FORMAS GEOMÉTRICAS - SUPERFICIES

La superficie lateral de un objeto es el área de todos los lados del objeto, excluyendo el área de su base y parte superior.

Para un cubo , el área de la superficie lateral sería el área de los cuatro lados. Considera el borde del cubo como$${\ displaystyle a}. El área de una cara cuadrada Una _cara  =  a  ⋅  a  =  a ² . Así, la superficie lateral de un cubo será el área de cuatro caras: a  ⋅  a  ⋅ 4 = 4 a ² . La superficie lateral también se puede calcular multiplicando el perímetro de la base por la altura del prisma . ^[1]

Para un cilindro circular derecho de radio r y altura h , el área lateral es el área de la superficie lateral del cilindro: A  = 2π rh .

Para una pirámide , el área de superficie lateral es la suma de las áreas de todas las caras triangulares pero excluyendo el área de la base.

Para un cono , el área de superficie lateral sería$${\ displaystyle \ pi rl} dónde $${\ displaystyle r} es el radio del círculo en la parte inferior del cono y $${\ displaystyle l}es la altura lateral (la longitud de un segmento de línea desde el vértice del cono a lo largo de su lado hasta su base) del cono (dada por el teorema de Pitágoras $${\ displaystyle l = {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}} dónde $${\ displaystyle h} es la altura del cono).

Cilindro circular recto con superficie lateral desenrollada

 la línea de mayor pendiente es una curva que sigue la pendiente más pronunciada . En ciclismo de montaña y esquí , la línea de mayor pendiente a veces se llama la línea de caída .

Definición [ editar ]

Matemáticamente, la línea (o trayectoria) de la mayor pendiente desde un punto está determinada por el gradiente de altura, que se toma como un campo potencial con respecto a una aceleración de la fuerza de la gravedad. Las líneas de mayor pendiente son análogas a las líneas de fuerza que actúan para acelerar un objeto hacia abajo en ese punto. ^{[ cita requerida ]} Estas líneas son ortogonales a las curvas de nivel . Al descontar las fuerzas inerciales y la rugosidad del terreno, una bola que rueda por una pendiente o el agua que fluye hacia abajo acelerará en la dirección de la mayor pendiente. ^{[ cita requerida ]}

Aplicaciones [ editar ]

Ciclismo de montaña [ editar ]

Un ciclista de montaña por un sendero que sigue la línea de mayor pendiente o línea de caída .

En ciclismo de montaña, la línea de mayor pendiente define la línea de caída , que es el camino que seguirá un sendero para descender una colina o montaña con el camino más corto, ^[1] y también hará que el ciclista gane la mayor velocidad (asumiendo que los frenos son no se utiliza, y otros factores como la resistencia a la rodadura son iguales).

Montañismo [ editar ]

La línea de mayor pendiente define el camino (rojo) que un escalador tomará para obtener la mayor elevación con el camino más corto posible.

En la escalada de montaña , la línea de mayor pendiente define la línea de caída, que es el camino que un escalador tomará para obtener la mayor elevación con el camino más corto posible.

Correspondencia de la lectura [ editar ]

La línea de mayor pendiente tiene un significado práctico en la lectura de mapas. En el terreno, a menudo es mucho más perceptible, incluso intuitivamente obvio, en lugar de seleccionar con precisión el nivel de altura constante en lo que es probable que sea el terreno irregular ondulado a lo largo del suelo representado en la línea de contorno. Pero sabiendo que un vector de pendiente mayor es ortogonal a la línea de contorno, uno puede deducir fácilmente la dirección de las líneas de contorno a partir de la línea de mayor pendiente. La extensión y la dirección general de la línea de contorno a una escala del mapa solo se pueden encontrar en el mapa topográfico.

