LISTA DE TEMAS MATEMÁTICOS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

ANILLO - CONTINUACIÓN

Construcciones [ editar ]

Producto directo [ editar ]

Artículo principal: Producto directo de anillos.

Sean R y S anillos. Entonces, el producto R × S puede equiparse con la siguiente estructura de anillo natural:

• ( r ₁ , s ₁ ) + ( r ₂ , s ₂ ) = ( r ₁ + r ₂ , s ₁ + s ₂ )
• ( r ₁ , s ₁ ) ⋅ ( r ₂ , s ₂ ) = ( r ₁ ⋅ r ₂ , s ₁ ⋅ s ₂ )

para cada r ₁ , r ₂ en R y s ₁ , s ₂ en S . El anillo R × S con las operaciones anteriores de suma y multiplicación y la identidad multiplicativa.$${\ displaystyle (1,1)}se llama el producto directo de R con S . La misma construcción también funciona para una familia arbitraria de anillos: si$${\ displaystyle R_ {i}}Los anillos son indexados por un conjunto I , entonces$${\ displaystyle \ prod _ {i \ en I} R_ {i}}Es un anillo con suma y multiplicación de componentes.

Sea R un anillo conmutativo y$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} _ {1}, \ cdots, {\ mathfrak {a}} _ {n}} ser ideales tales que $${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} _ {i} + {\ mathfrak {a}} _ {j} = (1)} cuando $${\ displaystyle i \ neq j}. Luego, el teorema del resto chino dice que hay un isomorfismo de anillo canónico:

$${\ displaystyle R / {\ textstyle \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} {{\ mathfrak {a}} _ {i}}} \ simeq \ prod _ {i = 1} ^ {n} {R / {\ mathfrak {a}} _ {i}}, \ qquad x \; \ operatorname {mod} \; {\ textstyle \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} {{\ mathfrak {a}} _ {i}}} \ mapsto (x \; \ operatorname {mod} \; {\ mathfrak {a}} _ {1}, \ ldots, x \; \ operatorname {mod} \; {\ mathfrak {a}} _{norte})}.

Un producto directo "finito" también puede verse como una suma directa de ideales. ^[29] A saber, vamos$${\ displaystyle R_ {i}, 1 \ leq i \ leq n} se anillos $${\ displaystyle R_ {i} \ a R = \ prod R_ {i}} Las inclusiones con las imágenes. $${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} _ {i}} (en particular $${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} _ {i}}son anillos aunque no son susbrings). Entonces$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} _ {i}}Son ideales de R y

$${\ displaystyle R = {\ mathfrak {a}} _ {1} \ oplus \ cdots \ oplus {\ mathfrak {a}} _ {n}, \ quad {\ mathfrak {a}} _ {i} {\ mathfrak {a}} _ {j} = 0, i \ neq j, \ quad {\ mathfrak {a}} _ {i} ^ {2} \ subseteq {\ mathfrak {a}} _ {i}}

como una suma directa de grupos abelianos (porque para los grupos abelianos los productos finitos son lo mismo que las sumas directas). Es evidente que la suma directa de tales ideales también define un producto de anillos que es isomorfo a R . De manera equivalente, lo anterior puede hacerse a través de idempotentes centrales . Supongamos que R tiene la descomposición anterior. Entonces podemos escribir

$${\ displaystyle 1 = e_ {1} + \ cdots + e_ {n}, \ quad e_ {i} \ en {\ mathfrak {a}} _ {i}.}

Por las condiciones de $${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} _ {i}}, uno tiene eso $${\ displaystyle e_ {i}} son idempotentes centrales y $${\ displaystyle e_ {i} e_ {j} = 0, i \ neq j}(ortogonal). Una vez más, uno puede revertir la construcción. Es decir, si a uno se le asigna una partición de 1 en idempotentes centrales ortogonales, entonces deje$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} _ {i} = Re_ {i}}, que son ideales de dos caras. Si cada uno$${\ displaystyle e_ {i}}no es una suma de idempotentes centrales ortogonales, ^[30] entonces su suma directa es isomorfo a R .

Una aplicación importante de un producto directo infinito es la construcción de un límite proyectivo de anillos (ver más abajo). Otra aplicación es un producto restringido de una familia de anillos (cf. anillo adele ).

