FORMAS GEOMÉTRICAS - SUPERFICIES

El helicoide , después del plano y la catenoide , es la tercera superficie mínima que se conoce.

Un helicoide con α  = 1, −1 ≤  ρ  ≤ 1 y - π  ≤  θ  ≤  π .

Descripción [ editar ]

Fue descrito por Euler en 1774 y por Jean Baptiste Meusnier en 1776. Su nombre deriva de su similitud con la hélice : para cada punto del helicoide, hay una hélice contenida en el helicoide que pasa por ese punto. Dado que se considera que el rango planar se extiende a través de infinito negativo y positivo, la observación cercana muestra la aparición de dos planos paralelos o de espejo en el sentido de que si se rastrea la pendiente de un plano, se puede ver que el co-plano está anulado o omitido, aunque en realidad el co-plano también se remonta desde la perspectiva opuesta.

El helicoide también es una superficie reglada (y un conoide derecho ), lo que significa que es una traza de una línea. Alternativamente, para cualquier punto en la superficie, hay una línea en la superficie que pasa a través de ella. De hecho, el catalán demostró en 1842 que el helicoide y el avión eran las únicas superficies mínimasdescartadas . ^[1] .

Un helicoide es también una superficie de traslación en el sentido de geometría diferencial.

El helicoide y la catenoide son partes de una familia de superficies mínimas helicoides-catenoides.

El helicoide tiene forma de tornillo de Arquímedes , pero se extiende infinitamente en todas las direcciones. Se puede describir mediante las siguientes ecuaciones paramétricas en coordenadas cartesianas :

$${\ displaystyle x = \ rho \ cos (\ alpha \ theta), \}

$${\ displaystyle y = \ rho \ sin (\ alpha \ theta), \}

$${\ displaystyle z = \ theta, \}

donde ρ y θ rango de negativo infinito a positivo el infinito, mientras que α es una constante. Si α es positivo, entonces el helicoide es diestro como se muestra en la figura; Si es negativo, entonces zurdo.

El helicoide tiene curvaturas principales. $${\ displaystyle \ pm \ alpha / (1+ \ alpha ^ {2} \ rho ^ {2}) \}. La suma de estas cantidades proporciona la curvatura media (cero dado que el helicoide es una superficie mínima) y el producto proporciona la curvatura gaussiana .

El helicoide es homeomorfo al plano.$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}. Para ver esto, deje que alfa disminuya continuamente desde su valor dado hasta cero . Cada valor intermedio de α describirá un helicoide diferente, hasta que  se alcance α = 0 y el helicoide se convierta en un plano vertical .

A la inversa, un plano se puede convertir en un helicoide seleccionando una línea o eje en el plano, luego girando el plano alrededor de ese eje.

Por ejemplo, si uno toma h como el valor máximo en z y R el radio, el área de la superficie es

$${\ displaystyle \ pi \ left [R {\ sqrt {R ^ {2} + h ^ {2}}} + h ^ {2} \ ln \ left (R + {\ frac {\ sqrt {R ^ {2} + h ^ {2}}} {h}} \ right) \ right].}

Helicoide y catenoide [ editar ]

Animación que muestra la transformación de un helicoide en un catenoide.

El helicoide y la catenoide son superficies isométricas locales; Ver Catenoide # Transformación Helicoide .

Un homoeoide es una cáscara (una región limitada) delimitada por dos elipses concéntricas , similares (en 2D) o elipsoides (en 3D). ^[1] [2]Cuando el grosor de la cáscara se vuelve insignificante, se llama un homoeoide delgado . El nombre homoeoid fue acuñado por Lord Kelviny Peter Tait . 

Definición matemática [ editar ]

Si la capa exterior está dada por

$${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {2} } {c ^ {2}}} = 1}

con semiejes $${\ displaystyle a, b, c} la cáscara interna se da para $${\ displaystyle 0 \ leq m \ leq 1} por

$${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {2} } {c ^ {2}}} = m ^ {2}}.

El delgado homoeoide es entonces dado por el límite $${\ displaystyle m \ a 1}

Significado físico [ editar ]

Un homoeoide se puede utilizar como elemento de construcción de una distribución de materia o carga. El potencial gravitatorio o electromagnético de un homoeoide lleno homogéneamente de materia o carga es constante dentro de la concha. Esto significa que una masa o carga de prueba no sentirá ninguna fuerza dentro de la cubierta.

