FORMAS GEOMÉTRICAS - SUPERFICIES

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Equipotenciales electrostáticos calculados (contornos negros) entre dos esferas cargadas eléctricamente

Equipotencial o isopotencial en matemáticas y física se refiere a una región en el espacio donde cada punto en él tiene el mismo potencial . ^{[1] [2] [3]} Esto generalmente se refiere a un potencial escalar (en ese caso es un conjunto de niveles del potencial), aunque también puede aplicarse a potenciales vectoriales . Un equipotencial de un potencial escalar función en n- dimensional espacio es típicamente un (n-1) espacio tridimensional. El operador delilustra la relación entre un campo vectorial y su campo potencial escalar asociado. Una región equipotencial puede ser referida como "equipotencial" o simplemente llamada "equipotencial".

Una región equipotencial de un potencial escalar en el espacio tridimensional es a menudo una superficie equipotencial , pero también puede ser una región tridimensional en el espacio. El gradiente del potencial escalar (y, por tanto, también su opuesto, como en el caso de un campo vectorial con un campo potencial asociado) es perpendicular a la superficie equipotencial en todas partes, y cero dentro de una región equipotencial tridimensional.

Los conductores eléctricos ofrecen un ejemplo intuitivo. Si a y b son cualesquiera dos puntos dentro o en la superficie de un conductor dado, y dado que no hay intercambio de flujo de carga entre los dos puntos, entonces la diferencia de potencial es cero entre los dos puntos. Por lo tanto, un equipotencial contendría los puntos a y b, ya que tienen el mismo potencial . Extendiendo esta definición, un isopotencial es el lugar de todos los puntos que tienen el mismo potencial.

La gravedad es perpendicular a las superficies equipotenciales del potencial de gravedad , y en electrostática y en el caso de corrientes constantes, el campo eléctrico (y, por lo tanto, la corriente eléctrica , si existe) es perpendicular a las superficies equipotenciales del potencial eléctrico ( voltaje ).

En gravedad, una esfera hueca tiene una región equipotencial tridimensional en su interior, sin gravedad (véase el teorema de la concha ). En electrostática, un conductor es una región equipotencial tridimensional. En el caso de un conductor hueco ( jaula de Faraday ^[4] ), la región equipotencial incluye el espacio interior.

Una bola no será acelerada por la fuerza de la gravedad si descansa sobre una superficie plana y horizontal , porque es una superficie equipotencial.

Mikhail Gromov 's de llenado conjetura área afirma que el hemisferio tiene área mínima entre las superficies que llenan una curva cerrada de longitud dada sin introducir atajos entre sus puntos.

Definiciones y declaración de la conjetura [ editar ]

Cada superficie lisa M o curva en el espacio euclidiano es un espacio métrico , en el que la distancia (intrínseca) d _M ( x , y ) entre dos puntos x ,  y de M se define como el límite mínimo de las longitudes de las curvas que van desde de x a y a lo largo de m . Por ejemplo, en una curva cerrada.$${\ displaystyle C}de longitud 2 L , para cada punto x de la curva hay otro punto único de la curva (llamado antípodas de x ) a la distancia L de x .

Un compacto superficie M llena una curva cerrada C si su frontera (también llamado límite , denotado ∂ M ) es la curva C . El relleno M se dice isométrico si para cualquiera de los dos puntos x , y de la curva límite C , la distancia d _M ( x , y ) entre ellos a lo largo de M es la misma (no menor) que la distancia d _C ( x , y )a lo largo del límite. En otras palabras, rellenar una curva isométricamente es rellenarla sin introducir accesos directos.

Pregunta: ¿Qué tan pequeña puede ser el área de una superficie que llena isométricamente su curva de límite, de longitud dada?

Por ejemplo, en el espacio euclidiano tridimensional, el círculo

$${\ displaystyle C = \ {(x, y, 0): \ x ^ {2} + y ^ {2} = 1 \}}

(de longitud 2 π ) se llena con el disco plano

$${\ displaystyle D = \ {(x, y, 0): \ x ^ {2} + y ^ {2} \ leq 1 \}}

que no es un relleno isométrico, porque cualquier acorde recto a lo largo es un atajo. En contraste, el hemisferio

$${\ displaystyle H = \ {(x, y, z): \ x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1 {\ text {y}} z \ geq 0 \}}

Es un relleno isométrico del mismo círculo C , que tiene el doble del área del disco plano . ¿Es esta el área mínima posible?

