FORMAS GEOMÉTRICAS - SUPERFICIES

superficie paramétrica es una superficie en el espacio euclidiano. $${\ displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {3}}que se define por una ecuación paramétrica con dos parámetros$${\ displaystyle {\ vec {r}}: {\ mathbb {R}} ^ {2} \ rightarrow {\ mathbb {R}} ^ {3}.}La representación paramétrica es una forma muy general de especificar una superficie, así como una representación implícita . Las superficies que aparecen en dos de los principales teoremas del cálculo vectorial , el teorema de Stokes y el teorema de la divergencia , se dan con frecuencia en forma paramétrica. La curvatura y la longitud del arco de las curvas en la superficie, el área de la superficie , las invariantes geométricas diferenciales como la primera y la segunda forma fundamental, lacurvatura gaussiana , la media y la principal pueden calcularse a partir de una parametrización determinada.

Ejemplos [ editar ]

• El tipo más simple de superficies paramétricas está dado por los gráficos de funciones de dos variables:

$${\ displaystyle z = f (x, y), \ quad {\ vec {r}} (x, y) = (x, y, f (x, y)).}

• Una superficie racional es una superficie que admite parametrizaciones mediante una función racional . Una superficie racional es una superficie algebraica . Dada una superficie algebraica, es comúnmente más fácil decidir si es racional que calcular su parametrización racional, si existe.
• Las superficies de revolución dan otra clase importante de superficies que pueden ser fácilmente parametrizadas. Si la gráfica z = f ( x ), a ≤ x ≤ b gira alrededor del eje z, entonces la superficie resultante tiene una parametrización

{\ displaystyle {\ vec {r}} (u, \ phi) = (u \ cos \ phi, u \ sin \ phi, f (u)), \ quad a \ leq u \ leq b, 0 \ leq \ phi <2 font="" pi.="">

También se puede parametrizar.

$${\ displaystyle {\ vec {r}} (u, v) = \ left (u {\ frac {1-v ^ {2}} {1 + v ^ {2}}}, u {\ frac {2v} {1 + v ^ {2}}}, f (u) \ derecha), \ quad a \ leq u \ leq b,}

mostrando que, si la función f es racional, entonces la superficie es racional.

• El cilindro recto circular de radio R alrededor del eje x tiene la siguiente representación paramétrica:

$${\ displaystyle {\ vec {r}} (x, \ phi) = (x, R \ cos \ phi, R \ sin \ phi).}

• Usando las coordenadas esféricas , la esfera unitaria puede ser parametrizada por

{\ displaystyle {\ vec {r}} (\ theta, \ phi) = (\ cos \ theta \ sin \ phi, \ sin \ theta \ sin \ phi, \ cos \ phi), \ quad 0 \ leq \ theta <2 0="" font="" leq="" phi="" pi.="" pi="">

Esta parametrización se rompe en los polos norte y sur, donde el ángulo de acimut θ no se determina de forma única. La esfera es una superficie racional.

La misma superficie admite muchas parametrizaciones diferentes. Por ejemplo, el plano z de coordenadas puede parametrizarse como

$${\ displaystyle {\ vec {r}} (u, v) = (au + bv, cu + dv, 0)}

para cualquier constante a , b , c , d tal que ad - bc ≠ 0, es decir, la matriz{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}}}es invertible .

Geometría diferencial local [ editar ]

La forma local de una superficie paramétrica se puede analizar considerando la expansión de Taylor de la función que la parametriza. La longitud del arco de una curva en la superficie y el área de la superficie se pueden encontrar mediante la integración .

Notación [ editar ]

Deje que la superficie paramétrica esté dada por la ecuación.

$${\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} (u, v),}

dónde $${\ displaystyle {\ vec {r}}}es una función vectorial de los parámetros ( u , v ) y los parámetros varían dentro de un determinado dominio D en el plano uv paramétrico . Las primeras derivadas parciales con respecto a los parámetros se suelen denotar$${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {u}: = {\ frac {\ partial {\ vec {r}}} {\ partial u}}} y $${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {v},} y de manera similar para los derivados superiores, $${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {uu}, {\ vec {r}} _ {uv}, {\ vec {r}} _ {vv}.}

En el cálculo vectorial , los parámetros se indican con frecuencia ( s , t ) y las derivadas parciales se escriben utilizando la notación::

