FORMAS GEOMÉTRICAS - SUPERFICIES

conexión de Riemann en una superficie o Riemannian 2-manifold se refiere a varias estructuras geométricas intrínsecas descubiertas por Tullio Levi-Civita , Élie Cartan y Hermann Weyl en la primera parte del siglo veinte: transporte paralelo , derivado covariante y forma de conexión . Estos conceptos se pusieron en su forma actual con paquetes principales solo en la década de 1950. El enfoque clásico del siglo XIX a la geometría diferencial de las superficies , en gran parte debido a Carl Friedrich Gauss., ha sido reelaborado en este marco moderno, que proporciona el entorno natural para la teoría clásica del marco en movimiento , así como la geometría riemanniana de variedades riemannianas de dimensiones superiores . Este relato pretende ser una introducción a la teoría de las conexiones .

Resumen histórico [ editar ]

Tullio Levi-Civita(1873–1941)

Élie Cartan (1869–1951)

Hermann Weyl(1885–1955)

Después de la obra clásica de Gauss sobre la geometría diferencial de las superficies ^{[1] [2] [3] [4]} y la aparición subsiguiente del concepto de la variedad Riemanniana iniciada por Bernhard Riemann a mediados del siglo XIX, la noción geométrica de conexiónDesarrollado por Tullio Levi-Civita , Élie Cartan y Hermann Weyl a principios del siglo XX representó un gran avance en la geometría diferencial . La introducción del transporte paralelo , derivados covariantes y formas de conexión.proporcionó una forma más conceptual y uniforme de entender la curvatura, que no solo permitía generalizaciones a múltiples dimensiones sino que también proporcionaba una herramienta importante para definir nuevos invariantes geométricos, denominados clases características . ^[5] El enfoque que utiliza derivados y conexiones covariantes es hoy en día el adoptado en los libros de texto más avanzados. ^{[6] [7] [8]}

Aunque Gauss fue el primero en estudiar la geometría diferencial de las superficies en E ³ , no fue hasta el Habilitationsschrift de Riemann de 1854 que se introdujo la noción de un espacio riemanniano. Christoffel introdujo sus símbolos del mismo nombre en 1869. El cálculo del tensor fue desarrollado por Ricci , quien publicó un tratamiento sistemático con Levi-Civita en 1901. La diferenciación covariante de los tensores fue interpretada geométricamente por Levi-Civita (1917) quien introdujo la noción de transporte paralelo en superficies. Su descubrimiento impulsó a Weyl y Cartan.para introducir varias nociones de conexión, incluyendo en particular la de conexión afín. El enfoque de Cartan se reformuló en el lenguaje moderno de los principales paquetes de Ehresmann , después de lo cual el sujeto tomó rápidamente su forma actual luego de las contribuciones de Chern , Ambrose y Singer , Kobayashi , Nomizu , Lichnerowicz y otros. ^[9]

Las conexiones en una superficie se pueden definir de varias maneras. La conexión Riemannian o la conexión Levi-Civita ^[10] tal vez se entienda más fácilmente en términos de campos vectoriales de elevación , considerados como operadores diferenciales de primer orden que actúan en funciones en el colector, a operadores diferenciales en el paquete de cuadros: en el caso de una superficie incrustada, la elevación se describe muy simplemente en términos de proyección ortogonal. De hecho, los paquetes de vectores asociados con el paquete de cuadros son todos los subgrupos de paquetes triviales que se extienden al espacio euclidiano ambiental; un operador diferencial de primer orden siempre se puede aplicar a una sección de un paquete trivial, en particular a una sección del sub-paquete original, aunque la sección resultante ya no sea una sección del sub-paquete. Esto se puede corregir proyectando ortogonalmente.

La conexión riemanniana también se puede caracterizar de forma abstracta independientemente de una incrustación. Las ecuaciones de las geodésicas son fáciles de escribir en términos de la conexión riemanniana, que se pueden expresar localmente en términos de los símbolos de Christoffel. A lo largo de una curva en la superficie, la conexión define una ecuación diferencial de primer orden en el paquete de cuadros. La monodromíade esta ecuación define el transporte paralelo para la conexión, una noción introducida en este contexto por Levi-Civita . ^[10]Esto proporciona una forma más geométrica equivalente de describir la conexión en términos de levantamiento de rutas en la variedad a rutas en el conjunto de marcos. Esto formalizó la teoría clásica del "marco en movimiento", favorecida por autores franceses. ^{[11] Las} elevaciones de los bucles alrededor de un punto dan lugar al grupo de holonomía en ese punto. La curvatura gaussiana en un punto se puede recuperar del transporte paralelo alrededor de bucles cada vez más pequeños en el punto. La curvatura equivalente puede calcularse directamente infinitesimalmente en términos de paréntesis de mentira de campos vectoriales elevados.

El enfoque de Cartan, utilizando formas de conexión 1 en el paquete de cuadros de M , ofrece una tercera forma de entender la conexión riemanniana, que es particularmente fácil de describir para una superficie incrustada. Gracias a un resultado de Kobayashi (1956) , más tarde generalizado por Narasimhan y Ramanan (1961) , la conexión de Riemann en una superficie incrustada en el espacio E ³ euclidiano es solo el retroceso bajo el mapa de Gauss de la conexión de Riemann en S ² . ^[12] Usando la identificación de S ² con el espacio homogéneo SO (3) / SO (2), la conexión 1-form es solo un componente de laMaurer – Cartan 1-form en SO (3). En otras palabras, todo se reduce a entender correctamente la esfera 2. ^[13]

Derivado covariante [ editar ]

Artículo principal: derivado covariante.

Un campo vectorial en el toro.

Para una superficie M incrustada en E ³ (o más generalmente un espacio euclidiano de dimensión superior), hay varias definiciones equivalentes de un campo vectorial X en M :

• un mapa suave de M en E ³ tomando valores en el espacio tangente en cada punto;
• el vector de velocidad de un flujo local en M ;
• un operador diferencial de primer orden sin término constante en cualquier carta local en M ;
• una derivación de C ^∞ ( M ).

