LISTA DE TEMAS MATEMÁTICOS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

Lista de grupos pequeños

Cuenta [ editar ]

por $${\ displaystyle n = 1,2, \ dots} El número de grupos de orden no isomórficos. $${\ displaystyle n} es

1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 14, 1, 5, 1, 5, ... (secuencia A000001 en el OEIS )

Para grupos etiquetados, ver OEIS :  A034383 .

Glosario [ editar ]

Cada grupo se nombra por su índice de biblioteca de Grupos pequeños como G _o ⁱ , donde o es el orden del grupo, ei es el índice del grupo dentro de ese orden.

Nombres comunes de grupos:

• Z _n : el grupo cíclico de orden n ( también se usa la notación C _n ; es isomorfo al grupo aditivo de Z / n Z ).
• Dih _n : el grupo diedro de orden 2 n (a menudo se usa la notación D _n o D _2 n )
  • K ₄ : los cuatro grupos de Klein de orden 4, igual que Z ₂ × Z ₂ o Dih ₂ .
• S _n : el grupo simétrico de grado n , que contiene el n ! Permutaciones de n elementos.
• A _n : el grupo alternativo de grado n , que contiene las permutaciones pares de n elementos, de orden 1 para n = 0, 1 , y orden n ! / 2 de lo contrario.
• Dic _n o Q _4n : el grupo dicíclico de orden 4 n .
  • Q ₈ : el grupo de cuaternión de orden 8, también Dic ₂ .

Las notaciones Z _n y Dih _n tienen la ventaja de que los grupos de puntos en tres dimensiones C _n y D _n no tienen la misma notación. Hay más grupos de isometría que estos dos, del mismo tipo de grupo abstracto.

La notación G × H denota el producto directo de los dos grupos; G ⁿ denota el producto directo de un grupo consigo mismo n veces. G ⋊ H denota un producto semidirecto donde H actúa sobre G ; Esto también puede depender de la elección de la acción de H en G

Se señalan grupos abelianos y simples . (Para grupos de orden n <60 font=""> , los grupos simples son precisamente los grupos cíclicos Z _n , para primo n .) El signo de igualdad ("=") denota isomorfismo.

El elemento de identidad en los gráficos de ciclo está representado por el círculo negro. El orden más bajo para el cual el gráfico de ciclo no representa de manera única a un grupo es el orden 16.

En las listas de subgrupos, el grupo trivial y el grupo en sí no están listados. Donde hay varios subgrupos isomorfos, el número de tales subgrupos se indica entre paréntesis.

Lista de pequeños grupos abelianos [ editar ]

Los grupos abelianos finitos son grupos cíclicos o productos directos de los mismos; Ver grupos abelianos . Los números de grupos abelianos no isomórficos de órdenes.$${\ displaystyle n = 1,2, \ dots} son

1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 5, 1, 2, 1, 2, ... (secuencia A000688 en el OEIS )

Para los grupos abelianos etiquetados, vea OEIS :  A034382 .

Lista de todos los grupos abelianos hasta el orden 31.

