MECÁNICA CUÁNTICA

 los Clebsch-Gordan ( CG ) coeficientes son números que surgen en acoplamiento momento angular en la mecánica cuántica . Aparecen como los coeficientes de expansión de los estados propios del momento angular total en una base de producto tensor no acoplado . En términos más matemáticos, los coeficientes CG se utilizan en la teoría de la representación , en particular de los grupos de Lie compactos , para realizar la descomposición directa explícita del producto tensorial de dos representaciones irreductibles(es decir, una representación reducible) en representaciones irreductibles, en los casos en que los números y tipos de componentes irreducibles ya se conocen de manera abstracta. El nombre deriva de los matemáticos alemanes Alfred Clebsch y Paul Gordan , que encontraron un problema equivalente en la teoría invariante .

Desde un cálculo vectorial perspectiva, los coeficientes de CG asociados con el SO (3) grupo se pueden definir simplemente en términos de las integrales de los productos de armónicos esféricos y sus conjugados complejos. La adición de espines en términos cuántico-mecánicos se puede leer directamente desde este enfoque, ya que los armónicos esféricos son funciones propias del momento angular total y su proyección en un eje, y las integrales corresponden al producto interior del espacio de Hilbert . ^[1] A partir de la definición formal de momento angular, se pueden encontrar relaciones de recursión para los coeficientes de Clebsch-Gordan. También existen fórmulas explícitas complicadas para su cálculo directo.^[2]

Las siguientes fórmulas uso de Dirac notación bra-ket y la convención fase Condon-Shortley ^[3] se adopte.

Operadores de momento angular [ editar ]

Los operadores de momento angular son operadores autoadjuntos j _x , j _y y j _z que satisfacen las relaciones de conmutación

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & [\ mathrm {j} _ {k}, \ mathrm {j} _ {l}] \ equiv \ mathrm {j} _ {k} \ mathrm {j} _ {l } - \ mathrm {j} _ {l} \ mathrm {j} _ {k} = i \ hbar \ varepsilon _ {klm} \ mathrm {j} _ {m} & k, l, m & \ in \ {\ mathrm {x, y, z} \}, \ end {alineado}}}

donde ε _klm es el símbolo de Levi-Civita . Juntos, los tres operadores definen un operador vectorial , un operador de tensor cartesiano de rango uno ,

$${\ displaystyle \ mathbf {j} = (\ mathrm {j_ {x}}, \ mathrm {j_ {y}}, \ mathrm {j_ {z}}).}

También se conoce como vector esférico , ya que también es un operador de tensor esférico. Es solo para el rango uno que los operadores de tensor esféricos coinciden con los operadores de tensor cartesiano.

Al desarrollar este concepto aún más, uno puede definir otro operador j ² como el producto interno de j consigo mismo:

$${\ displaystyle \ mathbf {j} ^ {2} = \ mathrm {j_ {x} ^ {2}} + \ mathrm {j_ {y} ^ {2}} + \ mathrm {j_ {z} ^ {2} }.}

Este es un ejemplo de un operador de Casimir . Es diagonal y su valor propio caracteriza la representación irreductible particular del álgebra de momento angular para (3) 3 su (2) . Esto se interpreta físicamente como el cuadrado del momento angular total de los estados en los que actúa la representación.

También se pueden definir los operadores de elevación ( j ₊ ) y disminución ( j _- ), los llamados operadores de escalera ,

$${\ displaystyle \ mathrm {j _ {\ pm}} = \ mathrm {j_ {x}} \ pm i \ mathrm {j_ {y}}.}

Estados de momento angular [ editar ]

Se puede demostrar a partir de las definiciones anteriores que los j ² conmuta con j _x , j _y y j _z :

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & [\ mathbf {j} ^ {2}, \ mathrm {j} _ {k}] = 0 & k & \ in \ {\ mathrm {x}, \ mathrm {y}, \ mathrm {z} \}. \ end {alineado}}}

