FORMAS GEOMÉTRICAS - SUPERFICIES

superficie Nadirashvili es una superficie mínima limitada completa sumergida en R ³ con curvatura negativa. El primer ejemplo de tal superficie fue construido por Nikolai Nadirashvili  [ de ] en Nadirashvili (1996) . Esto respondió simultáneamente a una pregunta de Hadamard sobre si había una superficie limitada completa inmersa en R ³ con curvatura negativa, y una pregunta de Eugenio Calabi y Shing-Tung Yauacerca de si había una superficie mínima delimitada completa inmersa en R ³ .

Hilbert (1901) demostró que una superficie inmersa completa en R ³ no puede tener una curvatura negativa constante, y Efimov (1963) muestra que la curvatura no puede estar limitada por una constante negativa. Así que la superficie de Nadirashvili necesariamente tiene puntos donde la curvatura es arbitrariamente cercana a 0.

el teorema de clasificación de Thurston caracteriza los homeomorfismos de una superficie orientable compacta . El teorema de William Thurston completa el trabajo iniciado por Jakob Nielsen  ( 1944 ).

Dado un homeomorfismo f  :  S  →  S , hay un mapa g isotópico para f tal que al menos uno de los siguientes es válido:

• g es periódica, es decir, algún poder de g es la identidad;
• g conserva alguna unión finita de curvas cerradas simples disjuntas en S (en este caso, g se llama reducible); o
• g es pseudo-anosov .

El caso donde S es un toro (es decir, una superficie cuyo género es uno) se maneja por separado (ver paquete de toro ) y se conoció antes del trabajo de Thurston. Si el género de S es dos o mayor, entonces S es naturalmente hiperbólico , y las herramientas de la teoría de Teichmüller se vuelven útiles. En lo que sigue, asumimos que S tiene un género de al menos dos, ya que este es el caso que Thurston consideró. (Sin embargo, tenga en cuenta que los casos en los que S tiene un límite o no es orientable definitivamente son de interés).

Los tres tipos en esta clasificación no son mutuamente excluyentes, aunque un homeomorfismo pseudo-Anosovnunca es periódico o reducible . Un homeomorfismo reducible g puede analizarse más a fondo cortando la superficie a lo largo de la unión preservada de curvas cerradas simples Γ . Cada una de las superficies compactas resultantes con borde es accionada por algún poder (es decir, composición iterada ) de g , y la clasificación puede aplicarse nuevamente a este homeomorfismo.

El grupo de clases de mapeo para superficies del género superior [ editar ]

La clasificación de Thurston se aplica a los homeomorfismos de superficies orientables del género ≥ 2, pero el tipo de un homeomorfismo solo depende de su elemento asociado del grupo de clases de mapeo Mod (S) . De hecho, la prueba del teorema de clasificación conduce a un representante canónico de cada clase de mapeo con buenas propiedades geométricas. Por ejemplo:

• Cuando g es periódica, hay un elemento de su clase de asignación que es una isometría de una estructura hiperbólica en S .
• Cuando g es pseudo-Anosov , hay un elemento de su clase de mapeo que conserva un par de foliacionessingulares transversales de S , estirando las hojas de una (la foliación inestable ) mientras contrae las hojas de la otra (la foliación estable ).

Mapeo de tori [ editar ]

La motivación original de Thurston para desarrollar esta clasificación fue encontrar estructuras geométricas en toros de mapeo del tipo predicho por la conjetura de Geometrización . El toro de mapeo M _g de un homeomorfismo g de una superficie S es el múltiplo 3 obtenido de S × [0,1] pegando S × {0} a S × {1} usando g . La estructura geométrica de M _g está relacionada con el tipo de g en la clasificación de la siguiente manera:

• Si g es periódico, entonces M _g tiene una estructura H ² × R;
• Si g es reducible , entonces M _g tiene tori incompresible , y debe cortarse a lo largo de estos tori para producir piezas que tengan estructuras geométricas (la descomposición JSJ );
• Si g es pseudo-Anosov , entonces M _g tiene una estructura hiperbólica (es decir, H ³ ).

Los dos primeros casos son comparativamente fáciles, mientras que la existencia de una estructura hiperbólica en el toro de mapeo de un homeomorfismo pseudo-Anosov es un teorema profundo y difícil (también debido a Thurston ). Los 3-manifolds hiperbólicos que surgen de esta manera se llaman fibered porque son haces superficiales sobre el círculo , y estos manifolds se tratan por separado en la prueba del teorema de geometrización de Thaken para los manifolds de Haken . Las múltiples 3 hiperbólicas fibrosas tienen una serie de propiedades interesantes y patológicas; por ejemplo, Cannon y Thurston demostraron que el subgrupo de superficie del grupo de Kleinines emergente tiene un conjunto de límites que es uncurva de llenado de esfera .

