LISTA DE TEMAS MATEMÁTICOS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

grupo alternativo es el grupo de permutaciones pares de un conjunto finito . El grupo alternativo en un conjunto de nelementos se denomina grupo alternativo de grado n , o el grupo alternativo en n letras y se denota por A _n o Alt ( n ).

Propiedades basicas [ editar ]

Para n > 1 , el grupo A _n es el subgrupo de conmutadores del grupo simétrico S _n con el índice 2 y, por lo tanto, tiene n !  / 2 elementos. Es el núcleo del grupo de firma homomorfismo sgn: S _n → {1, −1} explicado bajo grupo simétrico .

El grupo A _n es abeliano si y solo si n ≤ 3 y simple si y solo si n = 3 o n ≥ 5 . A ₅ es el grupo simple no abeliano más pequeño , con orden 60 y el grupo no solucionable más pequeño .

El grupo A ₄ tiene un Klein de cuatro grupos V como un subgrupo normal adecuado , a saber, la identidad y las dobles transposiciones {(), (12) (34), (13) (24), (14) (23)}, y se asigna a A ₃ = C ₃ , de la secuencia V → A ₄ → A ₃ = C ₃ . En la teoría de Galois , este mapa, o más bien el mapa correspondiente S ₄ → S ₃ , corresponde a asociar la resolución cúbica de Lagrange a un quártico, lo que permite que el polinomio quárticosea ​​resuelto por radicales, según lo establecido porLodovico Ferrari .

Clases de conjugación [ editar ]

Al igual que en el grupo simétrico , cualquiera de los dos elementos de en A _n que están conjugados por un elemento de A _n debe tener la misma forma de ciclo . Sin embargo, lo contrario no es necesariamente cierto. Si la forma del ciclo consiste solo en ciclos de longitud impar sin dos ciclos de la misma longitud, donde los ciclos de longitud uno se incluyen en el tipo de ciclo, entonces hay exactamente dos clases de conjugación para esta forma de ciclo ( Scott 1987 , §11.1, p299 ).

Ejemplos:

• Las dos permutaciones (123) y (132) no son conjugados en A ₃ , aunque tienen la misma forma de ciclo y, por lo tanto, están conjugadas en S ₃ .
• La permutación (123) (45678) no está conjugada con su inversa (132) (48765) en A ₈ , aunque las dos permutaciones tienen la misma forma de ciclo, por lo que están conjugadas en S ₈ .

Relación con el grupo simétrico [ editar ]

Ver grupo simétrico .

Generadores y relaciones [ editar ]

Se genera una _n por 3 ciclos, ya que se pueden obtener 3 ciclos combinando pares de transposiciones. Este grupo generador se usa a menudo para probar que A _n es simple para n ≥ 5 .

Grupo de automorfismo [ editar ]

Más información: Automorfismos de los grupos simétricos y alternos.

${\displaystyle n}$	${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{n})}$	${\displaystyle \operatorname {Out} (\mathrm {A} _{n})}$
${\displaystyle n\geq 4,n\neq 6}$	${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$	${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$
${\displaystyle n=1,2}$	${\displaystyle \mathrm {Z} _{1}}$	${\displaystyle \mathrm {Z} _{1}}$
${\displaystyle n=3}$	${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$	${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$
${\displaystyle n=6}$	${\displaystyle \mathrm {S} _{6}\rtimes \mathrm {Z} _{2}}$	${\displaystyle \mathrm {V} =\mathrm {Z} _{2}\times \mathrm {Z} _{2}}$

Para n > 3 , excepto para n = 6 , el grupo de automorfismo de A _nes el grupo simétrico S _n , con el grupo de automorfismo interno A _ny el grupo de automorfismo externo Z ₂ ; el automorfismo externo proviene de la conjugación por una permutación impar.

Para n = 1 y 2, el grupo de automorfismo es trivial. Para n = 3, el grupo de automorfismo es Z ₂ , con un grupo de automorfismo interno trivial y el grupo de automorfismo externo Z ₂ .

El grupo de automorfismo externo de A ₆ es el cuatro grupos de Klein V = Z ₂ × Z ₂ , y está relacionado con el automorfismo externo de S ₆ . El automorfismo externo adicional en A ₆ intercambia los 3 ciclos (como (123)) con elementos de forma 3 ² (como (123) (456)).