Anillo polinomial [ editar ]

Artículo principal: Anillo polinomial.

Dado un símbolo t (llamado variable) y un anillo conmutativo R , el conjunto de polinomios

$${\ displaystyle R [t] = \ left \ {a_ {n} t ^ {n} + a_ {n-1} t ^ {n-1} + \ dots + a_ {1} t + a_ {0} \ mid n \ geq 0, a_ {j} \ in R \ right \}}

forma un anillo conmutativo con la suma y multiplicación habituales, que contiene R como un subring. Se llama el anillo de polinomios sobre R . Más en general, el conjunto$${\ displaystyle R \ left [t_ {1}, \ ldots, t_ {n} \ right]} De todos los polinomios en variables. $${\ displaystyle t_ {1}, \ ldots, t_ {n}} forma un anillo conmutativo, que contiene $${\ displaystyle R \ left [t_ {i} \ right]} como subrings

Si R es un dominio integral, entonces$${\ displaystyle R [t]}También es un dominio integral; Su campo de fracciones es el campo de las funciones racionales . Si R es un anillo noetheriano, entonces$${\ displaystyle R [t]}Es un anillo noetheriano. Si R es un dominio de factorización único, entonces$${\ displaystyle R [t]}Es un dominio de factorización único. Finalmente, R es un campo si y solo si$${\ displaystyle R [t]} Es un dominio ideal principal.

Dejar $${\ displaystyle R \ subseteq S}Sé anillos conmutativos. Dado un elemento x de S , se puede considerar el homomorfismo de anillo

$${\ displaystyle R [t] \ a S, \ quad f \ mapsto f (x)}

(es decir, la sustitución ). Si S = R [ t ] yx = t , entonces f ( t ) = f . Debido a esto, el polinomio f a menudo también se denota por$${\ displaystyle f (t)}. La imagen del mapa.$${\ displaystyle f \ mapsto f (x)} se denota por $${\ displaystyle R [x]}; es lo mismo que la subring de Sgenerada por R y x .

Ejemplo: $${\ displaystyle k \ left [t ^ {2}, t ^ {3} \ right]} Denota la imagen del homomorfismo.

$${\ displaystyle k [x, y] \ to k [t], \, f \ mapsto f \ left (t ^ {2}, t ^ {3} \ right).}

En otras palabras, es la subalgebra de $${\ displaystyle k [t]}generados por t ² y t ³ .

Ejemplo: sea f un polinomio en una variable; es decir, un elemento en un anillo de polinomios R . Entonces$${\ displaystyle f (x + h)} es un elemento en $${\ displaystyle R [h]} y $${\ displaystyle f (x + h) -f (x)}Es divisible por h en ese anillo. El resultado de sustituir cero a h en$${\ displaystyle (f (x + h) -f (x)) / h} es $${\ displaystyle f '(x)}, la derivada de f en x .

La sustitución es un caso especial de la propiedad universal de un anillo polinomial. La propiedad establece: dado un homomorfismo de anillo.$${\ displaystyle \ phi: R \ to S}y un elemento x en S existe un homomorfismo de anillo único$${\ displaystyle {\ overline {\ phi}}: R [t] \ to S} tal que $${\ displaystyle {\ overline {\ phi}} (t) = x} y $${\ displaystyle {\ overline {\ phi}}} restringe a $${\ displaystyle \ phi}. ^[31] Por ejemplo, al elegir una base, un álgebra simétricasatisface la propiedad universal y también lo es un anillo polinomial.

Para dar un ejemplo, sea S el anillo de todas las funciones desde R hasta sí mismo; La suma y la multiplicación son las de las funciones. Sea x la función de identidad. Cada r en R define una función constante, dando lugar al homomorfismo$${\ displaystyle R \ to S}. La propiedad universal dice que este mapa se extiende únicamente a

$${\ displaystyle R [t] \ a S, \ quad f \ mapsto {\ overline {f}}}

( t mapea a x ) donde$${\ displaystyle {\ overline {f}}}Es la función polinomial definida por f . El mapa resultante es inyectivo si y solo si R es infinito.

