FORMAS GEOMÉTRICAS - SUPERFICIES

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De izquierda a derecha: una superficie de curvatura gaussiana negativa ( hiperboloide ), una superficie de curvatura gaussiana cero ( cilindro ) y una superficie de curvatura gaussiana positiva ( esfera ).

Algunos puntos en el toro son positivos, otros negativos y otros tienen curvatura gaussiana cero.

En geometría diferencial , la curvatura gaussiana o la curvatura de Gauss Κ de una superficie en un punto es el producto de las curvaturas principales , κ ₁ y κ ₂ , en el punto dado:

$${\ displaystyle \ mathrm {K} = \ kappa _ {1} \ kappa _ {2}.}

Por ejemplo, una esfera de radio r tiene una curvatura gaussiana 1 / r ^{2 en} todas partes, y un plano y un cilindro tienen una curvatura gaussiana 0 en todas partes. La curvatura gaussiana también puede ser negativa, como en el caso de un hiperboloide o el interior de un toro .

La curvatura gaussiana es una medida intrínseca de la curvatura , que depende solo de las distancias que se miden en la superficie, no de la forma en que está incrustada isométricamente en el espacio euclidiano. Este es el contenido del Teorema egregium .

La curvatura gaussiana lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss , quien publicó el Teorema egregium en 1827.

Definición informal [ editar ]

Sillín de superficie con planos normales en direcciones de curvaturas principales.

En cualquier punto de una superficie, podemos encontrar un vector normal que está en ángulo recto con la superficie; Los planos que contienen el vector normal se denominan planos normales . La intersección de un plano normal y la superficie formarán una curva llamada sección normal y la curvatura de esta curva es la curvatura normal . Para la mayoría de los puntos en la mayoría de las superficies, diferentes secciones normales tendrán diferentes curvaturas; Los valores máximo y mínimo de estos se denominan curvaturas principales , se llaman estos κ ₁ , κ ₂ . La curvatura gaussiana es el producto de las dos curvaturas principales Κ = κ ₁κ ₂ .

El signo de la curvatura gaussiana se puede utilizar para caracterizar la superficie.

• Si ambas curvaturas principales tienen el mismo signo: κ ₁ κ ₂ > 0 , entonces la curvatura gaussiana es positiva y se dice que la superficie tiene un punto elíptico. En dichos puntos, la superficie será como una cúpula, localmente en un lado de su plano tangente. Todas las curvaturas seccionales tendrán el mismo signo.
• Si las curvaturas principales tienen signos diferentes: κ ₁ κ ₂ <0 font=""> , entonces la curvatura gaussiana es negativa y se dice que la superficie tiene un punto hiperbólico o de silla de montar . En tales puntos, la superficie tendrá forma de silla de montar. Debido a que una curvatura principal es negativa, una es positiva y la curvatura normal varía continuamente si gira un plano ortogonal a la superficie alrededor de lo normal a la superficie en dos direcciones, las curvaturas normales serán cero, lo que dará las curvas asintóticas para ese punto.
• Si una de las curvaturas principales es cero: κ ₁ κ ₂ = 0 , la curvatura gaussiana es cero y se dice que la superficie tiene un punto parabólico.

La mayoría de las superficies contendrán regiones de curvatura gaussiana positiva (puntos elípticos) y regiones de curvatura gaussiana negativa separadas por una curva de puntos con una curvatura gaussiana cero llamada línea parabólica .

Relación con las geometrías [ editar ]

Cuando una superficie tiene una curvatura gaussiana constante cero, entonces es una superficie desarrollable y la geometría de la superficie es geometría euclidiana .

Cuando una superficie tiene una curvatura gaussiana positiva constante, entonces es una esfera y la geometría de la superficie es una geometría esférica .

Cuando una superficie tiene una curvatura gaussiana negativa constante, es una superficie pseudoesférica y la geometría de la superficie es una geometría hiperbólica .

Más discusión informal [ editar ]

En geometría diferencial , las dos curvaturas principales en un punto dado de una superficie son los valores propios del operador de forma en el punto. Miden cómo la superficie se dobla en diferentes cantidades en diferentes direcciones en ese punto. Representamos la superficie mediante el teorema de la función implícitacomo la gráfica de una función, f , de dos variables, de tal manera que el punto p es un punto crítico, es decir, el gradiente de f desaparece (esto siempre puede lograrse mediante una movimiento rígido adecuado). Entonces, la curvatura gaussiana de la superficie en p es el determinante de la matriz de Hess.de f (siendo el producto de los valores propios de la arpillera). (Recuerde que el Hessian es la matriz de 2 por 2 de las segundas derivadas). Esta definición le permite a uno captar inmediatamente la distinción entre copa / tapa y punto de silla de montar.