Isomorfismos excepcionales [ editar ]

Hay algunos isomorfismos excepcionales entre algunos de los grupos alternos pequeños y grupos pequeños del tipo Lie , especialmente los grupos lineales especiales proyectivos . Estos son:

• A ₄ es isomorfo a PSL ₂ (3) ^[1] y al grupo de simetría de la simetría tetraédrica quiral .
• A ₅ es isomorfo a PSL ₂ (4), PSL ₂ (5) y al grupo de simetría de la simetría icosaédrica quiral . (Consulte ^[1]para un isomorfismo indirecto de PSL ₂ (F ₅ ) → A ₅ usando una clasificación de grupos simples de orden 60, y aquí para una prueba directa).
• Un ₆ es isomorfo a PSL ₂ (9) y PSp ₄ (2) '.
• Un ₈ es isomorfo a PSL ₄ (2).

Más obviamente, A ₃ es isomorfo al grupo cíclico Z ₃ , y A ₀ , A ₁ y A ₂ son isomorphic al grupo trivial (que también es SL ₁ ( q ) = PSL ₁ ( q ) para cualquier q ).

Ejemplos S ₄ y A ₄ [ editar ]

Tabla de Cayley del grupo simétrico S 4 Las permutaciones impares están coloreadas:  transposiciones en verde y 4 ciclos en naranja

Tabla de Cayley del grupo A alternativo 4 Elementos: las permutaciones pares (la identidad, ocho ciclos de tres y tres transposiciones dobles (transposiciones dobles en negrita))  Subgrupos:

Gráficas de ciclo

A 3 = Z 3 (orden 3)	A 4 (orden 12)	A 4 × Z 2 (orden 24)
S 3 = Dih 3 (orden 6)	S 4 (orden 24)	A 4 en S 4 a la izquierda

Subgrupos [ editar ]

A ₄ es el grupo más pequeño que demuestra que lo contrario del teorema de Lagrange no es cierto en general: dado un grupo finito G y un divisor d de | G |, no existe necesariamente un subgrupo de G con orden d : el grupo G = A ₄ , de orden 12, no tiene subgrupo de orden 6. Un subgrupo de tres elementos (generado por una rotación cíclica de tres objetos) con Cualquier elemento adicional genera todo el grupo.

Para todos n > 4 , A _n no tiene subgrupos normales no triviales (es decir, adecuados) . Por lo tanto, A _n es un grupo simple para todos n > 4 . A ₅ es el grupo no soluble más pequeño .

Homología de grupo [ editar ]

Ver también: Grupo simétrico § Homología.

La homología de grupo de los grupos alternos exhibe estabilización, como en la teoría de la homotopía estable : para n suficientemente grande , es constante. Sin embargo, hay algunas homologías excepcionales de baja dimensión. Tenga en cuenta que la homología del grupo simétrico muestra una estabilización similar, pero sin las excepciones de baja dimensión (elementos de homología adicionales).

H ₁ : Abelianización [ editar ]

El primer grupo de homología coincide con la abelianización , y (desde$${\ displaystyle \ mathrm {A} _ {n}}es perfecto , excepto por las excepciones citadas) es así:

$${\ displaystyle H_ {1} (\ mathrm {A} _ {n}, \ mathrm {Z}) = 0} para $${\ displaystyle n = 0,1,2};

$${\ displaystyle H_ {1} (\ mathrm {A} _ {3}, \ mathrm {Z}) = \ mathrm {A} _ {3} ^ {\ text {ab}} = \ mathrm {A} _ { 3} = \ mathrm {Z} / 3};

$${\ displaystyle H_ {1} (\ mathrm {A} _ {4}, \ mathrm {Z}) = \ mathrm {A} _ {4} ^ {\ text {ab}} = \ mathrm {Z} / 3 };

$${\ displaystyle H_ {1} (\ mathrm {A} _ {n}, \ mathrm {Z}) = 0} para $${\ displaystyle n \ geq 5}.

