FORMAS GEOMÉTRICAS - SUPERFICIES

teorema de Bonnet establece que la primera y la segunda forma fundamental determinan una superficie en R ³ únicamente hasta un movimiento rígido . ^[1] Fue probado por Pierre Ossian Bonnet en aproximadamente 1860.

Esto no debe confundirse con el teorema de Bonnet-Myers o con el de Gauss-Bonnet .

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Una animación de la superficie de Boy.

En geometría , la superficie de Boy es una inmersión del plano proyectivo real en el espacio tridimensional encontrado por Werner Boyen 1901 (lo descubrió en una asignación de David Hilbert para demostrar que el plano proyectivo no podía sumergirse en el espacio 3 ). A diferencia de la superficie romana y la tapa cruzada , no tiene más singularidades que las auto-intersecciones (es decir, no tiene puntos de pellizco ).

Se discute la superficie del niño (e ilustrada) en Jean-Pierre Petit 's Topo el mundo . ^[1]

La superficie del niño fue parametrizada por primera vez explícitamente por Bernard Morin en 1978. ^[2] Vea a continuación otra parametrización, descubierta por Rob Kusner y Robert Bryant . ^[3] La superficie del niño es una de las dos posibles inmersiones del plano proyectivo real que tiene un solo punto triple.

Construcción [ editar ]

Para hacer la superficie de un niño:

1. Comience con una esfera. Retire una tapa.
2. Fije un extremo de cada una de las tres tiras para alternar los sextos del borde izquierdo quitando la tapa.
3. Doble cada tira y fije el otro extremo de cada tira al sexto opuesto al primer extremo, de modo que el interior de la esfera en un extremo esté conectado al exterior en el otro. Haz las tiras de la falda del medio en lugar de atravesarlas.
4. Unir los bordes sueltos de las tiras. Las uniones intersectan las tiras.

La simetría de la superficie del Niño [ editar ]

La superficie del niño tiene una simetría triple . Esto significa que tiene un eje de simetría rotacional discreta: cualquier giro de 120 ° alrededor de este eje dejará la superficie exactamente igual. La superficie del niño se puede cortar en tres piezas mutuamente congruentes .

Modelo en Oberwolfach [ editar ]

Modelo de superficie de un niño en Oberwolfach.

El Instituto de Investigación Matemática de Oberwolfach tiene un gran modelo de la superficie de un Niño fuera de la entrada, construido y donado por Mercedes-Benz en enero de 1991. Este modelo tiene una simetría rotacional triplicada y minimiza la energía Willmore de la superficie. Consiste en tiras de acero que representan la imagen de una cuadrícula de coordenadas polares bajo una parametrización dada por Robert Bryant y Rob Kusner. Los meridianos (rayos) se convierten en tiras de Möbius ordinarias., es decir, torcido por 180 grados. Todas las franjas, excepto una, que corresponden a círculos de latitud (círculos radiales alrededor del origen) están sin torsión, mientras que la correspondiente al límite del círculo unitario es una tira de Möbius torcida tres veces 180 grados, como es el emblema del instituto. ( Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach 2011 ).

Aplicaciones [ editar ]

La superficie del niño se puede utilizar en la eversión de esfera , como un modelo a mitad de camino . Un modelo a mitad de camino es una inmersión de la esfera con la propiedad que una rotación intercambia dentro y fuera, por lo que puede emplearse para desviar (girar de adentro hacia afuera) una esfera. Las superficies de Boy (el caso p = 3) y de Morin (el caso p = 2) comienzan una secuencia de modelos a medio camino con una simetría más alta propuesta por primera vez por George Francis, indexada por los enteros pares 2p (para p impar, estas inmersiones pueden ser factorizado a través de un plano proyectivo). La parametrización de Kusner produce todo esto.

Parametrización de la superficie de Boy [ editar ]

Una vista de la parametrización descrita aquí.

La superficie del niño puede ser parametrizada de varias maneras. Una parametrización, descubierta por Rob Kusner y Robert Bryant , ^[5] es la siguiente: dado un número complejo w cuya magnitud es menor o igual que uno ($${\ displaystyle \ | w \ | \ leq 1}), dejar

{\ displaystyle {\ begin {alineado} g_ {1} & = - {3 \ over 2} \ operatorname {Im} \ left [{w (1-w ^ {4}) \ over w ^ {6} + { \ sqrt {5}} w ^ {3} -1} \ right] \\ [4pt] g_ {2} & = - {3 \ over 2} \ operatorname {Re} \ left [{w (1 + w ^ {4}) \ sobre w ^ {6} + {\ sqrt {5}} w ^ {3} -1} \ right] \\ [4pt] g_ {3} & = \ operatorname {Im} \ left [{ 1 + w ^ {6} \ over w ^ {6} + {\ sqrt {5}} w ^ {3} -1} \ right] - {1 \ over 2} \\\ end {alineado}}}

así que eso

$${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}} = {\ frac {1} {g_ {1} ^ {2} + g_ {2} ^ {2} + g_ { 3} ^ {2}}} {\ begin {pmatrix} g_ {1} \\ g_ {2} \\ g_ {3} \ end {pmatrix}}}

donde x , y y z son las coordenadas cartesianas deseadas de un punto en la superficie del Niño.