Definiciones alternativas [ editar ]

También es dado por

$${\ displaystyle \ mathrm {K} = {\ frac {\ langle (\ nabla _ {2} \ nabla _ {1} - \ nabla _ {1} \ nabla _ {2}) \ mathbf {e} _ {1 }, \ mathbf {e} _ {2} \ rangle} {\ det g}},}

dónde $${\ displaystyle \ nabla _ {i} = \ nabla _ {{\ mathbf {e}} _ {i}}}es el derivado covariante y g es el tensor métrico .

En un punto p en una superficie regular en R ³ , la curvatura gaussiana también viene dada por

$${\ displaystyle K (\ mathbf {p}) = \ det (S (\ mathbf {p})),

donde S es el operador de forma .

Una fórmula útil para la curvatura gaussiana es la ecuación de Liouville en términos del laplaciano en coordenadas isotérmicas .

Curvatura total [ editar ]

La suma de los ángulos de un triángulo en una superficie de curvatura negativa es menor que la de un triángulo plano.

La integral de superficie de la curvatura gaussiana sobre alguna región de una superficie se denomina curvatura total . La curvatura total de un triángulo geodésico es igual a la desviación de la suma de sus ángulos de π. La suma de los ángulos de un triángulo en una superficie de curvatura positiva excederá de π, mientras que la suma de los ángulos de un triángulo en una superficie de curvatura negativa será menor que π. En una superficie de curvatura cero, como el plano euclidiano , los ángulos sumarán exactamente π radianes.

$${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ theta _ {i} = \ pi + \ iint _ {T} K \, dA.}

Un resultado más general es el teorema de Gauss-Bonnet .

Teoremas importantes [ editar ]

Theorema egregium [ editar ]

Artículo principal: Theorema Egregium

Theorema Egregium de Gauss (en latín: "teorema notable") establece que la curvatura gaussiana de una superficie se puede determinar a partir de las medidas de longitud en la superficie misma. De hecho, se puede encontrar dado el pleno conocimiento de la primera forma fundamental y se expresa a través de la primera forma fundamental y sus derivadas parciales de primer y segundo orden. De manera equivalente, el determinante de la segunda forma fundamental de una superficie en R ³ puede expresarse así. La característica "notable" y sorprendente de este teorema es que, aunque la definición de la curvatura gaussiana de una superficie S en R ³Sin duda, depende de la forma en que se ubique la superficie en el espacio, el resultado final, la curvatura gaussiana en sí misma, está determinada por la métrica intrínseca de la superficie sin ninguna referencia adicional al espacio ambiental: es un invariante intrínseco . En particular, la curvatura gaussiana es invariante bajo deformaciones isométricas de la superficie.

En la geometría diferencial contemporánea , una "superficie", vista de manera abstracta, es una variedad diferenciable bidimensional . Para conectar este punto de vista con la teoría clásica de las superficies , dicha superficie abstracta se incrusta en R ³ y está dotada de la métrica riemanniana dada por la primera forma fundamental. Supongamos que la imagen de la incrustación es una superficie S en R ³ . Una isometría local es un difeomorfismo f : U → V entre regiones abiertas de R ³cuya restricción a S ∩ U es una isometría sobre su imagen. Theorema Egregium se expresa a continuación como sigue:

La curvatura gaussiana de una superficie lisa incrustada en R ³ es invariante en las isometrías locales.

Por ejemplo, la curvatura gaussiana de un tubo cilíndrico es cero, la misma que para el tubo "desenrollado" (que es plano). ^[1] Por otro lado, dado que una esfera de radio R tiene una curvatura positiva constante R ⁻² y un plano tiene una curvatura constante 0, estas dos superficies no son isométricas, incluso localmente. Por lo tanto, cualquier representación plana de incluso una parte de una esfera debe distorsionar las distancias. Por lo tanto, ninguna proyección cartográfica es perfecta.

Gauss-Bonnet teorema [ editar ]

Artículo principal: Teorema de Gauss-Bonnet.

El teorema de Gauss-Bonnet vincula la curvatura total de una superficie con su característica de Euler y proporciona un vínculo importante entre las propiedades geométricas locales y las propiedades topológicas globales.

Las superficies de curvatura constante [ editar ]

• El teorema de Minding (1839) establece que todas las superficies con la misma curvatura constante K son localmente isométricas. Una consecuencia del teorema de Minding es que cualquier superficie cuya curvatura es idénticamente cero puede construirse doblando alguna región plana. Tales superficies se llamansuperficies desarrollables . Minding también planteó la cuestión de si una superficie cerrada con una curvatura positiva constante es necesariamente rígida.
• El teorema de Liebmann (1900) respondió la pregunta de Minding. Las únicassuperficiesregulares (de claseC ² ) cerradas en R ³ con curvatura gaussiana positiva constante son las esferas . ^[2] Si una esfera se deforma, no permanece como una esfera, lo que demuestra que una esfera es rígida. Una prueba estándar utiliza el lema de Hilbert de que lospuntosno umbilicales de curvatura principal extrema tienen una curvatura gaussiana no positiva. ^[3]
• El teorema de Hilbert (1901) establece que no existe unasuperficie regularanalítica completa (clase C ^ω ) enR ³ de curvatura gaussiana negativa constante. De hecho, la conclusión también es válida para superficies de clase C ² inmersas en R ³ , pero se descompone parasuperficies C ¹ . La pseudosfera tiene una curvatura gaussiana negativa constante, excepto en su cúspide singular. ^[4]

