FORMAS GEOMÉTRICAS - SUPERFICIES

La rigidez de contacto normal es una cantidad física relacionada con el comportamiento de desplazamiento de fuerza generalizado de superficies rugosas en contacto con un cuerpo rígido o una segunda superficie rugosa similar. ^{[ cita requerida ]} A medida que dos cuerpos sólidos del mismo material se aproximan entre sí, pasan de las condiciones de no contacto al comportamiento homogéneo de tipo masivo. Los valores variables de rigidez y área de contacto real que se exhiben en una interfaz durante esta transición dependen de las condiciones de presión aplicada y son de gran importancia para el estudio de sistemas que involucran las interacciones físicas de múltiples cuerpos, incluida la materia granular , los contactos del electrodo yContactos térmicos , donde las estructuras localizadas en la interfaz gobiernan el rendimiento general del sistema. ^{[ cita requerida ]}

Estructura de la superficie [ editar ]

El papel de la estructura de la superficie en la mecánica de contacto normal, en términos de rigidez y área de contacto real, es un tema frecuentemente estudiado. ^{[ cita requerida ] Los} parámetros de rugosidad, dimensión fractaly geometría de asperidad a menudo se discuten ^{[ cita requerida ]} con referencia a su importancia en la mecánica de contacto de las superficies.

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Superficie de silla de montar con planos normales en direcciones de curvaturas principales .

Un plano normal es cualquier plano que contenga el vector normal de una superficie en un punto particular.

El plano normal también se refiere al plano perpendicular al vector tangente de una curva de espacio ; (este plano también contiene el vector normal) vea las fórmulas de Frenet-Serret .

Sección normal [ editar ]

La sección normal de una superficie en un punto particular es la curva producida por la intersección de esa superficie con un plano normal ^{[1] [2] [3]}

La curvatura de la sección normal se llama curvatura normal.

Si la superficie tiene forma de arco o cilindro, el máximo y el mínimo de estas curvaturas son las curvaturas principales.

Si la superficie tiene forma de silla, los máximos de ambos lados son las curvaturas principales.

El producto de las curvaturas principales es la curvatura gaussiana de la superficie. (negativo para superficies en forma de silla de montar)

La media de las curvaturas principales es la curvatura media de la superficie, si (y solo si) la curvatura media es cero, la superficie es una superficie mínima .

Para orientación de espacios vectoriales, ver orientación (matemáticas) .

Para otras aplicaciones, vea Orientación (desambiguación) .

Un toro es una superficie orientable.

La tira de Möbius es una superficie no orientable. Tenga en cuenta que el cangrejo violinista que se mueve a su alrededor ha girado hacia la izquierda y hacia la derecha con cada circulación completa. Esto no sucedería si el cangrejo estuviera en el toro.

La superficie romana no es orientable.

En matemáticas , la orientabilidad es una propiedad de las superficiesen el espacio euclidiano que mide si es posible hacer una elección consistente del vector normal de superficie en cada punto. Una opción de normal de superficie permite que uno use la regla de la mano derechapara definir una dirección "hacia la derecha" de los bucles en la superficie, como lo requiere el teorema de Stokes, por ejemplo. Más generalmente, la orientabilidad de una superficie abstracta, o variedad , mide si uno puede elegir constantemente una orientación "en el sentido de las agujas del reloj" para todos los bucles en la variedad. De manera equivalente, una superficie es orientable si una figura bidimensional comoen el espacio no se puede mover (continuamente) alrededor del espacio y volver a donde comenzó para que se vea como su propia imagen de espejo .

La noción de orientabilidad también puede generalizarse a variedades dedimensiones superiores . ^[1] Un colector se puede orientar si tiene una opción de orientación consistente , y un colector orientable conectadotiene exactamente dos orientaciones posibles diferentes. En este contexto, se pueden dar varias formulaciones equivalentes de orientabilidad, dependiendo de la aplicación deseada y el nivel de generalidad. Las formulaciones aplicables a las variedades topológicas generales a menudo emplean métodos de la teoría de homología , mientras que para las variedades diferenciables está presente más estructura, permitiendo una formulación en términos de formas diferenciales.. Una generalización importante de la noción de orientabilidad de un espacio es la de la orientabilidad de una familia de espacios parametrizados por algún otro espacio (un paquete de fibras ) para los cuales se debe seleccionar una orientación en cada uno de los espacios que varía continuamente con respecto a los cambios en Los valores de los parámetros.