Esto se ve fácilmente directamente, como sigue. $${\ displaystyle \ mathrm {A} _ {n}} es generado por 3 ciclos, por lo que los únicos mapas de abelianización no triviales son $${\ displaystyle \ mathrm {A} _ {n} \ to \ mathrm {C} _ {3},} ya que los elementos de orden 3 deben asignarse a orden de 3 elementos - y para $${\ displaystyle n \ geq 5}todos los 3 ciclos son conjugados, por lo que deben mapearse al mismo elemento en la abelianización, ya que la conjugación es trivial en los grupos abelianos. Por lo tanto, un ciclo similar a 3 (123) debe asignarse al mismo elemento que su inverso (321), pero, por lo tanto, debe asignarse a la identidad, ya que debe tener un orden que divide 2 y 3, por lo que la abelianización es trivial.

por {\ displaystyle n <3 font="">, $${\ displaystyle \ mathrm {A} _ {n}}Es trivial, y por lo tanto tiene abelianización trivial. por$${\ displaystyle \ mathrm {A} _ {3}} y $${\ displaystyle \ mathrm {A} _ {4}} uno puede calcular la abelianización directamente, observando que los 3 ciclos forman dos clases de conjugación (en lugar de ser todos conjugados) y hay mapas no triviales $${\ displaystyle \ mathrm {A} _ {3} \ twoheadrightarrow \ mathrm {C} _ {3}} (de hecho un isomorfismo) y $${\ displaystyle \ mathrm {A} _ {4} \ twoheadrightarrow \ mathrm {C} _ {3}.

H ₂ : Schur multiplicadores [ editar ]

Artículo principal: Grupos de cobertura de los grupos alternos y simétricos.

Los multiplicadores de Schur de los grupos alternos A _n (en el caso en que n es al menos 5) son los grupos cíclicos de orden 2, excepto en el caso en que n es 6 o 7, en cuyo caso también hay una triple cobertura. En estos casos, entonces, el multiplicador de Schur es (el grupo cíclico) de orden 6. ^[2] Estos se calcularon por primera vez en ( Schur 1911 ).

$${\ displaystyle H_ {2} (\ mathrm {A} _ {n}, \ mathrm {Z}) = 0} para $${\ displaystyle n = 1,2,3};

$${\ displaystyle H_ {2} (\ mathrm {A} _ {n}, \ mathrm {Z}) = \ mathrm {Z} / 2} para $${\ displaystyle n = 4,5};

$${\ displaystyle H_ {2} (\ mathrm {A} _ {n}, \ mathrm {Z}) = \ mathrm {Z} / 6} para $${\ displaystyle n = 6,7};

$${\ displaystyle H_ {2} (\ mathrm {A} _ {n}, \ mathrm {Z}) = \ mathrm {Z} / 2} para $${\ displaystyle n \ geq 8}.

 p -grupo es un grupo en el que cada elemento tiene una potencia de pcomo su orden . Es decir, para cada elemento g de un grupo p , existe un entero no negativo n tal que el producto de p ⁿ copias de g , y no menos, sea igual al elemento de identidad . Las órdenes de diferentes elementos pueden ser diferentes potencias de p .

Abelianos p -grupos también se llaman p -primario o simplemente primaria .

Un grupo finito es un grupo p si y solo si su orden (el número de sus elementos) es un poder de p . Dado un grupo G finito , los teoremas de Sylow garantizan, para cada poder primo p ⁿ que divide el orden de G,la existencia de un subgrupo de G de orden p ⁿ .

El resto de este artículo trata de p- grupos finitos . Para ver un ejemplo de un grupo p abeliano infinito , consulte Grupo de Prüfer , y para un ejemplo de un grupo p simple infinito , vea Grupo de monstruos Tarski .

Propiedades [ editar ]

Cada grupo p es periódico ya que, por definición, cada elemento tiene un orden finito .

Si p es primo y G es un grupo de orden p ^k , entonces G tiene un subgrupo normal de orden p ^m para cada 1≤ m≤ k . Esto sigue por inducción, utilizando el teorema de Cauchy y el teorema de la correspondencia para grupos. Un bosquejo de prueba es el siguiente: según el teorema de Cauchy, G tiene un subgrupo H de orden p . Si el normalizador de H en G es G en sí mismo, entonces podemos aplicar la hipótesis inductiva a G / H, y el resultado se desprende del Teorema de Correspondencia. De lo contrario, se aplica la misma lógica a G / N _G (H) , donde N _G (H) es el normalizador de H en G .

