FORMAS GEOMÉTRICAS - SUPERFICIES

plano de incidencia (también llamado plano meridional ^{[ cita requerida ]} ) es el plano que contiene la superficie normal y el vector de propagación de la radiación entrante . En la óptica de onda , este último es el vector k , o vector de onda, de la onda entrante. Cuando la reflexión es especular , como lo es para un espejo u otra superficie brillante, la luz reflejada también se encuentra en el plano de incidencia.

Polarizaciones [ editar ]

Artículo principal: polarizaciones de s y p

La orientación de la polarización de la luz incidente con respecto al plano de incidencia tiene un efecto importante en la fuerza de la reflexión. La luz polarizada P es una luz incidente polarizada linealmente con la dirección de polarización situada en el plano de incidencia. La luz polarizada S tiene una polarización perpendicular al plano de incidencia. La s en polarizado viene de la palabra alemana senkrecht , que significa perpendicular. La fuerza de reflexión de una superficie está determinada por las ecuaciones de Fresnel , que son diferentes para la luz polarizada en p y en p.

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Figura 1. conoide de Plücker con n = 2.

Figura 2. Conoide de Plücker con n  = 3.

Figura 3. conoide de Plücker con n  = 4.

En geometría , el conoide de Plücker es una superficie regida quelleva el nombre del matemático alemán Julius Plücker . También se le llama cuña cónica o cilindroid ; sin embargo, este último nombre es ambiguo, ya que "cilindroid" también puede referirse a un cilindro elíptico .

El conoide de Plücker es la superficie definida por la función de dos variables:

$${\ displaystyle z = {\ frac {2xy} {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}

Esta función tiene una singularidad esencial en el origen .

Al usar coordenadas cilíndricas en el espacio, podemos escribir la función anterior en ecuaciones paramétricas

$${\ displaystyle x = v \ cos u, \ quad y = v \ sin u, \ quad z = \ sin 2u.}

Por lo tanto, el conoide de Plücker es un conoide derecho , que puede obtenerse girando una línea horizontal alrededor del eje z con el movimiento oscilatorio (con el período 2 π ) a lo largo del segmento [−1, 1] del eje (Figura 4).

Una generalización del conoide de Plücker está dada por las ecuaciones paramétricas

$${\ displaystyle x = v \ cos u, \ quad y = v \ sin u, \ quad z = \ sin nu.}

donde n denota el número de pliegues en la superficie. La diferencia es que el período del movimiento oscilatorio a lo largo del eje z es 2 π/ n . (Figura 5 para n  = 3)

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Una función lineal por tramos sobre dos dimensiones (arriba) y las áreas poligonales en las que es lineal (abajo)

En geometría computacional , un terreno poliédrico en un espacio euclidiano tridimensional es una superficie poliédrica que intersecta cada línea paralela a alguna línea particular en un conjunto conectado (es decir, un punto o un segmento de línea ) o el conjunto vacío. ^[1] Sin pérdida de generalidad , podemos suponer que la línea en cuestión es el eje z del sistema de coordenadas cartesiano. Luego, un terreno poliédrico es la imagen de una función lineal por partes en las variables xe y . ^[2]

El terreno poliédrico es una generalización del objeto geométrico bidimensional, la cadena poligonal monótona .

Como su nombre puede sugerir, un área de aplicación importante de terrenos poliédricos incluye sistemas de información geográfica para modelar terrenos del mundo real . ^[2]

Representación [ editar ]

Un modelo poliédrico puede representarse en términos de la partición del plano en regiones poligonales, cada región está asociada con un parche plano que es la imagen de los puntos de la región bajo la función lineal por partes en cuestión. ^[2]

Problemas [ editar ]

Hay una serie de problemas en la geometría computacional que involucran terrenos poliédricos.

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Sillín de superficie con planos normales en direcciones de curvaturas principales.

En geometría diferencial , las dos curvaturas principalesen un punto dado de una superficie son los valores propiosdel operador de forma en el punto. Miden cómo la superficie se dobla en diferentes cantidades en diferentes direcciones en ese punto.

Discusión [ editar ]

En cada punto p de una superficie diferenciable en el espacio euclidiano tridimensional , se puede elegir un vector normal unidad . Un plano normal en p es uno que contiene el vector normal y, por lo tanto, también contendrá una dirección única tangente a la superficie y cortará la superficie en una curva plana, llamada sección normal . Esta curva, en general, tendrá diferentes curvaturas para diferentes planos normales en p . Las curvaturas principales en p , denotadas k ₁ y k ₂, son los valores máximos y mínimos de esta curvatura.

Aquí, la curvatura de una curva es, por definición, el recíproco del radio del círculo oscilante . La curvatura se toma como positiva si la curva gira en la misma dirección que la normal elegida de la superficie, y por lo demás negativa. Las direcciones en el plano normal donde la curvatura toma sus valores máximo y mínimo son siempre perpendiculares, si k ₁ no es igual a k ₂ , un resultado de Euler (1760), y se llaman direcciones principales . Desde una perspectiva moderna, este teorema se deriva del teorema espectral porque estas direcciones son como los ejes principales de unaTensor simétrico: la segunda forma fundamental . Gaston Darboux realizó un análisis sistemático de las curvaturas principales y las direcciones principales , utilizando marcos de Darboux .

El producto k ₁ k ₂ de las dos curvaturas principales es la curvatura gaussiana , K , y la media ( k ₁  +  k ₂ ) / 2 es la curvatura media , H .