No debe confundirse con paraboloide hiperbólico , una superficie similar a una silla de montar.

Hiperboloide de una hoja

superficie cónica en medio

Hiperboloide de dos hojas.

En geometría , un hiperboloide de revolución, a veces llamado circular circular , es una superficieque se puede generar al girar una hipérbola alrededor de uno de sus ejes principales . Un hiperboloide es una superficie que puede obtenerse a partir de un hiperboloide de revolución al deformarlo por medio de escalas direccionales , o más generalmente, de una transformación afín .

Un hiperboloide es una superficie cuadrática , que es una superficie que puede definirse como el conjunto cerode un polinomio de grado dos en tres variables. Entre las superficies cuadráticas, un hiperboloide se caracteriza por no ser un cono o un cilindro , tener un centro de simetría e intersectar muchos planos en hipérbolas. Un hiperboloide tiene también tres pares perpendiculares ejes de simetría , y tres perpendiculares pairwise planos de simetría .

Dado un hiperboloide, si uno elige un sistema de coordenadas cartesiano cuyos ejes son ejes de simetría del hiperboloide, y el origen es el centro de simetría del hiperboloide, entonces el hiperboloide puede definirse por una de las dos ecuaciones siguientes:

$${\ displaystyle {x ^ {2} \ sobre a ^ {2}} + {y ^ {2} \ sobre b ^ {2}} - {z ^ {2} \ sobre c ^ {2}} = 1, }

o

$${\ displaystyle {x ^ {2} \ sobre a ^ {2}} + {y ^ {2} \ sobre b ^ {2}} - {z ^ {2} \ sobre c ^ {2}} = - 1 .}

Ambas superficies son asintóticas al cono de ecuación.

$${\ displaystyle {x ^ {2} \ sobre a ^ {2}} + {y ^ {2} \ sobre b ^ {2}} - {z ^ {2} \ sobre c ^ {2}} = 0. }

Uno tiene un hiperboloide de revolución si y solo si $${\ displaystyle a ^ {2} = b ^ {2}.}De lo contrario, los ejes se definen de forma única ( hasta el intercambio de la x eje x y la y eje y.

Hay dos tipos de hiperboloides. En el primer caso ( +1 en el lado derecho de la ecuación), uno tiene un hiperboloide de una hoja , también llamado hiperboloide hiperbólico . Es una superficie conectada , que tiene una curvatura gaussiana negativa en cada punto. Esto implica que el plano tangente en cualquier punto intersecta el hiperboloide en dos líneas y, por lo tanto, el hiperboloide de una hoja es una superficie doblemente gobernada .

En el segundo caso ( −1 en el lado derecho de la ecuación), uno tiene un hiperboloide de dos hojas , también llamado hiperboloide elíptico . La superficie tiene dos componentes conectados y una curvatura gaussiana positiva en cada punto. Por lo tanto, la superficie es convexa en el sentido de que el plano tangente en cada punto interseca la superficie solo en este punto.

Representaciones paramétricas [ editar ]

Animación de un hiperboloide de revolución.

Se pueden definir coordenadas cartesianas para los hiperboloides, similares a las coordenadas esféricas , manteniendo el ángulo de acimut θ ∈ [0, 2 π ) , pero cambiando la inclinación v en funciones trigonométricas hiperbólicas :

Hiperboloide de una superficie: v ∈ (−∞, ∞)

{\ displaystyle {\ begin {alineado} x & = a \ cosh v \ cos \ theta \\ y & = b \ cosh v \ sin \ theta \\ z & = c \ sinh v \ end {alineado}}}

Hiperboloide de dos superficies: v ∈ [0, ∞)

{\ displaystyle {\ begin {alineado} x & = a \ sinh v \ cos \ theta \\ y & = b \ sinh v \ sin \ theta \\ z & = \ pm c \ cosh v \ end {alineado}}}

hiperboloide de una hoja: generación por una hipérbola giratoria (arriba) y una línea (abajo: rojo o azul)

hiperboloide de una hoja: secciones planas

Propiedades de un hiperboloide de una hoja [ editar ]

Líneas en la superficie [ editar ]

• Un hiperboloide de una hoja contiene dos lápices de líneas. Es una superficie doblemente gobernada .