La superficie se puede imaginar como hecha de un material flexible pero no estirable, que permite que se mueva y se doble en el espacio euclidiano. Ninguna de estas transformaciones modifica el área de la superficie ni la longitud de las curvas dibujadas en ella, que son las magnitudes relevantes para el problema. La superficie se puede quitar del espacio euclidiano en conjunto, obteniendo una superficie riemanniana , que es una superficie lisa abstracta con una métrica riemanniana que codifica las longitudes y el área. Recíprocamente, según el teorema de Nash-Kuiper, cualquier superficie de Riemann con límite puede incrustarse en el espacio euclidiano conservando las longitudes y el área especificados por la métrica de Riemann. Por lo tanto, el problema de llenado se puede plantear de manera equivalente como una pregunta sobre las superficies de Riemann , que no se colocan en el espacio euclidiano de ninguna manera en particular.

Conjetura ( conjetura del área de relleno de Gromov, 1983): El hemisferio tiene un área mínima entre las superficies riemannianas compactas orientables que rellenan isométricamente su curva de contorno, de longitud dada. ^{[1] : p. 13}

La prueba de Gromov para el caso de los discos riemannianos [ editar ]

En el mismo artículo donde Gromov hizo la conjetura, probó que

El hemisferio tiene un área mínima entre las superficies riemannianas que rellenan isométricamente un círculo de longitud determinada y son homeomorfas en un disco . ^[1]

Prueba: vamos$${\ displaystyle M} Ser un disco riemanniano que rellene isométricamente su límite de longitud. $${\ displaystyle 2L}. Pegue cada punto$${\ displaystyle x \ en \ parcial M} con su punto antipodal $${\ displaystyle -x}, definido como el único punto de $${\ displaystyle \ parcial M} que está a la máxima distancia posible $${\ displaystyle L} desde $${\ displaystyle x}. Pegando de esta manera obtenemos una superficie riemanniana cerrada.$${\ displaystyle M '}que es homeomorfo al plano proyectivo real y cuya sístole (la longitud de la curva no contractible más corta) es igual a$${\ displaystyle L}. (Y recíprocamente, si cortamos un plano proyectivo a lo largo de un bucle de longitud no contratable más corto)$${\ displaystyle L}, obtenemos un disco que rellena isométricamente su límite de longitud. $${\ displaystyle 2L}.) Así el área mínima que el relleno isométrico $${\ displaystyle M} que puede tener es igual al área mínima que un plano proyectivo de Systole de Riemannian $${\ displaystyle L}puede tener. Pero entonces la desigualdad sistólica de Pu afirma precisamente que un plano proyectivo riemanniano de sístole dada tiene un área mínima si y solo si es redonda (es decir, obtenida de una esfera euclidiana identificando cada punto con su opuesto). El área de este plano proyectivo redondo es igual al área del hemisferio (porque cada uno de ellos tiene la mitad del área de la esfera).

La prueba de la desigualdad de Pu se basa, a su vez, en el teorema de uniformización .

Rellenos con métricas de Finsler [ editar ]

En 2001, Sergei Ivanov presentó otra forma de demostrar que el hemisferio tiene el área más pequeña entre los rellenos isométricos homeomorfos a un disco. ^{[2] [3] [4]} Su argumento no emplea el teorema de uniformización y se basa en el hecho topológico de que dos curvas en un disco deben cruzarse si sus cuatro puntos finales están en el límite y entrelazados. Además, la prueba de Ivanov se aplica más generalmente a los discos con métricas de Finsler , que difieren de las métricas de Riemann en que no deben satisfacer la ecuación de Pitágoras en el nivel infinitesimal. El área de una superficie de Finsler se puede definir de varias maneras desiguales, y la que se emplea aquí es el área de Holmes-Thompson., que coincide con el área habitual cuando la métrica es Riemannian. Lo que demostró Ivanov es que

El hemisferio tiene un área mínima de Holmes-Thompson entre los discos de Finsler que rellenan isométricamente una curva cerrada de longitud determinada.

espectáculo Prueba del teorema de Ivanov

A diferencia del caso de Riemann, hay una gran variedad de discos Finsler que completan isométricamente una curva cerrada y tienen la misma área de Holmes-Thompson que el hemisferio. Si en su lugar se usa el área de Hausdorff , la minimalidad del hemisferio aún se mantiene, pero el hemisferio se convierte en el minimizador único. Esto se deduce del teorema de Ivanov, ya que la Normalización y la comparación con Euclidean y Hausdorff miden el área de Hausdorff de una variedad de Finsler nunca es menor que el área de Holmes-Thompson , y las dos áreas son iguales si y solo si la métrica es Riemanniana.