Fórmulas alternativas [ editar ]

• La curvatura gaussiana de una superficie en R ³ puede expresarse como la relación de los determinantes de la segunda y primera forma fundamental:

$${\ displaystyle K = {\ frac {\ det (\ mathrm {I \! I})} {\ det (\ mathrm {I})}} = {\ frac {LN-M ^ {2}} {EG- F ^ {2}}}.}

• La fórmula de Brioschi le da a la curvatura gaussiana únicamente en términos de la primera forma fundamental:

{\ displaystyle K = {\ frac {{\ begin {vmatrix} - {\ frac {1} {2}} E_ {vv} + F_ {uv} - {\ frac {1} {2}} G_ {uu} & {\ frac {1} {2}} E_ {u} & F_ {u} - {\ frac {1} {2}} E_ {v} \\ F_ {v} - {\ frac {1} {2} } G_ {u} & E & F \\ {\ frac {1} {2}} G_ {v} & F & G \ end {vmatrix}} - {\ begin {vmatrix} 0 & {\ frac {1} {2}} E_ {v } & {\ frac {1} {2}} G_ {u} \\ {\ frac {1} {2}} E_ {v} & E & F \\ {\ frac {1} {2}} G_ {u} & F & G \ end {vmatrix}}} {(EG-F ^ {2}) ^ {2}}}}

• Para una parametrización ortogonal (es decir, F = 0), la curvatura gaussiana es:

$${\ displaystyle K = - {\ frac {1} {2 {\ sqrt {EG}}}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial u}} {\ frac {G_ {u}} {\ sqrt {EG}}} + {\ frac {\ partial} {\ partial v}} {\ frac {E_ {v}} {\ sqrt {EG}}} \ right).}

• Para una superficie descrita como gráfico de una función z = F (x, y) , la curvatura gaussiana es ^{[ cita requerida ]}:

$${\ displaystyle K = {\ frac {F_ {xx} \ cdot F_ {yy} -F_ {xy} ^ {2}} {(1 + F_ {x} ^ {2} + F_ {y} ^ {2} ) ^ {2}}}}

• Para una superficie definida implícitamente, F (x, y, z) = 0, la curvatura gaussiana se puede expresar en términos del gradiente$${\ displaystyle \ nabla F}y matriz de Hesse $${\ displaystyle H (F)}: ^[5] [6]

{\ displaystyle K = - {\ frac {\ begin {vmatrix} H (F) & \ nabla F ^ {\ mathsf {T}} \\\ nabla F & 0 \ end {vmatrix}} {| \ nabla F | ^ { 4}}} = - {\ frac {\ begin {vmatrix} F_ {xx} & F_ {xy} & F_ {xz} & F_ {x} \\ F_ {xy} & F_ {yy} & F_ {yz} & F_ {y} \ \ F_ {xz} & F_ {yz} & F_ {zz} & F_ {z} \\ F_ {x} & F_ {y} & F_ {z} & 0 \\\ end {vmatrix}} {| \ nabla F | ^ {4} }}}

• Para una superficie con métrica conforme a la euclidiana, entonces F = 0 y E = G = e ^σ , la curvatura de Gauss viene dada por (Δ siendo el operador de Laplace habitual ):

$${\ displaystyle K = - {\ frac {1} {2e ^ {\ sigma}}} \ Delta \ sigma,}

• La curvatura gaussiana es la diferencia limitante entre la circunferencia de un círculo geodésico y un círculo en el plano: ^[7]

$${\ displaystyle K = \ lim _ {r \ a 0 ^ {+}} 3 {\ frac {2 \ pi rC (r)} {\ pi r ^ {3}}}}

• La curvatura gaussiana es la diferencia limitante entre el área de un disco geodésico y un disco en el plano: ^[7]

$${\ displaystyle K = \ lim _ {r \ to 0 ^ {+}} 12 {\ frac {\ pi r ^ {2} -A (r)} {\ pi r ^ {4}}}}

• La curvatura gaussiana se puede expresar con los símbolos de Christoffel : ^[8]

$${\ displaystyle K = - {\ frac {1} {E}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial u}} \ Gamma _ {12} ^ {2} - {\ frac {\ partial} {\ partial v}} \ Gamma _ {11} ^ {2} + \ Gamma _ {12} ^ {1} \ Gamma _ {11} ^ {2} - \ Gamma _ {11} ^ {1} \ Gamma _ {12} ^ {2} + \ Gamma _ {12} ^ {2} \ Gamma _ {12} ^ {2} - \ Gamma _ {11} ^ {2} \ Gamma _ {22} ^ {2} \Correcto)}