FORMAS GEOMÉTRICAS - SUPERFICIES

triángulo Bézier es un tipo especial de superficie Bézier , que se crea mediante la interpolación de los puntos de control ( lineal , cuadrática , cúbica o grado superior).

n -ésimo orden triángulo Bézier [ editar ]

Un triángulo de Bézier de orden n general tiene ( n  + 1) ( n  + 2) / 2 puntos de control a ⁱ β ^j γ ^k donde i ,  j ,  k son enteros no negativos de manera que i  +  j  +  k  =  n ^[1] . La superficie se define entonces como      

$${\ displaystyle (\ alpha s + \ beta t + \ gamma u) ^ {n} = \ sum _ {\ begin {smallmatrix} i + j + k = n \\ i, j, k \ geq 0 \ end {smallmatrix} } {n \ elige i \ j \ k} s ^ {i} t ^ {j} u ^ {k} \ alpha ^ {i} \ beta ^ {j} \ gamma ^ {k} = \ sum _ {\ comience {smallmatrix} i + j + k = n \\ i, j, k \ geq 0 \ end {smallmatrix}} {\ frac {n!} {i! j! k!}} s ^ {i} t ^ {j} u ^ {k} \ alpha ^ {i} \ beta ^ {j} \ gamma ^ {k}}

para todos los números reales no negativos s  +  t  +  u  = 1.

Con orden lineal ($${\ textstyle n = 1}), el triángulo Bézier resultante es en realidad un triángulo plano regular , con los vértices del triángulo igualando los tres puntos de control. A cuadrática ($${\ textstyle n = 2}) El triángulo de Bézier tiene 6 puntos de control, todos ubicados en los bordes. El cúbico ($${\ textstyle n = 3}) El triángulo de Bézier está definido por 10 puntos de control y es el triángulo de Bézier de orden más bajo que tiene un punto de control interno, no ubicado en los bordes. En todos los casos, los bordes del triángulo serán curvas de Bézier del mismo grado.

Triángulo de Bézier cúbico [ editar ]

Un ejemplo de triángulo Bézier con puntos de control marcados.

Un triángulo Bézier cúbico es una superficie con la ecuación

{\ displaystyle {\ begin {alineado} p (s, t, u) = (\ alpha s + \ beta t + \ gamma u) ^ {3} = & \ beta ^ {3} \ t ^ {3} +3 \ \ alpha \ beta ^ {2} \ st ^ {2} +3 \ \ beta ^ {2} \ gamma \ t ^ {2} u + \\ & 3 \ \ alpha ^ {2} \ beta \ s ^ {2} t + 6 \ \ alpha \ beta \ gamma \ stu + 3 \ \ beta \ gamma ^ {2} \ tu ^ {2} + \\ & \ alpha ^ {3} \ s ^ {3} +3 \ \ alpha ^ {2} \ gamma \ s ^ {2} u + 3 \ \ alpha \ gamma ^ {2} \ su ^ {2} + \ gamma ^ {3} \ u ^ {3} \ end {alineado}}}

donde α ³ , β ³ , γ ³ , α ² β, αβ ² , β ² γ, βγ ² , αγ ² , α ² γ y αβγ son los puntos de control del triángulo y s, t, u (con 0 ≤ s , t, u ≤ 1 y s + t + u = 1) las coordenadas baricéntricas dentro del triángulo. ^[2] [1]

Alternativamente, un triángulo Bézier cúbico se puede expresar como una formulación más generalizada como

{\ displaystyle {\ begin {alineado} p (s, t, u) & = \ sum _ {\ begin {smallmatrix} i + j + k = 3 \\ i, j, k \ geq 0 \ end {smallmatrix} } {3 \ elige i \ j \ k} s ^ {i} t ^ {j} u ^ {k} \ alpha ^ {i} \ beta ^ {j} \ gamma ^ {k} = \ sum _ {\ comience {smallmatrix} i + j + k = 3 \\ i, j, k \ geq 0 \ end {smallmatrix}} {\ frac {6} {i! j! k!}} s ^ {i} t ^ { j} u ^ {k} \ alpha ^ {i} \ beta ^ {j} \ gamma ^ {k} \ end {alineado}}}

de acuerdo con la formulación del triángulo de Bézier de orden n .

Las esquinas del triángulo son los puntos α ³ , β ³ y γ ³ . Los bordes del triángulo son ellos mismos curvas de Bézier , con los mismos puntos de control que el triángulo de Bézier.

Al eliminar el término γu, se obtiene una curva de Bézier regular. Además, aunque no es muy útil para mostrar en una pantalla de computadora física, al agregar términos adicionales, se obtiene un tetraedro de Bézier o un politopo de Bézier .

Debido a la naturaleza de la ecuación, todo el triángulo estará contenido dentro del volumen rodeado por los puntos de control, y las transformaciones afines de los puntos de control transformarán correctamente todo el triángulo de la misma manera.

Reducir a la mitad un triángulo Bézier [ editar ]

Una de las ventajas de los triángulos de Bézier en gráficos de computadora es que dividir el triángulo de Bézier en dos triángulos de Bézier separados solo requiere la suma y la división por dos, en lugar de la aritmética de punto flotante. Esto significa que mientras los triángulos de Bézier son suaves, que pueden fácilmente ser aproximadas utilizando triángulos regulares por recursivamente dividiendo el triángulo en dos hasta que los triángulos resultantes se consideran suficientemente pequeño.