Dado un polinomio monico no constante f en$${\ displaystyle R [t]}, existe un anillo S que contiene R tal que f es un producto de factores lineales en$${\ displaystyle S [t]}. ^[32]

Sea k un campo algebraicamente cerrado. El Nullstellensatz de Hilbert (teorema de ceros) afirma que existe una correspondencia natural de uno a uno entre el conjunto de todos los ideales principales en$${\ displaystyle k \ left [t_ {1}, \ ldots, t_ {n} \ right]} y el conjunto de subvariedades cerradas de $${\ displaystyle k ^ {n}}. En particular, muchos problemas locales en geometría algebraica pueden ser atacados a través del estudio de los generadores de un ideal en un anillo polinomial. (cf. base de Gröbner .)

Hay algunas otras construcciones relacionadas. Un anillo de serie de poder formal. $${\ displaystyle R [\! [t] \!]} consiste en series formales de poder

$${\ displaystyle \ sum _ {0} ^ {\ infty} a_ {i} t ^ {i}, \ quad a_ {i} \ in R}

Junto con la multiplicación y la suma que imitan a las de series convergentes. Contiene$${\ displaystyle R [t]}como un subring. Tenga en cuenta que un anillo de serie de poder formal no tiene la propiedad universal de un anillo polinomial; una serie no puede converger después de una sustitución. La ventaja importante de un anillo de serie de poder formal sobre un anillo polinomial es que es local (de hecho, completo ).

Anillo de matriz y anillo de endomorfismo [ editar ]

Artículos principales: Matrix ring y Endomorphism ring.

Sea R un anillo (no necesariamente conmutativo). El conjunto de todas las matrices cuadradas de tamaño n con entradas en R forma un anillo con la suma de entrada y la multiplicación de matriz habitual . Se llama el anillo dela matriz y se denota por M _n ( R ). Dado un modulo R correcto$${\ displaystyle U}, el conjunto de todos los mapas lineales R de Ua sí mismo forma un anillo con suma que es de función y multiplicación que es de composición de funciones ; se llama el anillo endomorfismo de U y se denota por$${\ displaystyle \ operatorname {Fin} _ {R} (U)}.

Como en el álgebra lineal, un anillo de matriz puede interpretarse canónicamente como un anillo de endomorfismo: $${\ displaystyle \ operatorname {Fin} _ {R} (R ^ {n}) \ simeq \ operatorname {M} _ {n} (R)}. Este es un caso especial del siguiente hecho: si$${\ displaystyle f: \ oplus _ {1} ^ {n} U \ to \ oplus _ {1} ^ {n} U}es un mapa lineal en R , entonces f puede escribirse como una matriz con entradas$${\ displaystyle f_ {ij}} en $${\ displaystyle S = \ operatorname {Fin} _ {R} (U)}, resultando en el anillo isomorfismo:

$${\ displaystyle \ operatorname {End} _ {R} (\ oplus _ {1} ^ {n} U) \ to \ operatorname {M} _ {n} (S), \ quad f \ mapsto (f_ {ij} ).

Cualquier homomorfismo en anillo R → S induce M _n ( R ) → M _n ( S ) ; de hecho, cualquier homomorfismo de anillo entre anillos de matriz surge de esta manera. ^[33]

El lema de Schur dice que si U es un simple módulo R correcto , entonces$${\ displaystyle \ operatorname {Fin} _ {R} (U)}Es un anillo de división. ^[34]Si$${\ displaystyle \ displaystyle U = \ bigoplus _ {i = 1} ^ {r} U_ {i} ^ {\ oplus m_ {i}}}es una suma directa de m _i- copias de módulos R simples$${\ displaystyle U_ {i}}, entonces

$${\ displaystyle \ operatorname {End} _ {R} (U) \ simeq \ bigoplus _ {1} ^ {r} \ operatorname {M} _ {m_ {i}} (\ operatorname {End} _ {R} ( U_ {i}))}.

El teorema de Artin-Wedderburn establece que cualquier anillo semisimple (ver abajo) es de esta forma.

Un anillo R y el anillo de matriz M _n ( R ) sobre ella son Morita equivalente : la categoría de módulos adecuados de R es equivalente a la categoría de módulos derecha sobre M _n ( R ). ^[33] En particular, los ideales de dos lados en R corresponden en ideales de uno a uno a dos lados en M _n ( R ).