Superficies orientables [ editar ]

En esta animación, se realiza una analogía simple utilizando un engranaje que gira de acuerdo con la regla de la mano derecha en el vector normal de una superficie. La orientación de las curvas dada por los límites está dada por la dirección en la que los puntos se mueven a medida que son empujados por el engranaje móvil. En una superficie no orientable, como la tira de Möbius, el límite tendría que moverse en ambas direcciones a la vez, lo que no es posible.

Una superficie S en el espacio euclidiano R ³ se puede orientar si una figura bidimensional (por ejemplo, ) no se puede mover alrededor de la superficie y regresar a donde comenzó para que se vea como su propia imagen de espejo ( ). De lo contrario la superficie no es orientable . Una superficie abstracta (es decir, una variedad bidimensional ) es orientable si un concepto consistente de rotación en el sentido de las agujas del reloj se puede definir en la superficie de una manera continua. Es decir, un bucle que circula en un sentido en la superficie nunca puede deformarse continuamente (sin superponerse) a un bucle que va en sentido opuesto. Esto resulta equivalente a la pregunta de si la superficie no contiene ningún subconjunto que sea Homeomorfos a la tira de Möbius . Por lo tanto, para las superficies, la tira de Möbius puede considerarse la fuente de toda la no orientabilidad.

Para una superficie orientable, una elección consistente de "en el sentido de las agujas del reloj" (en lugar de en sentido contrario a las agujas del reloj) se llama orientación , y la superficie se llama orientada . Para las superficies incrustadas en el espacio euclidiano, una orientación se especifica mediante la elección de una superficie normal n que varía continuamente en cada punto. Si tal normal existe, entonces siempre hay dos formas de seleccionarlo: n o - n . De manera más general, una superficie orientable admite exactamente dos orientaciones, y la distinción entre un Oriente ed superficie y un Oriente poderLa superficie es sutil y frecuentemente borrosa. Una superficie orientable es una superficie abstracta que admite una orientación, mientras que una superficie orientada es una superficie que se puede orientar de manera abstracta, y tiene la referencia adicional de una de las dos posibles orientaciones.

Ejemplos

La mayoría de las superficies que encontramos en el mundo físico son orientables. Las esferas , planos y torosson orientables, por ejemplo. Pero las tiras de Möbius , los planos proyectivos reales y las botellas de Klein no son orientables. Todos ellos, tal como se visualizan en 3 dimensiones, tienen un solo lado. El plano proyectivo real y la botella de Klein no se pueden incrustar en R ³ , solo se sumergen con intersecciones agradables.

Tenga en cuenta que, localmente, una superficie incrustada siempre tiene dos lados, por lo que una hormiga cerca de la vista que se arrastra en una superficie de un solo lado podría pensar que hay un "otro lado". La esencia de la parcialidad es que la hormiga puede arrastrarse de un lado a otro de la superficie sin pasar por la superficie o voltearse sobre un borde, sino simplemente arrastrándose lo suficiente.

En general, la propiedad de ser orientable no es equivalente a ser de dos caras; sin embargo, esto se mantiene cuando el espacio ambiente (como el R ³ anterior) es orientable. Por ejemplo, un toro incrustado en

$${\ displaystyle K ^ {2} \ times S ^ {1}}

puede ser de un solo lado, y una botella de Klein en el mismo espacio puede ser de dos lados; aquí$${\ displaystyle K ^ {2}} se refiere a la botella de Klein.

Orientación por triangulación.

Cualquier superficie tiene una triangulación : una descomposición en triángulos de modo que cada borde de un triángulo esté pegado como máximo a otro borde. Cada triángulo está orientado eligiendo una dirección alrededor del perímetro del triángulo, asociando una dirección a cada borde del triángulo. Si esto se hace de tal manera que, cuando se pegan entre sí, los bordes vecinos apuntan en la dirección opuesta, esto determina una orientación de la superficie. Tal elección solo es posible si la superficie es orientable, y en este caso hay exactamente dos orientaciones diferentes.