Si al menos una de las curvaturas principales es cero en cada punto, entonces la curvatura gaussiana será 0 y la superficie es una superficie desarrollable . Para una superficie mínima , la curvatura media es cero en cada punto.

Definición formal [ editar ]

Sea M una superficie en el espacio euclidiano con una segunda forma fundamental $${\ displaystyle I \! I (X, Y)}. Fije un punto p ∈ M , y una base ortonormal X ₁ , X ₂ de vectores tangentes en p . Entonces las curvaturas principales son los valores propios de la matriz simétrica.

{\ displaystyle \ left [I \! I_ {ij} \ right] = {\ begin {bmatrix} I \! I (X_ {1}, X_ {1}) & I \! I (X_ {1}, X_ { 2}) \\ I \! I (X_ {2}, X_ {1}) & I \! I (X_ {2}, X_ {2}) \ end {bmatrix}}.

Si X ₁ y X ₂ están seleccionados para que la matriz$${\ displaystyle \ left [I \! I_ {ij} \ right]}Es una matriz diagonal, entonces se llaman las direcciones principales . Si la superficie está orientada , entonces a menudo se requiere que el par ( X ₁ , X ₂ ) esté orientado positivamente con respecto a la orientación dada.

Sin referencia a una base ortonormal particular, las curvaturas principales son los valores propios del operador de forma , y las direcciones principales son sus vectores propios .

Generalizaciones [ editar ]

Para hipersuperficies en espacios euclidianos de dimensión superior, las curvaturas principales pueden definirse de una manera directamente análoga. Las curvaturas principales son los valores propios de la matriz de la segunda forma fundamental.$${\ displaystyle I \! I (X_ {i}, X_ {j})}En una base ortonormal del espacio tangente. Las direcciones principales son los vectores propios correspondientes.

De manera similar, si M es una hipersuperficie en una variedad Riemanniana N , entonces las curvaturas principales son los valores propios de su segunda forma fundamental. Si k ₁ , ..., k _n son los n curvaturas principales en un punto p ∈ M y X ₁ , ..., X _n son correspondientes vectores propios ortonormales (direcciones principales), entonces la curvatura seccional de M en p se da por

$${\ displaystyle K (X_ {i}, X_ {j}) = k_ {i} k_ {j}}

para todos $${\ displaystyle i, j} con $${\ displaystyle i \ neq j}.

Clasificación de puntos en una superficie [ editar ]

• En los puntos elípticos , ambas curvaturas principales tienen el mismo signo, y la superficie es localmente convexa .
  • En los puntos umbilicales , ambas curvaturas principales son iguales y cada vector tangente puede considerarse una dirección principal. Estos suelen ocurrir en puntos aislados.
• En los puntos hiperbólicos , las curvaturas principales tienen signos opuestos, y la superficie tendrá forma de silla de montar local.
• En los puntos parabólicos , una de las curvaturas principales es cero. Los puntos parabólicos generalmente se encuentran en una curva que separa las regiones elíptica e hiperbólica.
  • En los puntos umbilicales planos, ambas curvaturas principales son cero. Una superficie genérica no contendrá puntos umbilicales planos. La montura de mono es una superficie con un plano umbilical aislado.

Clases de puntos de superficie ^[1]

	k 1 <0 font="">	k 1 = 0	k 1 > 0
k 2 <0 font="">	Elipsoide cóncavo	Cilindro cóncavo	Superficie hiperboloide
k 2 = 0	Cilindro cóncavo	Avión	Cilindro convexo
k 2 > 0	Superficie hiperboloide	Cilindro convexo	Elipsoide convexo

Línea de curvatura [ editar ]

Las líneas de curvatura o las líneas de curvatura son curvas que siempre son tangentes a una dirección principal (son curvas integrales para los campos de dirección principal). Habrá dos líneas de curvatura a través de cada punto no umbilical y las líneas se cruzarán en ángulos rectos.

En las inmediaciones de un umbílica las líneas de curvatura típicamente forman una de las tres configuraciones de estrella , limón y Monstar (derivado de limón estrellas ). ^[2] Estos puntos también se llaman Umbilics de Darboux, en honor a Gaston Darboux , el primero en hacer un estudio sistemático en el vol. 4, p. 455, de sus leçons (1896).

• Configuraciones de líneas de curvatura cerca del ombligo.
• 

  Limón
 
• 

  Monstar
 
• 

  Estrella

En estas figuras, las curvas rojas son las líneas de curvatura para una familia de direcciones principales, y las curvas azules para la otra.

Cuando una línea de curvatura tiene un extremo local de la misma curvatura principal, entonces la curva tiene un punto de cresta . Estos puntos de cresta forman curvas en la superficie llamadas crestas . Las curvas de cresta atraviesan los ombligos. Para el patrón de estrella, una línea de cresta de 3 o 1 atraviesa el cordón umbilical, para la estrella de mar y el limón solo pasa una cresta.

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Una superficie prismática es una superficie generada por todas las líneas que son paralelas a una línea dada e intersectan una línea discontinua que no está en el mismo plano que la línea dada. ^[1] La línea discontinua es la directriz de la superficie; Las líneas paralelas son sus generadores (o elementos ). Si la línea discontinua está cerrada (es decir, un polígono cerrado ), entonces la superficie es una superficie prismática cerrada .

Con respecto a la cristalografía , una superficie prismática es una sola cara de una forma prismática, que es una forma abierta que consta de tres, cuatro o seis caras idénticas relacionadas por un operador de simetría.