Cuando dos operadores de Hermitian conmutan, existe un conjunto común de funciones propias. Convencionalmente se eligen j ² y j _z . De las relaciones de conmutación se pueden encontrar los valores propios posibles. Estos estados se denotan | j m ⟩ donde j es el número de impulso cuántico angular y m es la proyección del momento angular sobre el eje z. Satisfacen las siguientes ecuaciones de valores propios:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {j} ^ {2} | j \, m \ rangle & = \ hbar ^ {2} j (j + 1) | j \, m \ rangle, & j & \ in \ {0, {\ tfrac {1} {2}}, 1, {\ tfrac {3} {2}}, \ ldots \} \\\ mathrm {j_ {z}} | j \, m \ rangle & = \ hbar m | j \, m \ rangle, & m & \ in \ {- j, -j + 1, \ ldots, j \}. \ end {alineado}}}

Los operadores de subida y bajada pueden utilizarse para alterar el valor de m :

$${\ displaystyle \ mathrm {j} _ {\ pm} | j \, m \ rangle = \ hbar C _ {\ pm} (j, m) | j \, (m \ pm 1) \ rangle,}

donde el coeficiente de escalera es dado por:

$${\ displaystyle C _ {\ pm} (j, m) = {\ sqrt {j (j + 1) -m (m \ pm 1)}} = {\ sqrt {(j \ mp m) (j \ pm m +1)}}.}

( 1 )

En principio, también se puede introducir un factor de fase (posiblemente complejo) en la definición de $${\ displaystyle C _ {\ pm} (j, m)}. La elección realizada en este artículo está de acuerdo con la convención de la fase Condon-Shortley . Los estados de momento angular son ortogonales (debido a que sus valores propios con respecto a un operador hermitiano son distintos) y se supone que están normalizados:

$${\ displaystyle \ langle j \, m | j '\, m' \ rangle = \ delta _ {j, j '} \ delta _ {m, m'}.}

Aquí, las letras j y m en cursiva denotan números cuánticos de momento angular de enteros o enteros de enteros o de un sistema. Por otro lado, el roman j _x , j _y , j _z , j ₊ , j _- y j ² denotan operadores. los$${\ displaystyle \ delta}Los simbolos son los deltas de Kronecker .

Consulte también: Relación de conmutación canónica § Relación de incertidumbre para operadores de momento angular

Espacio de producto tensorial [ editar ]

Ahora consideramos sistemas con dos momentos angulares j ₁ y j ₂ físicamente diferentes . Los ejemplos incluyen el giro y el momento angular orbital de un solo electrón, o los giros de dos electrones, o el momento angular orbital de dos electrones. Matemáticamente, esto significa que los operadores de momento angular actúan sobre un espacio$${\ displaystyle V_ {1}} de dimensión $${\ displaystyle 2j_ {1} +1} y también en un espacio $${\ displaystyle V_ {2}} de dimensión $${\ displaystyle 2j_ {2} +1}. Luego, vamos a definir una familia de operadores de "momento angular total" que actúan sobre el espacio del producto tensorial.$${\ displaystyle V_ {1} \ otimes V_ {2}}, que tiene dimensión $${\ displaystyle (2j_ {1} +1) (2j_ {2} +1)}. La acción del operador de momento angular total en este espacio constituye una representación del álgebra de Lie (2), pero reducible. La reducción de esta representación reducible en piezas irreductibles es el objetivo de la teoría de Clebsch-Gordan.

Sea V ₁ el espacio vectorial tridimensional (2 j ₁ + 1) abarcado por los estados

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & | j_ {1} \, m_ {1} \ rangle, & m_ {1} & \ in \ {- j_ {1}, - j_ {1} +1, \ ldots, j_ {1} \} \ end {alineado}}},

y V ₂ el espacio vectorial (2 j ₂ + 1) tridimensional abarcado por los estados

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & | j_ {2} \, m_ {2} \ rangle, & m_ {2} & \ in \ {- j_ {2}, - j_ {2} +1, \ ldots, j_ {2} \} \ end {alineado}}}.