La última condición significa que la asignación f ↦ Xf en C ^∞ ( M ) cumple la regla de Leibniz

$${\ displaystyle X (fg) = (Xf) g + f (Xg).}

El espacio de todos los campos vectoriales. $${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}( M ) forma un módulo sobre C ^∞ ( M ), cerrado debajo del soporte de Lie

$${\ displaystyle [X, Y] f = X (Yf) -Y (Xf)}

con un C ^∞ ( M ) -valued producto interior ( X , Y ), que codifica la métrica de Riemann en M .

Ya que $${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}( M ) es un submódulo de C ^∞ ( M , E ³ ) = C ^∞ ( M )$${\ displaystyle \ otimes} E ³ , el operador X$${\ displaystyle \ otimes} Yo se define en$${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}( M ), tomando valores en C ^∞ ( M , E ³ ).

Sea P el mapa uniforme de M a M ₃ ( R ), de modo que P ( p ) sea la proyección ortogonal de E ³ sobre el espacio tangente en p .

La multiplicación puntual por P da un mapa de módulo C ^∞ ( M ) de C ^∞ ( M , E ³ ) sobre$${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}( M ). La asignación

$${\ displaystyle \ nabla _ {X} Y = P ((X \ otimes I) Y)}

define un operador $${\ displaystyle \ nabla _ {X}} en $${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}( M ) llamado el derivado covariante , que satisface las siguientes propiedades

1. $${\ displaystyle \ nabla _ {X}}es C ^∞ ( M ) -lineal en X
2. $${\ displaystyle \ nabla _ {X} (fY) = (Xf) Y + f \ nabla _ {X} Y} (Regla de Leibniz para la derivación de un módulo)
3. $${\ displaystyle X (Y, Z) = (\ nabla _ {X} Y, Z) + (Y, \ nabla _ {X} Z)}( compatibilidad con la métrica )
4. $${\ displaystyle \ nabla _ {X} Y- \ nabla _ {Y} X = [X, Y]} (propiedad de simetría).

Las tres primeras propiedades establecen que $${\ displaystyle \ nabla}es una conexión afín compatible con la métrica, a veces también llamada conexión hermitian o métrica . La última propiedad de simetría dice que el tensor de torsión

$${\ displaystyle T (X, Y) = \ nabla _ {X} Y- \ nabla _ {Y} X- [X, Y]}

se desvanece de manera idéntica, de modo que la conexión afín está libre de torsión .

La asignación $${\ displaystyle \ nabla} está determinada únicamente por estas cuatro condiciones y se llama

Conexión riemanniana o conexión levi-civita .

Aunque la conexión riemanniana se definió mediante una incrustación en el espacio euclidiano, esta propiedad de singularidad significa que, de hecho, es un invariante intrínseco de la superficie.

Su existencia se puede probar directamente para una superficie general al observar que las cuatro propiedades implican

$${\ displaystyle 2 (\ nabla _ {X} Y, Z) = X \ cdot (Y, Z) + Y \ cdot (X, Z) -Z \ cdot (X, Y) + ([X, Y], Z) + ([Z, X], Y) + (X, [Z, Y]),}

así que eso $${\ displaystyle \ nabla _ {X} Y}Depende solo de la métrica y es único. Por otro lado, si esto se usa como una definición de$${\ displaystyle \ nabla _ {X} Y}, se comprueba fácilmente que se cumplen las cuatro propiedades anteriores. ^[14]

Equivalentemente, en coordenadas locales ( x , y ) con vectores tangentes de base e ₁ =$${\ displaystyle \ parcial _ {x}}y e ₂ = $${\ displaystyle \ parcial _ {y}}, la conexión $${\ displaystyle \ nabla}se puede expresar puramente en términos de la métrica usando los símbolos de Christoffel :

$${\ displaystyle \ nabla _ {{\ mathbf {e}} _ {i}} {\ mathbf {e}} _ {j} = \ sum _ {k} \ Gamma _ {ij} ^ {k} {\ mathbf {e}} _ {k}.}

Si c ( t ) es una ruta en M , entonces las ecuaciones de Euler para que c sea ​​geodésica se pueden escribir de forma más compacta como

$${\ displaystyle \ nabla _ {\ dot {c}} {\ dot {c}} = 0.}

Transporte paralelo [ editar ]

Ver también: transporte paralelo.

Transporte paralelo de un vector alrededor de un triángulo geodésico en la esfera. La longitud del vector transportado y el ángulo que forma con cada lado se mantienen constantes.

Dada una curva en el plano euclidiano y un vector en el punto de inicio, el vector puede ser transportado a lo largo de la curva al requerir que el vector en movimiento permanezca paralelo al original y de la misma longitud, es decir, debe permanecer constante a lo largo de la curva. Si la curva está cerrada, el vector no se modificará cuando se alcance nuevamente el punto de inicio. Se sabe que esto no es posible en una superficie general, siendo la esfera el caso más familiar. De hecho, generalmente no es posible identificar simultáneamente o "paralelizar" todos los planos tangentes de una superficie de este tipo: las únicas superficies cerradas paralelizables son las homeomorfas a un toro. ^[15]

El transporte paralelo siempre se puede definir a lo largo de curvas en una superficie utilizando solo la métrica en la superficie. Por lo tanto, los planos tangentes a lo largo de una curva pueden identificarse utilizando la geometría intrínseca, incluso cuando la superficie en sí no es paralelizable.

El transporte paralelo a lo largo de las geodésicas, las "líneas rectas" de la superficie, es fácil de definir. Un vector en el plano tangente se transporta a lo largo de una geodésica como el campo vectorial único con longitud constante y haciendo un ángulo constante con el vector de velocidad de la geodésica.

Para una curva general, su curvatura geodésica mide qué tan lejos se aleja la curva de ser una geodésica; se define como la velocidad a la que el vector de velocidad de la curva gira en la superficie. A su vez, la curvatura geodésica determina cómo deben girar los vectores en los planos tangentes a lo largo de la curva durante el transporte paralelo.