Si el hiperboloide tiene la ecuación. $${\ displaystyle {x ^ {2} \ sobre a ^ {2}} + {y ^ {2} \ sobre b ^ {2}} - {z ^ {2} \ sobre c ^ {2}} = 1} entonces las lineas

$${\ displaystyle g _ {\ alpha} ^ {\ pm}: {\ vec {x}} (t) = {\ begin {pmatrix} a \ cos \ alpha \\ b \ sin \ alpha \\ 0 \ end {pmatrix }} + t \ cdot {\ begin {pmatrix} -a \ sin \ alpha \\ b \ cos \ alpha \\\ pm c \ end {pmatrix}} \, \ quad t \ in \ mathbb {R}, \ 0 \ leq \ alpha \ leq 2 \ pi \}

Están contenidos en la superficie.

En caso de $${\ displaystyle a = b} El hiperboloide es una superficie de revolución y puede generarse girando una de las dos líneas $${\ displaystyle g_ {0} ^ {+}} o $${\ displaystyle g_ {0} ^ {-}}, que son sesgados al eje de rotación (ver imagen). La generación más común de un hiperboloide de revolución es rotar una hipérbola alrededor de su eje semi-menor (ver imagen).

Observación: un hiperboloide de dos hojas es proyectivamente equivalente a un paraboloide hiperbólico .

Secciones planas [ editar ]

Por simplicidad las secciones planas de la unidad hiperboloide con ecuación.$${\ displaystyle \ H_ {1}: x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2} = 1}son considerados. Debido a que un hiperboloide en posición general es una imagen afín de la unidad hiperboloide, el resultado también se aplica al caso general.

• Un plano con una pendiente menor que 1 (1 es la pendiente de las líneas en el hiperboloide) se interseca $${\ displaystyle H_ {1}}en una elipse ,
• Un plano con una pendiente igual a 1 que contiene el origen se interseca $${\ displaystyle H_ {1}}en un par de líneas paralelas ,
• Un plano con una pendiente igual a 1 que no contiene las intersecciones de origen $${\ displaystyle H_ {1}}en una parabola ,
• Un plano tangencial se interseca $${\ displaystyle H_ {1}}en un par de líneas que se cruzan ,
• Un plano no tangencial con una pendiente mayor que 1 intersecta $${\ displaystyle H_ {1}}en una hipérbola . ^[1]

Obviamente, cualquier hiperboloide de revolución de una hoja contiene círculos. Esto también es cierto, pero menos obvio, en el caso general (ver sección circular ).

Hiperboloide de dos hojas: generación por rotación de una hipérbola.

Hiperboloide de dos hojas: secciones planas.

Propiedades de un hiperboloide de dos hojas [ editar ]

El hiperboloide de dos hojas no contiene líneas. La discusión de las secciones planas se puede realizar para la unidad hiperboloide de dos hojas con la ecuación

$${\ displaystyle H_ {2}: \ x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2} = - 1}.

que puede ser generado por una hipérbola giratoria alrededor de uno de sus ejes (el que corta la hipérbola)

• Un plano con una pendiente menor que 1 (1 es la pendiente de las asíntotas de la hipérbola generadora) se interseca $${\ displaystyle H_ {2}}ya sea en una elipse o en un punto o en absoluto,
• Un plano con pendiente igual a 1 que contiene el origen (punto medio del hiperboloide) no se interseca $${\ displaystyle H_ {2}} ,
• Un plano con pendiente igual a 1 que no contiene las intersecciones de origen $${\ displaystyle H_ {2}}en una parabola ,
• Un plano con pendiente mayor a 1 intersecta. $${\ displaystyle H_ {2}}en una hipérbola . ^[2]

Obviamente, cualquier hiperboloide de revolución de dos hojas contiene círculos. Esto también es cierto, pero menos obvio, en el caso general (ver sección circular ).

Observación: un hiperboloide de dos hojas es proyectivamente equivalente a una esfera.