No minimalidad del hemisferio entre rellenos racionales con métricas de Finsler [ editar ]

Un disco euclidiano que llena un círculo puede ser reemplazado, sin disminuir las distancias entre los puntos de límite, por un disco de Finsler que llena el mismo círculo N = 10 veces (en el sentido de que su límite se ajusta alrededor del círculo N veces), pero cuyo Holmes –El área de Thompson es menor que N veces el área del disco. ^[6] Para el hemisferio, se puede encontrar un reemplazo similar. En otras palabras, la conjetura del área de relleno es falsa si Finsler 2- cadenas con coeficientes racionales se permiten como rellenos, en lugar de superficies orientables (que son equivalentes a 2 cadenas con coeficientes enteros ).

Rellenos riemannianos del género uno e hiperelipticidad [ editar ]

Una superficie Riemannian orientable del género uno que llena isométricamente el círculo no puede tener menos área que el hemisferio. ^[7] La prueba en este caso comienza nuevamente al pegar los puntos antípodos del límite. La superficie cerrada no orientable obtenida de este modo tiene una doble cubierta orientable del género dos y, por lo tanto, es hiperelíptica.. La prueba luego explota una fórmula de J. Hersch a partir de la geometría integral. A saber, considere la familia de bucles de figura 8 en un balón de fútbol, ​​con el punto de auto-intersección en el ecuador. La fórmula de Hersch expresa el área de una métrica en la clase conforme del fútbol, ​​como un promedio de las energías de los bucles de la figura 8 de la familia. Una aplicación de la fórmula de Hersch al cociente hiperelíptico de la superficie de Riemann prueba la conjetura del área de relleno en este caso.

Las variedades casi planas son rellenos mínimos de sus distancias límite [ editar ]

Si un colector Riemannian M (de cualquier dimensión) es casi plano (más precisamente, M es una región de$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}con una métrica riemanniana que es $${\ displaystyle C ^ {2}}(cerca de la métrica euclidiana estándar), entonces M es un minimizador de volumen : no puede reemplazarse por una variedad Riemann orientable que llena el mismo límite y tiene menos volumen sin reducir la distancia entre algunos puntos de límite. ^[8] Esto implica que si un trozo de esfera es suficientemente pequeño (y por lo tanto, casi plano), entonces es un minimizador de volumen. Si este teorema puede extenderse a regiones grandes (es decir, a todo el hemisferio), entonces la conjetura del área de relleno es verdadera. Se ha conjeturado que todas las variedades riemannianas simples (aquellas que son convexas en su límite, y donde cada dos puntos están unidos por una geodésica única) son minimizadores de volumen. ^[8]

La prueba de que cada colector M casi plano es un minimizador de volumen involucra incrustar M en$${\ displaystyle L ^ {\ infty} (\ parcial M)}, y luego mostrar que cualquier reemplazo isométrico de M también se puede mapear en el mismo espacio$${\ displaystyle L ^ {\ infty} (\ parcial M)}, y proyectado en M , sin aumentar su volumen. Esto implica que el reemplazo no tiene menos volumen que el múltiple M original .

la primera forma fundamental es el producto interno en el espacio tangente de una superficie en el espacio euclidiano tridimensional que se induce canónicamente desde el producto puntual de R ³. Permite el cálculo de las propiedades métricas y de curvatura de una superficie, como la longitud y el área, de manera coherente con el espacio ambiental . La primera forma fundamental se denota con el número romano I,

$${\ displaystyle \ mathrm {I} (x, y) = \ langle x, y \ rangle.}

Sea X ( u ,  v ) una superficie paramétrica . Entonces el producto interno de dos vectores tangentes es

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & {} \ quad \ mathrm {I} (aX_ {u} + bX_ {v}, cX_ {u} + dX_ {v}) \\ & = ac \ langle X_ {u }, X_ {u} \ rangle + (anuncio + bc) \ langle X_ {u}, X_ {v} \ rangle + bd \ langle X_ {v}, X_ {v} \ rangle \\ & = Eac + F ( ad + bc) + Gbd, \ end {alineado}}}

donde E , F y G son los coeficientes de la primera forma fundamental .

La primera forma fundamental puede representarse como una matriz simétrica .

{\ displaystyle \ mathrm {I} (x, y) = x ^ {\ text {T}} {\ begin {pmatrix} E&F \\ F&G \ end {pmatrix}} y}

Notación adicional [ editar ]

Cuando la primera forma fundamental se escribe con un solo argumento, denota el producto interno de ese vector consigo mismo.

$${\ displaystyle \ mathrm {I} (v) = \ langle v, v \ rangle = | v | ^ {2}}

La primera forma fundamental se escribe a menudo en la notación moderna del tensor métrico . Los coeficientes se pueden escribir como$${\ displaystyle g_ {ij}}:

{\ displaystyle \ left (g_ {ij} \ right) = {\ begin {pmatrix} g_ {11} & g_ {12} \\ g_ {21} & g_ {22} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix } E&F \\ F&G \ end {pmatrix}}}

Los componentes de este tensor se calculan como el producto escalar de los vectores tangentes X ₁ y X ₂ :

$${\ displaystyle g_ {ij} = X_ {i} \ cdot X_ {j}}

para i , j = 1, 2. Ver ejemplo a continuación.