Un campo de vector v ( t ) a lo largo de una curva de velocidad de la unidad c ( t ), con geodésica curvatura k _g ( t), se dice que es paralelo a lo largo de la curva si

• tiene longitud constante
• El ángulo θ ( t ) que forma con el vector de velocidad.$${\ displaystyle {\ dot {c}} (t)} satisface

$${\ displaystyle {\ dot {\ theta}} (t) = - k_ {g} (t)}

Esto produce la regla anterior para el transporte paralelo a lo largo de una geodésica, porque en ese caso k _g = 0, por lo que el ángulo θ ( t ) debe permanecer constante. ^[16] La existencia de transporte paralelo se deriva de los teoremas de existencia estándar para ecuaciones diferenciales ordinarias . La ecuación diferencial anterior se puede reescribir en términos de la derivada covariante como

$${\ displaystyle \ nabla _ {\ dot {c}} v = 0}

Esta ecuación muestra una vez más que el transporte paralelo depende solo de la estructura métrica, por lo que es un invariante intrínseco de la superficie. El transporte paralelo puede extenderse inmediatamente a las curvas C ¹ por partes .

Cuando M es una superficie incrustada en E ³ , esta última condición se puede escribir en términos de la función de proyección P como

$${\ displaystyle P (c (t)) {\ dot {v}} (t) = 0}

o en otras palabras: ^[17]

El vector de velocidad de v debe ser normal a la superficie.

Arnold ha sugerido ^[18] [19] que dado que el transporte paralelo en un segmento geodésico es fácil de describir, el transporte paralelo en una curva C ¹ arbitraria podría construirse como un límite del transporte paralelo en una familia aproximada de curvas geodésicas por partes. ^[20]

Esta ecuación muestra una vez más que el transporte paralelo depende solo de la estructura métrica, por lo que es un invariante intrínseco de la superficie; es otra forma de escribir la ecuación diferencial ordinaria que involucra la curvatura geodésica de c . El transporte paralelo puede extenderse inmediatamente a las curvas C ¹por partes .

El derivado covariante puede a su vez recuperarse del transporte paralelo. ^[21] De hecho$${\ displaystyle \ nabla _ {X} Y}se puede calcular en un punto p , tomando una curva c a p con tangente X , usando transporte paralelo para ver la restricción de Ya c como una función en el espacio tangente en p y luego tomando la derivada.

Marco haz Ortonormal [ editar ]

Ver también: Conexión (paquete principal)

Sea M una superficie incrustada en E ³ . La orientación en la superficie significa que un vector de unidad normal n "apuntando hacia afuera" se define en cada punto de la superficie y, por lo tanto, se puede definir un determinante en los vectores tangentes v y w en ese punto:

$${\ displaystyle \ mathrm {det} ({\ mathbf {v}}, {\ mathbf {w}}) = ({\ mathbf {v}} \ times {\ mathbf {w}}) \ cdot {\ mathbf { n}}

utilizando el producto triple escalar habitual en E ³ (en sí mismo un determinante).

Se dice que una base ordenada o marco v , w en el espacio tangente está orientado si det ( v , w ) es positivo.

• El haz tangente de M consiste en pares ( p , v ) en M x E ₃ , de manera que v se encuentra en el plano tangente a M en p .
• El paquete de cuadros E de M consiste en triples ( p , e ₁ , e ₂ ) con un e ₁ , e _{2 y} una base ortonormalorientada del plano tangente en p .
• El haz circular de M consiste en pares ( p , v ) con || v || = 1. Es idéntico al conjunto de cuadros porque para cada unidad vector tangente v hay un vector tangente único w con det ( v , w ) = 1.

Dado que el grupo de las rotaciones en el plano de SO (2) actúa simplemente transitivamente en marcos ortonormales orientadas en el plano, se sigue que también actúa sobre los haces de marco o círculo de M . ^[8]Las definiciones del haz tangente , el haz tangente unitario y el haz de cuadros E (orientado ortonormal) pueden extenderse a superficies arbitrarias de la manera habitual. ^[8] [22] Hay una identificación similar entre los dos últimos que de nuevo se convierten en principales SO (2) -bundles. En otras palabras:

El paquete de cuadros es un grupo principal con el grupo de estructura SO (2).

También hay una noción correspondiente de transporte paralelo en la configuración de paquetes de cuadros: ^[23] [24]

Cada curva continuamente diferenciable en M puede elevarse a una curva en E de tal manera que el campo del vector tangente de la curva levantada sea la elevación del campo del vector tangente de la curva original.

Esta declaración significa que cualquier cuadro en una curva puede ser transportado en paralelo a lo largo de la curva. Esta es precisamente la idea de "marcos en movimiento". Dado que cualquier vector tangente unitario se puede completar de manera única en un marco orientado, el transporte paralelo de vectores tangentes implica (y es equivalente a) el transporte paralelo de marcos. La elevación de una geodésica en M resulta ser una geodésica en E para la métrica de Sasaki (ver más abajo). ^[25] Por otra parte, el mapa de Gauss de M en S ²induce un mapa natural entre los paquetes de cuadros asociados que es equivalente a las acciones de SO (2). ^[26]

La idea de Cartan de introducir el paquete de cuadros como un objeto central fue la culminación natural de la teoría de los cuadros en movimiento , desarrollada en Francia por Darboux y Goursat . También se hizo eco de los desarrollos paralelos en la teoría de la relatividad de Albert Einstein . ^{[27] Los} objetos que aparecen en las fórmulas de Gauss, como los símbolos de Christoffel, pueden recibir una interpretación geométrica natural en este marco. A diferencia del paquete normal más intuitivo , se visualiza fácilmente como una vecindad tubular de una superficie incrustada en E ³, el paquete de cuadros es un invariante intrínseco que se puede definir independientemente de una incrustación. Cuando hay una incrustación, sino que también se puede visualizar como un subfibrado de la euclidiana marco haz E ³ x SO (3), en sí una subvariedad de E ³ x M ₃ ( R ).

Conexión principal [ editar ]

Ver también: formulario de conexión y conexión (paquete principal)

La teoría de las conexiones según Élie Cartan , y más tarde Charles Ehresmann , gira en torno a: ^[28]

• un paquete principal E ;
• el cálculo diferencial exterior de formas diferenciales sobre E .

Todos los paquetes vectoriales "naturales" asociados con el colector M , como el paquete tangente , el paquete cotangente o los paquetes exteriores , pueden construirse a partir del paquete de marcos utilizando la teoría de representación del grupo de estructura K = SO (2), un compacto grupo matriz .

