diseño asistido por computadora (CAD), porque los parches de cicluro tienen representaciones racionales y son adecuados para mezclar superficies de canales (cilindros, conos, toros y otros).

Un ciclón de Dupin

Definiciones y propiedades [ editar ]

Hay varias definiciones equivalentes de ciclones de Dupin. En$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}, se pueden definir como las imágenes bajo cualquier inversión de toros, cilindros y conos dobles. Esto muestra que la clase de cicluros Dupin es invariante en las transformaciones de Möbius (o conformes) . En espacio complejo$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {3}} estas tres últimas variedades se pueden mapear entre sí por inversión, por lo que los cicluros de Dupin se pueden definir como inversiones del toro (o el cilindro, o el doble cono).

Como un toro estándar es la órbita de un punto bajo un subgrupo abeliano bidimensional del grupo de Möbius, se deduce que los cicluros también lo son, y esto proporciona una segunda forma de definirlos.

Una tercera propiedad que caracteriza a los cicluros de Dupin es que sus líneas de curvatura son todos círculos (posiblemente a través del punto en el infinito ). De forma equivalente, las esferas de curvatura , que son las esferas tangentes a la superficie con radios iguales a los recíprocos de las curvaturas principales en el punto de tangencia, son constantes a lo largo de las líneas de curvatura correspondientes: son las esferas tangentes que contienen las líneas de curvatura correspondientes tan grandes círculos . Igualmente de nuevo, ambas láminas de la superficie focal degeneran a cónicas. ^{[2] De} ello se deduce que cualquier ciclón Dupin es una superficie de canal (es decir, la envolvente de una familia de esferas de un solo parámetro) de dos maneras diferentes, y esto da otra caracterización.

La definición en términos de esferas muestra que la clase de cicluros de Dupin es invariante en el grupo más grande de todas las transformaciones de la esfera de Lie ; cualesquiera dos cicluros de Dupin son equivalentes a la Mentira . Forman (en cierto sentido) la clase más simple de superficies invariantes de Lie después de las esferas, y por lo tanto son particularmente importantes en la geometría de la esfera de Lie . ^[3]

La definición también significa que un ciclón Dupin es la envoltura de la familia de esferas de un parámetro tangente a tres esferas dadas mutuamente tangentes. De ello se deduce que es tangente a infinitas configuraciones de esferas de esferas de Soddy .

Representación paramétrica e implícita [ editar ]

(CS): Un ciclón Dupin se puede representar de dos maneras como la envoltura de un lápiz paramétrico de esferas, es decir, es una superficie de canal con dos directrices . El par de directrices consiste en una elipse y una hipérbola o dos parábolas. En el primer caso, uno define el cicluro como elíptico , en el segundo caso como parabólico . En ambos casos, las cónicas están contenidas en dos planos mutuamente ortogonales. En casos extremos (si la elipse es un círculo) la hipérbola degenera en una línea y el cicluro es un toro de revolución.

Otra propiedad especial de un cicluro es:

(CL): cualquier línea de curvatura de un ciclón Dupin es un círculo .

Cicluros elípticos [ editar ]

Un cicluro elíptico se puede representar de forma paramétrica mediante las siguientes fórmulas (s. Weblinks):

$${\ displaystyle x = {\ frac {d (ca \ cos u \ cos v) + b ^ {2} \ cos u} {ac \ cos u \ cos v}} \,}

$${\ displaystyle y = {\ frac {b \ sin u (ad \ cos v)} {ac \ cos u \ cos v}} \,}

$${\ displaystyle z = {\ frac {b \ sin v (c \ cos ud))} {ac \ cos u \ cos v}} \,}

{\ displaystyle 0 \ leq u, v <2 font="" pi="">

Los números $${\ displaystyle a, b, c, d} cumplir las condiciones {\ displaystyle a> b> 0, c ^ {2} = a ^ {2} -b ^ {2}, d \ geq 0} y determinar la forma de la elipse. $${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1, z = 0} y la hipérbola $${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {c ^ {2}}} - {\ frac {z ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1, y = 0}.

por $${\ displaystyle u = const} , $${\ displaystyle v = const} respectivamente se obtienen las líneas de curvatura (círculos) de la superficie.

La representación implícita correspondiente es:

$${\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + b ^ {2} -d ^ {2}) ^ {2} -4 (ax-cd) ^ {2} - 4b ^ {2} y ^ {2} = 0 \.}

En caso de $${\ displaystyle a = b} uno obtiene $${\ displaystyle c = 0}, es decir, la elipse es un círculo y la hipérbola degenera en una línea. Los cicluros correspondientes son toros de revolución.

(ellipt.) Dupin cyclides para designparameters a, b, c, d
$${\ displaystyle d = 0}	{\ displaystyle 0	$${\ displaystyle d = c}	{\ displaystyle c	$${\ displaystyle d = a}	{\ displaystyle a
simm ciclo de cuerno	ciclo de cuerno	ciclo de cuerno	anillo de cicluro	anillo de cicluro	ciclo del husillo

Cyclides parabólicos [ editar ]

Un cicluro parabólico puede ser representado por la siguiente representación paramétrica:

$${\ displaystyle x = {\ frac {p} {2}} \, {\ frac {2v ^ {2} + k (1-u ^ {2} -v ^ {2})} {1 + u ^ { 2} + v ^ {2}}} \,}

$${\ displaystyle y = pu \, {\ frac {v ^ {2} + k} {1 + u ^ {2} + v ^ {2}}} \,}

$${\ displaystyle z = pv \, {\ frac {1 + u ^ {2} -k} {1 + u ^ {2} + v ^ {2}}} \,}

{\ displaystyle - \ infty

El número $${\ displaystyle p} Determina la forma de ambas parábolas: $${\ displaystyle y ^ {2} = p ^ {2} -2px, z = 0} y $${\ displaystyle z ^ {2} = 2px, y = 0}.