Clasificación de punto fijo [ editar ]

Los tres tipos de homeomorfismos de superficie también están relacionados con la dinámica del grupo de clases de mapeo Mod ( S ) en el espacio T de Teichmüller ( S ). Thurston introdujo una compactación de T ( S ) que es homeomórfica a una bola cerrada, y a la que la acción de Mod ( S ) se extiende de forma natural. El tipo de un elemento g del grupo de clase de mapeo en la clasificación de Thurston está relacionado con sus puntos fijos cuando se actúa sobre la compactación de T ( S ):

• Si g es periódico, entonces hay un punto fijo dentro de T ( S ); este punto corresponde a una estructura hiperbólica en S cuyo grupo de isometría contiene un elemento isotópico a g ;
• Si g es pseudo-Anosov , entonces g no tiene puntos fijos en T ( S ) pero tiene un par de puntos fijos en el límite de Thurston; estos puntos fijos corresponden a las foliaciones estables e inestables de S conservadas por g .
• Para algunas clases de mapeo reducibles g , hay un solo punto fijo en el límite de Thurston; Un ejemplo es un multi-giro a lo largo de los pantalones descomposición Γ . En este caso, el punto fijo de g en el límite de Thurston corresponde a Γ .

Esto recuerda la clasificación de las isometrías hiperbólicas en los tipos elíptico , parabólico e hiperbólico (que tienen estructuras de puntos fijos similares a los tipos periódico , reducible y pseudo-Anosov enumerados anteriormente).

nodoide es una superficie de revolucióncon una curvatura media constante distinta de cero obtenida al rodar una hipérbola a lo largo de una línea fija, trazar el foco y girar la curva nodalresultante alrededor de la línea.

La mitad de una superficie de nodo.

"Vector normal" redirige aquí. Para un vector normalizado, o un vector de longitud uno, vea vector unitario .

Este artículo es sobre las superficies normales a 3D. Para las curvas normales a 3D, consulte las fórmulas de Frenet-Serret .

Un polígono y dos de sus vectores normales.

Una normal a una superficie en un punto es lo mismo que una normal al plano tangente a la misma superficie en el mismo punto.

En geometría , una normal es un objeto como una línea o un vector que es perpendicular a un objeto dado. Por ejemplo, en dos dimensiones, la línea normal a una curva en un punto dado es la línea perpendicular a la línea tangente a la curva en el punto.

En tres dimensiones, una superficie normal , o simplemente normales , a una superficie en un punto P es un vector que es perpendicular al plano tangente a la superficie en P . La palabra "normal" también se usa como adjetivo: una línea normal a un plano , el componente normal de una fuerza , el vector normal , etc. El concepto de normalidad se generaliza a la ortogonalidad .

El concepto se ha generalizado a múltiples diferencias de dimensión arbitraria incrustadas en un espacio euclidiano . El espacio de vector normal o el espacio normal de un colector en un punto P es el conjunto de los vectores que son ortogonales a la espacio tangente en P . En el caso de las curvas diferenciales , el vector de curvatura es un vector normal de especial interés.

Lo normal a menudo se usa en gráficos de computadora para determinar la orientación de una superficie hacia una fuente de luz para un sombreado plano , o la orientación de cada una de las esquinas ( vértices ) para imitar una superficie curva con el sombreado de Phong .

Normal a las superficies en el espacio 3D [ editar ]

Calculando una superficie normal [ editar ]

Para un polígono convexo (como un triángulo ), se puede calcular una normal de superficie como el producto cruzado vectorial de dos bordes (no paralelos) del polígono.

Para un plano dado por la ecuación.$${\ displaystyle ax + by + cz + d = 0}el vector $${\ displaystyle (a, b, c)} es un normal

Para un plano cuya ecuación se da en forma paramétrica.

$${\ displaystyle \ mathbf {r} (\ alpha, \ beta) = \ mathbf {a} + \ alpha \ mathbf {b} + \ beta \ mathbf {c}},

es decir, a es un punto en el plano y b y c son vectores (no paralelos) que se encuentran en el plano, la normal al plano es un vector normal a ambos b y c que se puede encontrar como el producto cruzado $${\ displaystyle \ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}}.

Para un hiperplano en n + 1 dimensiones, nuevamente dado por su representación paramétrica

$${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {a} _ {0} + \ alpha _ {1} \ mathbf {a} _ {1} + \ cdots + \ alpha _ {n} \ mathbf {a} _ {norte}},

donde un ₀ es un punto en el hiperplano y a _i para i = 1, ..., n son vectores no paralelos que se encuentran en el hiperplano, una normal al hiperplano es cualquier vector en el espacio nulo de A donde A se da por

$${\ displaystyle A = [\ mathbf {a} _ {1} \ dots \ mathbf {a} _ {n}]}.