Definición de una conexión de Cartan puede ser entendido como una manera de levantar campos de vectores en M a campos vectoriales sobre el haz de trama E invariante bajo la acción del grupo de estructura K . Dado que el transporte paralelo se ha definido como una manera de levantar a trozos C ¹ caminos de M a E , esto induce automáticamente infinitesimalmente una manera de levantar campos de vectores o vectores tangentes de M a E . En un punto, tome un camino con un vector tangente dado y luego mapéelo al vector tangente del camino levantado. (Para los campos vectoriales, las curvas pueden tomarse como las curvas integrales de un flujo local). De esta manera, cualquier campo vectorial X enM puede elevarse a un campo vectorial X * en E que satisface ^[29]

• X * es un campo vectorial en E ;
• el mapa X ↦ X * es C ^∞ ( M ) -lineal;
• X * es K -invariante e induce el campo vectorial X en C ^∞ ( M )$${\ displaystyle \ subconjunto}C ^∞ ( E ).

Aquí K actúa como un flujo periódico en E , por lo que el generador canónico A de su álgebra de Lie actúa como el campo vectorial correspondiente, denominado campo vectorial vertical A *. De las condiciones anteriores se deduce que, en el espacio tangente de un punto arbitrario en E , los levantamientos X * abarcan un subespacio bidimensional de vectores horizontales , formando un subespacio complementario a los vectores verticales. La métrica riemanniana canónica en la E de Shigeo Sasaki se define al hacer que los subespacios horizontales y verticales sean ortogonales, dando a cada subespacio su producto interior natural. ^[25] [30]

Los campos vectoriales horizontales admiten la siguiente caracterización:

• Cada K campo vectorial horizontal -invariant en E tiene la forma X * para un campo único vector X en M .

Este "levantamiento universal" induce inmediatamente los levantamientos a los paquetes de vectores asociados con E y, por lo tanto, permite que se recupere la derivada covariante y su generalización a las formas.

Si σ es una representación de K en un espacio vectorial V de dimensión finita , entonces el paquete de vectores asociado E X _K V sobre M tiene un módulo C ^∞ ( M ) de secciones que se pueden identificar con

$${\ displaystyle C ^ {\ infty} (E, V) ^ {K},}

el espacio de todas las funciones suaves ξ:  E  →  V que son K -equivariant en el sentido de que

$${\ displaystyle \ xi (x \ cdot g) = \ sigma (g ^ {- 1}) \ xi (x)}

para todos x  ∈  E y g  ∈  K .

La representación identidad de (2) SO en R ² se corresponde con el paquete de la tangente de M .

El derivado covariante. $${\ displaystyle \ nabla _ {X}} se define en una sección invariante por la fórmula

$${\ displaystyle \ nabla _ {X} \ xi = (X ^ {*} \ otimes I) \ xi.}

La conexión sobre el haz de marco también se puede describir usando K diferencial -invariant 1-formas en E . ^[8][31]

El paquete de cuadros E es un 3-colector . El espacio de p- formas en E se denota Λ ^p ( E ). ^[32] Se admite una acción natural del grupo de estructura K .

Dada una conexión en el paquete principal E correspondiente a una elevación X ↦ X * de campos vectoriales en M , hay una forma de conexión única ω en

$${\ displaystyle \ Lambda ^ {1} (E) ^ {K}},

el espacio de K -invariante 1-formas en E , tal que ^[22]

$${\ displaystyle \ omega (X ^ {*}) = 0}

para todos los campos vectoriales X en M y

$${\ displaystyle \ omega (A ^ {*}) = 1,}

para el campo vectorial A * en E correspondiente al generador canónico A de$${\ displaystyle {\ mathfrak {k}}}.

A la inversa, el elevador X * se caracteriza únicamente por las siguientes propiedades:

• X * es K -invariante e induce X en M ;
• ω ( X *) = 0.

Ecuaciones estructurales de Cartan [ editar ]

Ver también: forma de curvatura.

En el haz de cuadros E de una superficie M hay tres formas canónicas 1:

• La forma de conexión ω, invariante en el grupo de estructura K = SO (2)
• Dos formas ₁ tautólogas θ ₁ y θ ₂ , que se transforman de acuerdo con los vectores de base de la representación de identidad de K

Si π: E $${\ displaystyle \ rightarrow} M es la proyección de la naturaleza, las formas ₁ θ ₁ y θ ₂ están definidas por

$${\ displaystyle \ theta _ {i} (Y) = (d \ pi (Y), e_ {i})}

donde Y es un campo vectorial en E y e ₁ , e ₂ son los vectores tangentes a M del marco ortonormal.

Estas formas 1 satisfacen las siguientes ecuaciones estructurales , debidas en esta formulación a Cartan: ^[33]

$${\ displaystyle d \ theta _ {1} = \ omega \ wedge \ theta _ {2}, \, \, d \ theta _ {2} = - \ omega \ wedge \ theta _ {1}}

( Primeras ecuaciones estructurales )

$${\ displaystyle d \ omega = - (K \ circ \ pi) \ theta _ {1} \ wedge \ theta _ {2}}

( Segunda ecuación estructural )

donde K es la curvatura gaussiana en M .

Holonomía y la curvatura [ editar ]

Artículo principal: Holonomía

Transporte paralelo en el haz de marco puede ser utilizado para mostrar que la curvatura gaussiana de una superficie M mide la cantidad de rotación obtenido mediante la traducción de los vectores de alrededor de pequeños curvas en M . ^{[34] La} holonomía es exactamente el fenómeno que ocurre cuando un vector tangente (u marco ortonormal) se transporta en paralelo alrededor de una curva cerrada. El vector alcanzado cuando se cierra el bucle será una rotación del vector original, es decir, se corresponderá con un elemento del grupo de rotación SO (2), en otras palabras, un ángulo de módulo 2π. Esta es la holonomía del bucle , porque el ángulo no depende de la elección del vector de inicio.

Interpretación geométrica del bracket de Lie de dos campos vectoriales.

Esta interpretación geométrica de la curvatura se basa en una geometría similar del soporte de la mentira de dos campos vectoriales en E . Sean U ₁ y U ₂ campos vectoriales en E con los flujos locales correspondientes α _t y β _t .

