FORMAS GEOMÉTRICAS - SUPERFICIES

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Paraboloide de la revolución

En geometría , un paraboloide es una superficie cuadrática que tiene (exactamente) un eje de simetría y ningún centro de simetría . El término "paraboloide" se deriva de la parábola , que se refiere a una sección cónica que tiene la misma propiedad de simetría.

Hay dos tipos de paraboloide, elíptico e hiperbólico, según la naturaleza de las secciones transversales planas : un paraboloide es elíptico si las secciones transversales ortogonales al eje de simetría son elipses ; Hiperbólico si esas secciones transversales son hiperbolas . Las secciones transversales de ambos tipos paralelas al eje de simetría son parábolas.

De manera equivalente, un paraboloide se puede definir como una superficie cuadrática que no es un cilindro , y tiene una ecuación implícita cuya parte del grado dos se puede factorizar sobre los números complejos en dos factores lineales diferentes. El paraboloide es hiperbólico si los factores son reales; Elíptica si los factores son complejos conjugados .

Un paraboloide elíptico tiene forma de copa ovalada y tiene un punto máximo o mínimo cuando su eje es vertical. En un sistema de coordenadas adecuado con tres ejes x , y y z , se puede representar mediante la ecuación ^[1] : 892

$${\ displaystyle z = {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}}.}

donde a y b son constantes que dictan el nivel de curvatura en los planos xz e yz respectivamente. En esta posición, el paraboloide elíptico se abre hacia arriba.

Paraboloide hiperbólico

Un paraboloide hiperbólico (que no debe confundirse con un hiperboloide ) es una superficie doblemente gobernada con forma de silla de montar . En un sistema de coordenadas adecuado, un paraboloide hiperbólico se puede representar mediante la ecuación ^{[2] [3] : 896}

$${\ displaystyle z = {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} - {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}.}

En esta posición, el paraboloide hiperbólico se abre hacia abajo a lo largo del eje x y hacia arriba a lo largo del eje y (es decir, la parábola en el plano x = 0 se abre hacia arriba y la parábola en el plano y = 0 se abre hacia abajo).

Cualquier paraboloide (elíptico o hiperbólico) se puede considerar como una superficie de traslación en el sentido de geometría diferencial. Puede ser generado por una parábola móvil dirigida por una segunda parábola.

Propiedades y aplicaciones [ editar ]

Paraboloide elíptica [ editar ]

Con a = b, un paraboloide elíptico es un paraboloide de revolución : una superficie obtenida al girar una parábolaalrededor de su eje. Es la forma de los reflectores parabólicos utilizados en los espejos , antenas parabólicas y similares; y es también la forma de la superficie de un líquido giratorio, un principio utilizado en los telescopios de espejo líquido y en la fabricación de espejos de telescopio sólidos (ver horno de rotación ). Esta forma también se llama un paraboloide circular .

Rejilla de malla de superficie paraboloide

Superficie Paraboloide (0.5 transparencia)

Hay un punto llamado foco (o punto focal ) en el eje de un paraboloide circular, de modo que, si el paraboloide es un espejo, la luz de una fuente puntual en el foco se refleja en un haz paralelo, paralelo al eje del paraboloide Esto también funciona al revés: un haz de luz paralelo que incide en el paraboloide paralelo a su eje se concentra en el punto focal. Esto se aplica también a otras ondas, por lo tanto a las antenas parabólicas . Para una prueba geométrica, haga clic aquí .

• 

  Los rayos paralelos que entran en un espejo paraboloidal circular se reflejan en el punto focal, F o viceversa
• 

  reflector parabolico
• 

  girando el agua en un vaso

Secciones planas [ editar ]

Como secciones planas de un paraboloide elíptico con ecuación.

$${\ displaystyle z = {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}}}

uno obtiene los siguientes casos:

• una parábola , si el plano es paralelo al eje z,
• una elipse o un punto o vacío , si el plano no es paralelo al eje z.
• un punto , si el plano es un plano tangente .

Obviamente, cualquier paraboloide de revolución elíptico contiene círculos. Esto también es cierto, pero menos obvio, en el caso general (ver sección circular ).

Observación: un paraboloide elíptico es proyectivamente equivalente a una esfera.

Paraboloide hiperbólico [ editar ]

El paraboloide hiperbólico es una superficie doblemente gobernada : contiene dos familias de líneas sesgadasmutuamente . Las líneas en cada familia son paralelas a un plano común, pero no entre sí. De ahí que el paraboloide hiperbólico es un conoide .