Centro no trivial [ editar ]

Uno de los primeros resultados estándar que utilizan la ecuación de clase es que el centro de un grupo p finito no trivial no puede ser el subgrupo trivial. ^[1]

Esto forma la base para muchos métodos inductivos en p- grupos.

Por ejemplo, el normalizador N de un subgrupo H adecuado de un p grupo G finito contiene correctamente H , porque para cualquier contraejemplo con H = N , el centro Z está contenido en N , y también en H , pero luego hay un ejemplo más pequeño H / Z cuyo normalizador en G / Z es N / Z = H / Z , creando un descenso infinito. Como corolario, todo finito.El grupo p es nilpotente .

En otra dirección, cada subgrupo normal de un grupo p finito intersecta el centro de manera no trivial, como puede comprobarse al considerar los elementos de N que se fijan cuando G actúa sobre N por conjugación. Como cada subgrupo central es normal, se deduce que cada subgrupo normal mínimo de un grupo p finito es central y tiene un orden p . De hecho, el zócalo de un grupo p finito es el subgrupo del centro que consiste en los elementos centrales del orden p .

Si G es un grupo p , entonces también lo es G / Z , y también tiene un centro no trivial. La preimagen en G del centro de G / Z se llama el segundo centro y estos grupos comienzan la serie central superior . Generalizando los comentarios anteriores sobre el zócalo, un grupo p finito con orden p ⁿ contiene subgrupos normales de orden p ⁱcon 0 ≤ i ≤ n , y cualquier subgrupo normal de orden p ⁱ está contenido en la iel centro Z _i . Si un subgrupo normal no está contenido en Z _i , entonces su intersección con Z _i +1 tiene un tamaño al menos p ^i +1 .

Automorfismos [ editar ]

Los grupos de automorfismo de p- grupos están bien estudiados. Así como cada grupo p finito tiene un centro no trivial, de modo que el grupo de automorfismo interno es un cociente adecuado del grupo, cada grupo p finito tiene un grupo de automorfismo externo no trivial . Cada automorfismo de G induce un automorfismo en G / Φ ( G), donde Φ ( G ) es el subgrupo Frattini de G . El cociente G / Φ ( G ) es un grupo abeliano elemental y su grupo de automorfismo es unGrupo lineal general , muy bien entendido. El mapa del grupo de automorfismo G en este grupo lineal general ha sido estudiado por Burnside , quien mostró que el núcleo de este mapa es un p- grupo.

Ejemplos [ editar ]

Los p- grupos del mismo orden no son necesariamente isomorfos ; por ejemplo, el grupo cíclico C ₄ y el grupo cuatro de Klein V ₄ son dos grupos de orden 4, pero no son isomorfos.

Tampoco necesita un grupo p ser abeliano ; el grupo diedro Dih ₄ del orden 8 es un grupo 2 no abeliano. Sin embargo, cada grupo de orden p ² es abeliano. ^{[nota 1]}

Los grupos diedros son muy similares y muy diferentes de los grupos del cuaternión y de los grupos semidédricos . Juntos, los grupos diédrico, semidédrico y cuaternión forman los 2 grupos de clase máxima , es decir, aquellos grupos de orden 2 ^n +1 y clase nilpotencia n .

Productos de guirnaldas iteradas [ editar ]

Los productos de la corona iterados de grupos cíclicos de orden p son ejemplos muy importantes de p- grupos. Indique el grupo cíclico de orden p como W (1), y el producto de corona de W ( n ) con W (1) como W ( n  + 1). Entonces W ( n ) es el subgrupo p Sylow del grupo simétrico Sym ( p ⁿ ). Los subgrupos p máximos del grupo lineal general GL ( n , Q ) son productos directos de varios W( n ). Tiene orden p ^k donde k  = ( p ⁿ  - 1) / ( p  - 1). Tiene nilpotency clase p ^n −1 , y su serie central inferior, serie central superior, serie central p de exponente inferior y serie central p de exponente superior son iguales. Se genera por sus elementos de orden p , pero su exponente es p ⁿ . El segundo grupo de este tipo, W (2), también es un p- grupo de clase máxima, ya que tiene orden p ^p +1 y clase de nilpotencia p, pero no es un p- group regular . Dado que los grupos de orden p ^p son siempre grupos regulares, también es un ejemplo mínimo.

