FORMAS GEOMÉTRICAS - SUPERFICIES

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Un toro pellizcado

En matemáticas , y especialmente en topología y geometría diferencial , un toro pellizcado (o superficie de croissant ) es un tipo de superficiebidimensional . Recibe su nombre por su parecido con un toro que ha sido pellizcado en un solo punto. Un toro pellizcado es un ejemplo de un pseudomanifold bidimensional orientable y compacto .

Parametrización [ editar ]

Un toro pellizcado es fácilmente parametrizable. Escribamos g ( x , y ) = 2 + sin ( x / 2) .cos ( y ) . Un ejemplo de una parametrización de este tipo, que se usó para trazar la imagen, está dado por ƒ: [0,2π) ² → R ³ donde:

$${\ displaystyle f (x, y) = \ left (g (x, y) \ cos x, g (x, y) \ sin x, \ sin \! \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) \ sin y \ right)}

Topologia [ editar ]

Topológicamente, el toro pinzado es homotopy equivalente a la cuña de una esfera y un círculo. ^[2] [3] Es homeomórfico para una esfera con dos puntos distintos que se identifican . ^[2] [3]

Homología [ editar ]

Dejemos que P denote el toro pinzado. Se pueden calcular los grupos de homología de P sobre los enteros . Están dados por:

$${\ displaystyle H_ {0} (P, \ mathbb {Z}) \ cong \ mathbb {Z}, \ H_ {1} (P, \ mathbb {Z}) \ cong \ mathbb {Z}, \ {\ text {y}} \ H_ {2} (P, \ mathbb {Z}) \ cong \ mathbb {Z}.}

Cohomología [ editar ]

Se pueden calcular los grupos de cohomología de P sobre los enteros . Están dados por:

$${\ displaystyle H ^ {0} (P, \ mathbb {Z}) \ cong \ mathbb {Z}, \ H ^ {1} (P, \ mathbb {Z}) \ cong \ mathbb {Z}, \ { \ text {y}} \ H ^ {2} (P, \ mathbb {Z}) \ cong \ mathbb {Z}.}

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Dos planos que se cruzan en el espacio tridimensional.

En matemáticas , un plano es una superficie plana, de dos dimensiones de superficie que se extiende infinitamente lejos. Un plano es el análogo bidimensional de un punto (dimensiones cero), una línea (una dimensión) y un espacio tridimensional . Los planos pueden surgir como subespacios de algún espacio de dimensión superior, como con las paredes de una habitación extendidas infinitamente lejos, o pueden disfrutar de una existencia independiente por derecho propio, como en el contexto de la geometría euclidiana .

Cuando se trabaja exclusivamente en el espacio euclidianobidimensional , se utiliza el artículo definido, por lo que el plano se refiere a todo el espacio. Muchas tareas fundamentales en matemáticas, geometría , trigonometría , teoría de gráficos y gráficos se realizan en un espacio bidimensional o, en otras palabras, en el plano.

La geometría euclidiana [ editar ]

Artículo principal: Geometría euclidiana.

Euclides presentó el primer gran hito del pensamiento matemático, un tratamiento axiomático de la geometría. ^[1]Seleccionó un pequeño núcleo de términos indefinidos (denominados nociones comunes ) y postulados (o axiomas ) que luego usó para probar varias afirmaciones geométricas. Aunque el plano en su sentido moderno no está directamente definido en ningún lugar de los Elementos , puede considerarse como parte de las nociones comunes. ^[2] Euclides nunca usó números para medir longitud, ángulo o área. De esta manera, el plano euclidiano no es lo mismo que el plano cartesiano .

Tres planos paralelos.

Un plano es una superficie reglada .

Planos incrustados en el espacio euclidiano tridimensional [ editar ]

Esta sección se ocupa únicamente de los planos incrustados en tres dimensiones: específicamente, en R ³ .

Determinación por puntos y líneas contenidos [ editar ]

En un espacio euclidiano de cualquier número de dimensiones, un plano está determinado únicamente por cualquiera de los siguientes:

• Tres puntos no colineales (puntos que no están en una sola línea).
• Una línea y un punto no en esa línea.
• Dos líneas distintas pero que se cruzan.
• Dos líneas paralelas .

Propiedades [ editar ]

Las siguientes afirmaciones se mantienen en el espacio euclidiano tridimensional pero no en dimensiones superiores, aunque tienen análogos de mayor dimensión:

• Dos planos distintos son paralelos o se intersecan en una línea .
• Una línea es paralela a un plano, la interseca en un solo punto o está contenida en el plano.
• Dos líneas distintas perpendiculares al mismo plano deben ser paralelas entre sí.
• Dos planos distintos perpendiculares a la misma línea deben ser paralelos entre sí.