• Comenzando en un punto A correspondiente a x en E , viaje$${\ displaystyle {\ sqrt {s}}}a lo largo de la curva integral para U ₁ al punto B en$${\ displaystyle \ alpha _ {\ sqrt {s}} (x)}.
• Viaja desde B yendo$${\ displaystyle {\ sqrt {s}}}a lo largo de la curva integral para U ₂hasta el punto C en$${\ displaystyle \ beta _ {\ sqrt {s}} \ alpha _ {\ sqrt {s}} (x)}.
• Viaja desde C yendo$${\ displaystyle - {\ sqrt {s}}}a lo largo de la curva integral para U ₁al punto D en$${\ displaystyle \ alpha _ {- {\ sqrt {s}}} \ beta _ {\ sqrt {s}} \ alpha _ {\ sqrt {s}} (x)}.
• Viaja desde D yendo$${\ displaystyle - {\ sqrt {s}}}a lo largo de la curva integral para U ₂ hasta el punto E en$${\ displaystyle \ beta _ {- {\ sqrt {s}}} \ alpha _ {- {\ sqrt {s}}} \ beta _ {\ sqrt {s}} \ alpha _ {\ sqrt {s}} ( X)}.

En general, el punto final E será diferente desde el punto de partida A . Como s $${\ displaystyle \ rightarrow}0, el punto final E se traza una curva a través de A . El soporte de la mentira [ U ₁ , U ₂ ] en x es precisamente el vector tangente a esta curva en A . ^[35]

Para aplicar esta teoría, introduzca los campos vectoriales U ₁ , U ₂ y V en el paquete de cuadros E que son duales a las formas ₁ θ ₁ , θ ₂ y ω en cada punto. Así

$${\ displaystyle \ omega (U_ {i}) = 0, \, \ theta _ {i} (V) = 0, \, \ omega (V) = 1, \, \ theta _ {i} (U_ {j }) = \ delta _ {ij}.}

Además, V es invariante bajo K y U ₁ , U ₂ se transforman de acuerdo con la representación identidad de K .

Las ecuaciones estructurales de Cartan implican las siguientes relaciones de bracket de Lie:

$${\ displaystyle [V, U_ {1}] = U_ {2}, \, \, \, \, [V, U_ {2}] = - U_ {1}, \, \, \, \, [U_ {1}, U_ {2}] = (K \ circ \ pi) V}

La interpretación geométrica del bracket de Lie se puede aplicar a la última de estas ecuaciones. Desde ω ( U _i ) = 0, los flujos α _t y β _T en E son ascensores en transporte paralelo de sus proyecciones en M .

Informalmente la idea es la siguiente. El punto de inicio A y el punto final E esencialmente se diferencian por un elemento de SO (2), que es un ángulo de rotación. El área delimitada por la trayectoria proyectada en M es aproximadamente$${\ displaystyle {\ sqrt {s}} \ cdot {\ sqrt {s}} = s}. Así en el límite como s $${\ displaystyle \ rightarrow}0, el ángulo de rotación dividido por esta área tiende al coeficiente de V , es decir, la curvatura.

Este razonamiento se hace preciso en el siguiente resultado. ^[36]

Sea f el difeomorfismo de un disco abierto en el plano en M y sea Δ un triángulo en este disco. Entonces el ángulo de holonomía del bucle.

formada por la imagen debajo de f del perímetro del triángulo viene dada por la integral de la curvatura de Gauss de la imagen debajo de f del interior del triángulo.

En símbolos, el ángulo de holonomía mod 2π está dado por

$${\ displaystyle \ theta = \ int _ {f (\ Delta)} K}

donde la integral es con respecto a la forma zona en M .

Este resultado implica la relación entre la curvatura gaussiana porque a medida que el triángulo se reduce de tamaño a un punto, la proporción de este ángulo con respecto al área tiende a la curvatura gaussiana en el punto. El resultado puede probarse mediante una combinación del teorema de Stokes y las ecuaciones estructurales de Cartan y, a su vez, puede usarse para obtener una generalización del teorema de Gauss sobre triángulos geodésicos a triángulos más generales. ^[37]

Uno de los otros enfoques estándar de curvatura, a través de la derivada covariante $${\ displaystyle \ nabla _ {X}}, identifica la diferencia

$${\ displaystyle R (X, Y) = \ nabla _ {X} \ nabla _ {Y} - \ nabla _ {Y} \ nabla _ {X} - \ nabla _ {[X, Y]}}

como campo de endomorfismos del haz tangente, el tensor de curvatura de Riemann . ^[22] [38] Desde$${\ displaystyle \ nabla _ {X}}es inducido por el campo vectorial elevado X * en E , el uso de los campos vectoriales U _i y V y sus soportes de Mentira es más o menos equivalente a este enfoque. El campo vectorial vertical W = A * correspondiente al generador canónico A de$${\ displaystyle {\ mathfrak {k}}}también podría agregarse ya que conmuta con V y satisface [ W , U ₁ ] = U ₂ y [ W , U ₂] = - U ₁ .

Ejemplo: la esfera 2 [ editar ]

Ver también: Sistema no holonómico y Fase geométrica.

La geometría diferencial de la esfera 2 se puede abordar desde tres puntos de vista diferentes:

• Geometría analítica , ya que la 2-esfera es un sub - distribuidor de E ³ ;
• teoría de grupos , ya que la matriz compacta grupo SO (3) actúa de manera transitoria en la esfera 2 como un grupo continuo de simetrías;
• Mecánica clásica , ya que una rígida de 2 esferas puede rodar en un plano.

S ² se puede identificar con la esfera unitaria en E ³

$${\ displaystyle S ^ {2} = \ {a \ en E ^ {3} \ colon \ | a \ | = 1 \}.}

Su haz tangente T , unidad tangente haz U y armazón ortonormal orientado E están dados por

$${\ displaystyle T = \ {(a, v) \ colon \ | a \ | = 1, \, a \ cdot v = 0 \},}

$${\ displaystyle U = \ {(a, v) \ colon \ | a \ | = 1, \, \ | v \ | = 1, \, a \ cdot v = 0 \},}

$${\ displaystyle E = \ {(a, e_ {1}, e_ {2}) \ colon (e_ {1} \ times e_ {2}) \ cdot a = 1, \, \ | a \ | = 1, \, \ | e_ {i} \ | = 1, \, a \ cdot e_ {i} = 0, \, e_ {1} \ cdot e_ {2} = 0 \}.}

El envío del mapa ( a , v ) a ( a , v , a x v ) permite identificar U y E.