Lo siguiente calcula los nuevos puntos de control para la mitad del triángulo Bézier completo con la esquina α ³ , una esquina a la mitad de la curva de Bézier entre α ³ y β ³ , y la tercera esquina γ ³ .

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\alpha ^{3}}}{'}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\beta }}{'}\\{\boldsymbol {\alpha \beta ^{2}}}{'}\\{\boldsymbol {\beta ^{3}}}{'}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\gamma }}{'}\\{\boldsymbol {\alpha \beta \gamma }}{'}\\{\boldsymbol {\beta ^{2}\gamma }}{'}\\{\boldsymbol {\alpha \gamma ^{2}}}{'}\\{\boldsymbol {\beta \gamma ^{2}}}{'}\\{\boldsymbol {\gamma ^{3}}}{'}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 2}&{1 \over 2}&0&0&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 4}&{2 \over 4}&{1 \over 4}&0&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 8}&{3 \over 8}&{3 \over 8}&{1 \over 8}&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&{1 \over 2}&{1 \over 2}&0&0&0&0\\0&0&0&0&{1 \over 4}&{2 \over 4}&{1 \over 4}&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&{1 \over 2}&{1 \over 2}&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\alpha ^{3}}}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\beta }}\\{\boldsymbol {\alpha \beta ^{2}}}\\{\boldsymbol {\beta ^{3}}}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\gamma }}\\{\boldsymbol {\alpha \beta \gamma }}\\{\boldsymbol {\beta ^{2}\gamma }}\\{\boldsymbol {\alpha \gamma ^{2}}}\\{\boldsymbol {\beta \gamma ^{2}}}\\{\boldsymbol {\gamma ^{3}}}\end{pmatrix}}}$

equivalentemente, usando la suma y la división por dos solamente,

{\ displaystyle {\ begin {matrix} && \ beta ^ {3}: = (\ alpha \ beta ^ {2} + \ beta ^ {3}) / 2 \\ & \ alpha \ beta ^ {2}: = (\ alpha ^ {2} \ beta + \ alpha \ beta ^ {2}) / 2 & \ beta ^ {3}: = (\ alpha \ beta ^ {2} + \ beta ^ {3}) / 2 \\ \ alpha ^ {2} \ beta: = (\ alpha ^ {3} + \ alpha ^ {2} \ beta) / 2 & \ alpha \ beta ^ {2}: = (\ alpha ^ {2} \ beta + \ alpha \ beta ^ {2}) / 2 & \ beta ^ {3}: = (\ alpha \ beta ^ {2} + \ beta ^ {3}) / 2 \\\ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} & \ beta ^ {2} \ gamma: = (\ alpha \ beta \ gamma + \ beta ^ {2} \ gamma) / 2 \\ alpha \ beta \ gamma: = ( \ alpha ^ {2} \ gamma + \ alpha \ beta \ gamma) / 2 & \ beta ^ {2} \ gamma: = (\ alpha \ beta \ gamma + \ beta ^ {2} \ gamma) / 2 \\\ fin {matriz}}}

$${\ displaystyle \ beta \ gamma ^ {2}: = (\ alpha \ gamma ^ {2} + \ beta \ gamma ^ {2}) / 2}

donde: = significa reemplazar el vector a la izquierda con el vector a la derecha.

Tenga en cuenta que reducir a la mitad un triángulo de Bézier es similar a reducir a la mitad las curvas de Bézier de todos los órdenes hasta el orden del triángulo de Bézier.

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Una bicone o dicone ( bi- viene del latín, di- del griego) es la superficie tridimensional de la revolución de un rombo alrededor de uno de sus ejes de simetría . De manera equivalente, un bicono es la superficie creada al unir dos conos circulares derechos congruentes de base a base.

Un bicono tiene simetría circular y simetría bilateral ortogonal .

Geometría [ editar ]

Para un bicono circular con radio R y altura centro-a-arriba H , la fórmula para el volumen se convierte en

$${\ displaystyle V = {\ frac {2} {3}} \ pi R ^ {2} H.}

Para un cono circular derecho, el área superficial es

$${\ displaystyle SA = 2 \ pi RS \,}   dónde   $${\ displaystyle S = {\ sqrt {R ^ {2} + H ^ {2}}}}   Es la altura inclinada .

Poliedros relacionados [ editar ]

Un bicone puede verse como un caso limitante poliédrico de una bipirámide n-gonal donde n se acerca al infinito. También puede verse como un doble de un cilindro como un prisma de lado infinito . ^[1]

Familia de bipiramidas

Poliedro
Coxeter
Embaldosado
Config.	V2.4.4	V3.4.4	V4.4.4	V5.4.4	V6.4.4	V7.4.4	V8.4.4	V9.4.4	V10.4.4

superficie biharmónica de Bézier es una superficie lisa polinomial que se ajusta a la ecuación biharmónica y tiene las mismas formulaciones que una superficie de Bézier . Esta formulación para superficies Bézier fue desarrollada por Juan Monterde y Hassan Ugail . Para generar una superficie biharmónica de Bézier, generalmente se requieren cuatro condiciones de contorno definidas por los puntos de control de Bézier .

Se ha demostrado que, dadas las cuatro condiciones de contorno, se puede formular una solución única para la ecuación diferencial parcial elíptica general elegida de cuarto orden . Las superficies Biharmonic Bézier están relacionadas con superficies mínimas . es decir, superficies que minimizan el área entre todas las superficies con datos de límites prescritos.