Orden	CARNÉ DE IDENTIDAD	Goi	Grupo	Subgrupos no triviales propios	Gráfico de ciclo	Propiedades
1	1	G11	Z 1 = S 1 = A 2	-		Trivial . Cíclico. Alterno.Simétrico. Primaria .
2	2	G21	Z 2 = S 2 = Dih 1	-		Sencillo. Simétrico. Cíclico.Elemental. (Grupo no trivial más pequeño).
3	3	G31	Z 3 = A 3	-		Sencillo. Alterno. Cíclico.Elemental.
4	4	G41	Z 4 = Dic 1	Z 2		Cíclico.
	5	G42	Z 2 2 = K 4 = Dih 2	Z 2 (3)		Elemental. Producto. ( Klein cuatro grupos . El grupo no cíclico más pequeño.)
5	6	G51	Z 5	-		Sencillo. Cíclico. Elemental.
6	8	G62	Z 6 = Z 3 × Z 2 [1]	Z 3 , Z 2		Cíclico. Producto.
7	9	G71	Z 7	-		Sencillo. Cíclico. Elemental.
8	10	G81	Z 8	Z 4 , Z 2		Cíclico.
	11	G82	Z 4 × Z 2	Z 2 2 , Z 4(2), Z 2 (3)		Producto.
	14	G85	Z 2 3	Z 2 2 (7), Z2 (7)		Producto. Elemental. (Los elementos que no son de identidad corresponden a los puntos en el plano Fano , lossubgrupos Z 2 × Z 2 a las líneas).
9	15	G91	Z 9	Z 3		Cíclico.
	dieciséis	G92	Z 3 2	Z 3 (4)		Elemental. Producto.
10	18	G102	Z 10 = Z 5 × Z 2	Z 5 , Z 2		Cíclico. Producto.
11	19	G111	Z 11	-		Sencillo. Cíclico. Elemental.
12	21	G122	Z 12 = Z 4 × Z 3	Z 6 , Z 4 , Z3 , Z 2		Cíclico. Producto.
	24	G125	Z 6 × Z 2 = Z 3 × Z 2 2	Z 6 (3), Z 3 , Z 2 (3), Z 22		Producto.
13	25	G131	Z 13	-		Sencillo. Cíclico. Elemental.
14	27	G142	Z 14 = Z 7 × Z 2	Z 7 , Z 2		Cíclico. Producto.
15	28	G151	Z 15 = Z 5 × Z 3	Z 5 , Z 3		Cíclico. Producto.
dieciséis	29	G161	Z 16	Z 8 , Z 4 , Z2		Cíclico.
	30	G162	Z 4 2	Z 2 (3), Z 4(6), Z 2 2 ,Z 4 × Z 2(3)		Producto.
	33	G165	Z 8 × Z 2	Z 2 (3), Z 4(2), Z 2 2 , Z8 (2),Z 4 × Z 2		Producto.
	38	G1610	Z 4 × Z 2 2	Z 2 (7), Z 4(4), Z 2 2(7), Z 2 3 ,Z 4 × Z 2(6)		Producto.
	42	G1614	Z 2 4 = K 4 2	Z 2 (15), Z 22 (35), Z 2 3(15)		Producto. Elemental.
17	43	G171	Z 17	-		Sencillo. Cíclico. Elemental.
18	45	G182	Z 18 = Z 9 × Z 2	Z 9 , Z 6 , Z3 , Z 2		Cíclico. Producto.
	48	G185	Z 6 × Z 3 = Z 3 2 × Z 2	Z 6 , Z 3 , Z2		Producto.
19	49	G191	Z 19	-		Sencillo. Cíclico. Elemental.
20	51	G202	Z 20 = Z 5 × Z 4	Z 20 , Z 10 , Z 5 , Z 4 , Z2		Cíclico. Producto.
	54	G205	Z 10 × Z 2 = Z 5 × Z 2 2	Z 5 , Z 2		Producto.
21	56	G212	Z 21 = Z 7 × Z 3	Z 7 , Z 3		Cíclico. Producto.
22	58	G222	Z 22 = Z 11 × Z 2	Z 11 , Z 2		Cíclico. Producto.
23	59	G231	Z 23	-		Sencillo. Cíclico. Elemental.
24	61	G242	Z 24 = Z 8 × Z 3	Z 12 , Z 8 , Z 6 , Z 4 , Z3 , Z 2		Cíclico. Producto.
	68	G249	Z 12 × Z 2 = Z 6 × Z 4 = Z 4 × Z 3 × Z 2	Z 12 , Z 6 , Z 4 , Z 3 , Z2		Producto.
	74	G2415	Z 6 × Z 2 2 = Z 3 × Z 2 3	Z 6 , Z 3 , Z2		Producto.
25	75	G251	Z 25	Z 5		Cíclico.
	76	G252	Z 5 2	Z 5		Producto. Elemental.
26	78	G262	Z 26 = Z 13 × Z 2	Z 13 , Z 2		Cíclico. Producto.
27	79	G271	Z 27	Z 9 , Z 3		Cíclico.
	80	G272	Z 9 × Z 3	Z 9 , Z 3		Producto.
	83	G275	Z 3 3	Z 3		Producto. Elemental.
28	85	G282	Z 28 = Z 7 × Z 4	Z 14 , Z 7 , Z 4 , Z 2		Cíclico. Producto.
	87	G284	Z 14 × Z 2 = Z 7 × Z 2 2	Z 14 , Z 7 , Z 4 , Z 2		Producto.
29	88	G291	Z 29	-		Sencillo. Cíclico. Elemental.
30	92	G304	Z 30 = Z 15 × Z 2 = Z 10× Z 3 = Z 6 × Z 5 = Z 5 × Z 3 × Z 2	Z 15 , Z 10 , Z 6 , Z 5 , Z3 , Z 2		Cíclico. Producto.
31	93	G311	Z 31	-		Sencillo. Cíclico. Elemental.