Forma de punto normal y forma general de la ecuación de un plano [ editar ]

De manera análoga a la forma en que las líneas en un espacio bidimensional se describen usando una forma de punto-pendiente para sus ecuaciones, los planos en un espacio tridimensional tienen una descripción natural que usa un punto en el plano y un vector ortogonal a él (el vector normal ) para indicar su "inclinación".

Específicamente, sea r ₀ el vector de posición de algún punto P ₀ = ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) , y sea n = ( a , b , c ) un vector distinto de cero. El plano determinado por el punto P ₀ y el vector n consiste en esos puntos P , con el vector de posición r , de manera que el vector dibujado de P ₀ a P es perpendicular a n. Recordando que dos vectores son perpendiculares si y solo si su producto de punto es cero, se deduce que el plano deseado puede describirse como el conjunto de todos los puntos r de tal manera que

$${\ displaystyle \ mathbf {n} \ cdot (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0}) = 0.}

(El punto aquí significa un producto de punto (escalar) .) Expandido esto se convierte en

$${\ displaystyle a (x-x_ {0}) + b (y-y_ {0}) + c (z-z_ {0}) = 0,}

que es la forma puntual normal de la ecuación de un plano. ^[3] Esta es solo una ecuación lineal.

$${\ displaystyle ax + by + cz + d = 0,}

dónde

$${\ displaystyle d = - (ax_ {0} + by_ {0} + cz_ {0}).}

A la inversa, se muestra fácilmente que si a , b , c y d son constantes y a , b y c no son todas cero, entonces la gráfica de la ecuación

$${\ displaystyle ax + by + cz + d = 0,}

es un plano que tiene el vector n = ( a , b , c ) como normal. ^[4] Esta ecuación familiar para un plano se llama la forma general de la ecuación del plano. ^[5]

Así, por ejemplo, una ecuación de regresión de la forma y = d + ax + cz (con b = −1 ) establece un plano de mejor ajuste en el espacio tridimensional cuando hay dos variables explicativas.

Describiendo un plano con un punto y dos vectores tendidos en él [ editar ]

Alternativamente, un plano puede describirse paramétricamente como el conjunto de todos los puntos de la forma

$${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} _ {0} + s \ mathbf {v} + t \ mathbf {w},}

Descripción vectorial de un avión.

donde s y t abarcan todos los números reales, v y w reciben vectores linealmente independientes que definen el plano, y r ₀ es el vector que representa la posición de un punto arbitrario (pero fijo) en el plano. Los vectores v y w pueden visualizarse como vectores que comienzan en r ₀y apuntan en diferentes direcciones a lo largo del plano. Tenga en cuenta que v y w pueden ser perpendiculares , pero no pueden ser paralelos.

Describiendo un plano a través de tres puntos [ editar ]

Sea p ₁ = (x ₁ , y ₁ , z ₁ ) , p ₂ = (x ₂ , y ₂ , z ₂ ) , y p ₃ = (x ₃ , y ₃ , z ₃ ) sean puntos no colineales.

Método 1 [ editar ]

El plano que pasa por p ₁ , p ₂ y p ₃ se puede describir como el conjunto de todos los puntos (x, y, z) que satisfacen las siguientes ecuaciones determinantes :

{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} x-x_ {1} & y-y_ {1} & z-z_ {1} \\ x_ {2} -x_ {1} & y_ {2} -y_ {1} & z_ {2 } -z_ {1} \\ x_ {3} -x_ {1} & y_ {3} -y_ {1} & z_ {3} -z_ {1} \ end {vmatrix}} = {\ begin {vmatrix} x- x_ {1} & y-y_ {1} & z-z_ {1} \\ x-x_ {2} & y-y_ {2} & z-z_ {2} \\ x-x_ {3} & y-y_ {3} & z-z_ {3} \ end {vmatrix}} = 0.}

Método 2 [ editar ]

Describir el plano mediante una ecuación de la forma. $${\ displaystyle ax + by + cz + d = 0}, resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

$${\ displaystyle \, ax_ {1} + by_ {1} + cz_ {1} + d = 0}

$${\ displaystyle \, ax_ {2} + by_ {2} + cz_ {2} + d = 0}

$${\ displaystyle \, ax_ {3} + by_ {3} + cz_ {3} + d = 0.}

Este sistema se puede resolver utilizando la regla de Cramer y las manipulaciones básicas de la matriz. Dejar

{\ displaystyle D = {\ begin {vmatrix} x_ {1} & y_ {1} & z_ {1} \\ x_ {2} & y_ {2} & z_ {2} \\ x_ {3} & y_ {3} & z_ {3 } \ end {vmatrix}}}.