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ vec {r}} {{partial s}}, {\ frac {\ partial {\ vec {r}}} {\ partial t}}, {\ frac {\ parcial ^ {2} {\ vec {r}}} {\ parcial s ^ {2}}}, {\ frac {\ parcial ^ {2} {\ vec {r}}} {\ parcial s \ parcial t} }, {\ frac {\ parcial ^ {2} {\ vec {r}}} {\ parcial t ^ {2}}}.}

Plano tangente y vector normal [ editar ]

La parametrización es regular para los valores dados de los parámetros si los vectores

$${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {u}, {\ vec {r}} _ {v}}

Son linealmente independientes. El plano tangente en un punto regular es el plano afín en R ³ abarcado por estos vectores y pasa a través del punto r ( u , v ) en la superficie determinada por los parámetros. Cualquier vector tangente se puede descomponer de forma única en una combinación lineal de$${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {u}} y $${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {v}.}El producto cruzadode estos vectores es un vector normal al plano tangente . Al dividir este vector por su longitud, se obtiene un vector normal unitario a la superficie parametrizada en un punto regular:

$${\ displaystyle {\ vec {n}} = {\ frac {{\ vec {r}} _ {u} \ times {\ vec {r}} _ {v}} {\ left | {\ vec {r} } _ {u} \ times {\ vec {r}} _ {v} \ right |}}.}

En general, hay dos opciones del vector normal unitario a una superficie en un punto dado, pero para una superficie regular parametrizada, la fórmula anterior selecciona constantemente una de ellas y, por lo tanto, determina una orientación de la superficie. Algunos de los invariantes geométricos diferenciales de una superficie en R ³ están definidos por la propia superficie y son independientes de la orientación, mientras que otros cambian el signo si se invierte la orientación.

Área de superficie [ editar ]

El área de superficie se puede calcular integrando la longitud del vector normal$${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {u} \ times {\ vec {r}} _ {v}}a la superficie sobre la región apropiada D en el plano uv paramétrico :

$${\ displaystyle A (D) = \ iint _ {D} \ left | {\ vec {r}} _ {u} \ times {\ vec {r}} _ {v} \ right | dudv.}

Aunque esta fórmula proporciona una expresión cerrada para el área de superficie, para todas las superficies, excepto para las muy especiales, esto resulta en una doble integral complicada , que generalmente se evalúa utilizando un sistema de álgebra computacional o se aproxima numéricamente. Afortunadamente, muchas superficies comunes forman excepciones, y sus áreas se conocen explícitamente. Esto es cierto para un cilindro circular , una esfera , un cono , un toro y algunas otras superficies de revolución .

Esto también se puede expresar como una integral de superficie sobre el campo escalar 1:

$${\ displaystyle \ int _ {S} 1 \, dS.}

Primera forma fundamental [ editar ]

Artículo principal: Primera forma fundamental.

La primera forma fundamental es una forma cuadrática.

$${\ displaystyle I = Edu ^ {2} + 2Fdudv + Gdv ^ {2}}

en el plano tangente a la superficie que se utiliza para calcular distancias y ángulos. Para una superficie parametrizada.$${\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} (u, v),} Sus coeficientes se pueden calcular de la siguiente manera:

$${\ displaystyle E = {\ vec {r}} _ {u} \ cdot {\ vec {r}} _ {u}, \ quad F = {\ vec {r}} _ {u} \ cdot {\ vec {r}} _ {v}, \ quad G = {\ vec {r}} _ {v} \ cdot {\ vec {r}} _ {v}.}

La longitud del arco de las curvas parametrizadas en la superficie S , el ángulo entre las curvas en S y el área de la superficie admiten expresiones en términos de la primera forma fundamental.

Si ( u ( t ), v ( t )), a ≤ t ≤ b representa una curva parametrizada en esta superficie, entonces su longitud de arco se puede calcular como la integral:

$${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {E \, u '(t) ^ {2} + 2F \, u' (t) v '(t) + G \, v' ( t) ^ {2}}} \, dt.}

La primera forma fundamental se puede ver como una familia de formas bilineales simétricas definidas positivasen el plano tangente en cada punto de la superficie que depende suavemente del punto. Esta perspectiva ayuda a calcular el ángulo entre dos curvas en S que se intersecan en un punto dado. Este ángulo es igual al ángulo entre los vectores tangentes a las curvas. La primera forma fundamental evaluada en este par de vectores es su producto puntual , y el ángulo se puede encontrar en la fórmula estándar

$${\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {{\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}}} {\ left | {\ vec {a}} \ right || {\ vec {b} } |}}}

Expresando el coseno del ángulo a través del producto punto.