El producto tensor de estos espacios, V ₃ ≡ V ₁ ⊗ V ₂ , tiene una (2 j ₁ + 1) (2 j ₂ + 1) -dimensional desacoplado base

$${\ displaystyle | j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} \ rangle \ equiv | j_ {1} \, m_ {1} \ rangle \ otimes | j_ {2} \, m_ {2} \ rangle, \ quad m_ {1} \ in \ {- j_ {1}, - j_ {1} +1, \ ldots, j_ {1} \}, \ quad m_ {2} \ en \ {- j_ {2}, - j_ {2} +1, \ ldots, j_ {2} \}}.

Los operadores de momento angular se definen para actuar en los estados de V ₃ de la siguiente manera:

$${\ displaystyle (\ mathbf {j} \ otimes 1) | j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} \ rangle \ equiv \ mathbf {j} | j_ {1} \, m_ {1} \ rangle \ otimes | j_ {2} \, m_ {2} \ rangle}

y

$${\ displaystyle (1 \ otimes \ mathrm {\ mathbf {j}}) | j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} \ rangle \ equiv | j_ {1} \ , m_ {1} \ rangle \ otimes \ mathbf {j} | j_ {2} \, m_ {2} \ rangle,}

donde 1 denota el operador de identidad.

El total de ^{[nb 1]} operadores de momento angular están definidos por el coproducto (o producto tensorial ) de las dos representaciones que actúan en V ₁ ⊗ V ₂ ,

$${\ displaystyle \ mathbf {J} \ equiv \ mathbf {j} \ otimes 1 + 1 \ otimes \ mathbf {j} ~.}

Se puede demostrar que los operadores de momento angular total satisfacen las mismas relaciones de conmutación ,

$${\ displaystyle [\ mathrm {J} _ {k}, \ mathrm {J} _ {l}] = i \ hbar \ varepsilon _ {klm} \ mathrm {J} _ {m} ~,}

donde k, l, m ∈ { x, y, z } . De hecho, la construcción anterior es el método estándar ^[4] para construir una acción de un álgebra de Lie en una representación de producto tensorial.

Por lo tanto, también existe un conjunto de estados propios acoplados para el operador de momento angular total,

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {J} ^ {2} | [j_ {1} \, j_ {2}] \, J \, M \ rangle & = \ hbar ^ {2} J (J +1) | [j_ {1} \, j_ {2}] \, J \, M \ rangle \\\ mathrm {J_ {z}} | [j_ {1} \, j_ {2}] \, J \, M \ rangle & = \ hbar M | [j_ {1} \, j_ {2}] \, J \, M \ rangle \ end {alineado}}}

para M ∈ {- J , - J + 1,…, J }. Tenga en cuenta que es común omitir la parte [ j ₁ j ₂ ] .

El número angular cuántico de momento angular total J debe satisfacer la condición triangular que

$${\ displaystyle | j_ {1} -j_ {2} | \ leq J \ leq j_ {1} + j_ {2}},

de tal manera que los tres valores enteros no negativos o semitomeros podrían corresponder a los tres lados de un triángulo. ^[5]

El número total de estados propios de momento angular total es necesariamente igual a la dimensión de V ₃ :

$${\ displaystyle \ sum _ {J = | j_ {1} -j_ {2} |} ^ {j_ {1} + j_ {2}} (2J + 1) = (2j_ {1} +1) (2j_ { 2} +1) ~.}

Como sugiere este cálculo, la representación del producto tensorial se descompone como la suma directa de una copia de cada una de las representaciones irreductibles de dimensión $${\ displaystyle 2J + 1}, dónde $${\ displaystyle J} rangos desde $${\ displaystyle | j_ {1} -j_ {2} |}a $${\ displaystyle j_ {1} + j_ {2}}en incrementos de 1. ^[6] Como ejemplo, considere el producto tensorial de la representación tridimensional correspondiente a$${\ displaystyle j_ {1} = 1} con la representación bidimensional con $${\ displaystyle j_ {2} = 1/2}. Los posibles valores de$${\ displaystyle J} son entonces $${\ displaystyle J = 1/2} y $${\ displaystyle J = 3/2}. Por lo tanto, la representación del producto tensorial de seis dimensiones se descompone como la suma directa de una representación bidimensional y una representación de cuatro dimensiones.