Una representación implícita correspondiente es

$${\ displaystyle \ left (x + \ left ({\ frac {k} {2}} - 1 \ right) p \ right) \ left (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} - {\ frac {k ^ {2} p ^ {2}} {4}} \ right) + pz ^ {2} = 0 \.}

Cicluros de Dupin parabólicos para los parámetros de diseño p = 1, k
$${\ displaystyle k = 0.5}	$${\ displaystyle k = 1}	$${\ displaystyle k = 1.5}
anillo de cicluro	ciclo de cuerno	ciclo de cuerno

Observación : al mostrar los círculos aparecen espacios que son causados ​​por la restricción necesaria de los parámetros$${\ displaystyle u, v}.

Cicluros de Dupin e inversiones geométricas [ editar ]

anillo de cicluro generado por una inversión de un cilindro en una esfera (magenta)

Cicluro de anillo parabólico generado por una inversión de un cilindro que contiene el origen.

Cicluro de cuerno generado por una inversión de un cono.

Ciclo de anillo generado por una inversión de un toro.

Una ventaja para las investigaciones de cicluros es la propiedad:

(I): Cualquier ciclón Dupin es la imagen de un cilindro circular derecho o un cono doble circular recto o un toro de revolución por una inversión (reflexión en una esfera).

La inversión en la esfera con ecuación. $${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = R ^ {2}} Se puede describir analíticamente por:

$${\ displaystyle (x, y, z) \ rightarrow {\ frac {R ^ {2} \ cdot (x, y, z)} {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}} } \.}

Las propiedades más importantes de una inversión en una esfera son:

1. Las esferas y los círculos se asignan en los mismos objetos.
2. Los planos y las líneas que contienen el origen (centro de inversión) se mapean sobre sí mismos.
3. Los planos y las líneas que no contienen el origen se asignan en esferas o círculos que pasan el origen.
4. Una inversión es involutiva (idéntica a la cartografía inversa).
5. Una inversión conserva los ángulos.

Uno puede mapear superficies arbitrarias por una inversión. Las fórmulas anteriores dan en cualquier caso representaciones paramétricas o implícitas de la superficie de la imagen, si las superficies se dan de forma paramétrica o implícita. En el caso de una superficie paramétrica se obtiene:

$${\ displaystyle (x (u, v), y (u, v), z (u, v)) \ rightarrow {\ frac {R ^ {2} \ cdot (x (u, v), y (u, v), z (u, v))} {x (u, v) ^ {2} + y (u, v) ^ {2} + z (u, v) ^ {2}}} \.}

Pero: solo en el caso de los cilindros y conos circulares rectos y los toros de revolución se obtiene el ciclón Dupin y viceversa.

Ejemplo de cilindro [ editar ]

a) Debido a que las líneas, que no contienen el origen, se mapean mediante una inversión en una esfera (en la imagen: magenta) en círculos que contienen el origen, la imagen del cilindro es un ciclo de anillo con círculos que se tocan mutuamente en el origen. A medida que las imágenes de los segmentos de línea, que se muestran en la imagen, aparecen en los segmentos de círculo de línea como imágenes. Las esferas que tocan el cilindro en el lado interno se mapean en un primer lápiz de esferas que generan el cicluro como superficie del canal. Las imágenes de los planos tangentes del cilindro se convierten en el segundo lápiz de esferas que toca el cicluro. Los últimos pasan por el origen. 
b) El segundo ejemplo invierte un cilindro que contiene el origen. Las líneas que pasan el origen se asignan a sí mismas. De ahí que la superficie sea ilimitada y un cicluro parabólico.

Cono de ejemplo [ editar ]

Las líneas que generan el cono se mapean en círculos, que se intersecan en el origen y la imagen del vértice del cono. La imagen del cono es un doble ciclo de cuerno. La imagen muestra las imágenes de los segmentos de línea (del cono), que en realidad son segmentos de círculos.

Toro de ejemplo [ editar ]

Ambos lápices de círculos en el toro (que se muestran en la imagen) están mapeados en los correspondientes lápices de círculos en el cicluro. En el caso de un toro de auto-intersección, se obtendría un cicluro de huso.

Separación de variables [ editar ]

Los cicluros de Dupin son un caso especial de una noción más general de cicluro, que es una extensión natural de la noción de una superficie cuadrática . Mientras que una cuadrática puede describirse como el conjunto cero del polinomio de segundo orden en coordenadas cartesianas ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ), un cicluro viene dado por el conjunto cero de un polinomio de segundo orden en ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , r ² ), donde r ² = x ₁ ² + x ₂ ² + x ₃ ². Por lo tanto, es una superficie de cuarzo en coordenadas cartesianas, con una ecuación de la forma:

$${\ displaystyle Ar ^ {4} + \ sum _ {i = 1} ^ {3} P_ {i} x_ {i} r ^ {2} + \ sum _ {i, j = 1} ^ {3} Q_ {ij} x_ {i} x_ {j} + \ sum _ {i = 1} ^ {3} R_ {i} x_ {i} + B = 0}

donde Q es una matriz 3x3, P y R son vectores tridimensionales , y A y B son constantes. ^[4]

Las familias de los cicluros dan lugar a diversas geometrías de coordenadas ciclídicas.

En la disertación de Maxime Bôcher de 1891, Ueber die Reihenentwickelungen der Potentialtheorie , se demostró que la ecuación de Laplace en tres variables se puede resolver mediante la separación de variables en 17 geometrías de coordenadas cuadricídicas conformalmente distintas. Se pueden obtener muchas otras geometrías ciclídicas estudiando la separación R de las variables para la ecuación de Laplace.