FORMAS GEOMÉTRICAS - SUPERFICIES

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Saltar a navegaciónSaltar a búsqueda

Ilustración 3D del cuerno de gabriel.

El cuerno de Gabriel (también llamado trompeta de Torricelli ) es una figura geométrica que tiene una superficie infinita pero un volumen finito . El nombre se refiere a la tradición abrahámica que identifica al Arcángel Gabriel como el ángel que sopla el cuerno para anunciar el Día del Juicio, asociando lo divino, o infinito, con lo finito. Las propiedades de esta figura fueron estudiadas por primera vez por el físico y matemático italiano Evangelista Torricelli en el siglo XVII.

Definición matemática [ editar ]

Gráfico de $${\ displaystyle x \ mapsto {\ tfrac {1} {x}}}

El cuerno de Gabriel se forma tomando la gráfica de

$${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {1} {x}},}

con el dominio $${\ displaystyle x \ geq 1}y girándolo en tres dimensiones sobre el eje x . El descubrimiento se realizó utilizando el principio de Cavalieri antes de la invención del cálculo , pero hoy el cálculo se puede usar para calcular el volumen y el área de superficie de la bocina entre x = 1 y x = a , donde a > 1 . Usando la integración (vea Sólido de revolución y Superficie de revolución para más detalles), es posible encontrar el volumen V y el área de superficie A :

${\displaystyle V=\pi \int \limits _{1}^{a}\left({\frac {1}{x}}\right)^{2}\mathrm {d} x=\pi \left(1-{\frac {1}{a}}\right)}$

${\displaystyle A=2\pi \int \limits _{1}^{a}{\frac {1}{x}}{\sqrt {1+\left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)^{2}}}\mathrm {d} x>2\pi \int \limits _{1}^{a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}=2\pi \ln(a).}$

a puede ser tan grande como se requiera, pero se puede ver en la ecuación que el volumen de la parte de la bocina entre x = 1 y x = a nunca excederá de π ; sin embargo, se va a acercarse cada vez más a pi como unase hace más grande. Matemáticamente, el volumen se acerca a π como una tiende a infinito . Usando la notación límite de cálculo:

$${\ displaystyle \ lim _ {a \ to \ infty} V = \ lim _ {a \ to \ infty} \ pi \ left (1 - {\ frac {1} {a}} \ right) = \ pi \ cdot \ lim _ {a \ to \ infty} \ left (1 - {\ frac {1} {a}} \ right) = \ pi.}

La fórmula de área de superficie anterior proporciona un límite inferior para el área como 2 π veces el logaritmo natural de a . No hay ningún límite superior para el logaritmo natural de un como un tiende a infinito. Eso significa, en este caso, que la bocina tiene un área de superficie infinita. Es decir;

$${\ displaystyle \ lim _ {a \ to \ infty} A \ geq \ lim _ {a \ to \ infty} 2 \ pi \ ln (a) = \ infty.}

Aparente paradoja [ editar ]

Cuando se descubrieron las propiedades del cuerno de Gabriel, el hecho de que la rotación de una sección infinitamente grande del plano xy sobre el eje x genere un objeto de volumen finito se consideró paradójico . Mientras que la sección situada en el plano xy tiene un área infinita, cualquier otra sección paralela a ella tiene un área finita. Por lo tanto, el volumen, que se calcula a partir de la "suma ponderada" de las secciones, es finito.

Otro enfoque es tratar la bocina como una pila de discos con radios decrecientes. La suma de los radios produce una serie armónica que va hasta el infinito. Sin embargo, el cálculo correcto es la suma de sus cuadrados. Cada disco tiene un radio r = 1/x y un área π r ² o π/x ² . La serie 1/x diverge pero 1/x ² converge. En general, para cualquier ε real > 0 , 1/x ^1+ ε converge.

La aparente paradoja formó parte de una disputa sobre la naturaleza del infinito que involucra a muchos de los pensadores clave de la época, incluidos Thomas Hobbes , John Wallis y Galileo Galilei . ^[1]

Hay un fenómeno similar que se aplica a las longitudes y áreas en el plano. El área entre las curvas 1/x ² y -1/x ²desde 1 hasta el infinito es finita, pero las longitudes de las dos curvas son claramente infinitas.