Estas propiedades caracterizan a los paraboloides hiperbólicos y se usan en una de las definiciones más antiguas de paraboloides hiperbólicos: un paraboloide hiperbólico es una superficie que puede ser generada por una línea en movimiento que es paralela a un plano fijo y cruza dos líneas de sesgo fijas . Esta propiedad facilita la fabricación de un paraboloide hiperbólico a partir de una variedad de materiales y para una variedad de propósitos, desde techos de concreto hasta refrigerios.

Las papas fritas Pringles se parecen a un paraboloide hiperbólico truncado. ^[4] Su forma uniforme les permite apilarse en recipientes tubulares resistentes, y la fuerza de la forma paraboloide hiperbólica ayuda a evitar que se rompan mientras se apilan. ^[5]

• 

  El paraboloide hiperbólico es una superficie doblemente reglada , y por lo tanto puede usarse para construir un techo de silla de montar a partir de vigas rectas
 
• 

  Estación ferroviaria Warszawa Ochota, un ejemplo de una estructura hiperabólica de paraboloides
• 

  Pringles. Un ejemplo de un paraboloide hiperbólico.
 
• 

  Superficie que ilustra un paraboloide hiperbólico.

Ejemplos en arquitectura

• Catedral de Santa María, Tokio
• Catedral de Santa María de la Asunción , San Francisco, California
• Saddledome en Calgary, Alberta, Canadá
• Londres Velopark
• Dogra Hall, Instituto Indio de Tecnología de Delhi en Nueva Delhi, India

Secciones planas [ editar ]

Paraboloide hiperbólico con hiperbolas y parábolas.

Como secciones planas de un paraboloide hiperbólico con ecuación.

$${\ displaystyle z = {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}}}

uno obtiene los siguientes casos:

• una parábola , si el plano es paralelo al eje z con ecuación$${\ displaystyle ux + vy + w = ​​0, \ au \ neq \ pm bv},
• una línea , si el plano es paralelo al eje z con ecuación$${\ displaystyle ux + vy + w = ​​0, \ au = \ pm bv},
• un par de líneas que se intersecan , si el plano es un plano tangente,
• una hipérbola , si el plano no es paralelo al eje z y no es un plano tangente.

Observaciones:

1. Un paraboloide hiperbólico es una superficie reglada (contiene líneas), pero no se puede desarrollar (en este caso es diferente a un cilindro o cono).
2. La curvatura de Gauss en cualquier punto es negativa. Por lo tanto, es una superficie de silla de montar .
3. La unidad paraboloide hiperbólica con ecuación.$${\ displaystyle z = x ^ {2} -y ^ {2}} puede ser representado por $${\ displaystyle z = 2xy}después de una rotación alrededor del eje z con un ángulo de 45 ° grados.
4. Un paraboloide hiperbólico es proyectivamente equivalente a un hiperboloide de una hoja.

Cilindro entre lápices de paraboloides elípticos e hiperbólicos [ editar ]

Paraboloide elíptico, cilindro parabólico, paraboloide hiperbólico

El lápiz

{\ displaystyle z = x ^ {2} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}}, \ b> 0,}

de los paraboloides elipticos y el lapiz

{\ displaystyle z = x ^ {2} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}}, \ b> 0,}

De los paraboloides hiperbólicos se acercan a la misma superficie.

$${\ displaystyle z = x ^ {2}}

para $${\ displaystyle b \ rightarrow \ infty}, que es un cilindro parabólico (ver imagen).

Curvatura [ editar ]

El paraboloide elíptico, parametrizado simplemente como

$${\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} (u, v) = \ left (u, v, {\ frac {u ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {v ^ { 2}} {b ^ {2}}} \ right)}

tiene curvatura gaussiana

$${\ displaystyle K (u, v) = {\ frac {4} {a ^ {2} b ^ {2} \ left (1 + {\ frac {4u ^ {2}} {a ^ {4}}} + {\ frac {4v ^ {2}} {b ^ {4}}} \ right) ^ {2}}}}

y curvatura media

$${\ displaystyle H (u, v) = {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} + {\ frac {4u ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {4v ^ {2}} {b ^ {2}}}} {a ^ {2} b ^ {2} {\ sqrt {\ left (1 + {\ frac {4u ^ {2}} {a ^ {4} }} + {\ frac {4v ^ {2}} {b ^ {4}}} \ derecha) ^ {3}}}}}}

los dos son siempre positivos, tienen su máximo en el origen, se vuelven más pequeños a medida que un punto en la superficie se aleja del origen, y tienden asintóticamente a cero cuando dicho punto se aleja infinitamente del origen.