Representación paramétrica común [ editar ]

La siguiente representación paramétrica incluye hiperboloides de una hoja, dos hojas y su cono de límite común, cada uno con el $${\ displaystyle z}-El eje como eje de simetría.

$${\ displaystyle {\ vec {x}} (s, t) = \ left ({\ begin {array} {lll} a {\ sqrt {s ^ {2} + d}} \ cos t \\ b {\ sqrt {s ^ {2} + d}} \ sin t \\ cs \ end {array}} \ right)}

• por {\ displaystyle d> 0} se obtiene un hiperboloide de una hoja,
• por {\ displaystyle d <0 font=""> un hiperboloide de dos hojas, y
• por $${\ displaystyle d = 0} Un doble cono.

Se puede obtener una representación paramétrica de un hiperboloide con un eje de coordenadas diferente como el eje de simetría barajando la posición de la $${\ displaystyle cs} término al componente apropiado en la ecuación anterior.

Simetrias de un hiperboloide [ editar ]

Los hiperboloides con ecuaciones. $${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} - {\ frac {z ^ {2} } {c ^ {2}}} = 1, \ quad {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} } - {\ frac {z ^ {2}} {c ^ {2}}} = - 1 \} son

• Puntos simétricos al origen,
• simétrico a los planos de coordenadas y
• simetría rotacional al eje z y simétrica a cualquier plano que contenga el eje z, en el caso de$${\ displaystyle a = b}(hiperboloide de la revolución).

En la curvatura de un hiperboloide [ editar ]

Mientras que la curvatura gaussiana de un hiperboloide de una hoja es negativa, la de un hiperboloide de dos hojas es positiva. A pesar de su curvatura positiva, el hiperboloide de dos hojas con otra métrica elegida adecuadamente también se puede utilizar como modelo para la geometría hiperbólica.

Ecuaciones generalizadas [ editar ]

Más generalmente, un hiperboloide orientado arbitrariamente, centrado en v , se define por la ecuación

$${\ displaystyle (\ mathbf {xv}) ^ {\ mathrm {T}} A (\ mathbf {xv}) = 1,}

donde A es una matriz y x , v son vectores .

Los vectores propios de A definen las direcciones principales del hiperboloide y los valores propios de A son los recíprocos de los cuadrados de los semiejes:$${\ displaystyle {1 / a ^ {2}}}, $${\ displaystyle {1 / b ^ {2}}} y $${\ displaystyle {1 / c ^ {2}}}. El hiperboloide de una hoja tiene dos valores propios positivos y un valor propio negativo. El hiperboloide de dos hojas tiene un valor propio positivo y dos valores propios negativos.

En más de tres dimensiones [ editar ]

Los hiperboloides imaginarios se encuentran con frecuencia en las matemáticas de dimensiones superiores. Por ejemplo, en un espacio pseudo-euclidiano, uno tiene el uso de una forma cuadrática :

{\ displaystyle q (x) = \ left (x_ {1} ^ {2} + \ cdots + x_ {k} ^ {2} \ right) - \ left (x_ {k + 1} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} \ derecha), \ quad k

Cuando c es una constante , entonces la parte del espacio dada por

$${\ displaystyle \ lbrace x \: \ q (x) = c \ rbrace}

Se llama un hiperboloide . El caso degenerado corresponde a c = 0 .

Como ejemplo, considere el siguiente pasaje: ^[3]

... los vectores de velocidad siempre se encuentran en una superficie que Minkowski llama un hiperboloide de cuatro dimensiones, ya que, expresada en términos de coordenadas puramente reales ( y ₁ , ..., y ₄ ) , su ecuación es y 2 
1 + y 2 
2 + y 2 
3 - y 2 
4 = −1 , análogo al hiperboloide y 2 
1 + y 2 
2 - y 2 
3 = −1 del espacio tridimensional.

Sin embargo, el término cuasi-esfera también se usa en este contexto ya que la esfera y el hiperboloide tienen algo en común (ver § Relación con la esfera a continuación).

Estructura hiperboloide [ editar ]

Artículo principal: Estructura hiperboloide.

Los hiperboloides de una hoja se utilizan en la construcción, con las estructuras llamadas estructuras hiperboloides . Un hiperboloide es una superficie doblemente gobernada ; Por lo tanto, puede construirse con vigas de acero rectas, produciendo una estructura fuerte a un costo menor que otros métodos. Los ejemplos incluyen torres de enfriamiento , especialmente de centrales eléctricas , y muchas otras estructuras .