Si la figura puede colocarse de manera consistente en todos los puntos de la superficie sin convertirse en su imagen de espejo, esto inducirá una orientación en el sentido anterior en cada uno de los triángulos de la triangulación seleccionando la dirección de cada uno de ellos en función de la Ordena rojo-verde-azul de colores de cualquiera de las figuras en el interior del triángulo.

Este enfoque generaliza a cualquier n- múltiple que tenga una triangulación. Sin embargo, algunos 4-manifolds no tienen una triangulación, y en general para n > 4 algunos n- manifolds tienen triangulaciones que son desiguales.

Orientabilidad y homología.

Si H ₁ ( S ) denota el primer grupo de homología de una superficie S , entonces S es orientable si y solo si H ₁ ( S) tiene un subgrupo de torsión trivial . Más precisamente, si S es orientable, entonces H ₁ ( S ) es un grupo abeliano libre , y si no es así, H ₁ ( S ) = F + Z / 2 Z donde F es abeliano libre, y Z / 2 Zfactor se genera por la curva del medio en una banda de Möbius incrustado en S .

Orientabilidad de variedades [ editar ]

Sea M una n - nica topológica conectada . Hay varias definiciones posibles de lo que significa que M sea ​​orientable. Algunas de estas definiciones requieren que M tenga una estructura adicional, como ser diferenciable. Ocasionalmente, n = 0 debe convertirse en un caso especial. Cuando más de una de estas definiciones se aplica a M , entonces M es orientable bajo una definición si y solo si es orientable bajo las otras definiciones. ^[2] [3]

Orientabilidad de variedades diferenciables [ editar ]

Las definiciones más intuitivas requieren que M sea ​​una variedad diferenciable. Esto significa que las funciones de transición en el atlas de M son funciones C ¹ . Tal función admite un determinante jacobiano . Cuando el determinante jacobiano es positivo, se dice que la función de transición es la preservación de la orientación . Un atlas orientado en M es un atlas para el cual todas las funciones de transición son preservación de la orientación. M es orientable si admite un atlas orientado. Cuando n > 0 , una orientación de MEs un atlas de máxima orientación. (Cuando n = 0 , una orientación de M es una función M → {± 1 }).

La orientabilidad y las orientaciones también se pueden expresar en términos del paquete tangente. El haz tangente es un haz vectorial , por lo que es un haz de fibras con un grupo de estructura GL ( n , R ) . Es decir, las funciones de transición de la multiplicidad inducen funciones de transición en el haz tangente que son transformaciones lineales en forma de fibra. Si el grupo de estructura puede reducirse al grupo GL ⁺ ( n , R ) de matrices determinantes positivas, o de manera equivalente si existe un atlas cuyas funciones de transición determinan una orientación que preserva la transformación lineal en cada espacio tangente, entonces la variedadM es orientable. A la inversa, M es orientable si y solo si el grupo de estructura del haz tangente se puede reducir de esta manera. Se pueden hacer observaciones similares para el paquete de cuadros.

Otra forma de definir las orientaciones en una variedad diferenciable es a través de formas de volumen . Una forma de volumen es una sección en ninguna parte de fuga ω de ⋀ ⁿ T ^* M , el poder exterior superior del haz cotangente de M . Por ejemplo, R ⁿ tiene una forma de volumen estándar dada por dx ¹ ∧ ... ∧ dx ⁿ . Dado un formulario de volumen en M , la colección de todos los gráficos U → R ⁿ para los cuales el formulario de volumen estándar retrocede a un múltiplo positivo de ωEs un atlas orientado. La existencia de una forma de volumen es, por lo tanto, equivalente a la orientabilidad de la variedad.

Las formas de volumen y los vectores tangentes se pueden combinar para dar otra descripción de la orientabilidad. Si X ₁ , ..., X _n es una base de vectores tangentes en un punto p , entonces se dice que la base es diestra si if ( X ₁ , ..., X _n )> 0 . Una función de transición es la preservación de la orientación si y solo si envía bases diestras a bases diestras. La existencia de una forma de volumen implica una reducción del grupo de estructura del paquete tangente o del paquete de trama a GL ⁺ ( n , R ). Al igual que antes, esto implica la capacidad de orientación de M . A la inversa, si M es orientable, entonces las formas de volumen locales pueden parchearse juntas para crear una forma de volumen global, siendo necesaria la orientabilidad para asegurar que la forma global no se desvanezca.

