FORMAS GEOMÉTRICAS - SUPERFICIES

La ecuación de desgaste de Archard es un modelo simple que se utiliza para describir el desgaste deslizante y se basa en la teoría del contacto de aspereza . La ecuación de Archard se desarrolló mucho más tarde que la hipótesis de Reye  [ it ] (a veces también conocida como hipótesis de energía disipativa ), aunque ambas llegaron a las mismas conclusiones físicas , de que el volumen de los residuos eliminados debido al desgaste es proporcional al trabajo realizado por fricción efectivo. El modelo de Theodor Reye ^{[1] [2] se} hizo popular en Europa y todavía se enseña en cursos universitarios deMecánica aplicada . ^[3] Hasta hace poco, la teoría de Reye de 1860, sin embargo, ha sido totalmente ignorada en la literatura inglesa y estadounidense ^[3], donde generalmente se citan los trabajos posteriores de Ragnar Holm ^{[4] [5] [6]} y John Frederick Archard . ^[7] En 1960, Mikhail Mikhailovich Khrushchov  [ ru ] y Mikhail Alekseevich Babichev también publicaron un modelo similar . ^[8] En la literatura moderna, la relación también se conoce como ley de desgaste Reye – Archard – Khrushchov .

Ecuación [ editar ]

$${\ displaystyle Q = {\ frac {KWL} {H}}}

donde: ^[9]

Q es el volumen total de residuos de desgaste producidos

K es una constante sin dimensiones

W es la carga normal total

L es la distancia de deslizamiento

H es la dureza de las superficies de contacto más suaves.

Tenga en cuenta que $${\ displaystyle WL} es proporcional al trabajo realizado por las fuerzas de fricción según lo descrito por la hipótesis de Reye.

Derivación [ editar ]

La ecuación se puede derivar examinando primero el comportamiento de una sola asperidad.

La carga local $${\ displaystyle \, \ delta W}, soportado por una aspereza, se supone que tiene una sección transversal circular con un radio $${\ displaystyle \, a}, es:

$${\ displaystyle \ delta W = P \ pi {a ^ {2}} \, \!}

donde P es la presión de rendimiento para la aspereza, se supone que se deforma plásticamente. P estará cerca de la dureza de la hendidura , H , de la asperidad.

Si el volumen de residuos de desgaste, $${\ displaystyle \, \ delta V}Para una asperidad particular es un hemisferio separado de la aspereza, se deduce que:

$${\ displaystyle \ delta V = {\ frac {2} {3}} \ pi a ^ {3}}

Este fragmento está formado por el material que tiene deslizada una distancia de 2 a

Por lo tanto, $${\ displaystyle \, \ delta Q}, el volumen de desgaste del material producido a partir de esta aspereza por unidad de distancia movida es:

$${\ displaystyle \ delta Q = {\ frac {\ delta V} {2a}} = {\ frac {\ pi a ^ {2}} {3}} \ equiv {\ frac {\ delta W} {3P}} \ approx {\ frac {\ delta W} {3H}}} haciendo la aproximación que $${\ displaystyle \, P \ approx H}

Sin embargo, no todas las asperezas habrán tenido material eliminado al deslizar la distancia 2 a . Por lo tanto, el total de residuos producidos por unidad de distancia movida,$${\ displaystyle \, Q}será menor que la relación de W a 3H . Esto se explica por la adición de una constante K sin dimensiones , que también incorpora el factor 3 anterior. Estas operaciones producen la ecuación de Archard como se indica anteriormente. Archard interpretó el factor K como una probabilidad de formación de restos de desgaste a partir de encuentros de asperidad. ^[10] Por lo general, para desgaste "leve", K  ≈ 10 ⁻⁸ , mientras que para desgaste "severo", K  ≈ 10 ⁻² . Recientemente, ^[11]se ha demostrado que existe una escala de longitud crítica que controla la formación de residuos de desgaste en el nivel de asperidad. Esta escala de longitud define un tamaño de unión crítico, donde las uniones más grandes producen escombros, mientras que las más pequeñas se deforman plásticamente.