Dejar

$${\ displaystyle Q (a) v = (v \ cdot a) a}

ser la proyección ortogonal sobre el vector normal en a , de modo que

$${\ displaystyle P (a) = IQ (a)}

es la proyección ortogonal sobre el espacio tangente en a .

El grupo G = SO (3) actúa por rotación en E ^3, dejando S ² invariante. El subgrupo K del estabilizador del vector (1,0,0) en E ₃ puede identificarse con SO (2) y, por lo tanto,

S ² puede identificarse con SO (3) / SO (2).

Esta acción se extiende a una acción en T , U y E al hacer que G actúe en cada componente. G actúa transitivamente en S ² y simplemente transitivo en T y E .

La acción de SO (3) en E conmuta con la acción de SO (2) en E que rota los cuadros

$${\ displaystyle (e_ {1}, e_ {2}) \ mapsto (\ cos \ theta \, e_ {1} - \ sin \ theta \, e_ {2}, \ sin \ theta \, e_ {1} + \ cos \ theta \, e_ {2}).}

Por lo tanto E se convierte en un fibrado principal de grupo estructural K . Tomando el G - órbita del punto ((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)), el espacio E puede ser identificado con G . Bajo esta identificación, las acciones de G y K en E se convierten en traducción izquierda y derecha. En otras palabras:

El haz de cuadros ortonormal orientado de S ² puede identificarse con SO (3).

El álgebra de mentira $${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}de SO (3) consta de todas las matrices de 3 x 3 reales simétricas oblicuas. ^[39] la acción adjunta de G por conjugación en$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}Reproduce la acción de G en E ³ . El grupo SU (2) tiene un álgebra de Lie tridimensional que consiste en matrices complejas de 2 x 2 sin trazos hermeticistas , que son isomorfas para$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}. La acción adjunta de SU (2) factores a través de su centro, las matrices ± I . Bajo estas identificaciones, SU (2) se exhibe como un doble cubierta de SO (3), de modo que SO (3) = SU (2) / ± I . ^[40] Por otro lado, SU (2) es difeomorfo a la esfera 3 y bajo esta identificación, la métrica Riemanniana estándar en la esfera 3 se convierte en la métrica Riemanniana biinvariante esencialmente única en la SU (2). Bajo el cociente de ± I , SO (3) puede identificarse con el espacio proyectivo real de la dimensión 3 y tiene una métrica de Riemannian biinvariante esencialmente única. El mapa geométrico exponencial para esta métrica en ICoincide con la función exponencial habitual en las matrices y, por lo tanto, las geodésicas a través de I tienen la forma exp Xt, donde X es una matriz de simetría sesgada. En este caso, la métrica de Sasaki está de acuerdo con esta métrica biinvariante en SO (3). ^[41] [42]

Las acciones de G en sí mismas y, por lo tanto, en C ^∞ ( G ) por la traducción izquierda y derecha inducen acciones infinitesimales de$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}en C ^∞ ( G ) por campos vectoriales

$${\ displaystyle \ lambda (X) f (g) = {d \ over dt} f (e ^ {- Xt} g) | _ {t = 0}, \, \, \ rho (X) f (g) = {d \ over dt} f (ge ^ {Xt}) | _ {t = 0}.}

Los campos vectoriales invariantes derecho e izquierdo están relacionados por la fórmula

$${\ displaystyle \ lambda (X) f (g) = - \ rho (g ^ {- 1} Xg) f (g).}

Los campos de vectores λ ( X ) y ρ ( X viaje) con campos de vectores invariantes a la izquierda en la derecha y la izquierda traducción y dar toda la derecha y G . Dado que C ^∞ ( S ² ) = C ^∞ ( G / K ) se puede identificar con C ^∞ ( G ) ^K , la función invariante en la traducción correcta por K , los operadores λ ( X ) también inducen campos vectoriales Π ( X ) en S ² .

Sean A , B , C la base estándar de$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}} dada por

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}, \, \, B = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \ end { pmatrix}}, \, \, C = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}.}

Sus corchetes de mentira [ X , Y ] = XY - YX están dados por

$${\ displaystyle [A, B] = C, \, \, [B, C] = A, \, \, [C, A] = B.}

Los campos de vector λ ( A ), λ ( B ), λ ( C ) forman una base del espacio tangente en cada punto de G .

Del mismo modo los campos de vectores invariantes ρ izquierda ( A ), ρ ( B ), ρ ( C ) forman una base del espacio tangente en cada punto de G . Vamos α, β, γ ser la correspondiente base dual de invariantes 1-formas izquierda en G . ^[43] Las relaciones del corchete de la Mentira implican las ecuaciones de Maurer-Cartan

$${\ displaystyle d \ alpha = \ beta \ wedge \ gamma, \, \, d \ beta = \ gamma \ wedge \ alpha, \, \, d \ gamma = \ alpha \ wedge \ beta.}

Estos son también los componentes correspondientes de la forma Maurer-Cartan.

$${\ displaystyle \ omega _ {G} = g ^ {- 1} dg,}

una forma-invariante izquierda de 1-forma en G , que satisface la relación

$${\ displaystyle d \ omega _ {G} = - (g ^ {- 1} dg \, g ^ {- 1}) dg = - \ omega _ {G} \ wedge \ omega _ {G}.}

El producto interior en $${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}} definido por

$${\ displaystyle (X, Y) = \ mathrm {Tr} \, XY ^ {T}}

Es invariante bajo la acción adjunta. Sea π la proyección ortogonal sobre el subespacio generado por A , es decir, sobre$${\ displaystyle {\ mathfrak {k}}}, El álgebra de Lie de K . Para X en$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}, la elevación del campo vectorial Π ( X ) de C ^∞ ( G / K ) a C ^∞ ( G ) viene dada por la fórmula

$${\ displaystyle \ Pi (X) ^ {*} f (g) = - \ rho (\ pi (g ^ {- 1} Xg)) f (g)}

Esta elevación es G -equivariant en los campos de vectores de la forma Π ( X ) y tiene una extensión única de campos de vectores más generales sobre G / K .