Homología y la orientabilidad de las variedades generales [ editar ]

En el corazón de todas las definiciones anteriores de orientabilidad de una variedad diferenciable está la noción de una función de transición que preserva la orientación. Esto plantea la cuestión de qué funciones de transición están preservando exactamente. No pueden preservar una orientación de la variedad porque una orientación de la variedad es un atlas, y no tiene sentido decir que una función de transición conserva o no conserva un atlas del cual es miembro.

Esta pregunta puede resolverse definiendo orientaciones locales. En una variedad unidimensional, una orientación local alrededor de un punto p corresponde a una elección de izquierda y derecha cerca de ese punto. En un colector bidimensional, corresponde a una elección de sentido horario y antihorario. Estas dos situaciones comparten la característica común que se describen en términos de comportamiento de dimensiones superiores cerca de p, pero no en p . Para el caso general, sea M una multiplicidad- n topológica . Una orientación local de M alrededor de un punto p es una opción del generador del grupo

$${\ displaystyle H_ {n} (M, M \ setminus \ {p \}; \ mathbf {Z}).}

Para ver el significado geométrico de este grupo, elija un gráfico alrededor de p . En ese gráfico existe un entorno de p , que es una bola abierta B alrededor del origen O . Por el teorema de la escisión ,$${\ displaystyle H_ {n} (M, M \ setminus \ {p \}; \ mathbf {Z})} es isomorfo a $${\ displaystyle H_ {n} (B, B \ setminus \ {O \}; \ mathbf {Z})}. La bola B es contraíble, por lo que sus grupos de homología se desvanecen excepto en el grado cero, y el espacio B \ O es una esfera ( n - 1) , por lo que sus grupos de homología desaparecen excepto en los grados n - 1 y 0 . Un cálculo con la secuencia exacta larga en homología relativamuestra que el grupo de homología anterior es isomorfo a$${\ displaystyle H_ {n-1} (S ^ {n-1}; \ mathbf {Z}) \ cong \ mathbf {Z}}. Por lo tanto, una elección de generador corresponde a una decisión de si, en el gráfico dado, una esfera alrededor de p es positiva o negativa. Un reflejo de R ^{n a} través del origen actúa por negación sobre$${\ displaystyle H_ {n-1} (S ^ {n-1}; \ mathbf {Z})}, por lo que el significado geométrico de la elección del generador es que distingue los cuadros de sus reflexiones.

En una variedad topológica, una función de transición es la preservación de la orientación si, en cada punto pen su dominio, corrige los generadores de$${\ displaystyle H_ {n} (M, M \ setminus \ {p \}; \ mathbf {Z})}. A partir de aquí, las definiciones relevantes son las mismas que en el caso diferenciable. Un atlas orientado es uno para el cual todas las funciones de transición son preservación de la orientación, M es orientable si admite un atlas orientado, y cuando n > 0 , una orientación de M es un atlas orientado máximo.

Intuitivamente, una orientación de M debe definir una orientación local única de M en cada punto. Esto se hace preciso al observar que cualquier gráfico en el atlas orientado alrededor de p se puede usar para determinar una esfera alrededor de p , y esta esfera determina un generador de$${\ displaystyle H_ {n} (M, M \ setminus \ {p \}; \ mathbf {Z})}. Además, cualquier otro gráfico alrededor de p está relacionado con el primer gráfico por una función de transición que preserva la orientación, y esto implica que los dos gráficos producen el mismo generador, por lo que el generador es único.