El área de superficie se puede expresar en términos de la primera forma fundamental de la siguiente manera:

$${\ displaystyle A (D) = \ iint _ {D} {\ sqrt {EG-F ^ {2}}} \, dudv.}

Por la identidad de Lagrange , la expresión debajo de la raíz cuadrada es precisamente$${\ displaystyle \ left | {\ vec {r}} _ {u} \ times {\ vec {r}} _ {v} \ right | ^ {2}}, y por eso es estrictamente positivo en los puntos regulares.

Segunda forma fundamental [ editar ]

Artículo principal: Segunda forma fundamental.

La segunda forma fundamental.

$${\ displaystyle \ mathrm {II} = L \, {\ text {d}} u ^ {2} + 2M \, {\ text {d}} u \, {\ text {d}} v + N \, {\ text {d}} v ^ {2}}

Es una forma cuadrática en el plano tangente a la superficie que, junto con la primera forma fundamental, determina las curvaturas de las curvas en la superficie. En el caso especial cuando ( u , v ) = ( x , y ) y el plano tangente a la superficie en el punto dado es horizontal, la segunda forma fundamental es esencialmente la parte cuadrática de la expansión de Taylor de z como una función de x y y .

Para una superficie paramétrica general, la definición es más complicada, pero la segunda forma fundamental depende solo de las derivadas parciales de orden uno y dos. Sus coeficientes se definen como las proyecciones de las segundas derivadas parciales de$${\ displaystyle {\ vec {r}}} en el vector normal de la unidad $${\ displaystyle {\ vec {n}}} Definido por la parametrización:

$${\ displaystyle L = {\ vec {r}} _ {uu} \ cdot {\ vec {n}}, \ quad M = {\ vec {r}} _ {uv} \ cdot {\ vec {n}} , \ quad N = {\ vec {r}} _ {vv} \ cdot {\ vec {n}}. \ quad}

Al igual que la primera forma fundamental, la segunda forma fundamental se puede ver como una familia de formas bilineales simétricas en el plano tangente en cada punto de la superficie que depende suavemente del punto.

Curvatura [ editar ]

Artículo principal: Curvatura

La primera y la segunda forma fundamental de una superficie determinan sus importantes invariantes degeometría diferencial : la curvatura gaussiana , la curvatura media y las curvaturas principales .

Las curvaturas principales son las invariantes de la pareja que consiste en la segunda y primera forma fundamental. Son las raíces κ ₁ , κ ₂ de la ecuación cuadrática

{\ displaystyle \ det (\ mathrm {II} - \ kappa \ mathrm {I}) = 0, \ quad \ det \ left | {\ begin {matrix} L- \ kappa E & M- \ kappa F \\ M- \ kappa F & N- ​​\ kappa G \ end {matrix}} \ right | = 0.}

La curvatura gaussiana K = κ ₁ κ ₂ y la curvatura media H = ( κ ₁ + κ ₂ ) / 2 se pueden calcular de la siguiente manera:

$${\ displaystyle K = {LN-M ^ {2} \ sobre EG-F ^ {2}}, \ quad H = {EN-2FM + GL \ sobre 2 (EG-F ^ {2})}.}

Hasta un signo, estas cantidades son independientes de la parametrización utilizada y, por lo tanto, forman herramientas importantes para analizar la geometría de la superficie. Más precisamente, las curvaturas principales y la curvatura media cambian el signo si la orientación de la superficie se invierte, y la curvatura gaussiana es completamente independiente de la parametrización.

El signo de la curvatura gaussiana en un punto determina la forma de la superficie cerca de ese punto: para K > 0, la superficie es localmente convexa y el punto se llama elíptico , mientras que para K <0 de="" el="" font="" forma="" la="" llama="" montar="" nbsp="" punto="" se="" silla="" superficie="" tiene="" y="">hiperbólica . Los puntos en los que la curvatura gaussiana es cero se denominan parabólicos . En general, los puntos parabólicos forman una curva en la superficie llamada línea parabólica . La primera forma fundamental es positiva definida , por lo tanto, su determinante EG - F ² es positivo en todas partes. Por lo tanto, el signo de KCoincide con el signo de LN - M ² , el determinante de la segunda fundamental.