La paradoja de pintor [ editar ]

Dado que la bocina tiene un volumen finito pero área de superficie infinita, existe una paradoja aparente de que la bocina podría llenarse con una cantidad finita de pintura y, sin embargo, esa pintura no sería suficiente para cubrir su superficie interna. La "paradoja" se resuelve al darse cuenta de que una cantidad finita de pintura puede cubrir un área de superficie infinita: simplemente necesita adelgazar a una velocidad suficientemente rápida. (Al igual que la serie 1/2 ^N se hace más pequeño lo suficientemente rápido que su suma es finito). En el caso en el que el cuerno se llena con la pintura, este adelgazamiento se logra por la creciente reducción en el diámetro de la garganta de la bocina.

Converse [ editar ]

El fenómeno inverso del cuerno de Gabriel, una superficie de revolución que tiene un área de superficie finitapero un volumen infinito , no puede ocurrir:

Teorema [ editar ]

Sea f  : [1, ∞) → [0, ∞) una función continuamente diferenciable. Escriba S para el sólido de revolución de la gráfica y = f ( x ) sobre el eje x . Si el área de superficie de S es finita, entonces también lo es el volumen.

Prueba [ editar ]

Como el área superficial lateral A es finita, el límite superior :

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ lim _ {t \ to \ infty} \ sup _ {x \ geq t} f (x) ^ {2} ~ - ~ f (1) ^ {2} & = \ limsup _ {t \ to \ infty} \ int \ limits _ {1} ^ {t} \ left (f (x) ^ {2} \ right) '\ mathrm {d} x \\ & \ leq \ int \ límites _ {1} ^ {\ infty} \ left | \ left (f (x) ^ {2} \ right) '\ right | \ mathrm {d} x = \ int \ limits _ {1} ^ {\ infty } 2f (x) \ left | f '(x) \ right | \ mathrm {d} x \\ & \ leq \ int \ limits _ {1} ^ {\ infty} 2f (x) {\ sqrt {1+ f '(x) ^ {2}}} \ mathrm {d} x = {\ frac {A} {\ pi}} \\ & <\ infty. \ end {alineado}}}

Por lo tanto, existe un t ₀ tal que el supremo sup {  f ( x ) | x ≥ t ₀ } es finito. Por lo tanto,

M = sup {  f ( x ) | x ≥ 1 } debe ser finito ya que f es una función continua , lo que implica que f está acotada en el intervalo [1, ∞) .

Finalmente, el volumen:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} V & = \ int \ limits _ {1} ^ {\ infty} f (x) \ cdot \ pi f (x) \ mathrm {d} x \\ & \ leq \ int \ límites _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {M} {2}} \ cdot 2 \ pi f (x) \ mathrm {d} x \\ & \ leq {\ frac {M} {2}} \ cdot \ int \ limits _ {1} ^ {\ infty} 2 \ pi f (x) {\ sqrt {1 + f '(x) ^ {2}}} \ mathrm {d} x = {\ frac { M} {2}} \ cdot A. \ end {alineado}}}

Por lo tanto: si el área A es finita, entonces el volumen V también debe ser finito.

el mapa de Gauss (llamado así por Carl F. Gauss ) mapea una superficie en el espacio euclidiano R ³ a la esfera unitaria S ² . Es decir, dada una superficie X situada en R ³ , el mapa de Gauss es un mapa continuo N : X → S ^{2, de} modo que N ( p ) es un vector unitario ortogonal a X en p , es decir, el vector normal a X en p .

El mapa de Gauss se puede definir (globalmente) solo si la superficie es orientable , en cuyo caso su grado es la mitad de la característica de Euler . El mapa de Gauss siempre se puede definir localmente (es decir, en una pequeña parte de la superficie). El determinante jacobiano del mapa de Gauss es igual a la curvatura gaussiana , y el diferencial del mapa de Gauss se denomina operador de forma .

Gauss escribió por primera vez un borrador sobre el tema en 1825 y lo publicó en 1827.