Al observar el vector de la brújula correspondiente, al caminar a lo largo del contorno se puede alinear una brújula de mano alineando la dirección esperada, y al observar el nivel estimado de la línea del contorno, subir o bajar a lo largo del rodamiento más rápido, para ubicar el punto deseado. (punto previsto) a lo largo de la ladera. ^{[ aclaración necesaria ]}Pragmáticamente, esto puede ser 'lo suficientemente bueno' para proyectos de paisajismo, como el corte de madera de una estructura como el pilar de un puente o las rampas de conexión. La aproximación puede luego ser refinada por el tránsito y otras herramientas de topógrafo para construir en el objetivo.

 superficie de Liouville es un tipo de superficie que en coordenadas locales se puede escribir como un gráfico en R ³

$${\ displaystyle z = f (x, y)}

tal que la primera forma fundamental es de la forma

$${\ displaystyle ds ^ {2} = {\ big (} f_ {1} (x) + f_ {2} (y) {\ big)} \ left (dx ^ {2} + dy ^ {2} \ right ). \,}

A veces, una métrica de este formulario se denomina métrica de Liouville . Toda superficie de revolución es una superficie de Liouville.

superficie impregnada de líquido consiste en dos capas distintas. El primero es un sustrato altamente texturado o poroso con características lo suficientemente cerca para contener de manera estable la segunda capa, que es un líquido impregnante que llena los espacios entre las características. ^[1] El líquido debe tener una energía superficial bien adaptada al sustrato para formar una película estable. ^[2] Estas superficies bioimitan la carnívora planta lanzadora venezolana, que utiliza pelos de microescala para crear un tobogán de agua que hace que las hormigas se deslicen hasta la muerte. Las superficies resbaladizas están encontrando aplicaciones en productos comerciales, superficies antiincrustantes y dispositivos médicos resistentes a las biopelículas.

Las superficies tipo SLIPS tienen una serie de ventajas sobre las superficies superhidrofóbicas a base de loto tradicionales. El líquido que fluye libremente permite la creación de una superficie lisa con la capacidad de auto-reparación. Esta superficie lisa a menudo resulta en un ángulo de deslizamiento bajo para líquidos de alta y baja tensión superficial. Finalmente, las superficies SLIPS pueden hacerse ópticamente transparentes a diferencia de muchas superficies superhidrofóbicas tradicionales que dispersan la luz debido a que tienen una estructura en el mismo orden que la luz visible.

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Una aproximación a la superficie del monstruo del lago Ness. El monstruo debería ser infinitamente largo con un número infinito de bucles.

Un diagrama de una parte de una superficie de monstruo de Loch Ness.

En matemáticas , el monstruo de Loch Ness es una superficie con un género infinito pero solo un extremo . Apareció así llamado así en un artículo de 1981 de Sullivan & Phillips (1981) . La superficie se puede construir comenzando con un plano (que se puede considerar como la superficie de Loch Ness ) y agregando un número infinito de asas (que se puede considerar como bucles del monstruo de Loch Ness ).

curvatura media. $${\ displaystyle H}de una superficie $${\ displaystyle S}es una medida extrínseca de curvatura que proviene de la geometría diferencial y que describe localmente la curvatura de una superficie incrustada en algún espacio ambiental como el espacio euclidiano .

El concepto fue utilizado por Sophie Germain en su trabajo sobre la teoría de la elasticidad . ^[1] [2] Jean Baptiste Marie Meusnier lo usó en 1776, en sus estudios de superficies mínimas . Es importante en el análisis de superficies mínimas , que tienen una curvatura media cero, y en el análisis de las interfaces físicas entre fluidos (como las películas de jabón ) que, por ejemplo, tienen una curvatura media constante en flujos estáticos, según la ecuación de Young-Laplace. .

Definición [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle p} ser un punto en la superficie $${\ displaystyle S}. Cada plano a través$${\ displaystyle p} que contiene la línea normal para $${\ displaystyle S} cortes $${\ displaystyle S}en una curva (plana). La fijación de una elección de unidad normal da una curvatura firmada a esa curva. Como el plano es girado por un ángulo$${\ displaystyle \ theta}(siempre contiene la línea normal) que la curvatura puede variar. La curvatura máxima.$${\ displaystyle \ kappa _ {1}}y curvatura mínima$${\ displaystyle \ kappa _ {2}}Se conocen como las principales curvaturas de$${\ displaystyle S}.

La curvatura media en$${\ displaystyle p \ en S} es entonces el promedio de la curvatura firmada en todos los ángulos $${\ displaystyle \ theta}:

$${\ displaystyle H = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ kappa (\ theta) \; d \ theta}.