Es decir, cualquier vector ortogonal a todos los vectores en el plano es, por definición, una superficie normal.

Si un (posiblemente no plana) superficie S está parametrizada por un sistema de coordenadas curvilíneas x ( s , t), con s y t reales variables, entonces la normal está dada por el producto cruzado de las derivadas parciales

$${\ displaystyle {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial s} \ times {\ partial \ mathbf {x} \ over \ partial t}.}

Si una superficie S se da implícitamente como el conjunto de puntos$${\ displaystyle (x, y, z)} satisfactorio $${\ displaystyle F (x, y, z) = 0}, entonces, un normal en un punto $${\ displaystyle (x, y, z)}en la superficie está dada por el gradiente

$${\ displaystyle \ nabla F (x, y, z).}

ya que el gradiente en cualquier punto es perpendicular al nivel establecido , y$${\ displaystyle F (x, y, z) = 0} (la superficie) es un conjunto de niveles de $${\ displaystyle F}.

Para una superficie S dada explícitamente como una función. $${\ displaystyle f (x, y)} de las variables independientes $${\ displaystyle x, y} (p.ej, $${\ displaystyle f (x, y) = a_ {00} + a_ {01} y + a_ {10} x + a_ {11} xy}), su normalidad se puede encontrar en al menos dos formas equivalentes. El primero es obtener su forma implícita.$${\ displaystyle F (x, y, z) = zf (x, y) = 0}, desde donde la normal sigue fácilmente como el gradiente

$${\ displaystyle \ nabla F (x, y, z)}.

(Observe que la forma implícita podría definirse alternativamente como

$${\ displaystyle F (x, y, z) = f (x, y) -z};

estas dos formas corresponden a la interpretación de la superficie orientada hacia arriba o hacia abajo, respectivamente, como consecuencia de la diferencia en el signo de la derivada parcial$${\ displaystyle \ partial {F} / \ partial {z}}.) La segunda forma de obtener la normal se deriva directamente de la pendiente de la forma explícita,

$${\ displaystyle \ nabla f (x, y)};

por inspección ,

$${\ displaystyle \ nabla F (x, y, z) = {\ hat {\ mathbf {k}}} - \ nabla f (x, y)}, dónde $${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {k}}}}es el vector de unidad ascendente .

Esto es igual a $${\ displaystyle \ nabla F (x, y, z) = {\ hat {\ mathbf {k}}} - {\ frac {\ partial {f (x, y)}} {\ partial {x}}} { \ hat {\ mathbf {i}}} - {\ frac {\ partial {f (x, y)}} {\ partial {y}}} {\ hat {\ mathbf {j}}}}, dónde $${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {i}}}} y $${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {j}}}} son los vectores de las unidades x e y.

Si una superficie no tiene un plano tangente en un punto, tampoco tiene una normal en ese punto. Por ejemplo, un cono no tiene una normal en su punta ni tiene una normal a lo largo del borde de su base. Sin embargo, lo normal al cono se define en casi todas partes . En general, es posible definir una normal en casi todas partes para una superficie que es Lipschitz continua .

Unicidad de lo normal [ editar ]

Un campo vectorial de normales a una superficie.

Una normal a una superficie no tiene una dirección única; El vector que apunta en la dirección opuesta a una normal de superficie también es una normal de superficie. Para una superficie que es el límite topológico de un conjunto en tres dimensiones, se puede distinguir entre el interior que apunta hacia la normalidad y -exterior que señala lo normal , lo que puede ayudar a definir la normal en una manera única. Para una superficie orientada , la normal de la superficie suele estar determinada por la regla de la mano derecha . Si la normal se construye como el producto cruzado de los vectores tangentes (como se describe en el texto anterior), es un pseudovector .

Transformando los normales [ editar ]

Nota: en esta sección solo usamos la matriz superior 3x3, ya que la traducción es irrelevante para el cálculo

Cuando se aplica una transformación a una superficie, a menudo es útil derivar normales para la superficie resultante de las normales originales.

Específicamente, dada una matriz de transformación M 3x3 , podemos determinar la matriz W que transforma un vector n perpendicular al plano tangente t en un vector n ' perpendicular al plano tangente transformado M t , mediante la siguiente lógica:

Escribe n ′ como W n . Debemos encontrar W .