También son posibles definiciones puramente homológicas. Suponiendo que M está cerrado y conectado, M es orientable si y sólo si el n -ésimo grupo de homología$${\ displaystyle H_ {n} (M; \ mathbf {Z})}es isomorfo a los números enteros Z . Una orientación de M es una elección del generador α de este grupo. Este generador determina un atlas orientado al fijar un generador del grupo cíclico infinito$${\ displaystyle H_ {n} (M; \ mathbf {Z})}y tomando los gráficos orientados como aquellos para los que α empuja hacia adelante al generador fijo. A la inversa, un atlas orientado determina un generador de este tipo, ya que las orientaciones locales compatibles pueden pegarse entre sí para proporcionar un generador para el grupo de homología$${\ displaystyle H_ {n} (M; \ mathbb {Z})}^[4] .

La orientación doble cubierta [ editar ]

Alrededor de cada punto de M hay dos orientaciones locales. Intuitivamente, hay una manera de moverse desde una orientación local en un punto p a una orientación local en un punto cercano p ′ : cuando los dos puntos se encuentran en el mismo diagrama de coordenadas U → R ⁿ , ese diagrama de coordenadas define orientaciones locales compatibles en p y p ′ . Por lo tanto, al conjunto de orientaciones locales se le puede dar una topología, y esta topología la convierte en una variedad.

Más precisamente, dejar que O sea el conjunto de todas las orientaciones locales de M . Para topologizar Oespecificaremos una subbase para su topología. Sea U un subconjunto abierto de M elegido de tal manera que$${\ displaystyle H_ {n} (M, M \ setminus U; \ mathbf {Z})}es isomorfo a z . Supongamos que α es un generador de este grupo. Para cada p en U , hay una función de empuje hacia adelante$${\ displaystyle H_ {n} (M, M \ setminus U; \ mathbf {Z}) \ a H_ {n} (M, M \ setminus \ {p \}; \ mathbf {Z})}. El codominio de este grupo tiene dos generadores, y α se asigna a uno de ellos. La topología en O se define para que

$${\ displaystyle \ {{\ text {Imagen de}} \ alpha {\ text {in}} H_ {n} (M, M \ setminus \ {p \}; \ mathbf {Z}) \ colon p \ en U \}}

Esta abierto.

Hay un mapa canónico π: O → M que envía una orientación local de p a p . Está claro que cada punto de Mtiene precisamente dos imágenes previas debajo de π . De hecho, π es aún un homeomorfismo local, ya que los preimages de los conjuntos abiertos U mencionados anteriormente son homeomorfo a la unión de la desunión de las dos copias de T . Si M es orientable, entonces M en sí es uno de estos conjuntos abiertos, por lo que O es la unión disjunta de dos copias de M . Si M no es orientable, sin embargo, entonces OEstá conectado y orientable. El colector O se denomina doble cubierta de orientación .

Manifolds con límite [ editar ]

Si M es un colector con límite, entonces una orientación de M se define como una orientación de su interior. Tal orientación induce una orientación de ∂ M . De hecho, supongamos que una orientación de M es fija. Sea U → R ⁿ ₊ una gráfica en un punto límite de M que, cuando está restringida al interior de M , está en el atlas orientado elegido. La restricción de esta tabla para ∂ M es un diagrama de ∂ M . Tales tablas de formar un atlas orientadas para ∂ M .

Cuando M es suave, en cada punto p de ∂ M , la restricción del haz tangente de M a ∂ M es isomorfa a T _p ∂ M ⊕ R , donde el vector normal que apunta hacia adentro describe el factor de R. La orientación de T _p ∂ M se define por la condición de que una base de T _p ∂ M esté orientada positivamente si y solo si, cuando se combina con el vector normal que apunta hacia adentro, define una base de T _p M orientada positivamente .

Doble portada orientable [ editar ]

Animación de la doble portada orientable de la tira de Möbius .

Una noción estrechamente relacionada utiliza la idea de cubrir el espacio . Para un colector Mconectado, tome M ^∗ , el conjunto de pares ( x , o) donde x es un punto de M y o es una orientación en x ; Aquí asumimos que M es suave, por lo que podemos elegir una orientación en el espacio tangente en un punto o usar una homología singular para definir la orientación. Luego, para cada subconjunto abierto y orientado de M , consideramos el conjunto correspondiente de pares y definimos que es un conjunto abierto de M ^∗ . Esto da M ^∗una topología y el envío de proyección ( x , o) a x es entonces un mapa de cobertura de 2 a 1. Este espacio de cobertura se denomina doble cubierta orientable , ya que es orientable. M ^∗ está conectado si y solo si M no es orientable.