Si D es distinto de cero (por lo que para los planos que no atraviesan el origen), los valores para a , b y c se pueden calcular de la siguiente manera:

{\ displaystyle a = {\ frac {-d} {D}} {\ begin {vmatrix} 1 & y_ {1} & z_ {1} \\ 1 & y_ {2} & z_ {2} \\ 1 & y_ {3} & z_ {3} \ end {vmatrix}}}

{\ displaystyle b = {\ frac {-d} {D}} {\ begin {vmatrix} x_ {1} & 1 & z_ {1} \\ x_ {2} & 1 & z_ {2} \\ x_ {3} & 1 & z_ {3} \ end {vmatrix}}}

{\ displaystyle c = {\ frac {-d} {D}} {\ begin {vmatrix} x_ {1} & y_ {1} & 1 \\ x_ {2} & y_ {2} & 1 \\ x_ {3} & y_ { 3} & 1 \ end {vmatrix}}.}

Estas ecuaciones son paramétricas en d . Si d es igual a cualquier número distinto de cero y lo sustituye en estas ecuaciones, se obtendrá un conjunto de soluciones.

Método 3 [ editar ]

Este plano también se puede describir mediante la prescripción " punto y un vector normal " arriba. Un producto normal adecuado viene dado por el producto cruzado.

$${\ displaystyle \ mathbf {n} = (\ mathbf {p} _ {2} - \ mathbf {p} _ {1}) \ times (\ mathbf {p} _ {3} - \ mathbf {p} _ { 1}),}

y el punto r ₀ puede tomarse como cualquiera de los puntos p ₁ , p ₂ o p ₃ ^[6] dados (o cualquier otro punto en el plano).

Distancia desde un punto a un plano [ editar ]

Artículo principal: Distancia desde un punto a un plano.

Para un avion $${\ displaystyle \ Pi: ax + by + cz + d = 0} y un punto $${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {1} = (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1})} no necesariamente acostado en el avión, la distancia más corta desde $${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {1}} al avión es

$${\ displaystyle D = {\ frac {\ left | ax_ {1} + by_ {1} + cz_ {1} + d \ right |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}}.}

Resulta que $${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {1}}se encuentra en el plano si y solo si D = 0 .

Si $${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}} = 1}lo que significa que a , b y c están normalizados ^[7], entonces la ecuación se convierte en

$${\ displaystyle D = \ | ax_ {1} + by_ {1} + cz_ {1} + d |.}

Otra forma de vector para la ecuación de un plano, conocida como la forma normal Hesse se basa en el parámetro D . Esta forma es: ^[5]

$${\ displaystyle \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {r} -D_ {0} = 0,}

dónde $${\ displaystyle \ mathbf {n}} Es una unidad vectorial normal al plano. $${\ displaystyle \ mathbf {r}}un vector de posición de un punto del plano y D ₀ la distancia del plano desde el origen.

Se puede llegar rápidamente a la fórmula general para dimensiones más altas utilizando notación vectorial . Deja que el hiperplano tenga ecuación$${\ displaystyle \ mathbf {n} \ cdot (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0}) = 0}, donde el $${\ displaystyle \ mathbf {n}}es un vector normal y$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {0} = (x_ {10}, x_ {20}, \ dots, x_ {N0})}Es un vector de posición a un punto en el hiperplano . Deseamos la distancia perpendicular al punto.$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {1} = (x_ {11}, x_ {21}, \ dots, x_ {N1})}. El hiperplano también puede estar representado por la ecuación escalar.$${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {N} a_ {i} x_ {i} = - a_ {0}}para constantes $${\ displaystyle \ {a_ {i} \}}. Asimismo, un correspondiente$${\ displaystyle \ mathbf {n}} puede ser representado como $${\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, \ dots, a_ {N})}. Deseamos la proyección escalar del vector.$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {0}} en la dirección de $${\ displaystyle \ mathbf {n}}. Señalando que$${\ displaystyle \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {r} _ {0} = \ mathbf {r} _ {0} \ cdot \ mathbf {n} = -a_ {0}} (como $${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {0}}satisface la ecuación del hiperplano ) tenemos