También hay un mapa de Gauss para un enlace , que calcula el número de enlace .

El mapa de Gauss proporciona un mapeo desde cada punto en una curva o superficie hasta un punto correspondiente en una esfera unitaria

Generalizaciones [ editar ]

El mapa de Gauss se puede definir para las hipersuperficies en R ⁿ como un mapa desde una hipersuperficie a la esfera unitaria S ^{n - 1}  ⊆  R ⁿ .

Para una orientada en general k - subvariedad de R ⁿ el mapa Gauss también se puede definir, y su espacio objetivo es la orientada Grassmannian $${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {k, n}}, es decir, el conjunto de todos los k- planos orientados en R ⁿ . En este caso, un punto en la sub-matriz se asigna a su subespacio tangente orientado. También se puede asignar a su subespacio normal orientado ; estos son equivalentes a$${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {k, n} \ cong {\ tilde {G}} _ {nk, n}}A través del complemento ortogonal. En el espacio 3 euclidiano , esto dice que un plano 2 orientado se caracteriza por una línea 1 orientada, equivalentemente un vector normal unitario (como$${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {1, n} \ cong S ^ {n-1}}), por lo tanto, esto es consistente con la definición anterior.

Por último, la noción de mapa Gauss se puede generalizar a una subvariedad orientada X de dimensión k en un orientado ambiente variedad de Riemann M de dimensión n . En ese caso, el mapa de Gauss luego pasa de X al conjunto de k- planos tangentes en el paquete de tangentes TM . El espacio objetivo para el mapa N de Gauss es un paquete de Grassmann construido en el paquete tangente TM . En el caso donde$${\ displaystyle M = \ mathbf {R} ^ {n}}, el paquete tangente está trivializado (por lo que el paquete de Grassmann se convierte en un mapa del Grassmanniano), y recuperamos la definición anterior.

Curvatura total [ editar ]

El área de la imagen del mapa de Gauss se denomina curvatura total y es equivalente a la integral de superficiede la curvatura gaussiana . Esta es la interpretación original dada por Gauss. El teorema de Gauss-Bonnetvincula la curvatura total de una superficie con sus propiedades topológicas .

$${\ displaystyle \ iint _ {R} | N_ {u} \ times N_ {v} | \ du \, dv = \ iint _ {R} K | X_ {u} \ times X_ {v} | \ du \, dv = \ iint _ {S} K \ dA}

Cúspides del mapa de Gauss [ editar ]

Una superficie con una línea parabólica y su mapa de Gauss. Una cresta pasa a través de la línea parabólica que da lugar a una cúspide en el mapa de Gauss.

El mapa de Gauss refleja muchas propiedades de la superficie: cuando la superficie tiene una curvatura gaussiana cero, (es decir, a lo largo de una línea parabólica ), el mapa de Gauss tendrá una catástrofe . Este pliegue puede contener cúspides y estas cúspides fueron estudiadas en profundidad por Thomas Banchoff , Terence Gaffney y Clint McCrory . Tanto las líneas parabólicas como la cúspide son fenómenos estables y permanecerán bajo ligeras deformaciones de la superficie. Las cúspides ocurren cuando:

1. La superficie tiene un plano bi-tangente.
2. Una cresta cruza una línea parabólica.
3. En el cierre del conjunto de puntos de inflexión de las curvas asintóticas de la superficie.

Hay dos tipos de cúspide: cúspide elíptica y cúspides hiperbólicas .

 ecuaciones de Gauss-Codazzi-Mainardi son ecuaciones fundamentales en la teoría de las hipersuperficies incrustadas en un espacio euclidiano y, en general, son sub-matrices de variedades riemannianas . También tienen aplicaciones para hipersuperficies incrustadas de variedades pseudo-riemannianas .