Grupos diedros generalizados [ editar ]

Cuando p  = 2 yn  = 2, W ( n ) es el grupo diedro de orden 8, por lo que en cierto sentido W ( n ) proporciona un análogo para el grupo diedro para todos los primos p cuando n  = 2. Sin embargo, para n más alto La analogía se vuelve tensa. Hay una familia diferente de ejemplos que imita más estrechamente los grupos diédricos de orden 2 ⁿ , pero eso requiere un poco más de configuración. Denotemos a una raíz p primitiva de unidad en los números complejos, sea Z [ζ] el anillo de enteros ciclotómicos generados por ella, y PSer el ideal primordialgenerado por 1 − ζ. Sea G un grupo cíclico de orden p generado por un elemento z . Forme el producto semidirecto E ( p ) de Z [ζ] y G donde z actúa como multiplicación por ζ. Las potencias P ⁿ son subgrupos normales de E ( p ), y los grupos de ejemplo son E ( p , n ) =  E ( p ) / P ⁿ . E ( p ,n ) tiene orden p ^n +1 y nilpotency clase n , por lo que es un p- group de clase máxima. Cuando p  = 2, E (2, n ) es el grupo diedro de orden 2 ⁿ . Cuando p es impar, tanto W (2) como E ( p , p ) son grupos irregulares de clase máxima y orden p ^p +1, pero no son isomorfos.

Grupos de matriz unitriangular [ editar ]

Los subgrupos de grupos lineales generales de Sylow son otra familia fundamental de ejemplos. Sea V un espacio vectorial de dimensión n con base { e ₁ , e ₂ , ..., e _n } y defina V _i como el espacio vectorial generado por { e _i , e _i +1 , ..., e _n } para 1 ≤ i ≤ n , y defina V _i = 0 cuando i > n . Para cada 1 ≤ m ≤ n, el conjunto de transformaciones lineales invertibles de V que llevan cada V _i a V _i + m forman un subgrupo de Aut ( V ) denotado U _m . Si V es un espacio vectorial sobre Z / p Z , entonces U ₁ es un subgrupo p de Sylow de Aut ( V ) = GL ( n , p), y los términos de su serie central inferior son solo la U _m . En términos de matrices, U _m.son aquellas matrices triangulares superiores con 1s una diagonal y 0s en los primeros superdiagonales m −1. El grupo U ₁ tiene el orden p ^{n · ( n −1) / 2} , nilpotency clase n y exponente p ^k donde k es el menor entero al menos tan grande como el logaritmo base p de n .

Clasificación [ editar ]

Los grupos de orden p ⁿ para 0 ≤ n ≤ 4 se clasificaron al principio de la historia de la teoría de grupos, ^[2] y el trabajo moderno ha extendido estas clasificaciones a grupos cuyo orden se divide en p ⁷ , aunque el número total de familias de estos grupos crece. tan rápido que las clasificaciones adicionales en este sentido son difíciles de entender para la mente humana. ^[3] Por ejemplo, Marshall Hall Jr. y James K. Senior clasificaron grupos de orden 2 ⁿ para n ≤ 6 en 1964. ^[4]

En lugar de clasificar los grupos por orden, Philip Hall propuso utilizar una noción de isoclinismo de grupos que reunían grupos de p finitos en familias basadas en grandes cocientes y subgrupos. ^[5]

Un método completamente diferente clasifica los grupos p finitos por su clase , es decir, la diferencia entre la longitud de su composición y su clase de potencia nil . Las así llamadas conjeturas de coclass describieron el conjunto de todos los grupos p finitos de coclass fijos como perturbaciones de finamente muchos grupos pro-p . Las conjeturas de coclass se probaron en la década de 1980 utilizando técnicas relacionadas con álgebras de Liey poderosos grupos p . ^[6] Las pruebas finales de los teoremas de las clases.se deben a A. Shalev e independientemente a CR Leedham-Green, ambos en 1994. Admiten una clasificación de p grupos finitos en gráficos de coclass dirigidos que consisten en solo muchos árboles de coclass cuyos (infinitos) miembros se caracterizan por muchos parametrizados. presentaciones

Cada grupo de orden p ⁵ es metabeliano . ^[7]

Hasta p ³ [ editar ]

El grupo trivial es el único grupo de orden uno, y el grupo cíclico C _p es el único grupo de orden p . Hay exactamente dos grupos de orden p ² , ambos abelianos, a saber, C _p ² y C _p  ×  C _p . Por ejemplo, el grupo cíclico C ₄ y el grupo _{4 de} Klein V _4, que es C ₂  ×  C _2, son ambos grupos 2 de orden 4.