{\ displaystyle {\ begin {alineado} D & = {\ frac {| (\ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {0}) \ cdot \ mathbf {n} |} {| \ mathbf {n} |}} \\ & = {\ frac {| \ mathbf {r} _ {1} \ cdot \ mathbf {n} - \ mathbf {r} _ {0} \ cdot \ mathbf {n} |} {| \ mathbf {n} |}} \\ & = {\ frac {| \ mathbf {r} _ {1} \ cdot \ mathbf {n} + a_ {0} |} {| \ mathbf {n} | }} \\ & = {\ frac {| a_ {1} x_ {11} + a_ {2} x_ {21} + \ dots + a_ {N} x_ {N1} + a_ {0}}} {\ sqrt {a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + \ puntos + a_ {N} ^ {2}}}} \ end {alineado}}}.

Línea de intersección entre dos planos [ editar ]

La línea de intersección entre dos planos. $${\ displaystyle \ Pi _ {1}: \ mathbf {n} _ {1} \ cdot \ mathbf {r} = h_ {1}} y $${\ displaystyle \ Pi _ {2}: \ mathbf {n} _ {2} \ cdot \ mathbf {r} = h_ {2}} dónde $${\ displaystyle \ mathbf {n} _ {i}} Se normalizan son dados por

$${\ displaystyle \ mathbf {r} = (c_ {1} \ mathbf {n} _ {1} + c_ {2} \ mathbf {n} _ {2}) + \ lambda (\ mathbf {n} _ {1 } \ times \ mathbf {n} _ {2})}

dónde

$${\ displaystyle c_ {1} = {\ frac {h_ {1} -h_ {2} (\ mathbf {n} _ {1} \ cdot \ mathbf {n} _ {2})} {1 - (\ mathbf {n} _ {1} \ cdot \ mathbf {n} _ {2}) ^ {2}}}}

$${\ displaystyle c_ {2} = {\ frac {h_ {2} -h_ {1} (\ mathbf {n} _ {1} \ cdot \ mathbf {n} _ {2})} {1 - (\ mathbf {n} _ {1} \ cdot \ mathbf {n} _ {2}) ^ {2}}}.}

Esto se encuentra al notar que la línea debe ser perpendicular a ambas normales planas, y por lo tanto paralela a su producto cruzado $${\ displaystyle \ mathbf {n} _ {1} \ times \ mathbf {n} _ {2}} (este producto cruzado es cero si y solo si los planos son paralelos y, por lo tanto, no se intersecan o son totalmente coincidentes).

El resto de la expresión se obtiene al encontrar un punto arbitrario en la línea. Para hacerlo, considere que cualquier punto en el espacio puede escribirse como$${\ displaystyle \ mathbf {r} = c_ {1} \ mathbf {n} _ {1} + c_ {2} \ mathbf {n} _ {2} + \ lambda (\ mathbf {n} _ {1} \ veces \ mathbf {n} _ {2})}, ya que $${\ displaystyle \ {\ mathbf {n} _ {1}, \ mathbf {n} _ {2}, (\ mathbf {n} _ {1} \ times \ mathbf {n} _ {2}) \}}es una base . Queremos encontrar un punto que esté en ambos planos (es decir, en su intersección), así que inserte esta ecuación en cada una de las ecuaciones de los planos para obtener dos ecuaciones simultáneas que se pueden resolver$${\ displaystyle c_ {1}} y $${\ displaystyle c_ {2}}.

Si además asumimos que $${\ displaystyle \ mathbf {n} _ {1}} y $${\ displaystyle \ mathbf {n} _ {2}}son ortonormales, entonces el punto más cercano en la línea de intersección con el origen es$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {0} = h_ {1} \ mathbf {n} _ {1} + h_ {2} \ mathbf {n} _ {2}}. Si ese no es el caso, entonces se debe utilizar un procedimiento más complejo. ^[8]

Angulo diedro [ editar ]

Ver también: ángulo diedro.