Otra forma de construir esta cubierta es dividir los bucles basados ​​en un punto base en bucles de preservación de orientación o de inversión de orientación. Los bucles que preservan la orientación generan un subgrupo del grupo fundamental que es el grupo completo o el índice dos. En este último caso (lo que significa que hay una trayectoria de inversión de orientación), el subgrupo corresponde a una doble cobertura conectada; Esta portada es orientable por construcción. En el primer caso, uno puede simplemente tomar dos copias de M , cada una de las cuales corresponde a una orientación diferente.

Orientación de paquetes de vectores [ editar ]

Artículo principal: orientación de un paquete de vectores.

Un paquete de vector real , que a priori tiene un grupo de estructura GL (n) , se denomina orientable cuando el grupo de estructura puede reducirse a$${\ displaystyle GL ^ {+} (n)}, el grupo de matrices con determinante positivo . Para el haz tangente , esta reducción siempre es posible si el colector de la base subyacente es orientable y, de hecho, proporciona una manera conveniente de definir la orientabilidad de un colector real liso : un colector liso se define como orientable si su haz tangente es orientable ( como un paquete de vectores). Tenga en cuenta que como colector por derecho propio, el haz tangente es siempre orientable, incluso sobre colectores no orientables.

Ver también: clase de Euler.

Conceptos relacionados [ editar ]

Álgebra lineal [ editar ]

Artículo principal: Orientación (matemáticas).

La noción de orientabilidad se deriva esencialmente de la topología del grupo lineal general real

$${\ displaystyle \ operatorname {GL} (n, \ mathbf {R})}, específicamente que el grupo de homotopía más bajo es$${\ displaystyle \ pi _ {0} (\ operatorname {GL} (n, \ mathbf {R})) = \ mathbf {Z} / 2}

Una transformada invertible de un espacio vectorial real es la preservación de la orientación o la inversión de la orientación.

Esto es válido no solo para variedades diferenciables, sino también para variedades topológicas, ya que el espacio de equivalencias de homo- homotopía de una esfera también tiene dos componentes conectados , que pueden denominarse mapas de "preservación de la orientación" y "inversión de la orientación".

La noción análoga para el grupo simétrico es el grupo alternativo de permutaciones pares .

Geometría de Lorentz [ editar ]

En la geometría lorentziana , hay dos tipos de orientabilidad: orientabilidad del espacio y orientabilidad del tiempo. Estos juegan un papel en la estructura causal del espacio-tiempo. ^[5] En el contexto de la relatividad general , un espacio-tiempo.el colector es orientable al espacio si, cuando dos observadores diestros se dirigen a los cohetes desde el mismo punto del espacio-tiempo, y luego se reúnen de nuevo en otro punto, permanecen diestros entre sí. Si un espacio-tiempo es orientable en el tiempo, los dos observadores siempre estarán de acuerdo en la dirección del tiempo en ambos puntos de su reunión. De hecho, un espacio-tiempo es orientable en el tiempo si y solo si dos observadores pueden acordar cuál de las dos reuniones precedió a la otra. ^[6]

Formalmente, el grupo pseudo-ortogonal O ( p , q ) tiene un par de caracteres : el carácter de orientación espacial σ ₊ y el carácter de orientación temporal σ _- ,

$${\ displaystyle \ sigma _ {\ pm}: \ operatorname {O} (p, q) \ to \ {- 1, + 1 \}.}

Su producto σ = σ ₊ σ _- es el determinante, que da el carácter de orientación. Una orientación espacial de una variedad pseudo-riemanniana se identifica con una sección del paquete asociado

$${\ displaystyle \ operatorname {O} (M) \ times _ {\ sigma _ {+}} \ {- 1, + 1 \}}

donde O ( M ) es el conjunto de marcos pseudoortogonales. Del mismo modo, una orientación temporal es una sección del paquete asociado.

$${\ displaystyle \ operatorname {O} (M) \ times _ {\ sigma _ {-}} \ {- 1, + 1 \}.}