El objetivo ahora es describir la descomposición anterior explícitamente, es decir, describir explícitamente los elementos básicos en el espacio de producto tensorial para cada una de las representaciones de componentes que surgen.

Los estados de momento angular total forman una base ortonormal de V ₃ :

$${\ displaystyle \ langle J \, M | J '\, M' \ rangle = \ delta _ {J, J '} \ delta _ {M, M'} ~.}

Estas reglas pueden ser iteradas para, por ejemplo, combinar n dobletes ( s = 1/2 ) para obtener la serie de descomposición de Clebsch-Gordan, ( triángulo del catalán ),

$${\ displaystyle {\ mathbf {2}} ^ {\ otimes n} = \ bigoplus _ {k = 0} ^ {\ lff lor n / 2 \ rfloor} ~ {\ Bigl (} {n + 1-2k \ sobre n +1} {n + 1 \ elige k} {\ Bigr)} ~~ ({\ mathbf {n}} + {\ mathbf {1}} - {\ mathbf {2}} {\ mathbf {k}}) ~,}

dónde $${\ displaystyle \ lfloor n / 2 \ rfloor}es la función de piso entero ; y el número que precede a la etiqueta de dimensionalidad de representación irreductible en negrita (2 j + 1) indica la multiplicidad de esa representación en la reducción de representación. ^[7] Por ejemplo, a partir de esta fórmula, la adición de tres giros 1 / 2s produce un giro 3/2 y dos giros 1 / 2s,   $${\ displaystyle {\ mathbf {2}} \ otimes {\ mathbf {2}} \ otimes {\ mathbf {2}} = {\ mathbf {4}} \ oplus {\ mathbf {2}} \ oplus {\ mathbf {2}}}.

Definición formal de los coeficientes de Clebsch-Gordan [ editar ]

Los estados acoplados se pueden expandir a través de la relación de integridad (resolución de identidad) en la base no acoplada

$${\ displaystyle | J \, M \ rangle = \ sum _ {m_ {1} = - j_ {1}} ^ {j_ {1}} \ sum _ {m_ {2} = - j_ {2}} ^ { j_ {2}} | j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} \ rangle \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} | J \, M \ rangle}

( 2 )

Los coeficientes de expansión.

$${\ displaystyle \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} | J \, M \ rangle}

Son los coeficientes de Clebsch-Gordan . Tenga en cuenta que algunos autores que escriban en un orden diferente, como ⟨ j ₁ j ₂ ; m ₁ m ₂ | J M ⟩ .

Aplicando el operador

$${\ displaystyle \ mathrm {J} _ {\ mathrm {z}} = \ mathrm {j} _ {\ mathrm {z}} \ otimes 1 + 1 \ otimes \ mathrm {j} _ {\ mathrm {z}} }

A ambos lados de la ecuación de definición se muestra que los coeficientes de Clebsch-Gordan solo pueden ser distintos de cero cuando

$${\ displaystyle M = m_ {1} + m_ {2}}.

Las relaciones de recursividad [ editar ]

Las relaciones de recursión fueron descubiertas por el físico Giulio Racah de la Universidad Hebrea de Jerusalén en 1941.

