FORMAS GEOMÉTRICAS - SUPERFICIES

la superficie focal, la superficie de los centros o la evolución se forma tomando los centros de las esferas de curvatura , que son las esferas tangenciales cuyos radios son los recíprocos de una de las curvaturas principales en el punto de tangencia. De manera equivalente, es la superficie formada por los centros de los círculos que oscilan las líneas de curvatura .

Una superficie con un ombligo elíptico, y su superficie focal.

Una superficie con un ombligo hiperbólico y su superficie focal.

Como las curvaturas principales son los valores propios de la segunda forma fundamental, hay dos en cada punto, y estos dan lugar a dos puntos de la superficie focal en cada dirección normal hacia la superficie. Lejos de los puntos umbilicales , estos dos puntos de la superficie focal son distintos; en los puntos umbilicales las dos hojas se juntan. Cuando la superficie tiene una cresta, la superficie focal tiene un borde cuspidal , tres de tales bordes pasan a través de un ombligo elíptico y solo uno a través de un ombligo hiperbólico. ^[1] En los puntos donde la curvatura gaussianaes cero, una hoja de la superficie focal tendrá un punto en el infinito correspondiente a la curvatura principal cero.

Superficie focal de la montura del mono . Las dos superficies (superior e inferior) tienen abad gac fvgj y van al infinito en el punto central (que tiene una curvatura gaussiana cero ).

La esfera es la única superficie donde ambas hojas de la superficie focal se degeneran en un solo punto.

Ambas láminas de la superficie focal de un ciclón Dupin degeneran en curvas. Estas curvas forman un par de anticónicos, es decir, una elipse y una hipérbola en planos perpendiculares, cada uno de los cuales pasa a través de los focos respectivos de la otra curva. ^[2] Para el toro , un ciclón especial de Dupin, la elipse focal se convierte en un círculo y la hipérbola focal degenera en el eje del círculo.

Una hoja de la superficie focal de la superficie de un canal formará una curva degenerada. Tales superficies incluyen todas las superficies de revolución , donde la curva degenerada es el eje de revolución.

focaloid es una cáscara delimitada por dos concéntricos , elipses confocal (en 2D) o elipsoides (en 3D). Cuando el grosor de la cáscara se vuelve insignificante, se le llama un focaloide delgado .

Definición matemática (3D) [ editar ]

Si una superficie límite está dada por

$${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {2} } {c ^ {2}}} = 1}

con semiejes a ,  b ,  c la segunda superficie está dada por

$${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2} + \ lambda}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2} + \ lambda}} + {\ frac {z ^ {2}} {c ^ {2} + \ lambda}} = 1.}

El focaloide delgado es dado por el límite$${\ displaystyle \ lambda \ a 0}.

En general, un focaloide podría entenderse como una cubierta que consta de dos superficies de coordenadas cerradas de un sistema de coordenadas elipsoidal confocal .

Confocal [ editar ]

Los elipsoides confocales comparten los mismos focos , que se dan para el ejemplo anterior por

$${\ displaystyle f_ {1} ^ {2} = a ^ {2} -b ^ {2} = (a ^ {2} + \ lambda) - (b ^ {2} + \ lambda), \,}

$${\ displaystyle f_ {2} ^ {2} = a ^ {2} -c ^ {2} = (a ^ {2} + \ lambda) - (c ^ {2} + \ lambda), \,}

$${\ displaystyle f_ {3} ^ {2} = b ^ {2} -c ^ {2} = (b ^ {2} + \ lambda) - (c ^ {2} + \ lambda).}

Significado físico [ editar ]

Un focaloide se puede utilizar como elemento de construcción de una distribución de materia o carga. La importancia particular de los focaloides radica en el hecho de que dos focaloides diferentes pero confocales de la misma masa o carga producen la misma acción en una masa de prueba o carga en la región exterior.

El modelado de superficies de forma libre es una técnica para diseñar superficies de forma libre con un sistema CAD o CAID .

La tecnología ha abarcado dos campos principales. Ya sea creando

Superficies estéticas (superficies clase A ) que también realizan una función; por ejemplo, carrocerías de automóviles y formas externas de productos de consumo, o superficies técnicas para componentes como palas de turbinas de gas y otros componentes de ingeniería dinámica de fluidos.

Los paquetes de software CAD utilizan dos métodos básicos para la creación de superficies . El primero comienza con curvas de construcción ( splines ) desde las cuales la superficie 3D luego se barre (sección a lo largo del riel de guía) o malla (lofted) a través.

Una superficie creada a partir de curvas.

El segundo método es la creación directa de la superficie con la manipulación de los polos de la superficie / puntos de control.

Superficie editada por polos

A partir de estas superficies creadas inicialmente, otras superficies se construyen utilizando métodos derivados, como las extensiones en offset o en ángulo de las superficies; oa través de puentes y mezclas entre grupos de superficies.

