curva asintótica es una curva siempre tangente a una dirección asintótica de la superficie (donde existen). A veces se le llama línea asintótica , aunque no es necesario que sea una línea .
Definiciones [ editar ]
Una dirección asintótica es aquella en la que la curvatura normal es cero. Es decir, para un punto en una curva asintótica, tome el plano que lleva tanto la tangente de la curva como la normal de la superficie en ese punto. La curva de intersección del plano y la superficie tendrá una curvatura cero en ese punto. Las direcciones asintóticas solo pueden ocurrir cuando la curvatura gaussiana es negativa (o cero). Habrá dos direcciones asintóticas a través de cada punto con curvatura gaussiana negativa, divididas en dos por las direcciones principales . Si la superficie es mínima , las direcciones asintóticas son ortogonales entre sí.
Nociones relacionadas [ editar ]
La dirección de la dirección asintótica es la misma que las asíntotas de la hipérbola de la indicatriz de Dupin . [1]
Una noción relacionada es una línea de curvatura , que es una curva siempre tangente a una dirección principal.
transformaciones de Bäcklund o las transformaciones de Bäcklund (que llevan el nombre del matemático sueco Albert Victor Bäcklund ) relacionan las ecuaciones diferenciales parciales y sus soluciones. Son una herramienta importante en la teoría de solitones y sistemas integrables . Una transformada de Bäcklund suele ser un sistema de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden que relaciona dos funciones y, a menudo, depende de un parámetro adicional. Implica que las dos funciones satisfacen por separado las ecuaciones diferenciales parciales, y se dice que cada una de las dos funciones es una transformación de Bäcklund de la otra.
Una transformada de Bäcklund que relaciona soluciones de la misma ecuación se denomina transformada de Bäcklund invariable o transformación de Bäcklund automática . Si se puede encontrar una transformación de este tipo, se puede deducir mucho sobre las soluciones de la ecuación, especialmente si la transformada de Bäcklund contiene un parámetro. Sin embargo, no se conoce una forma sistemática de encontrar transformadas de Bäcklund.
Historia [ editar ]
Las transformaciones de Bäcklund tienen su origen en la geometría diferencial : el primer ejemplo no trivial es la transformación de superficies pseudoesféricas introducidas por L. Bianchi y AV Bäcklund en la década de 1880. Esta es una construcción geométrica de una nueva superficie pseudoesférica a partir de una superficie de este tipo inicial utilizando una solución de una ecuación diferencial lineal . Las superficies pseudoesféricas se pueden describir como soluciones de la ecuación de sine-Gordon y, por lo tanto, la transformación de superficies de Bäcklund se puede ver como una transformación de soluciones de la ecuación de sine-Gordon.
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann [ editar ]
El ejemplo prototípico de una transformada de Bäcklund es el sistema Cauchy-Riemann.
que relaciona las partes reales e imaginarias u y v de una función holomórfica . Este sistema de primer orden de ecuaciones diferenciales parciales tiene las siguientes propiedades.
- Si u y v son soluciones de las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces u es una solución de la ecuación de Laplace
(es decir, una función armónica ), y así es v . Esto sigue directamente diferenciando las ecuaciones con respecto a x e y, y utilizando el hecho de que
-
- A la inversa, si u es una solución de la ecuación de Laplace, entonces existen funciones v que resuelven las ecuaciones de Cauchy-Riemann junto con u .
Por lo tanto, en este caso, una transformación Bäcklund de una función armónica es simplemente una función armónica conjugada . Las propiedades anteriores significan, más precisamente, que la ecuación de Laplace para u y la ecuación de Laplace para v son las condiciones de integrabilidad para resolver las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Estos son los rasgos característicos de una transformada de Bäcklund. Si tenemos una ecuación diferencial parcial en u , y una transformada de Bäcklund de u a v , podemos deducir una ecuación diferencial parcial satisfecha por v .
Este ejemplo es bastante trivial, porque las tres ecuaciones (la ecuación para u , la ecuación para v y la transformada de Bäcklund que las relacionan) son lineales. Las transformaciones de Bäcklund son más interesantes cuando solo una de las tres ecuaciones es lineal.
La ecuación de sine-gordon [ editar ]
Entonces el sistema
donde a es un parámetro arbitrario, puede resolverse para una función v que también satisfaga la ecuación de sine-Gordon. Este es un ejemplo de una transformación automática de Bäcklund.
Al utilizar un sistema matricial, también es posible encontrar una transformada de Bäcklund lineal para soluciones de la ecuación de sine-Gordon.
La ecuación de Liouville [ editar ]
Una transformada de Bäcklund puede convertir una ecuación diferencial parcial no lineal en una ecuación diferencial parcial, más simple, lineal.
Por ejemplo, si u y v están relacionados a través de la transformación Bäcklund
entonces v es una solución de la ecuación mucho más simple,, y viceversa.
Luego podemos resolver la ecuación de Liouville (no lineal) trabajando con una ecuación lineal mucho más simple.
teorema de la gaita de Nyikos (1984) describe la estructura de las superficies delimitadas en connected conectadas (pero posiblemente no paracompactas) al mostrar que son "gaitas": la suma conectada de una "bolsa" compacta con varios "largos" tubería".