La invariante izquierda de 1-forma α es la forma de conexión ω en G correspondiente a este levantamiento. Las otras dos formas 1 en las ecuaciones estructurales de Cartan están dadas por θ ₁ = β y θ ₂ = γ. Las ecuaciones estructurales en sí mismas son solo las ecuaciones de Maurer-Cartan. En otras palabras;

Las ecuaciones estructurales de Cartan para SO (3) / SO (2) se reducen a las ecuaciones de Maurer-Cartan para las formas 1 invariantes de la izquierda en SO (3).

Dado que α es la forma de conexión,

• los campos vectoriales verticales en G son los de la forma f · λ ( A ) con f en C ^∞ ( G );
• los campos vectoriales horizontales en G son los de la forma f ₁ · λ ( B ) + f ₂ · λ ( C ) con f _i en C ^∞ ( G ).

La existencia de los campos de vector base λ ( A ), λ ( B ), λ ( C ) muestra que SO (3) es paralelizable. Esto no es cierto para SO (3) / SO (2) según el teorema de la bola peluda : S ² no admite campos vectoriales que no desaparezcan en ninguna parte.

El transporte paralelo en el paquete de cuadros equivale a levantar una trayectoria de SO (3) / SO (2) a SO (3). Se puede lograr resolviendo directamente una ecuación diferencial ordinaria con valor matricial ("ecuación de transporte") de la forma g _t = A · g, donde A ( t ) es asimétrico yg toma valores en SO (3). ^{[44] [45] [46]}

De hecho, es equivalente y más conveniente levantar una ruta de SO (3) / O (2) a SO (3). Tenga en cuenta que O (2) es el normalizador de SO (2) en SO (3) y el grupo cociente O (2) / SO (2), el llamado grupo Weyl , es un grupo de orden 2 que actúa sobre SO (3) / SO (2) = S ² como el mapa antípodas . El cociente SO (3) / O (2) es el plano proyectivo real . Puede identificarse con el espacio de rango uno o rango dos proyecciones Q en M ₃ ( R ). Tomando Q como una proyección de rango 2 y configurando F = 2 Q - I , un modelo de la superficie SO (3) / O (2) viene dado por las matrices Fsatisfaciendo F ² = I , F = F ^T y Tr F = 1. Tomando F ₀ = diag (–1,1,1) como punto base, cada F puede escribirse en la forma g F ₀ g ⁻¹ .

Dado un camino F ( t ), la ecuación diferencial ordinaria$${\ displaystyle g_ {t} g ^ {- 1} = F_ {t} F / 2}, con condición inicial $${\ displaystyle g (0) = I}, Tiene un único C ¹ solución g ( t ) con valores en G , dando el ascensor por el transporte paralelo de F .

Si Q ( t ) es la ruta correspondiente de las proyecciones de rango 2, las condiciones para el transporte paralelo son

$${\ displaystyle Q = gQ_ {0} g ^ {- 1}, \, \, Q_ {0} g ^ {- 1} {\ dot {g}} Q_ {0} = 0}

Conjunto A = ½ F _t F . Dado que F ² = I y F es simétrico, A es asimétrico y satisface QAQ  = 0.

La única solución g ( t ) de la ecuación diferencial ordinaria.

$${\ displaystyle {\ dot {g}} = Ag \,}

con la condición inicial g (0) = I garantizado por el teorema de Picard-Lindelöf , debe tener g ^T g constante y por lotanto , desde

$${\ displaystyle {d \ over dt} (g ^ {T} g) = {\ dot {g}} ^ {T} g + g ^ {T} {\ dot {g}} = g ^ {T} ( A ^ {T} + A) g = 0.}

Además,

$${\ displaystyle F (t) = g (t) F (0) g (t) ^ {- 1} \,}

ya que g ⁻¹ Fg tiene un derivado 0:

$${\ displaystyle {d \ over dt} (g ^ {- 1} Fg) = - g ^ {- 1} {\ dot {g}} g ^ {- 1} Fg + g ^ {- 1} {\ dot {F}} g + g ^ {- 1} F {\ dot {g}} = g ^ {- 1} (- {\ dot {g}} g ^ {- 1} F + {\ dot {F}} + F {\ punto {g}} g ^ {- 1}) g = 0.}

Por lo tanto, Q = g Q ₀ g ⁻¹ . La condición QAQ = 0 implica Q g _t g ⁻¹ Q = 0 y, por lo tanto, Q ₀ g ⁻¹ g _t Q ₀ = 0. ^[47]

Hay otra forma cinemática de entender el transporte paralelo y la curvatura geodésica en términos de "rodar sin deslizarse o torcerse". Aunque es bien conocido por los geometristas diferenciales desde principios del siglo XX, también se ha aplicado a problemas en ingeniería y robótica . ^[48] Considere la esfera 2 como un cuerpo rígido en un espacio tridimensional rodando sin deslizarse o torcerse en un plano horizontal. El punto de contacto describirá una curva en el plano y en la superficie. En cada punto de contacto, los diferentes planos tangentes de la esfera pueden identificarse con el plano horizontal y, por lo tanto, entre sí.

• La curvatura habitual de la curva plana es la curvatura geodésica de la curva trazada en la esfera.
• Esta identificación de los planos tangentes a lo largo de la curva corresponde al transporte paralelo.

Esto es particularmente fácil de visualizar para una esfera: es exactamente la forma en que una canica se puede enrollar a lo largo de una mesa perfectamente plana.

Los roles del plano y la esfera se pueden invertir para proporcionar un punto de vista alternativo pero equivalente. La esfera se considera fija y el plano tiene que rodar sin deslizarse o girar a lo largo de la curva dada en la esfera. ^[49]

Superficies incrustadas [ editar ]

Cuando una superficie M está incrustada en E ³ , el mapa de Gauss de M $${\ displaystyle \ rightarrow} S ^{2 se} extiende a un mapa equivalente a SO (2) entre los paquetes de marcos ortonormales E $${\ displaystyle \ rightarrow}SO (3). De hecho, la tríada que consta del marco tangente y el vector normal da un elemento de SO (3).

En 1956 Kobayashi demostró que: ^[50]

Debajo del mapa de Gauss extendida, la conexión de SO (3) induce la conexión en E .