Ejemplos:

• Los automorfismos de la línea proyectiva sobre un anillo están dados por homografías del anillo de matriz 2 x 2.

Límites y colímites de anillos [ editar ]

Sea R _i una secuencia de anillos tal que R _i es una subring de R _i +1 para todo i . Entonces la unión (o colimit filtrado ) de R _i es el anillo$${\ displaystyle \ varinjlim R_ {i}}definido de la siguiente manera: es la unión desunida de todos los módulos de R _i la relación de equivalencia$${\ displaystyle x \ sim y} si y solo si $${\ displaystyle x = y}en R _i para suficientemente grande i .

Ejemplos de colimits:

• Un anillo polinomial en infinitas variables: $${\ displaystyle R [t_ {1}, t_ {2}, \ cdots] = \ varinjlim R [t_ {1}, t_ {2}, \ cdots, t_ {m}].}
• El cierre algebraico de campos finitos de la misma característica.$${\ displaystyle {\ overline {\ mathbf {F}}} _ {p} = \ varinjlim \ mathbf {F} _ {p ^ {m}}.}
• El campo de la serie formal de Laurent sobre un campo k :$${\ displaystyle k (\! (t) \!) = \ varinjlim t ^ {- m} k [\! [t] \!]}(Es el campo de las fracciones del anillo de la serie de poder formal. $${\ displaystyle k [\! [t] \!]}.)
• El campo de función de una variedad algebraica sobre un campo k es$${\ displaystyle \ varinjlim k [U]} donde el límite corre sobre todos los anillos de coordenadas $${\ displaystyle k [U]}de subconjuntos abiertos no vacíos U (más sucintamente, es el tallo de la estructura de la gavilla en el punto genérico ).

Cualquier anillo conmutativo es el colimit de los subrings generados finamente .

Un límite proyectivo (o un límite filtrado ) de anillos se define de la siguiente manera. Supongamos que nos dan una familia de anillos.$${\ displaystyle R_ {i}}, me estoy ejecutando sobre enteros positivos, por ejemplo, y suena homomorfismos$${\ displaystyle R_ {j} \ a R_ {i}, j \ geq i} tal que $${\ displaystyle R_ {i} \ a R_ {i}} son todas las identidades y $${\ displaystyle R_ {k} \ a R_ {j} \ a R_ {i}} es $${\ displaystyle R_ {k} \ a R_ {i}} cuando $${\ displaystyle k \ geq j \ geq i}. Entonces$${\ displaystyle \ varprojlim R_ {i}} es el subring de $${\ displaystyle \ prod R_ {i}} que consiste en $${\ displaystyle (x_ {n})} tal que $${\ displaystyle x_ {j}} mapas para $${\ displaystyle x_ {i}} debajo $${\ displaystyle R_ {j} \ a R_ {i}, j \ geq i}.

Para ver un ejemplo de un límite proyectivo, consulte § Finalización .

Localización [ editar ]

La localización generaliza la construcción del campo de fracciones de un dominio integral a un anillo y módulos arbitrarios. Dado un anillo R (no necesariamente conmutativo) y un subconjunto S de R , existe un anillo$${\ displaystyle R [S ^ {- 1}]}Junto con el anillo de homomorfismo. $${\ displaystyle R \ to R \ left [S ^ {- 1} \ right]}que "invierte" S ; es decir, el homomorfismo mapea elementos en S a elementos unitarios en$${\ displaystyle R \ left [S ^ {- 1} \ right]}y, además, cualquier homomorfismo de anillo de R que "invierte" S únicamente factores a través de$${\ displaystyle R \ left [S ^ {- 1} \ right]}. ^[35] El anillo$${\ displaystyle R \ left [S ^ {- 1} \ right]}se llama la localización de R con respecto a S . Por ejemplo, si R es un anillo conmutativo y f un elemento en R , entonces la localización$${\ displaystyle R \ left [f ^ {- 1} \ right]}consiste en elementos de la forma $${\ displaystyle r / f ^ {n}, \, r \ en R, \, n \ geq 0} (para ser preciso, $${\ displaystyle R \ left [f ^ {- 1} \ right] = R [t] / (tf-1).}) ^[36]