Superficies [ editar ]

La superficie de forma libre , o la superficie de forma libre , se utiliza en CAD y otros programas de gráficos de computadora para describir la piel de un elemento geométrico 3D. Las superficies de forma libre no tienen dimensiones radiales rígidas, a diferencia de las superficies regulares como los planos , cilindros y superficies cónicas. Se utilizan para describir formas como palas de turbinas , carrocerías de automóviles y cascos de barcos . Inicialmente desarrollado para las industrias automotriz y aeroespacial , la superficie de forma libre ahora se usa ampliamente en todas las disciplinas de diseño de ingeniería , desde productos de bienes de consumo hasta barcos. La mayoría de los sistemas actuales usanmatemáticas no uniformes de B-spline racional(NURBS) ^[1] para describir las formas superficiales; Sin embargo, hay otros métodos como las superficies de Gordon o las superficies de Coons .

Las formas de superficies de forma libre (y curvas) no se almacenan ni se definen en el software CAD en términos de ecuaciones polinomiales , sino por sus polos, grados y número de parches (segmentos con curvas spline). El grado de una superficie determina sus propiedades matemáticas, y puede verse como una representación de la forma por un polinomio con variables a la potencia del valor de grado. Por ejemplo, una superficie con un grado de 1 sería una superficie plana de sección transversal . Una superficie con grado 2 se curvaría en una dirección, mientras que una superficie de grado 3 podría (pero no necesariamente) cambiar una vez de curvatura cóncava a convexa . Algunos sistemas CAD utilizan el término orden en lugar degrado . El orden de un polinomio es uno mayor que el grado, y da el número de coeficientes en lugar del máximo exponente.

Ejemplo de mapa de polos de superficie

Los polos (a veces conocidos como puntos de control ) de una superficie definen su forma. Los bordes de la superficie natural están definidos por las posiciones de los polos primero y último. (Tenga en cuenta que una superficie puede tener límites recortados). Los polos intermedios actúan como imanes que dibujan la superficie en su dirección. Sin embargo, la superficie no atraviesa estos puntos. Los polos segundo y tercero, además de definir la forma, determinan respectivamente los ángulos de inicio y tangente y la curvatura . En una sola superficie de parche ( superficie Bézier), hay un polo más que los valores de grado de la superficie. Los parches de superficie se pueden combinar en una sola superficie NURBS; En estos puntos hay líneas de nudo. El número de nudos determinará la influencia de los polos en cada lado y la suavidad de la transición. La suavidad entre parches, conocida como continuidad , se refiere a menudo en términos de un valor de C :

• C0: solo tocando, podría tener un nick
• C1: tangente, pero podría tener un cambio repentino en la curvatura
• C2: los parches son curvatura continua entre sí.

Dos aspectos más importantes son los parámetros U y V Estos son valores en la superficie que van de 0 a 1, utilizados en la definición matemática de la superficie y para definir trayectorias en la superficie: por ejemplo, un borde de borde recortado. Tenga en cuenta que no están espaciados proporcionalmente a lo largo de la superficie. Una curva de constante U o constante V se conoce como curva isoperimétrica o línea U (V). En los sistemas CAD, las superficies a menudo se muestran con sus polos de valores constantes U o V constantes conectados entre sí mediante líneas; Estos son conocidos como polígonos de control .

Modelado [ editar ]

Al definir una forma, un factor importante es la continuidad entre las superficies: cuán bien se conectan entre sí.

Un ejemplo de donde sobresale la superficie son los paneles de carrocería de automóviles. La simple combinación de dos áreas curvas del panel con diferentes radios de curvatura, manteniendo la continuidad tangencial (lo que significa que la superficie mezclada no cambia de dirección repentinamente, pero sin problemas) no será suficiente. Deben tener una tasa continua de cambio de curvatura entre las dos secciones o, de lo contrario, sus reflejos aparecerán desconectados.

La continuidad se define utilizando los términos.

• G0 - posición (tocar)
• G1 - tangente (ángulo)
• G2 - curvatura (radio)
• G3 - aceleración (tasa de cambio de curvatura)

Para lograr una superficie NURBS o Bézier de alta calidad , generalmente se utilizan grados de 5 o más.

Historia de términos [ editar ]

El término lofting originalmente provenía de la industria de la construcción naval, donde los loftsmen trabajaron en estructuras tipo "loft granero" para crear las formas de quilla y mamparo a partir de madera. Esto luego se transfirió a la industria aeronáutica y luego a la automotriz que también requirieron formas aerodinámicas.

El término spline también tiene orígenes náuticos que provienen de la palabra del dialecto del este de Anglia para una tira larga y delgada de madera (probablemente del inglés antiguo y la férula de la palabra germánica).