En la geometría diferencial clásica de las superficies , las ecuaciones de Gauss-Codazzi-Mainardi consisten en un par de ecuaciones relacionadas. La primera ecuación, a veces llamada ecuación de Gauss , relaciona la curvatura intrínseca (o curvatura de Gauss ) de la superficie con las derivadas del mapa de Gauss , a través de la segunda forma fundamental . Esta ecuación es la base para el teorema de Gauss . ^[1] La segunda ecuación, a veces llamada ecuación de Codazzi-Mainardi , es una condición estructural en las segundas derivadas del mapa de Gauss. Fue nombrado para Gaspare Mainardi (1856) yDelfino Codazzi (1868–1869), quien independientemente derivó el resultado, ^[2] aunque fue descubierto anteriormente por Karl Mikhailovich Peterson. ^[3] [4] Incorpora la curvatura extrínseca (o curvatura media ) de la superficie. Las ecuaciones muestran que los componentes de la segunda forma fundamental y sus derivados a lo largo de la superficie clasifican completamente la superficie hasta una transformación euclidiana , un teorema de Ossian Bonnet . 

Declaración formal [ editar ]

Deje i: M ⊂ P sea un n subvariedad incrustado -dimensional de una variedad de Riemann P de dimensión n + p . Hay una inclusión natural del paquete de la tangente de M en la de P por el pushforward , y la conúcleo es el fibrado normal de M :

$${\ displaystyle 0 \ rightarrow T_ {x} M \ rightarrow T_ {x} P | _ {M} \ rightarrow T_ {x} ^ {\ perp} M \ rightarrow 0.}

La métrica divide esta secuencia exacta corta , y así

$${\ displaystyle TP | _ {M} = TM \ oplus T ^ {\ perp} M.}

En relación con esta división, la conexión Levi-Civita of ′ de P se descompone en componentes tangenciales y normales. Para cada X ∈ T M y campo vectorial Y en M ,

$${\ displaystyle \ nabla '_ {X} Y = \ top (\ nabla' _ {X} Y) + \ bot (\ nabla '_ {X} Y).}

Dejar

$${\ displaystyle \ nabla _ {X} Y = \ top (\ nabla '_ {X} Y), \ quad \ alpha (X, Y) = \ bot (\ nabla' _ {X} Y).}

La fórmula de Gauss ^[6] ahora afirma que ∇ _X es la conexión de Levi-Civita para M , y α es una forma vectorial simétrica con valores en el paquete normal. A menudo se le conoce como la segunda forma fundamental .

Un corolario inmediato es la ecuación de Gauss . Para X , Y , Z , W ∈ T M ,

$${\ displaystyle \ langle R '(X, Y) Z, W \ rangle = \ langle R (X, Y) Z, W \ rangle + \ langle \ alpha (X, Z), \ alpha (Y, W) \ rangle - \ langle \ alpha (Y, Z), \ alpha (X, W) \ rangle}

donde R 'es el tensor de curvatura de Riemann de P y R es la de M .

La ecuación de Weingarten es un análogo de la fórmula de Gauss para una conexión en el paquete normal. Deje X ∈ T M y field un campo vectorial normal. Luego descomponga el derivado covariante ambiental de ξ a lo largo de X en componentes tangenciales y normales:

$${\ displaystyle \ nabla '_ {X} \ xi = \ top (\ nabla' _ {X} \ xi) + \ bot (\ nabla '_ {X} \ xi) = - A _ {\ xi} (X) + D_ {X} (\ xi).}

Entonces

1. La ecuación de Weingarten : $${\ displaystyle \ langle A _ {\ xi} X, Y \ rangle = \ langle \ alpha (X, Y), \ xi \ rangle}
2. D _X es una conexión métrica en el paquete normal.

Por lo tanto, hay un par de conexiones: ∇, definidas en el haz tangente de M ; y D , definido en el paquete normal de M . Estos se combinan para formar una conexión en cualquier producto tensor de copias de T M y T ^⊥ M . En particular, definieron la derivada covariante de α:

$${\ displaystyle ({\ tilde {\ nabla}} _ {X} \ alpha) (Y, Z) = D_ {X} \ left (\ alpha (Y, Z) \ right) - \ alpha (\ nabla _ { X} Y, Z) - \ alpha (Y, \ nabla _ {X} Z).}

La ecuación de Codazzi-Mainardi es

$${\ displaystyle \ bot \ left (R '(X, Y) Z \ right) = ({\ tilde {\ nabla}} _ {X} \ alpha) (Y, Z) - ({\ tilde {\ nabla} } _ {Y} \ alpha) (X, Z).}

Dado que cada inmersión es, en particular, una incrustación local, las fórmulas anteriores también son válidas para las inmersiones.