Aplicación de los operadores de elevación y descenso del momento angular total.

$${\ displaystyle \ mathrm {J} _ {\ pm} = \ mathrm {j} _ {\ pm} \ otimes 1 + 1 \ otimes \ mathrm {j} _ {\ pm}}

a la izquierda de la ecuación de definición da

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathrm {J} _ {\ pm} | [j_ {1} \, j_ {2}] \, J \, M \ rangle & = \ hbar C _ {\ pm} ( J, M) | [j_ {1} \, j_ {2}] \, J \, (M \ pm 1) \ rangle \\ & = \ hbar C _ {\ pm} (J, M) \ sum _ { m_ {1}, m_ {2}} | j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} \ rangle \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} | J \, (M \ pm 1) \ rangle \ end {alineado}}}

La aplicación de los mismos operadores en el lado derecho da

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & \ mathrm {J} _ {\ pm} \ sum _ {m_ {1}, m_ {2}} | j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2 } \, m_ {2} \ rangle \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} | J \, M \ rangle \\ & = \ hbar \ sum _ { m_ {1}, m_ {2}} {\ Bigl (} C _ {\ pm} (j_ {1}, m_ {1}) | j_ {1} \, (m_ {1} \ pm 1) \, j_ {2} \, m_ {2} \ rangle + C _ {\ pm} (j_ {2}, m_ {2}) | j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, (m_ { 2} \ pm 1) \ rangle {\ Bigr)} \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} | J \, M \ rangle \\ & = \ hbar \ sum _ {m_ {1}, m_ {2}} | j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} \ rangle {\ Bigl (} C _ {\ pm} ( j_ {1}, m_ {1} \ mp 1) \ langle j_ {1} \, (m_ {1} \ mp 1) \, j_ {2} \, m_ {2} | J \, M \ rangle + C _ {\ pm} (j_ {2}, m_ {2} \ mp 1) \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, (m_ {2} \ mp 1) | J \, M \ rangle {\ Bigr)} {\ text {.}} \ End {alineado}}}

donde C _± se definió en 1 . La combinación de estos resultados da relaciones de recursión para los coeficientes de Clebsch-Gordan:

$${\ displaystyle C _ {\ pm} (J, M) \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} | J \, (M \ pm 1) \ rangle = C _ {\ pm} (j_ {1}, m_ {1} \ mp 1) \ langle j_ {1} \, (m_ {1} \ mp 1) \, j_ {2} \, m_ {2} | J \, M \ rangle + C _ {\ pm} (j_ {2}, m_ {2} \ mp 1) \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, (m_ {2} \ mp 1) | J \, M \ rangle}.

Tomando el signo superior con la condición de que M = J da una relación de recursión inicial:

$${\ displaystyle 0 = C _ {+} (j_ {1}, m_ {1} -1) \ langle j_ {1} \, (m_ {1} -1) \, j_ {2} \, m_ {2} | J \, J \ rangle + C _ {+} (j_ {2}, m_ {2} -1) \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, (m_ {2} -1) | J \, J \ rangle}.

En la convención de la fase Condon-Shortley, se agrega la restricción de que

{\ displaystyle \ langle j_ {1} \, j_ {1} \, j_ {2} \, (J-j_ {1}) | J \, J \ rangle> 0}

(y por lo tanto también es real).

Los coeficientes de Clebsch-Gordan ⟨ j ₁ m ₁ j ₂ m ₂ | J M ⟩ entonces se puede encontrar a partir de estas relaciones de recursión. La normalización es fijado por el requisito de que la suma de los cuadrados, que equivale a la exigencia de que la norma del estado | [ j ₁ j ₂ ] J J ⟩ debe ser uno.

El signo inferior en la relación de recursión se puede usar para encontrar todos los coeficientes de Clebsch-Gordan con M = J - 1 . El uso repetido de esa ecuación da todos los coeficientes.

Este procedimiento para encontrar los coeficientes de Clebsch-Gordan muestra que todos son reales en la convención de la fase Condon-Shortley.

Expresión explícita [ editar ]

Para una expresión explícita de los coeficientes de Clebsch-Gordan y tablas con valores numéricos, consulte la tabla de coeficientes de Clebsch-Gordan .