Esto significa que las formas, θ ₁ y θ ₂ en E se obtienen al retirar las de SO (3); y que las rutas de elevación de Ma E se pueden lograr mediante la asignación de la ruta de la 2-esfera, el levantamiento de la ruta de acceso a SO (3) y luego tirando hacia atrás el ascensor a E . Por lo tanto, para las superficies incrustadas, la esfera 2 con la conexión principal en su paquete de marcos proporciona un "modelo universal", el prototipo de los paquetes universales discutidos en Narasimhan y Ramanan (1965) .

En términos más concretos, esto permite que el transporte paralelo se describa explícitamente mediante la ecuación de transporte. El transporte paralelo a lo largo de una curva c ( t ), donde t toma valores en [0,1], a partir de una tangente de un vector tangente v ₀ también equivale a encontrar un mapa v ( t ) de [0,1] a R ³ tal que

• v ( t ) es un vector tangente a M en c ( t ) con v (0) = v ₀ .
• el vector de velocidad $${\ displaystyle {\ dot {v}} (t)}es normal a la superficie en c ( t ), es decir, P ( c ( t )) v ( t ) = 0.

Esto siempre tiene una solución única, llamada transporte paralelo de v _{0 a lo} largo de c .

La existencia de transporte paralelo se puede deducir utilizando el método analítico descrito para SO (3) / SO (2), que desde una ruta hacia el rango dos proyecciones Q ( t ) que comienzan en Q ₀ produjeron una ruta g ( t ) en SO (3) comenzando en I tal que

$${\ displaystyle Q = gQ_ {0} g ^ {- 1}, \, \, \, Q_ {0} g ^ {- 1} {\ dot {g}} Q_ {0} = 0.}

g ( t ) es la única solución de la ecuación de transporte

g t g −1 = ½ F t F

con g (0) = I y F = 2 Q - I. Aplicando esto con Q ( t ) = P ( c ( t )), se deduce que, dado un vector tangente v ₀ en el espacio tangente a M en c ( 0), el vector v ( t ) = g ( t ) v _{0 se} encuentra en el espacio tangente a M en c ( t ) y satisface la ecuación

$${\ displaystyle P (c (t)) {\ dot {v}} (t) = 0.}

Por lo tanto, es exactamente el transporte paralelo de v a lo largo de la curva c . ^[45] En este caso, la longitud del vector v ( t ) es constante. Más generalmente, si se toma otro vector tangente inicial u _{0 en} lugar de v ₀ , el producto interno ( v ( t ), u ( t )) es constante. Los espacios tangentes a lo largo de la curva c ( t ) se identifican canónicamente como espacios de productos internos mediante transporte paralelo, de modo que el transporte paralelo proporciona una isometría entre los planos tangentes. La condición en el vector de velocidad.$${\ displaystyle {\ dot {v}} (t)} se puede reescribir en términos de la derivada covariante como ^[22] [51]

$${\ displaystyle \ nabla _ {\ dot {c}} v = 0}

La ecuación definitoria para el transporte paralelo.

La forma cinemática de entender el transporte paralelo para la esfera se aplica igualmente bien a cualquier superficie cerrada en E ³ considerada como un cuerpo rígido en un espacio tridimensional rodando sin deslizarse o torcerse en un plano horizontal. El punto de contacto describirá una curva en el plano y en la superficie. En cuanto a la esfera, la curvatura habitual de la curva plana es igual a la curvatura geodésica de la curva trazada en la superficie.

Esta forma geométrica de ver el transporte paralelo también se puede expresar directamente en el lenguaje de la geometría. ^[52] La envoltura de los planos tangentes a M a lo largo de una curva c es una superficie con una curvatura gaussiana en desaparición, que según el teorema de Minding, debe ser localmente isométrica al plano euclidiano. Esta identificación permite definir el transporte paralelo, porque en el plano euclidiano todos los planos tangentes se identifican con el espacio en sí.

Hay otra forma sencilla de construir el formulario de conexión utilizando la incrustación de M en E ³ . ^[53]

La tangente vectores e ₁ y e ₂ de un marco en M definen funciones suaves de E con valores en R ³ , por lo que cada uno da una 3-vector de funciones y, en particular de ₁ es un 3-vector de 1-formas en E .

El formulario de conexión está dado por

$${\ displaystyle \ omega = de_ {1} \ cdot e_ {2}}

tomando el producto escalar habitual en 3-vectores.

Ecuaciones de Gauss-Codazzi [ editar ]

Ver también: ecuaciones de Gauss-Codazzi.

Cuando M está incrustado en E ³ , se pueden definir otras dos formas 1 χ y χ en el paquete de cuadros E usando el operador de forma. ^{[54] [55] [56]} De hecho, el mapa de Gauss induce un mapa K -equivariante de E en SO (3), el paquete de cuadros de S ² = SO (3) / SO (2). La forma es el retroceso de una de las tres formas invariantes derechas de Maurer-Cartan en SO (3). Las 1 formas ψ y χ se definen como los retrocesos de las otras dos.

Estas formas 1 satisfacen las siguientes ecuaciones de estructura:

$${\ displaystyle \ psi \ wedge \ theta _ {1} + \ chi \ wedge \ theta _ {2} = 0}

( ecuación de simetría )

$${\ displaystyle d \ omega = \ psi \ wedge \ chi}

( Ecuación de Gauss )

$${\ displaystyle d \ psi = \ chi \ wedge \ omega, \, \, d \ chi = \ omega \ wedge \ psi}

( Ecuaciones de Codazzi )

Las ecuaciones de Gauss-Codazzi para χ, ψ y ω siguen inmediatamente de las ecuaciones de Maurer-Cartan para las tres formas 1 invariantes a la derecha en SO (3).

Guía de lectura [ editar ]

Por Berger (2004), uno de los estudios introductorios más completos sobre el tema, que describe el desarrollo histórico desde antes de Gauss hasta los tiempos modernos . Los tratamientos a nivel de posgrado de la conexión riemanniana se pueden encontrar en Singer & Thorpe (1967) , do Carmo 

(1976) y O'Neill (1997) . En Ivey & Landsberg (2003) y Sharpe (1997) se pueden encontrar introducciones accesibles del enfoque de Cartan a las conexiones que utilizan marcos en movimiento . El tratamiento clásico de las conexiones se puede encontrar en Kobayashi y Nomizu (1963) .