Declaración [ editar ]
Un espacio se denomina bound limitado si el cierre de cada conjunto contable es compacto. Por ejemplo, la línea larga semiabierta tiene límites ω pero no es compacta. Cuando está restringido a un espacio métrico, el límite es equivalente a la compacidad.
El teorema de la gaita establece que cada superficie conectada delimitada en is es la suma conectada de una superficie conectada compacta y un número finito de tuberías largas. Un tubo largo es más o menos una unión creciente de ω 1 copias del cilindro semiabierto S 1 × [0,). Hay 2 ℵ 1 clases diferentes de isomorfismo de tubos largos. Dos ejemplos de tubos largos son el producto de un círculo con una línea larga (larga en un extremo), y el "plano largo" (un producto de dos líneas largas que son largas en ambos extremos) con un disco extraído.
Superficies de Bézier son una especie de spline matemática utilizada en los gráficos por ordenador , diseño asistido por ordenador , y de elementos finitos de modelado. Al igual que con la curva de Bézier , una superficie de Bézier se define por un conjunto de puntos de control. Similar a la interpolación en muchos aspectos, una diferencia clave es que la superficie no pasa, en general, a través de los puntos de control centrales; más bien, se "estira" hacia ellos como si cada uno fuera una fuerza atractiva. Son visualmente intuitivos, y para muchas aplicaciones, matemáticamente convenientes.
Historia [ editar ]
Las superficies de Bézier fueron descritas por primera vez en 1962 por el ingeniero francés Pierre Bézier, quien las utilizó para diseñar carrocerías de automóviles . Las superficies de Bézier pueden ser de cualquier grado, pero las superficies de Bézier bicúbicas generalmente proporcionan suficientes grados de libertad para la mayoría de las aplicaciones.
Ecuación [ editar ]
Una superficie de grado Bézier dada ( n , m ) se define por un conjunto de ( n + 1) ( m + 1) puntos de control k i, j . Asigna el cuadrado unitario a una superficie lisa y continua incrustada dentro de un espacio de la misma dimensionalidad que { k i, j }. Por ejemplo, si k son todos puntos en un espacio de cuatro dimensiones, entonces la superficie estará dentro de un espacio de cuatro dimensiones.
Una superficie Bézier bidimensional se puede definir como una superficie paramétrica donde la posición de un punto pen función de las coordenadas paramétricas u , v viene dada por: [1]
Algunas propiedades de las superficies de Bézier:
- Una superficie Bézier se transformará de la misma manera que sus puntos de control en todas las transformaciones lineales y traducciones .
- Todas u = líneas constantes y v = líneas constantes en el espacio ( u , v ) y, en particular, los cuatro bordes de la unidad deformada ( u , v ) son curvas de Bézier.
- Una superficie Bézier quedará completamente dentro del casco convexo de sus puntos de control y, por lo tanto, también completamente dentro del cuadro delimitador de sus puntos de control en cualquier sistema de coordenadas cartesiano dado .
- Los puntos en el parche que corresponden a las esquinas del cuadrado de la unidad deformada coinciden con cuatro de los puntos de control.
- Sin embargo, una superficie Bézier generalmente no pasa a través de sus otros puntos de control.
En general, el uso más común de las superficies de Bézier es como redes de parches bicúbicos (donde m = n = 3). La geometría de un único parche bicúbico se define completamente por un conjunto de 16 puntos de control. Por lo general, estos se vinculan para formar una superficie B-spline de manera similar a como se enlazan las curvas de Bézier para formar una curva B-spline .
Las superficies Bézier más simples se forman a partir de parches bicuadrados ( m = n = 2), o triángulos Bézier .
Superficies Bézier en gráficos de computadora [ editar ]
Las mallas de parches Bézier son superiores a las mallas triangulares como representación de superficies lisas. Requieren menos puntos (y, por lo tanto, menos memoria) para representar superficies curvas, son más fáciles de manipular y tienen propiedades de continuidad mucho mejores . Además, otras superficies paramétricas comunes, como esferas y cilindros, pueden aproximarse bien mediante un número relativamente pequeño de parches de Bézier cúbicos.
Sin embargo, las mallas de parches Bézier son difíciles de renderizar directamente. Un problema con los parches de Bézier es que calcular sus intersecciones con líneas es difícil, lo que los hace incómodos para el trazado de rayos puros u otras técnicas geométricas directas que no usan técnicas de subdivisión o aproximación sucesiva. También son difíciles de combinar directamente con algoritmos de proyección en perspectiva.
Por este motivo, las mallas de parches de Bézier en general se descomponen en mallas de triángulos planos mediante líneas de renderizado 3D . En la representación de alta calidad, la subdivisión se ajusta para que sea tan fina que no se puedan ver los límites de los triángulos individuales. Para evitar una apariencia de "blobby", los detalles finos generalmente se aplican a las superficies Bézier en esta etapa utilizando mapas de textura , mapas de relieve y otras técnicas de sombreado de píxeles .
Un parche Bézier de grado ( m , n ) puede construirse a partir de dos triángulos Bézier de grado m + n, o a partir de un solo triángulo Bézier de grado m + n , con el dominio de entrada como un cuadrado en lugar de como un triángulo .
Un triángulo Bézier de grado m también se puede construir a partir de una superficie de Bézier de grado ( m , m), con los puntos de control para que un borde se aplaste hasta un punto, o con el dominio de entrada como un triángulo en lugar de como un cuadrado .
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