Ecuaciones de Gauss-Codazzi en la geometría diferencial clásica [ editar ]

Declaración de ecuaciones clásicas [ editar ]

En la geometría diferencial clásica de superficies, las ecuaciones de Codazzi-Mainardi se expresan a través de la segunda forma fundamental ( L , M , N ):

$${\ displaystyle L_ {v} -M_ {u} = L \ Gamma ^ {1} {} _ {12} + M (\ Gamma ^ {2} {} _ {12} - \ Gamma ^ {1} {} _ {11}) - N \ Gamma ^ {2} {} _ {11}}

$${\ displaystyle M_ {v} -N_ {u} = L \ Gamma ^ {1} {} _ {22} + M (\ Gamma ^ {2} {} _ {22} - \ Gamma ^ {1} {} _ {12}) - N \ Gamma ^ {2} {} _ {12}}

Derivación de las ecuaciones clásicas [ editar ]

Considere una superficie paramétrica en el espacio 3 euclidiano,

$${\ displaystyle \ mathbf {r} (u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v))}

donde las tres funciones de los componentes dependen suavemente de pares ordenados ( u , v ) en algún dominio abierto U en el plano uv . Supongamos que esta superficie es regular , lo que significa que los vectores r _u y r _v son linealmente independientes . Complete esto hasta una base { r _u , r _v , n }, seleccionando un vector unitario n normal a la superficie. Es posible expresar las segundas derivadas parciales de r usando los símbolos de Christoffel Y la segunda forma fundamental.

$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {uu} = \ Gamma ^ {1} {} _ {11} \ mathbf {r} _ {u} + \ Gamma ^ {2} {} _ {11} \ mathbf { r} _ {v} + L \ mathbf {n}}

$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {uv} = \ Gamma ^ {1} {} _ {12} \ mathbf {r} _ {u} + \ Gamma ^ {2} {} _ {12} \ mathbf { r} _ {v} + M \ mathbf {n}}

$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {vv} = \ Gamma ^ {1} {} _ {22} \ mathbf {r} _ {u} + \ Gamma ^ {2} {} _ {22} \ mathbf { r} _ {v} + N \ mathbf {n}}

El teorema de Clairaut establece que los derivados parciales conmutan:

$${\ displaystyle \ left (\ mathbf {r} _ {uu} \ right) _ {v} = \ left (\ mathbf {r} _ {uv} \ right) _ {u}}

Si diferenciamos r _uu con respecto a v y r _uv con respecto a u , obtenemos:

$${\ displaystyle \ left (\ Gamma ^ {1} {} _ {11} \ right) _ {v} \ mathbf {r} _ {u} + \ Gamma ^ {1} {} _ {11} \ mathbf { r} _ {uv} + \ left (\ Gamma ^ {2} {} _ {11} \ right) _ {v} \ mathbf {r} _ {v} + \ Gamma ^ {2} {} _ {11 } \ mathbf {r} _ {vv} + L_ {v} \ mathbf {n} + L \ mathbf {n} _ {v}} $${\ displaystyle = \ left (\ Gamma ^ {1} {} _ {12} \ right) _ {u} \ mathbf {r} _ {u} + \ Gamma ^ {1} {} _ {12} \ mathbf {r} _ {uu} + \ left (\ Gamma _ {12} ^ {2} \ right) _ {u} \ mathbf {r} _ {v} + \ Gamma ^ {2} {} _ {12} \ mathbf {r} _ {uv} + M_ {u} \ mathbf {n} + M \ mathbf {n} _ {u}}

Ahora sustituye las expresiones anteriores por las segundas derivadas y compara los coeficientes de n :

$${\ displaystyle M \ Gamma ^ {1} {} _ {11} + N \ Gamma ^ {2} {} _ {11} + L_ {v} = L \ Gamma ^ {1} {} _ {12} + M \ Gamma ^ {2} {} _ {12} + M_ {u}}

Al reorganizar esta ecuación se obtiene la primera ecuación de Codazzi-Mainardi.