Dados dos planos de intersección descritos por $${\ displaystyle \ Pi _ {1}: a_ {1} x + b_ {1} y + c_ {1} z + d_ {1} = 0} y $${\ displaystyle \ Pi _ {2}: a_ {2} x + b_ {2} y + c_ {2} z + d_ {2} = 0}, el ángulo diedro entre ellos se define como el ángulo$${\ displaystyle \ alpha} entre sus direcciones normales:

$${\ displaystyle \ cos \ alpha = {\ frac {{\ hat {n}} _ {1} \ cdot {\ hat {n}} _ {2}} {| {\ hat {n}} _ {1} || {\ hat {n}} _ {2} |}} = {\ frac {a_ {1} a_ {2} + b_ {1} b_ {2} + c_ {1} c_ {2}} {{ \ sqrt {a_ {1} ^ {2} + b_ {1} ^ {2} + c_ {1} ^ {2}}} {\ sqrt {a_ {2} ^ {2} + b_ {2} ^ { 2} + c_ {2} ^ {2}}}}}.}

Planos en diversas áreas de las matemáticas [ editar ]

Además de su estructura geométrica familiar , con isomorfismos que son isometrías con respecto al producto interno habitual, el plano puede verse en varios otros niveles de abstracción . Cada nivel de abstracción corresponde a una categoría específica .

En un extremo, todos los conceptos geométricos y métricos pueden dejarse caer para abandonar el plano topológico , que se puede considerar como una lámina de caucho infinita homotópicamente idealizada , que conserva una noción de proximidad, pero no tiene distancias. El plano topológico tiene un concepto de trayectoria lineal, pero no un concepto de línea recta. El plano topológico, o su equivalente al disco abierto, es el vecindario topológico básico utilizado para construir superficies (o 2-variedades) clasificadas en topología de baja dimensión. Los isomorfismos del plano topológico son todos bijections continuos . El plano topológico es el contexto natural para la rama de la teoría de grafos.que trata con gráficos planares y resultados como el teorema de los cuatro colores .

El plano también puede verse como un espacio afín , cuyos isomorfismos son combinaciones de traducciones y mapas lineales no singulares. Desde este punto de vista no hay distancias, pero se conservan la colinealidad y las proporciones de distancias en cualquier línea.

La geometría diferencial ve un plano como un colector real bidimensional , un plano topológico que está provisto de una estructura diferencial . Nuevamente, en este caso, no hay noción de distancia, pero ahora existe un concepto de suavidad de mapas, por ejemplo, una ruta diferenciable o suave (según el tipo de estructura diferencial aplicada). Los isomorfismos en este caso son biyectiones con el grado de diferenciabilidad elegido.

En la dirección opuesta a la abstracción, podemos aplicar una estructura de campo compatible al plano geométrico, dando lugar al plano complejo y al área principal del análisis complejo . El campo complejo tiene solo dos isomorfismos que dejan la línea real fija, la identidad y la conjugación .

De la misma manera que en el caso real, el plano también puede verse como la variedad compleja más simple y unidimensional (sobre los números complejos ) , a veces llamada línea compleja. Sin embargo, este punto de vista contrasta marcadamente con el caso del plano como una variedad real bidimensional. Los isomorfismos son todos biografías conformes del plano complejo, pero las únicas posibilidades son mapas que corresponden a la composición de una multiplicación por un número complejo y una traducción.

Además, la geometría euclidiana (que tiene una curvatura cero en todas partes) no es la única geometría que puede tener el plano. El plano puede recibir una geometría esférica utilizando la proyección estereográfica . Se puede pensar en esto como colocar una esfera en el plano (como una pelota en el suelo), quitar el punto superior y proyectar la esfera sobre el plano desde este punto). Esta es una de las proyecciones que se pueden usar para hacer un mapa plano de parte de la superficie de la Tierra. La geometría resultante tiene una curvatura positiva constante.

Alternativamente, al plano también se le puede dar una métrica que le da una curvatura negativa constante al plano hiperbólico . La última posibilidad encuentra una aplicación en la teoría de la relatividad especial en el caso simplificado donde hay dos dimensiones espaciales y una dimensión temporal. (El plano hiperbólico es una hipersuperficie temporal en el espacio tridimensional de Minkowski ).

Nociones topológicas y geométricas diferenciales [ editar ]

La compactación de un punto del plano es homeomorfa a una esfera (ver proyección estereográfica ); el disco abierto es homeomorfo a una esfera con el "polo norte" ausente; Añadiendo ese punto se completa la esfera (compacta). El resultado de esta compactificación es una variedad denominada la esfera de Riemann o la línea proyectiva compleja . La proyección desde el plano euclidiano a una esfera sin un punto es un difeomorfismo e incluso un mapa conforme .

El plano en sí es homeomorfo (y difeomorfo) a un disco abierto . Para el plano hiperbólico, tal difeomorfismo es conforme, pero para el plano euclidiano no lo es.