Relaciones de ortogonalidad [ editar ]

Estos están más claramente escritos al introducir la notación alternativa

$${\ displaystyle \ langle J \, M | j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} \ rangle \ equiv \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} | J \, M \ rangle}

La primera relación de ortogonalidad es

$${\ displaystyle \ sum _ {J = | j_ {1} -j_ {2} |} ^ {j_ {1} + j_ {2}} \ sum _ {M = -J} ^ {J} \ langle j_ { 1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} | J \, M \ rangle \ langle J \, M | j_ {1} \, m_ {1} '\, j_ {2 } \, m_ {2} '\ rangle = \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} | j_ {1} \, m_ {1}' \, j_ {2} \, m_ {2} '\ rangle = \ delta _ {m_ {1}, m_ {1}'} \ delta _ {m_ {2}, m_ {2} '}}

(derivado del hecho de que 1 ≡ Σ _x | x ⟩ ⟨ x | ) y el segundo es

$${\ displaystyle \ sum _ {m_ {1}, m_ {2}} \ langle J \, M | j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} \ rangle \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} | J '\, M' \ rangle = \ langle J \, M | J '\, M' \ rangle = \ delta _ {J, J '} \ delta _ {M, M'}}.

Casos especiales [ editar ]

Para J = 0, los coeficientes de Clebsch-Gordan están dados por

$${\ displaystyle \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} | 0 \, 0 \ rangle = \ delta _ {j_ {1}, j_ {2}} \ delta _ {m_ {1}, - m_ {2}} {\ frac {(-1) ^ {j_ {1} -m_ {1}}} {\ sqrt {2j_ {1} +1}}}}.

Para J = j ₁ + j ₂ y M = J tenemos

$${\ displaystyle \ langle j_ {1} \, j_ {1} \, j_ {2} \, j_ {2} | (j_ {1} + j_ {2}) \, (j_ {1} + j_ {2 }) \ rangle = 1}.

Para j ₁ = j ₂ = J / 2 y m ₁ = - m ₂ tenemos

$${\ displaystyle \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {1} \, (- m_ {1}) | (2j_ {1}) \, 0 \ rangle = {\ frac {(2j_ { 1})! ^ {2}} {(j_ {1} -m_ {1})! (J_ {1} + m_ {1})! {\ Sqrt {(4j_ {1})!}}}}}.

Para j ₁ = j ₂ = m ₁ = - m ₂ tenemos

$${\ displaystyle \ langle j_ {1} \, j_ {1} \, j_ {1} \, (- j_ {1}) | J \, 0 \ rangle = (2j_ {1})! {\ sqrt {\ frac {2J + 1} {(J + 2j_ {1} +1)! (2j_ {1} -J)!}}}.}

Para j ₂ = 1 , m ₂ = 0 tenemos

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ langle j_ {1} \, m \, 1 \, 0 | (j_ {1} +1) \, m \ rangle & = {\ sqrt {\ frac {(j_ { 1} -m + 1) (j_ {1} + m + 1)} {(2j_ {1} +1) (j_ {1} +1)}}} \\\ langle j_ {1} \, m \ , 1 \, 0 | j_ {1} \, m \ rangle & = {\ frac {m} {\ sqrt {j_ {1} (j_ {1} +1)}}} \\\ langle j_ {1} \, m \, 1 \, 0 | (j_ {1} -1) \, m \ rangle & = - {\ sqrt {\ frac {(j_ {1} -m) (j_ {1} + m)} {j_ {1} (2j_ {1} +1)}}} \ end {alineado}}}

Para j ₂ = 1/2 tenemos

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ left \ langle j_ {1} \, \ left (M - {\ frac {1} {2}} \ right) \, {\ frac {1} {2}} \ , {\ frac {1} {2}} {\ Bigg |} \ left (j_ {1} \ pm {\ frac {1} {2}} \ right) \, M \ right \ rangle & = \ pm { \ sqrt {{\ frac {1} {2}} \ left (1 \ pm {\ frac {M} {j_ {1} + {\ frac {1} {2}}}} \ right)}} \\ \ left \ langle j_ {1} \, \ left (M + {\ frac {1} {2}} \ right) \, {\ frac {1} {2}} \, \ left (- {\ frac {1 } {2}} \ right) {\ Bigg |} \ left (j_ {1} \ pm {\ frac {1} {2}} \ right) \, M \ right \ rangle & = {\ sqrt {{\ frac {1} {2}} \ left (1 \ mp {\ frac {M} {j_ {1} + {\ frac {1} {2}}}} \ right)}} end {alineado}}}