Los coeficientes de la primera forma fundamental presentada anteriormente se pueden organizar en una matriz simétrica:

{\ displaystyle F_ {1} = {\ begin {bmatrix} E&F \\ F&G \ end {bmatrix}}.

Y lo mismo para los coeficientes de la segunda forma fundamental , también presentados anteriormente:

{\ displaystyle F_ {2} = {\ begin {bmatrix} L&M \\ M&N \ end {bmatrix}}.

Definiendo ahora la matriz. $${\ displaystyle A = F_ {1} ^ {- 1} F_ {2}}, Las curvaturas principales kappa ₁ y κ ₂ son los valores propios de A . ^[1]

Ahora, si v ₁ = ( v ₁₁ , v ₁₂ ) es el vector propio de A correspondiente a la curvatura principal κ ₁ , el vector unitario en la dirección de$${\ displaystyle {\ vec {t}} _ {1} = v_ {11} {\ vec {r}} _ {u} + v_ {12} {\ vec {r}} _ {v}}se llama el vector principal correspondiente a la curvatura principal κ ₁ .

Por consiguiente, si v ₂ = ( v ₂₁ , v ₂₂ ) es el vector propio de A correspondiente a la curvatura principal κ ₂ , el vector unitario en la dirección de$${\ displaystyle {\ vec {t}} _ {2} = v_ {21} {\ vec {r}} _ {u} + v_ {22} {\ vec {r}} _ {v}}se llama el vector principal correspondiente a la curvatura principal κ ₂ .

Las superficies PDE se utilizan en modelos geométricos y gráficos de computadora para crear superficies lisas que se ajusten a una configuración de límites determinada. Las superficies PDE utilizan ecuaciones diferenciales parciales para generar una superficie que generalmente satisface un problema de valor de límite matemático .

Las superficies de PDE se introdujeron por primera vez en el área de modelado geométrico y gráficos por computadora por dos matemáticos británicos, Malcolm Bloor y Michael Wilson.

Detalles técnicos [ editar ]

El método PDE consiste en generar una superficie para algún límite mediante la resolución de una ecuación diferencial parcial elíptica de la forma

$${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial u ^ {2}}} + a ^ {2} {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial v ^ { 2}}} \ derecha) ^ {2} X (u, v) = 0.}

aquí $${\ displaystyle X (u, v)}Es una función parametrizada por los dos parámetros. $${\ displaystyle u} y $${\ displaystyle v} tal que $${\ displaystyle X (u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v))} dónde $${\ displaystyle x}, $${\ displaystyle y} y $${\ displaystyle z}Son las coordenadas cartesianas habituales del espacio. Las condiciones de contorno de la función.$${\ displaystyle X (u, v)} y sus derivados normales $${\ displaystyle \ partial {X} / \ partial {n}} Se imponen en los bordes del parche de superficie.

Con la formulación anterior, es notable que el operador diferencial parcial elíptico en la PDE anterior represente un proceso de suavizado en el que el valor de la función en cualquier punto de la superficie es, en cierto sentido, un promedio ponderado de los valores circundantes. De esta manera, se obtiene una superficie como una transición suave entre el conjunto elegido de condiciones de contorno . El parámetro$${\ displaystyle a} es un parámetro de diseño especial que controla el alisado relativo de la superficie en el $${\ displaystyle u} y $${\ displaystyle v} direcciones.

Cuando $${\ displaystyle a = 1}, la PDE es la ecuación biharmónica :$${\ displaystyle X_ {uuuu} + 2X_ {uuvv} + X_ {vvvv} = 0}. La ecuación biharmónica es la ecuación producida al aplicar la ecuación de Euler-Lagrange a la energía de placa delgada simplificada funcional $${\ displaystyle X_ {uu} ^ {2} + 2X_ {uv} ^ {2} + X_ {vv} ^ {2}}. Así que resolviendo el PDE con$${\ displaystyle a = 1} es equivalente a minimizar la energía funcional de la placa delgada sujeta a las mismas condiciones de contorno.

Aplicaciones [ editar ]

Las superficies de PDE se pueden utilizar en muchas áreas de aplicación. Estos incluyen diseño asistido por computadora, diseño interactivo, diseño paramétrico, animación por computadora, análisis físico asistido por computadora y optimización del diseño.