superficie aritmética sobre un dominio R de Dedekind con campo de fracción $${\ displaystyle K}es un objeto geométrico que tiene una dimensión convencional y otra dimensión proporcionada por la infinitud de los números primos . Cuando R es el anillo de los números enteros Z , esta intuición depende de que el espectro ideal primario Spec ( Z ) se considere análogo a una línea. Las superficies aritméticas surgen naturalmente en la geometría diofántica , cuando se piensa que una curva algebraica definida sobre K tiene reducciones sobre los campos R / P , donde P es un ideal primordial de R , para casi toda P; y son útiles para especificar qué debe suceder con el proceso de reducción a R / P cuando la forma más ingenua no tiene sentido.

Un objeto de este tipo puede definirse más formalmente como un esquema R con una curva proyectiva conectada no singular $${\ displaystyle C / K}para una fibra genérica y uniones de curvas (posiblemente reducibles , singulares , no reducidas ) sobre el campo de residuos apropiado para fibras especiales .

Definición formal [ editar ]

Más detalladamente, una superficie aritmética. $${\ displaystyle S} (sobre el dominio Dedekind $${\ displaystyle R}) Es un esquema con un morfismo. $${\ displaystyle p: S \ rightarrow \ mathrm {Spec} (R)} con las siguientes propiedades: $${\ displaystyle S}es integral , normales , excelente , plana y de tipo finito sobre$${\ displaystyle R} y la fibra genérica es una curva proyectiva no singular, conectada sobre $${\ displaystyle \ mathrm {Frac} (R)} y para otros $${\ displaystyle t} en $${\ displaystyle \ mathrm {Spec} (R)},

$${\ displaystyle S {\ underset {\ mathrm {Spec} (R)} {\ times}} \ mathrm {Spec} (k_ {t})}

Es una unión de curvas sobre $${\ displaystyle R / t}. ^[1]

Sobre un esquema de Dedekind [ editar ]

Aún más general, las superficies aritméticas se pueden definir sobre esquemas de Dedekind, un ejemplo típico de los cuales es el espectro del anillo de enteros de un campo numérico (que es el caso anterior). Una superficie aritmética es entonces una superficie de fibra regular sobre un esquema Dedekind de dimensión uno. ^[2] Esta generalización es útil, por ejemplo, permite curvas de base que son suaves y proyectivas sobre campos finitos, lo que es importante en la característica positiva.

¿Qué los hace "aritméticos"? [ editar ]

Las superficies aritméticas sobre los dominios de Dedekind son el análogo aritmético de las superficies con fibras sobre las curvas algebraicas. ^[1] Las superficies aritméticas surgen principalmente en el contexto de la teoría de los números. ^[3] De hecho, dada una curva. $${\ displaystyle X}sobre un campo numérico $${\ displaystyle S}, existe una superficie aritmética sobre el anillo de enteros $${\ displaystyle O_ {K}} cuya fibra genérica es isomorfa a $${\ displaystyle X}. En dimensiones superiores también se pueden considerar esquemas aritméticos. ^[3]

Propiedades [ editar ]

Dimensión [ editar ]

Las superficies aritméticas tienen dimensión 2 y dimensión relativa 1 sobre su base. ^[1]

Divisores [ editar ]

Podemos desarrollar una teoría de los divisores de Weil sobre superficies aritméticas ya que cada anillo local de dimensión uno es regular. Esto se indica brevemente como "las superficies aritméticas son regulares en la primera dimensión". ^[1] La teoría se desarrolla en Geometría algebraica de Hartshorne, por ejemplo. ^[4]

Ejemplos [ editar ]

Línea proyectiva [ editar ]

La línea proyectiva sobre el dominio Dedekind.$${\ displaystyle R}es una superficie aritmética suave y apropiada sobre$${\ displaystyle R}. La fibra sobre cualquier ideal máximo.$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}} es la linea proyectiva sobre el campo $${\ displaystyle R / {\ mathfrak {m}}.}^[5]

Modelos mínimos regulares [ editar ]

Los modelos de Néron para curvas elípticas , inicialmente definidos sobre un campo global , son ejemplos de esta construcción y son ejemplos muy estudiados de superficies aritméticas. ^[6] Hay fuertes analogías con las fibraciones elípticas .