Hay tres grupos abelianos de orden p ³ , a saber, C _p ³ , C _p ² × C _p , y C _p × C _p × C _p . También hay dos grupos no abelianos.

Para p  ≠ 2, uno es un producto semidirecto de C _p × C _p con C _p , y el otro es un producto semidirecto de C _p ²con C _p . El primero puede describirse en otros términos como grupo UT (3, p ) de matrices unitriangulares sobre un campo finito con elementos p , también llamado el grupo Heisenberg mod p .

Para p  = 2, ambos productos semidirectos mencionados anteriormente son isomorfos al grupo diédrico Dih ₄ de orden 8. El otro grupo no abeliano de orden 8 es el grupo de cuaternión Q ₈ .

Prevalencia [ editar ]

Entre grupos [ editar ]

El número de clases de isomorfismo de grupos de orden p ⁿ crece a medida que$${\ displaystyle p ^ {{\ frac {2} {27}} n ^ {3} + O (n ^ {8/3})}}, y estos están dominados por las clases que son nilpotent de dos pasos. ^[8] Debido a este rápido crecimiento, hay un folkloreconjetura afirmando que casi todos los grupos finitos son 2-grupos: la fracción de clases de isomorfismo de 2-grupos entre las clases de isomorfismo de grupos de orden a lo sumo n se cree que tienden a 1 como n tiende al infinito. Por ejemplo, de los 49 910 529 484 grupos de orden diferentes a lo sumo 2000, 49 487 365 422, o un poco más del 99%, son 2 grupos de orden 1024. ^[9]

Dentro de un grupo [ editar ]

Cada grupo finito cuyo orden es divisible por p contiene un subgrupo que es un grupo p no trivial , es decir, un grupo cíclico de orden p generado por un elemento de orden p obtenido del teorema de Cauchy . De hecho, contiene un p- grupo de orden máximo posible: si$${\ displaystyle | G | = n = p ^ {k} m}donde p no divide m, entonces G tiene un subgrupo P de orden$${\ displaystyle p ^ {k},}llamado un subgrupo p Sylow . Este subgrupo no necesita ser único, pero cualquier subgrupo de este orden está conjugado, y cualquier subgrupo p de G está contenido en un subgrupo p de Sylow . Esta y otras propiedades están probadas en los teoremas de Sylow .

Aplicación a la estructura de un grupo [ editar ]

Los p- grupos son herramientas fundamentales para comprender la estructura de los grupos y en la clasificación de grupos finitos simples . Los p- grupos surgen como subgrupos y como grupos cocientes. Como subgrupos, para un primer dada p uno tiene la Sylow p -subgroups P (mayor p -subgroup no es único, pero todos conjugado) y el p -core $${\ displaystyle O_ {p} (G)}(el subgrupo p normal más grande ), y varios otros. Como cocientes, el cociente más grande de p- group es el cociente de G por el subgrupo p -residual $${\ displaystyle O ^ {p} (G).}Estos grupos están relacionados (para diferentes números primos), poseen propiedades importantes, como el teorema del subgrupo focal , y permiten determinar muchos aspectos de la estructura del grupo.

Control local [ editar ]

Gran parte de la estructura de un grupo finito se transporta en la estructura de los llamados subgrupos locales , los normalizadores de los subgrupos p sin identidad . ^[10]

Los grandes subgrupos abelianos elementales de un grupo finito ejercen control sobre el grupo que se utilizó en la prueba del teorema de Feit-Thompson . Ciertas extensiones centrales de grupos abelianos elementales llamados grupos extraespeciales ayudan a describir la estructura de los grupos que actúan sobre espacios vectoriales simplécticos .

Brauer clasificó todos los grupos cuyos subgrupos Sylow 2 son el producto directo de dos grupos cíclicos de orden 4, y Walter , Gorenstein , Bender , Suzuki , Glauberman y otros clasificaron aquellos grupos simples cuyos subgrupos Sylow eran abelianos, diédricos, semidihédricos, o cuaternion.