La segunda ecuación se puede derivar de manera similar.

Curvatura media [ editar ]

Sea M un colector suave m- dimensional sumergido en el colector liso P ( m  +  k ) . Dejar$${\ displaystyle e_ {1}, e_ {2}, \ ldots, e_ {k}}ser un marco ortonormal local de los campos de vectores normales a M . Entonces podemos escribir,

$${\ displaystyle \ alpha (X, Y) = \ sum _ {j = 1} ^ {k} \ alpha _ {j} (X, Y) e_ {j}}

Si ahora $${\ displaystyle E_ {1}, E_ {2}, \ ldots, E_ {m}}es un marco ortonormal local (de campos de vectores tangentes) en el mismo subconjunto abierto de M , luego podemos definir las curvaturas medias de la inmersión por

$${\ displaystyle H_ {j} = \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ alpha _ {j} (E_ {i}, E_ {i})}

En particular, si M es una hipersuperficie de P , es decir,$${\ displaystyle k = 1}, entonces solo hay una curvatura media para hablar. La inmersión se llama mínima si todas las$${\ displaystyle H_ {j}} son idénticamente cero.

Observe que la curvatura media es una traza, o promedio, de la segunda forma fundamental, para cualquier componente dado. A veces, la curvatura media se define multiplicando la suma en el lado derecho por$${\ displaystyle 1 / m}.

Ahora podemos escribir las ecuaciones de Gauss-Codazzi como

$${\ displaystyle \ langle R '(X, Y) Z, W \ rangle = \ langle R (X, Y) Z, W \ rangle + \ sum _ {j = 1} ^ {k} \ alpha _ {j} (X, Z) \ alpha _ {j} (Y, W) - \ alpha _ {j} (Y, Z) \ alpha _ {j} (X, W)}

Contratando el $${\ displaystyle Y, Z} componentes nos da

$${\ displaystyle Ric '(X, W) = Ric (X, W) + \ sum _ {j = 1} ^ {k} \ langle R' (X, e_ {j}) e_ {j}, W \ rangle + \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {m} \ alpha _ {j} (X, E_ {i}) \ alpha _ {j} (E_ {i}, W) \ right) -H_ { j} \ alpha _ {j} (X, W)}

Observe que el tensor entre paréntesis es simétrico y no negativo-definido en $${\ displaystyle X, W}. Suponiendo que M es una hipersuperficie, esto se simplifica a

$${\ displaystyle Ric '(X, W) = Ric (X, W) + \ langle R' (X, n) n, W \ rangle + \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {m} h ( X, E_ {i}) h (E_ {i}, W) \ derecha) -Hh (X, W)}

dónde $${\ displaystyle n = e_ {1}} y $${\ displaystyle h = \ alpha _ {1}} y $${\ displaystyle H = H_ {1}}. En ese caso, una contracción más cede,

$${\ displaystyle R '= R + 2Ric' (n, n) + \ | h \ | ^ {2} -H ^ {2}}

dónde $${\ displaystyle R '} y $${\ displaystyle R} son las respectivas curvaturas escalares, y

$${\ displaystyle \ | h \ | ^ {2} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {m} h (E_ {i}, E_ {j}) ^ {2}}

Si {\ displaystyle k> 1}, la ecuación de curvatura escalar podría ser más complicada.

Ya podemos usar estas ecuaciones para sacar algunas conclusiones. Por ejemplo, cualquier inmersión mínima ^[7]en la esfera redonda$${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {m + k + 1} ^ {2} = 1} debe ser de la forma

$${\ displaystyle \ triangle x_ {j} + \ lambda x_ {j} = 0}

dónde $${\ displaystyle j} corre de 1 a $${\ displaystyle m + k + 1} y

$${\ displaystyle \ triangle = \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ nabla _ {E_ {i}} \ nabla _ {E_ {i}}}

es el laplaciano en M , y{\ displaystyle \ lambda> 0} Es una constante positiva.