Si uno realiza una inversión de esta parametrización centrada en el punto triple, obtiene una superficie mínimacompleta con tres extremos (así se descubrió esta parametrización de forma natural). Esto implica que la parametrización de Bryant-Kusner de las superficies de Boy es "óptima" en el sentido de que es la inmersión "menos doblada" de un plano proyectivo en tres espacios .

Propiedad de la parametrización de Bryant-Kusner [ editar ]

Más información: b: Teoremas famosos de Matemáticas / Superficie del niño

Si w es reemplazado por el recíproco negativo de su complejo conjugado ,$${\ displaystyle - {1 \ over w ^ {\ star}},}entonces las funciones g ₁ , g ₂y g ₃ de w no se modifican.

Al reemplazar w en términos de sus partes reales e imaginarias w = s + it , y expandir la parametrización resultante, se puede obtener una parametrización de la superficie de Boy en términos de funciones racionales de s y t . Esto muestra que la superficie de Boy no es solo una superficie algebraica , sino incluso una superficie racional . La observación del párrafo anterior muestra que la fibra genérica de esta parametrización consta de dos puntos (es decir, que casi todos los puntos de la superficie de Boy pueden obtenerse mediante dos valores de parámetros).

Relacionando la superficie del niño con el plano proyectivo real [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle P (w) = (x (w), y (w), z (w))}Sé la parametrización de Bryant-Kusner de la superficie de Boy. Entonces

$${\ displaystyle P (w) = P \ left (- {1 \ over w ^ {\ star}} \ right).}

Esto explica la condición $${\ displaystyle \ left \ | w \ right \ | \ leq 1} en el parámetro: si {\ displaystyle \ left \ | w \ right \ | <1 font=""> entonces {\ displaystyle \ left \ | - {1 \ over w ^ {\ star}} \ right \ |> 1.} Sin embargo, las cosas son un poco más complicadas para $${\ displaystyle \ left \ | w \ right \ | = 1.} En este caso, uno tiene $${\ displaystyle - {1 \ over w ^ {\ star}} = - w.} Esto significa que, si $${\ displaystyle \ left \ | w \ right \ | = 1,} el punto de la superficie del Niño se obtiene a partir de dos valores de parámetros: $${\ displaystyle P (w) = P (-w).}En otras palabras, la superficie del Niño ha sido parametrizada por un disco de tal manera que pares de puntos diametralmente opuestos en el perímetro del disco son equivalentes. Esto muestra que la superficie del Niño es la imagen del plano proyectivo real , RP ² por un mapa suave . Es decir, la parametrización de la superficie del Niño es una inmersión del plano proyectivo real en el espacio euclidiano .

En las ecuaciones diferenciales , una superficie de respiración es una superficie matemática relacionada con las respiraciones .

Parametrización [ editar ]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} x & {} = - u + {\ frac {2 \ left (1-a ^ {2} \ right) \ cosh (au) \ sinh (au)} {a \ left (\ izquierda (1-a ^ {2} \ derecha) \ cosh ^ {2} (au) + a ^ {2} \, \ sin ^ {2} \ izquierda ({\ sqrt {1-a ^ {2}} } v \ right) \ right)}} \\\\ y & {} = {\ frac {2 {\ sqrt {1-a ^ {2}}} \ cosh (au) \ left (- {\ sqrt {1 -a ^ {2}}} \ cos (v) \ cos \ left ({\ sqrt {1-a ^ {2}}} v \ right) - \ sin (v) \ sin \ left ({\ sqrt { 1-a ^ {2}}} v \ right) \ right)} {a \ left (\ left (1-a ^ {2} \ right) \ cosh ^ {2} (au) + a ^ {2} \, \ sin ^ {2} \ left ({\ sqrt {1-a ^ {2}}} v \ right)} right \\\ z & {} = {\ frac {2 {\ sqrt { 1-a ^ {2}}} \ cosh (au) \ left (- {\ sqrt {1-a ^ {2}}} \ sin (v) \ cos \ left ({\ sqrt {1-a ^ { 2}}} v \ right) + \ cos (v) \ sin \ left ({\ sqrt {1-a ^ {2}}} v \ right) \ right)} {a \ left (\ left (1- a ^ {2} \ right) \ cosh ^ {2} (au) + a ^ {2} \, \ sin ^ {2} \ left ({\ sqrt {1-a ^ {2}}} v \ right ) \ right)}} \ end {alineado}}}

donde 0 < a <1 .="" font="">

Superficie de respiracion cuando {\ displaystyle a = {\ frac {2} {5}} {\ text {y}} - 14 \ leq u <14 font="">{\ displaystyle {\ text {y}} - 37.4 \ leq v <37 .4="" font="">

 el árbol de Cantor es una superficie homeomorfa de género infinito para una esferacon un conjunto de Cantor eliminado. El árbol de Cantor en flor es un árbol de Cantor con un número infinito de asas agregadas de tal manera que cada extremo es un límite de asas.