Propiedades de simetría [ editar ]

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle &=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{1}\,(-m_{1})\,j_{2}\,(-m_{2})|J\,(-M)\rangle \\&=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{2}\,m_{2}\,j_{1}\,m_{1}|J\,M\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle j_{1}\,m_{1}\,J\,(-M)|j_{2}\,(-m_{2})\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle J\,(-M)\,j_{2}\,m_{2}|j_{1}\,(-m_{1})\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle J\,M\,j_{1}\,(-m_{1})|j_{2}\,m_{2}\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle j_{2}\,(-m_{2})\,J\,M|j_{1}\,m_{1}\rangle \end{aligned}}}$

Una forma conveniente de derivar estas relaciones es mediante la conversión de los coeficientes de Clebsch-Gordan en símbolos de Wigner 3-j utilizando 3 . Las propiedades de simetría de los símbolos Wigner 3-j son mucho más simples.

Reglas para los factores de fase [ editar ]

Es necesario tener cuidado al simplificar los factores de fase: un número cuántico puede ser un medio entero en lugar de un entero, por lo tanto (−1) ^2 k no es necesariamente 1 para un número cuántico k dado, a menos que se pueda demostrar que es un número entero. En su lugar, es reemplazado por la siguiente regla más débil:

$${\ displaystyle (-1) ^ {4k} = 1}

para cualquier número cuántico de momento angular k .

No obstante, una combinación de j _i y m _i es siempre un número entero, por lo que la regla más fuerte se aplica a estas combinaciones:

$${\ displaystyle (-1) ^ {2 (j_ {i} -m_ {i})} = 1}

Esta identidad también se mantiene si se invierte el signo de j _i o m _i o ambos.

Es útil observar que cualquier factor de fase para un par dado ( j _i , m _i ) se puede reducir a la forma canónica:

$${\ displaystyle (-1) ^ {aj_ {i} + b (j_ {i} -m_ {i})}}

donde a ∈ {0, 1, 2, 3} y b ∈ {0, 1} (también son posibles otras convenciones). Convertir los factores de fase en esta forma hace que sea fácil saber si dos factores de fase son equivalentes. (Tenga en cuenta que esta forma solo es canónica a nivel local : no tiene en cuenta las reglas que rigen las combinaciones de ( j _i , m _i ) pares, como la que se describe en el siguiente párrafo).

Una regla adicional es válida para las combinaciones de j ₁ , j ₂ y j ₃ que están relacionadas por un coeficiente de Clebsch-Gordan o un símbolo de Wigner 3-j:

$${\ displaystyle (-1) ^ {2 (j_ {1} + j_ {2} + j_ {3})} = 1}

Esta identidad también se mantiene si el signo de cualquier j _i se invierte, o si alguno de ellos se sustituye por un m _i .

Relación con los símbolos de Wigner 3-j [ editar ]

Los coeficientes de Clebsch-Gordan están relacionados con los símbolos Wigner 3-j que tienen relaciones de simetría más convenientes.

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} | J \, M \ rangle & = (- 1) ^ {- j_ {1} + j_ {2} -M} {\ sqrt {2J + 1}} {\ begin {pmatrix} j_ {1} & j_ {2} & J \\ m_ {1} & m_ {2} & - M \ end {pmatrix}} \\ & = (- 1) ^ {2j_ {2}} (- 1) ^ {JM} {\ sqrt {2J + 1}} {\ begin {pmatrix} j_ {1} & J & j_ {2} \\ m_ {1} & - M & m_ {2} \ end {pmatrix}} \ end {alineado}}}

( 3 )

El factor (-1) ^2 j ₂ es debido a la restricción de Condon-Shortley que ⟨ j ₁ j ₁ j ₂ ( J - j ₁ ) | JJ ⟩> 0 , mientras que (-1) ^J - M es debido a la naturaleza invertido en el tiempo de | JM ⟩ .