W n perpendicular a M t

$${\ displaystyle \ iff (Wn) \ cdot (Mt) = 0}

$${\ displaystyle \ iff (Wn) ^ {T} (Mt) = 0}

$${\ displaystyle \ iff (n ^ {T} W ^ {T}) (Mt) = 0}

$${\ displaystyle \ iff n ^ {T} (W ^ {T} M) t = 0}

Claramente eligiendo W tal que $${\ displaystyle W ^ {T} M = I}o $${\ displaystyle W = {M ^ {- 1}} ^ {T}} satisfará la ecuación anterior, dando una $${\ displaystyle Wn}perpendicular a $${\ displaystyle Mt}, o una n ' perpendicular a t' , según sea necesario.

Por lo tanto, se debe usar la transposición inversa de la transformación lineal al transformar las normales de superficie. La transposición inversa es igual a la matriz original si la matriz es ortonormal, es decir, puramente rotacional, sin escamas ni cortes.

Hipersuperficies en espacio n -dimensional [ editar ]

La definición de una normal a una superficie en un espacio tridimensional puede extenderse a $${\ displaystyle (n-1)}Hipersuperficies tridimensionales en un espacio n -dimensional . Una hipersuperficie puede definirse localmenteimplícitamente como el conjunto de puntos$${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n})} satisfaciendo una ecuación $${\ displaystyle F (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = 0}, dónde $${\ displaystyle F}Es una función escalar dada . Si$${\ displaystyle F}es continuamente diferenciable, entonces la hipersuperficie es una variedad diferenciable en la vecindad de los puntos donde el gradiente no es nulo. En estos puntos, el espacio vectorial normal tiene la dimensión uno y es generado por el gradiente.

$${\ displaystyle \ nabla F (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = \ left ({\ tfrac {\ partial F} {\ partial x_ {1}}}, {\ tfrac {\ parcial F} {\ parcial x_ {2}}}, \ ldots, {\ tfrac {\ parcial F} {\ parcial x_ {n}}} \ derecha) \ ,.}

La línea normal en un punto de la hipersuperficie se define solo si el gradiente no es nulo. Es la línea que pasa por el punto y tiene el gradiente como dirección.

Variedades definidas por ecuaciones implícitas en el espacio n -dimensional [ editar ]

Una variedad diferencial definida por ecuaciones implícitas en el espacio n -dimensional es el conjunto de ceros comunes de un conjunto finito de funciones diferenciales en n variables

$${\ displaystyle f_ {1} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}), \ ldots, f_ {k} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}).}

La matriz jacobiana de la variedad es la matriz k × n cuya fila i -ésima es el gradiente de f _i . Por el teorema de la función implícita , la variedad es una variedad en la vecindad de un punto de la misma donde la matriz jacobiana tiene rango k . En tal punto P , el espacio vectorial normal es el espacio vectorial generado por los valores en Pde los vectores de gradiente de la f _i .

En otras palabras, una variedad se define como la intersección de k hipersuperficies, y el espacio vectorial normal en un punto es el espacio vectorial generado por los vectores normales de las hipersuperficies en el punto.

El (afín) espacio normal en un punto P de la variedad es el subespacio afín que pasa por P y generado por el espacio normal vector en P .

Estas definiciones pueden extenderse textualmente a los puntos donde la variedad no es una variedad.

Ejemplo [ editar ]

Sea V la variedad definida en el espacio tridimensional por las ecuaciones

$${\ displaystyle x \, y = 0, \ quad z = 0 \ ,.}

Esta variedad es la unión del eje x y el eje y .

En un punto ( a , 0, 0) , donde a ≠ 0 , las filas de la matriz jacobiana son (0, 0, 1) y (0, a , 0) . Así, el espacio afín normal es el plano de la ecuación x = a . De manera similar, si b ≠ 0 , el plano normal en (0, b , 0) es el plano de la ecuación y = b .

En el punto (0, 0, 0) las filas de la matriz jacobiana son (0, 0, 1) y (0, 0, 0) . Así, el espacio vectorial normal y el espacio afín normal tienen dimensión 1 y el espacio afín normal es el eje z .

Usos [ editar ]

• Las normales de superficie son esenciales para definir integrales de superficie de campos vectoriales .
• Las normales de superficie se usan comúnmente en gráficos de computadora en 3D para cálculos de iluminación ; Ver la ley de coseno de Lambert .
• Las normales de superficie a menudo se ajustan en gráficos de computadora 3D por mapeo normal .
• Las capas de renderizado que contienen información normal de la superficie se pueden usar en la composición digital para cambiar la iluminación aparente de los elementos renderizados.

Normal en óptica geométrica [ editar ]

Artículo principal: Reflexión especular.

Diagrama de reflexión especular.

Lo normal es la línea perpendicular a la superficie de un medio óptico en un punto dado. ^[1] En la reflexión de la luz , el ángulo de incidencia y el ángulo de reflexión son, respectivamente, el ángulo entre el rayo normal y el incidente (en el plano de incidencia ) y el ángulo entre el rayo normal y el reflejado .