Lista de pequeños grupos no abelianos [ editar ]

Los números de grupos no abelianos, por orden, se cuentan por (secuencia A060689 en el OEIS ). Sin embargo, muchas órdenes no tienen grupos no abelianos. Las órdenes para las cuales existe un grupo no abeliano son

6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 46, 48, 50, ... (secuencia A060652 en el OEIS )

Lista de todos los grupos nonabelianos hasta el orden 31

Orden	CARNÉ DE IDENTIDAD	Goi	Grupo	Subgrupos no triviales propios	Gráfico de ciclo	Propiedades
6	7	G61	Dih 3 = S 3 = D 6	Z 3 , Z 2 (3)		Grupo diedro , el grupo no abeliano más pequeño, grupo simétrico, grupo Frobenius
8	12	G83	Dih 4 = D 8	Z 4 , Z 2 2(2), Z 2 (5)		Grupo diedro. Grupo extraespecial . Nilpotente.
	13	G84	Q 8 = Dic 2 = <2>	Z 4 (3), Z 2		Grupo cuaternión , grupo hamiltoniano . todos los subgrupos son normales sin que el grupo sea abeliano. El grupo más pequeño G que demuestra que para un subgrupo normal H el grupo cociente G / H no necesita ser isomorfo a un subgrupo de G. Grupo extraespecial. Grupodiédrico binario. Nilpotente.
10	17	G101	Dih 5 = D 10	Z 5 , Z 2 (5)		Grupo diedro, grupo frobenius
12	20	G121	Q 12 = Dic 3 = <3>  = Z 3 ⋊ Z 4	Z 2 , Z 3 , Z4 (3), Z 6		Grupo diedro binario
	22	G123	Un 4	Z 2 2 , Z 3(4), Z 2 (3)		Grupo alternante . No hay subgrupos de orden 6, aunque 6 divide su orden.Grupo frobenius
	23	G124	Dih 6 = D 12 = Dih 3 × Z 2	Z 6 , Dih 3(2), Z 2 2(3), Z 3 , Z 2(7)		Grupo diedro, producto
14	26	G141	Dih 7 = D 14	Z 7 , Z 2 (7)		Grupo diedro , grupo frobenius
16 [2]	31	G163	G 4,4 = K 4 ⋊ Z 4 (Z 4 × Z 2 ) ⋊ Z 2	E 8 , Z 4 × Z 2 (2), Z 4(4), K 4 (6), Z 2 (6)		Tiene el mismo número de elementos de cada orden que el grupo Pauli. Nilpotente.
	32	G164	Z 4 ⋊ Z 4			Los cuadrados de los elementos no forman un subgrupo. Tiene el mismo número de elementos de cada pedido que Q 8 × Z 2 .Nilpotente.
	34	G166	Z 8 ⋊ Z 2			Algunas veces se denominagrupo modular de orden 16, aunque esto es engañoso, ya que los grupos abelianos y Q8 × Z 2 también son modulares. Nilpotente.
	35	G167	Dih 8 = D 16	Z 8 , Dih 4(2), Z 2 2(4), Z 4 , Z 2(9)		Grupo diedro . Nilpotente.
	36	G168	QD 16			El orden 16 grupo cuasidihédrico . Nilpotente.
	37	G169	Q 16 = Dic 4 = <4>			Grupo cuaternión generalizado , grupo diédrico binario. Nilpotente.
	39	G1611	Dih 4 × Z 2	Dih 4 (4),Z 4 × Z 2 , Z2 3 (2), Z 2 2(13), Z 4(2), Z 2 (11)		Producto. Nilpotente.
	40	G1612	Q 8 × Z 2			Hamiltoniano , producto.Nilpotente.
	41	G1613	(Z 4 × Z 2 ) ⋊ Z 2			El grupo Pauli generado por las matrices de Pauli .Nilpotente.
18	44	G181	Dih 9 = D 18			Grupo diedro, grupo frobenius
	46	G183	S 3 × Z 3			Producto
	47	G184	(Z 3 × Z 3 ) ⋊ Z 2			Grupo frobenius
20	50	G201	Q 20 = Dic 5 = <5>			Grupo diedro binario
	52	G203	Z 5 ⋊ Z 4			Grupo frobenius
	53	G204	Dih 10 = Dih 5 × Z 2 = D 20			Grupo diedro, producto
21	55	G211	Z 7 ⋊ Z 3	Z 7 , Z 3 (7)		El grupo no abeliano más pequeño de orden impar.Grupo frobenius
22	57	G221	Dih 11 = D 22			Grupo diedro, grupo frobenius
24	60	G241	Z 3 ⋊ Z 8			Extensión central de S 3
	62	G243	SL (2,3) = 2T = Q 8 ⋊ Z 3			Grupo tetraédrico binario
	63	G244	Q 24 = Dic 6 = <6> = Z 3⋊ Q 8			Diédrica binaria
	64	G245	Z 4 × S 3			Producto
	sesenta y cinco	G246	Dih 12			Grupo diedro
	66	G247	Dic 3 × Z 2 = Z 2 × (Z 3 ⋊ Z 4)			Producto
	67	G248	(Z 6 × Z 2 ) ⋊ Z 2 = Z 3 ⋊ Dih4			Doble portada de grupo diedro.
	69	G2410	Dih 4 × Z 3			Producto. Nilpotente.
	70	G2411	Q 8 × Z 3			Producto. Nilpotente.
	71	G2412	S 4			Grupo simétrico . No tiene subgrupos de Sylow normales.
	72	G2413	A 4 × Z 2			Producto
	73	G2414	D 12 × Z 2			Producto
26	77	G261	Dih 13			Grupo diedro, grupo frobenius
27	81	G273	Z 3 2 ⋊ Z 3			Todos los elementos no triviales tienen orden 3. Grupo extraespecial . Nilpotente.
	82	G274	Z 9 ⋊ Z 3			Grupo extraespecial .Nilpotente.
28	84	G281	Z 7 ⋊ Z 4			Grupo diedro binario
	86	G283	Dih 14			Grupo diedro, producto
30	89	G301	Z 5 × S 3			Producto
	90	G302	Z 3 × Dih 5			Producto
	91	G303	Dih 15			Grupo diedro, grupo frobenius

