En matemáticas , el género ( géneros plurales ) tiene algunos significados diferentes, pero estrechamente relacionados. El concepto más común, el género de una superficie (orientable), es el número de "agujeros" que tiene. Esto se hace más preciso a continuación.
Topologia [ editar ]
Superficie orientable [ editar ]
El género de una superficie orientable y conectada es un número entero que representa el número máximo de cortes a lo largo de curvas simples cerradas que no se intersecan sin hacer que la variedad resultante se desconecte. [1] Es igual al número de manejadores en él. Alternativamente, se puede definir en términos de la característica de Euler χ , a través de la relación χ = 2 - 2 g para superficies cerradas, donde g es el género. Para superficies con b componentes de contorno, la ecuación lee χ = 2 - 2 g - b . En términos sencillos, es el número de "agujeros" que tiene un objeto ("agujeros" interpretados en el sentido de agujeros de rosquilla; se consideraría que una esfera hueca tiene cero agujeros en este sentido). Una dona, o toro, tiene 1 agujero. Una esfera tiene 0. La superficie verde representada arriba tiene 2 agujeros del tipo relevante.
Por ejemplo:
- La esfera S 2 y un disco tienen ambos género cero.
- Un toro tiene el género uno, al igual que la superficie de una taza de café con un asa. Esta es la fuente del chiste de que "los topólogos son personas que no pueden distinguir su donut desde su taza de café".
En el artículo sobre el polígono fundamental se proporciona una construcción explícita de las superficies del género g .
- Género de superficies orientables.
En términos más simples, el valor del género de una superficie orientable es igual al número de "agujeros" que tiene. [2]
Superficies no orientables [ editar ]
El género no orientable , demigenus o Euler de una superficie cerrada no orientable conectada es un número entero positivo que representa el número de casquetes cruzados unidos a una esfera . Alternativamente, se puede definir para una superficie cerrada en términos de la característica de Euler χ, a través de la relación χ = 2 - k , donde k es el género no orientable.
Por ejemplo:
- Un plano proyectivo tiene un género no orientable.
- Una botella de Klein tiene un género no orientable dos.
Nudo [ editar ]
El género de un nudo K se define como el género mínima de todas las superficies Seifert para K . [3] Sin embargo, una superficie Seifert de un nudo es una variedad con un límite , siendo el límite el nudo, es decir, homeomorfo al círculo unitario. El género de una superficie de este tipo se define como el género de los dos colectores, que se obtiene pegando el disco de la unidad a lo largo del límite.
Handlebody [ editar ]
El género de un cuerpo de asa tridimensional es un número entero que representa el número máximo de cortes a lo largo de los discos incrustados sin hacer que la variedad resultante se desconecte. Es igual al número de asas en él.
Por ejemplo:
- Una pelota tiene género cero.
- Un toro sólido D 2 × S 1 tiene el género uno.
La teoría de grafos [ editar ]
El género de una gráfica es el entero mínimo n, de modo que la gráfica se puede dibujar sin cruzarse sobre una esfera con n manejadores (es decir, una superficie orientada del género n ). Por lo tanto, una gráfica plana tiene el género 0, porque se puede dibujar en una esfera sin autocross.
El género no orientable de una gráfica es el número entero mínimo n, de modo que la gráfica se puede dibujar sin cruzarse sobre una esfera con n cruces (es decir, una superficie no orientable de género n (no orientable) ). (Este número también se llama demigenus ).
El género de Euler es el número entero mínimo n, de modo que el gráfico se puede dibujar sin cruzarse sobre una esfera con n cruces o con una esfera con n / 2 manejadores. [4]
En la teoría de grafos topológicos hay varias definiciones del género de un grupo . Arthur T. White introdujo el siguiente concepto. El género de un grupo G es el género mínimo de un (conectado, no dirigido) gráfico de Cayley para G .
Algebraic geometría [ editar ]
Hay dos definiciones relacionadas del género de cualquier esquema algebraico proyectivo X : el género aritmético y el género geométrico . [6] Cuando X es una curva algebraica con campo de definición, los números complejos , y si X no tiene puntos singulares , estas definiciones coinciden y coinciden con la definición topológica aplicada a la superficie de Riemann de X (su variedad de puntos complejos). Por ejemplo, la definición de curva elíptica de la geometría algebraica esCurva proyectiva conectada no singular del género 1 con un punto racional dado en ella .
donde s es el número de singularidades cuando se cuenta correctamente.
Biología [ editar ]
El género también se puede calcular para el gráfico abarcado por la red de interacciones químicas en ácidos nucleicos o proteínas. En particular, uno puede estudiar el crecimiento del género a lo largo de la cadena. Dicha función (llamada rastro del género) muestra la complejidad topológica y la estructura del dominio de las biomoléculas [7] .
superficie género de tres es una lisa cerrada superficie con tres agujeros, o, en otras palabras, una superficie de género tres. Puede obtenerse uniendo tres asas a una esfera o pegando (tomando la suma conectada ) de tres toros . A veces se le llama el triple toro .
- Varias representaciones de la superficie género tres.
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