Relación con las matrices D de Wigner [ editar ]

Artículo principal: Wigner D-matrix

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & \ int _ {0} ^ {2 \ pi} d \ alpha \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin \ beta \, d \ beta \ int _ {0 } ^ {2 \ pi} d \ gamma \, D_ {M, K} ^ {J} (\ alpha, \ beta, \ gamma) ^ {*} D_ {m_ {1}, k_ {1}} ^ { j_ {1}} (\ alpha, \ beta, \ gamma) D_ {m_ {2}, k_ {2}} ^ {j_ {2}} (\ alpha, \ beta, \ gamma) \\ & = {\ frac {8 \ pi ^ {2}} {2J + 1}} \ langle j_ {1} \, m_ {1} \, j_ {2} \, m_ {2} | J \, M \ rangle \ langle j_ {1} \, k_ {1} \, j_ {2} \, k_ {2} | J \, K \ rangle \ end {alineado}}}

Relación con armónicos esféricos [ editar ]

En el caso de que estén involucrados enteros, los coeficientes pueden relacionarse con integrales de armónicos esféricos :

$${\ displaystyle \ int _ {4 \ pi} Y _ {\ ell _ {1}} ^ {m_ {1}} {} ^ {*} (\ Omega) Y _ {\ ell _ {2}} ^ {m_ { 2}} {} ^ {*} (\ Omega) Y_ {L} ^ {M} (\ Omega) \, d \ Omega = {\ sqrt {\ frac {(2 \ ell _ {1} +1) ( 2 \ ell _ {2} +1)} {4 \ pi (2L + 1)}}} \ langle \ ell _ {1} \, 0 \, \ ell _ {2} \, 0 | L \, 0 \ rangle \ langle \ ell _ {1} \, m_ {1} \, \ ell _ {2} \, m_ {2} | L \, M \ rangle}

De esto y de la ortonormalidad de los armónicos esféricos se desprende que los coeficientes CG son de hecho los coeficientes de expansión de un producto de dos armónicos esféricos en términos de un único armónico esférico:

$${\ displaystyle Y _ {\ ell _ {1}} ^ {m_ {1}} (\ Omega) Y _ {\ ell _ {2}} ^ {m_ {2}} (\ Omega) = \ sum _ {L, M} {\ sqrt {\ frac {(2 \ ell _ {1} +1) (2 \ ell _ {2} +1)} {4 \ pi (2L + 1)}}} \ langle \ ell _ { 1} \, 0 \, \ ell _ {2} \, 0 | L \, 0 \ rangle \ langle \ ell _ {1} \, m_ {1} \, \ ell _ {2} \, m_ {2 } | L \, M \ rangle Y_ {L} ^ {M} (\ Omega)}

Otras propiedades [ editar ]

$${\ displaystyle \ sum _ {m} (- 1) ^ {jm} \ langle j \, m \, j \, (- m) | J \, 0 \ rangle = \ delta _ {J, 0} {\ sqrt {2j + 1}}}

Coeficientes de Clebsch-Gordan de SU ( n ) [ editar ]

Para los grupos arbitrarios y sus representaciones, los coeficientes de Clebsch-Gordan no se conocen en general. Sin embargo, se conocen algoritmos para producir coeficientes de Clebsch-Gordan para el grupo unitario especial . ^[8] [9] En particular, SU (3) coeficientes de Clebsch-Gordan se han calculado y tabulado debido a su utilidad en la caracterización de desintegraciones hadrónicas, donde un sabor (3) existe -sU simetría que relaciona la arriba , hacia abajo , y extraño quarks ^[10] [11] Una interfaz web para tabular los coeficientes de Clebsch-Gordan SU (N) está fácilmente disponible.