Clasificando grupos de pequeña orden [ editar ]

Los grupos pequeños de orden de potencia principal p ⁿ se dan de la siguiente manera:

• Orden p : el único grupo es cíclico.
• Orden p ² : Hay solo dos grupos, ambos abelianos.
• Orden p ³ : Hay tres grupos abelianos y dos grupos no abelianos. Uno de los grupos no abelianos es el producto semidirecto de un subgrupo cíclico normal de orden p ² por un grupo cíclico de orden p . El otro es el grupo de cuaternión para p = 2 y un grupo de exponente p para p > 2 .
• Orden p ⁴ : la clasificación es complicada y se vuelve mucho más difícil a medida que aumenta el exponente de p .

La mayoría de los grupos de orden pequeño tienen una Sylow p subgrupo P con una normal de p -complement Npara algún primo p dividiendo la orden, así se pueden clasificar en términos de la posible números primos p , p -Grupos P , grupos N , y las acciones de P en n . En cierto sentido, esto reduce la clasificación de estos grupos a la clasificación de p- grupos. Algunos de los grupos pequeños que no tienen un complemento p normal incluyen:

• Orden 24: El grupo simétrico S _4.
• Orden 48: El grupo octaédrico binario y el producto S ₄ × Z ₂
• Orden 60: El grupo alterno A ₅ .

Biblioteca de grupos pequeños [ editar ]

El sistema de álgebra computacional teórica de grupo GAP contiene la "biblioteca de grupos pequeños" que proporciona acceso a descripciones de grupos de orden pequeño. Los grupos se enumeran hasta el isomorfismo. En la actualidad, la biblioteca contiene los siguientes grupos: ^[3]

• los de orden a lo sumo 2000;
• los de orden sin cubo a lo sumo 50000 (395 703 grupos);
• los de orden libre;
• los de orden p ⁿ para n como máximo 6 y p prime;
• los de orden p ⁷ para p = 3, 5, 7, 11 (907 489 grupos);
• los de orden pq ⁿ donde q ⁿ divide 2 ⁸ , 3 ⁶ , 5 ⁵ o 7 ⁴ y p es un primo arbitrario que difiere de q ;
• aquellos cuyas órdenes se factorizan en como máximo 3 números primos (cuentan con multiplicidad).

Contiene descripciones explícitas de los grupos disponibles en formato legible por computadora.

El pedido más pequeño para el cual la biblioteca de SmallGroups no tiene información es 2048.