Cálculo de longitudes y áreas [ editar ]

La primera forma fundamental describe completamente las propiedades métricas de una superficie. Por lo tanto, permite calcular la longitud de las curvas en la superficie y las áreas de las regiones en la superficie. El elemento de línea ds se puede expresar en términos de los coeficientes de la primera forma fundamental como

$${\ displaystyle ds ^ {2} = Edu ^ {2} + 2Fdudv + Gdv ^ {2} \,}.

El elemento de área clásico dado por $${\ displaystyle dA = | X_ {u} \ veces X_ {v} | \ du \, dv}puede expresarse en términos de la primera forma fundamental con la ayuda de la identidad de Lagrange ,

$${\ displaystyle dA = | X_ {u} \ veces X_ {v} | \ du \, dv = {\ sqrt {\ langle X_ {u}, X_ {u} \ rangle \ langle X_ {v}, X_ {v } \ rangle - \ langle X_ {u}, X_ {v} \ rangle ^ {2}}} \ du \, dv = {\ sqrt {EG-F ^ {2}}} \, du \, dv.}

Ejemplo [ editar ]

La esfera unitaria en R ³ puede ser parametrizada como

$${\ displaystyle X (u, v) = {\ begin {pmatrix} \ cos u \ sin v \\\ sin u \ sin v \\\ cos v \ end {pmatrix}}, \ (u, v) \ in [0,2 \ pi) \ times [0, \ pi].}

Diferenciación $${\ displaystyle X (u, v)} con respecto a los rendimientos de u y v

$${\ displaystyle X_ {u} = {\ begin {pmatrix} - \ sin u \ sin v \\ cos cos \ sin v \\ 0 \ end {pmatrix}}, \ X_ {v} = {\ begin {pmatrix } \ cos u \ cos v \\\ sin u \ cos v \\ - \ sin v \ end {pmatrix}}.}

Los coeficientes de la primera forma fundamental se pueden encontrar tomando el producto puntual de las derivadas parciales .

$${\ displaystyle E = X_ {u} \ cdot X_ {u} = \ sin ^ {2} v}

$${\ displaystyle F = X_ {u} \ cdot X_ {v} = 0}

$${\ displaystyle G = X_ {v} \ cdot X_ {v} = 1}

asi que:

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} E&F \\ F&G \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ sin ^ {2} v & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}

Longitud de una curva en la esfera [ editar ]

El ecuador de la esfera es una curva parametrizada dada por$${\ displaystyle (u (t), v (t)) = (t, {\ tfrac {\ pi} {2}})} con t que van de 0 a $${\ displaystyle 2 \ pi}. El elemento de línea se puede utilizar para calcular la longitud de esta curva.

$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ sqrt {E \ left ({\ frac {du} {dt}} \ right) ^ {2} + 2F {\ frac {du} {dt }} {\ frac {dv} {dt}} + G \ left ({\ frac {dv} {dt}} \ right) ^ {2}}} \, dt = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} | \ sin v | \, dt = 2 \ pi \ sin {\ tfrac {\ pi} {2}} = 2 \ pi}

Área de una región en la esfera [ editar ]

El elemento de área se puede utilizar para calcular el área de la esfera.

$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ sqrt {EG-F ^ {2}}} \ du \, dv = \ int _ {0 } ^ {\ pi} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ sin v \, du \, dv = 2 \ pi \ left [- \ cos v \ right] _ {0} ^ {\ pi} = 4 \ pi}

Curvatura gaussiana [ editar ]

La curvatura gaussiana de una superficie está dada por

$${\ displaystyle K = {\ frac {\ det \ mathrm {I \! I}} {\ det \ mathrm {I}}} = {\ frac {LN-M ^ {2}} {EG-F ^ {2 }}},}

donde L , M y N son los coeficientes de la segunda forma fundamental .

Theorema egregium de Gauss afirma que la curvatura gaussiana de una superficie se puede expresar únicamente en términos de la primera forma fundamental y sus derivados, de modo que K es de hecho un invariante intrínseco de la superficie. La fórmula de Brioschi proporciona una expresión explícita para la curvatura gaussiana en términos de la primera forma fundamental .