• Galería de estructuras hiperboloides de una lámina.
• 

  El faro de Adziogol , Ucrania , 1911.
 
• 

  Torre del puerto de Kobe , Japón , 1963.
 
• 

  Planetario James S. McDonnell del Saint Louis Science Center , St. Louis , Missouri , 1963.
• 

  Torre de control del aeropuerto internacional de Newcastle , Newcastle upon Tyne , Inglaterra , 1967.
 
• 

  Torre de transmisión Ještěd , República Checa , 1968.
 
• 

  Catedral de Brasilia , Brasil , 1970.
• 

  Torre de agua hiperboloidecon tanque toroidal , Ciechanów , Polonia , 1972.
 
• 

  Roy Thomson Hall , Toronto , Canadá , 1982.
 
• 

  La torre de enfriamiento THTR-300 para el reactor nuclear de torio ahora fuera de servicio en Hamm -Uentrop, Alemania , 1983.
• 

  La Corporación Street Bridge, Manchester , Inglaterra , 1999.
 
• 

  La torre de observación Killesberg , Stuttgart , Alemania , 2001.
 
• 

  BMW Welt , (BMW World), sede de museos y eventos, Munich , Alemania , 2007.
• 

  El rascacielos de la torre Tornado en Doha , Qatar , 2008.
 
• 

  La Torre de Cantón , China , 2010.
 
• 

  La torre de agua Essarts-le-Roi , Francia .

Relación con la esfera [ editar ]

En 1853, William Rowan Hamilton publicó sus Conferencias sobre cuaterniones que incluían la presentación de los biquaterniones . El siguiente pasaje de la página 673 muestra cómo Hamilton utiliza el álgebra biquaternión y los vectores de los cuaterniones para producir hiperboloides a partir de la ecuación de una esfera :

... la ecuación de la esfera unitaria ρ ² + 1 = 0 , y cambia el vector ρ a una forma de bivector , como σ + τ √ −1 . La ecuación de la esfera se divide en el sistema de los dos siguientes,

σ ² - τ ² + 1 = 0 , S . στ = 0 ;

y sugiere que consideremos σ y τ como dos vectores reales y rectangulares, de modo que

T τ = ( T σ ² - 1) ^1/2 .

Por lo tanto, es fácil inferir que si asumimos σ $${\ displaystyle \ paralelo} λ , donde λ es un vector en una posición dada, el nuevo vector real σ + τ terminará en la superficie de un hiperboloide equilátero y de doble hoja ; y que si, por otro lado, asumimos τ $${\ displaystyle \ paralelo} λ , entonces el lugar del extremo del vector real σ + τ será un hiperboloide equilátero, pero de una sola hoja . El estudio de estos dos hiperboloides está, por lo tanto, conectado de manera muy simple, a través de los biquaterniones, con el estudio de la esfera; ...

En este pasaje S es el operador que da la parte escalar de un cuaternión, y T es el "tensor", ahora llamado norma , de un cuaternión.

Una visión moderna de la unificación de la esfera y el hiperboloide utiliza la idea de una sección cónica como una rebanada de una forma cuadrática . En lugar de una superficie cónica , se requieren hipersuperficies cónicas en el espacio de cuatro dimensiones con puntos p = ( w , x , y , z ) ∈ R ⁴ determinados por formas cuadráticas . Primero consideremos la hipersuperficie cónica.

$${\ displaystyle P = \ lbrace p \: \ w ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} \ rbrace} y

$${\ displaystyle H_ {r} = \ lbrace p \: \ w = r \ rbrace,}que es un hiperplano .

Entonces $${\ displaystyle P \ cap H_ {r}}Es la esfera con radio r . Por otro lado, la hipersuperficie cónica.

$${\ displaystyle Q = \ lbrace p \: \ w ^ {2} + z ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} \ rbrace} proporciona eso $${\ displaystyle Q \ cap H_ {r}} Es un hiperboloide.

En la teoría de las formas cuadráticas , una cuasi-esfera unitaria es el subconjunto de un espacio cuadrático X que consiste en x ∈ X, de modo que la norma cuadrática de x es una.