El paraboloide hiperbólico, ^[2] cuando se parametriza como

$${\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} (u, v) = \ left (u, v, {\ frac {u ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {v ^ { 2}} {b ^ {2}}} \ right)}

tiene curvatura gaussiana

$${\ displaystyle K (u, v) = {\ frac {-4} {a ^ {2} b ^ {2} \ left (1 + {\ frac {4u ^ {2}} {a ^ {4}} } + {\ frac {4v ^ {2}} {b ^ {4}}} \ derecha) ^ {2}}}}

y curvatura media

$${\ displaystyle H (u, v) = {\ frac {-a ^ {2} + b ^ {2} - {\ frac {4u ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac { 4v ^ {2}} {b ^ {2}}}} {a ^ {2} b ^ {2} {\ sqrt {\ left (1 + {\ frac {4u ^ {2}} {a ^ {4 }}} + {\ frac {4v ^ {2}} {b ^ {4}}} \ right) ^ {3}}}}}.}

La representación geométrica de la tabla de multiplicar [ editar ]

Si el paraboloide hiperbólico

$${\ displaystyle z = {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}}}

se gira con un ángulo de π/4 en la dirección + z (de acuerdo con la regla de la mano derecha ), el resultado es la superficie

$${\ displaystyle z = \ left ({\ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {2}} \ right) \ left ({\ frac {1} {a ^ {2}}} - { \ frac {1} {b ^ {2}}} \ derecha) + xy \ izquierda ({\ frac {1} {a ^ {2}}} + {\ frac {1} {b ^ {2}}} \Correcto)}

y si a = b entonces esto se simplifica a

$${\ displaystyle z = {\ frac {2xy} {a ^ {2}}}}.

Finalmente, dejando a = √ 2 , vemos que el paraboloide hiperbólico

$${\ displaystyle z = {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {2}}.}

es congruente con la superficie

$${\ displaystyle z = xy}

que puede considerarse como la representación geométrica (un nomograma tridimensional , por así decirlo ) de una tabla de multiplicar .

Las dos funciones paraboloidales ℝ ² → ℝ

$${\ displaystyle z_ {1} (x, y) = {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {2}}}

y

$${\ displaystyle z_ {2} (x, y) = xy}

Son conjugados armónicos , y juntos forman la función analítica.

$${\ displaystyle f (z) = {\ frac {z ^ {2}} {2}} = f (x + yi) = z_ {1} (x, y) + iz_ {2} (x, y)}

que es la continuación analítica de la ℝ → ℝ función parabólica f ( x ) = x ²/2 .

Dimensiones de un plato paraboloidal [ editar ]

Las dimensiones de un plato paraboloidal simétrico están relacionadas por la ecuación

$${\ displaystyle 4FD = R ^ {2},}

donde F es la distancia focal, D es la profundidad del plato (medida a lo largo del eje de simetría desde el vértice hasta el plano del borde), y R es el radio del borde. Todos ellos deben estar en la misma unidad de longitud . Si se conocen dos de estas tres longitudes, esta ecuación se puede utilizar para calcular la tercera.

Se necesita un cálculo más complejo para encontrar el diámetro del plato medido a lo largo de su superficie . Esto a veces se denomina "diámetro lineal" y es igual al diámetro de una lámina de material plana y circular, generalmente de metal, que es el tamaño correcto para cortar y doblar para hacer el plato. Dos resultados intermedios son útiles en el cálculo: P = 2 F (o el equivalente: P = R ²/2 D ) y Q = √ P ² + R ² , donde F , D , y RSe definen como antes. El diámetro del plato, medido a lo largo de la superficie, viene dado por

$${\ displaystyle {\ frac {RQ} {P}} + P \ ln \ left ({\ frac {R + Q} {P}} \ derecha),}

donde ln x significa el logaritmo natural de x , es decir, su logaritmo para basar e .

El volumen del plato, la cantidad de líquido que podría contener si el borde fuera horizontal y el vértice en la parte inferior (por ejemplo, la capacidad de un wok paraboloidal ), está dado por

$${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} R ^ {2} D,}

donde los símbolos se definen como anteriormente. Esto se puede comparar con las fórmulas para los volúmenes de un cilindro ( π R ² D ), un hemisferio ( 2π/3 R ² D , donde D = R ) y un cono ( π/3 R ² D ). π R ² es el área de apertura del plato, el área encerrada por el borde, que es proporcional a la cantidad de luz solar que un plato reflector puede interceptar. El área de superficie de un plato parabólico se puede encontrar usando la fórmula del área para unsuperficie de revolución que da

$${\ displaystyle A = {\ frac {\ pi R \ left ({\ sqrt {(R ^ {2} + 4D ^ {2}) ^ {3}}} - R ^ {3} \ right)} {6D ^ {2}}}.}