Al aplicar el teorema de Euler , esto es igual al promedio de las curvaturas principales ( Spivak 1999 , Volumen 3, Capítulo 2):

$${\ displaystyle H = {1 \ sobre 2} (\ kappa _ {1} + \ kappa _ {2}).}

Más generalmente ( Spivak 1999 , Volumen 4, Capítulo 7), para una hipersuperficie $${\ displaystyle T} la curvatura media se da como

$${\ displaystyle H = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ kappa _ {i}.}

Más abstractamente, la curvatura media es la traza de la segunda forma fundamental dividida por n (o, de manera equivalente, el operador de forma ).

Adicionalmente, la curvatura media. $${\ displaystyle H} Puede ser escrito en términos del derivado covariante. $${\ displaystyle \ nabla} como

$${\ displaystyle H {\ vec {n}} = g ^ {ij} \ nabla _ {i} \ nabla _ {j} X,}

utilizando las relaciones de Gauss-Weingarten, donde$${\ displaystyle X (x)} es una hipersuperficie embutida suavemente, $${\ displaystyle {\ vec {n}}} una unidad de vector normal, y $${\ displaystyle g_ {ij}}El tensor métrico .

Una superficie es una superficie mínima si y solo si la curvatura media es cero. Además, una superficie que evoluciona bajo la curvatura media de la superficie.$${\ displaystyle S}, se dice que obedece a una ecuación de tipo calor llamada ecuación de flujo de curvatura media .

La esfera es la única superficie incrustada de curvatura media positiva constante sin límite ni singularidades. Sin embargo, el resultado no es verdadero cuando la condición "superficie incrustada" se debilita a "superficie sumergida". ^[3]

Superficies en espacio 3D [ editar ]

Para una superficie definida en el espacio 3D, la curvatura media está relacionada con una unidad normal de la superficie:

$${\ displaystyle 2H = - \ nabla \ cdot {\ hat {n}}}

Donde lo normal elegido afecta al signo de la curvatura. El signo de la curvatura depende de la elección de lo normal: la curvatura es positiva si la superficie se curva hacia "lo normal". La fórmula anterior es válida para las superficies en el espacio 3D definidas de cualquier manera, siempre que se pueda calcular la divergencia de la unidad normal. La curvatura media también se puede calcular

$${\ displaystyle 2H = {\ text {Trace}} ((II) (I ^ {- 1}))}

donde I y II denotan matrices de formas cuadráticas primera y segunda, respectivamente.

Para el caso especial de una superficie definida como una función de dos coordenadas, p. Ej. $${\ displaystyle z = S (x, y)}, y utilizando la normal hacia arriba, la expresión de curvatura media (doble) es

{\ displaystyle {\ begin {alineado} 2H & = - \ nabla \ cdot \ left ({\ frac {\ nabla (zS)} {| \ nabla (zS) |}} \ right) \\ & = \ nabla \ cdot \ left ({\ frac {\ nabla S- \ nabla z} {\ sqrt {1+ | \ nabla S | ^ {2}}}} \ right) \\ & = {\ frac {\ left (1+ \ izquierda ({\ frac {\ parcial S} {\ parcial x}} \ derecha) ^ {2} \ derecha) {\ frac {\ parcial ^ {2} S} {\ parcial y ^ {2}}} - 2 {\ frac {\ parcial S} {\ parcial x}} {\ frac {\ parcial S} {\ parcial y}} {\ frac {\ parcial ^ {2} S} {\ parcial x \ parcial y}} + \ izquierda (1+ \ izquierda ({\ frac {\ parcial S} {\ parcial y}} \ derecha) ^ {2} \ derecha) {\ frac {\ parcial ^ {2} S} {\ parcial x ^ { 2}}}} {\ left (1+ \ left ({\ frac {\ partial S} {\ partial x}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ partial S} {\ partial y}} \ right) ^ {2} \ right) ^ {3/2}}}. \ end {alineado}}}

En particular en un punto donde $${\ displaystyle \ nabla S = 0}, la curvatura media es la mitad de la traza de la matriz de Hesse de $${\ displaystyle S}.