La teoría de intersección [ editar ]

Dados dos divisores irreductibles distintos y un punto cerrado en la fibra especial de una superficie aritmética, podemos definir el índice de intersección local de los divisores en el punto como lo haría para cualquier superficie algebraica, es decir, como la dimensión de un determinado cociente de la superficie local. anillo en un punto. ^[7]La idea es luego agregar estos índices locales para obtener un índice de intersección global. La teoría comienza a divergir de la de las superficies algebraicas cuando intentamos garantizar que los divisores lineales equivalentes den el mismo índice de intersección, esto se usaría, por ejemplo, al calcular un índice de intersección de divisores consigo mismo. Esto falla cuando el esquema base de una superficie aritmética no es "compacto". De hecho, en este caso, la equivalencia lineal puede mover un punto de intersección hacia el infinito. ^[8] Una resolución parcial a esto es restringir el conjunto de divisores que queremos intersectar, en particular forzar al menos un divisor a ser "fibral" (cada componente es un componente de una fibra especial) nos permite definir un emparejamiento de intersección único con esto Propiedad, entre otros deseables. ^[9] La teoría de Arakelov da una resolución completa.

La teoría Arakelov [ editar ]

La teoría de Arakelov ofrece una solución al problema presentado anteriormente. Intuitivamente, las fibras se agregan al infinito agregando una fibra para cada valor absoluto arquimediano de K. Luego se puede definir un emparejamiento de intersección local que se extiende hasta el grupo de divisor completo, con la invariancia deseada bajo equivalencia lineal.

la aspereza , definida como "irregularidad de la superficie, rugosidad, robustez" ( OED , del latín asper - "rugoso"), tiene implicaciones (por ejemplo) en física y sismología. Las superficies lisas, incluso aquellas pulidas hasta un acabado de espejo, no son realmente lisas en una escala microscópica. Son ásperos, con proyecciones afiladas, ásperas o rugosas, denominadas "asperezas". Las asperezas de la superficie existen en múltiples escalas, a menudo en una geometría afín o fractal . ^[1] La dimensión fractal de estas estructuras se ha correlacionado con la mecánica de contactoexpuesta en unaInterfaz en términos de fricción y rigidez de contacto .

Cuando dos superficies macroscópicamente lisas entran en contacto, inicialmente solo tocan en algunos de estos puntos de aspereza. Estos cubren solo una porción muy pequeña de la superficie. La fricción y el desgaste se originan en estos puntos y, por lo tanto, comprender su comportamiento se vuelve importante cuando se estudian los materiales en contacto. Cuando las superficies se someten a una carga de compresión, las asperezas se deforman a través de los modos elástico y plástico, aumentando el área de contacto entre las dos superficies hasta que el área de contacto sea suficiente para soportar la carga.

La relación entre las interacciones de fricción y la geometría de la aspereza es compleja y poco conocida. Se ha informado que un aumento de la rugosidad en ciertas circunstancias puede resultar en interacciones de fricción más débiles, mientras que las superficies más suaves pueden, de hecho, exhibir altos niveles de fricción debido a los altos niveles de contacto verdadero. ^[2]

La ecuación de Archard proporciona un modelo simplificado de deformación por aspereza cuando los materiales en contacto están sujetos a una fuerza. Debido a la presencia ubicua de asperezas deformables en estructuras jerárquicas auto afines, ^[3] el área de contacto real en una interfaz muestra una relación lineal con la carga normal aplicada.