Si además se sabe que la superficie es axisimétrica con$${\ displaystyle z = S (r)},

$${\ displaystyle 2H = {\ frac {\ frac {\ parcial ^ {2} S} {\ parcial r ^ {2}}} {\ izquierda (1+ \ izquierda ({\ frac {\ parcial S} {\ parcial r}} \ derecha) ^ {2} \ derecha) ^ {3/2}}} + {\ frac {\ parcial S} {\ parcial r}} {\ frac {1} {r \ izquierda (1+ \ izquierda ({\ frac {\ parcial S} {\ parcial r}} \ derecha) ^ {2} \ derecha) ^ {1/2}}},}

dónde $${\ displaystyle {\ frac {\ parcial S} {\ parcial r}} {\ frac {1} {r}}} proviene de la derivada de $${\ displaystyle z = S (r) = S \ left (\ scriptstyle {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ right)}.

Forma implícita de curvatura media [ editar ]

La curvatura media de una superficie especificada por una ecuación implícita $${\ displaystyle F (x, y, z) = 0} se puede calcular utilizando el gradiente $${\ displaystyle \ nabla F = \ left ({\ frac {\ parcial F} {\ parcial x}}, {\ frac {\ parcial F} {\ parcial y}}, {\ frac {\ parcial F} {\ parcial z}} \ derecha)}y la matriz de Hesse

{\ displaystyle \ textstyle {\ mbox {Hess}} (F) = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ partial ^ {2} F} {\ partial x ^ {2}}} & {\ frac {\ parcial ^ {2} F} {\ parcial x \ parcial y}} & {\ frac {\ parcial ^ {2} F} {\ parcial x \ parcial z}} \\ {\ frac {\ parcial ^ {2} F} {\ parcial y \ parcial x}} & {\ frac {\ parcial ^ {2} F} {\ parcial y ^ {2}}} & {\ frac {\ parcial ^ {2} F} {\ parcial y \ parcial z}} \\ {\ frac {\ parcial ^ {2} F} {\ parcial z \ parcial x}} & {\ frac {\ parcial ^ {2} F} {\ parcial z \ parcial y} } & {\ frac {\ partial ^ {2} F} {\ partial z ^ {2}}} \ end {pmatrix}}.}

La curvatura media está dada por: ^[4] [5]

$${\ displaystyle H = {\ frac {\ nabla F \ {\ mbox {Hess}} (F) \ \ nabla F ^ {\ mathsf {T}} - | \ nabla F | ^ {2} \, {\ text {Rastreo}} ({\ mbox {Hess}} (F))} {2 | \ nabla F | ^ {3}}}}

Otra forma es como la divergencia de la unidad normal. Una unidad normal está dada por$${\ displaystyle {\ frac {\ nabla F} {| \ nabla F |}}} y la curvatura media es

$${\ displaystyle H = - {\ frac {1} {2}} \ nabla \ cdot \ left ({\ frac {\ nabla F} {| \ nabla F |}} \ right).}

Curvatura de la mecánica de fluidos significa [ editar ]

Una definición alternativa se usa ocasionalmente en la mecánica de fluidos para evitar factores de dos:

$${\ displaystyle H_ {f} = (\ kappa _ {1} + \ kappa _ {2}) \,}.

Esto da como resultado que la presión de acuerdo con la ecuación de Young-Laplace dentro de una gota esférica de equilibrio sea tiempos de tensión superficial$${\ displaystyle H_ {f}}; Las dos curvaturas son iguales al recíproco del radio de la gota.

$${\ displaystyle \ kappa _ {1} = \ kappa _ {2} = r ^ {- 1} \,}.

Superficies mínimas [ editar ]

Una representación de la superficie mínima de Costa.

Artículo principal: Superficie mínima.

Una superficie mínima es una superficie que tiene cero curvatura media en todos los puntos. Los ejemplos clásicos incluyen la superficie catenoide , helicoidal y Enneper . Los descubrimientos recientes incluyen la superficie mínima de Costa y el Gyroid .

Superficies CMC [ editar ]

Artículo principal: superficie de curvatura media constante

Una extensión de la idea de una superficie mínima son las superficies de curvatura media constante. Las superficies de la unidad de curvatura media constante en el espacio hiperbólicose denominan superficies de Bryant .