La localización se aplica con frecuencia a un anillo conmutativo R con respecto al complemento de un ideal primo (o una unión de ideales primos) en R . En ese caso$${\ displaystyle S = R - {\ mathfrak {p}}}, uno escribe a menudo $${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}}} para $${\ displaystyle R \ left [S ^ {- 1} \ right]}. $${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}}} Es entonces un anillo local con el ideal máximo. $${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} R _ {\ mathfrak {p}}}. Este es el motivo de la terminología "localización". El campo de fracciones de un dominio integral R es la localización de R en el cero ideal primario. Si$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}es un ideal primordial de un anillo conmutativo R , luego el campo de fracciones de$${\ displaystyle R / {\ mathfrak {p}}} Es el mismo que el campo de residuos del anillo local. $${\ displaystyle R _ {\ mathfrak {p}}} y se denota por $${\ displaystyle k ({\ mathfrak {p}})}.

Si M es un módulo R izquierdo , entonces la localización de M con respecto a S viene dada por un cambio de anillos $${\ displaystyle M \ left [S ^ {- 1} \ right] = R \ left [S ^ {- 1} \ right] \ otimes _ {R} M}.

Las propiedades más importantes de la localización son las siguientes: cuando R es un anillo conmutativo y S un subconjunto multiplicativamente cerrado

• $${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} \ mapsto {\ mathfrak {p}} \ left [S ^ {- 1} \ right]}es una bijección entre el conjunto de todos los ideales primarios en R disjoint de S y el conjunto de todos los ideales primos en$${\ displaystyle R \ left [S ^ {- 1} \ right]}. ^[37]
• $${\ displaystyle R \ left [S ^ {- 1} \ right] = \ varinjlim R \ left [f ^ {- 1} \ right]}, f repasando elementos en S con ordenamiento parcial dado por divisibilidad. ^[38]
• La localización es exacta:

  $${\ displaystyle 0 \ a M '\ left [S ^ {- 1} \ right] \ a M \ left [S ^ {- 1} \ right] \ a M' '\ left [S ^ {- 1} \ derecha] \ a 0} es exacto sobre $${\ displaystyle R \ left [S ^ {- 1} \ right]} cuando $${\ displaystyle 0 \ to M '\ to M \ to M' '\ to 0}es exacto sobre R .

• A la inversa, si $${\ displaystyle 0 \ to M '_ {\ mathfrak {m}} \ to M _ {\ mathfrak {m}} \ to M' '_ {\ mathfrak {m}} \ to 0} es exacto para cualquier ideal maximo $${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}, entonces $${\ displaystyle 0 \ to M '\ to M \ to M' '\ to 0} es exacto
• Un comentario: la localización no es una ayuda para demostrar una existencia global. Un ejemplo de esto es que si dos módulos son isomorfos en todos los ideales primarios, no se sigue que sean isomorfos. (Una forma de explicar esto es que la localización permite ver un módulo como una gavilla sobre ideales primarios y una gavilla es inherentemente una noción local).

En la teoría de categorías, una localización de una categoría equivale a hacer algunos isomorfismos de morfismos. Un elemento en un anillo conmutativo R puede considerarse como un endomorfismo de cualquier R-módulo. Por lo tanto, categóricamente, una localización de R con respecto a un subconjunto S de R es un functor de la categoría de R -módulos a sí mismo que envía elementos de S vistos como endomorfismos a automorfismos y es universal con respecto a esta propiedad. (Por supuesto, R luego se asigna a$${\ displaystyle R \ left [S ^ {- 1} \ right]}y los módulos R en el mapa$${\ displaystyle R \ left [S ^ {- 1} \ right]}-módulos.)

Finalización [ editar ]

Deje que R sea un anillo conmutativo, y dejar que sea un ideal de R . La finalización de R en I es el límite proyectivo.$${\ displaystyle {\ hat {R}} = \ varprojlim R / I ^ {n}}; Es un anillo conmutativo. Los homomorfismos canónicos de R a los cocientes.$${\ displaystyle R / I ^ {n}}inducir un homomorfismo $${\ displaystyle R \ a {\ hat {R}}}. El último homomorfismo es inyectivo si R es un dominio integral noetheriano y I es un ideal adecuado, o si R es un anillo local noetheriano con ideal máximo I , según el teorema de intersección de Krull . ^[39] La construcción es especialmente útil cuando I es un ideal máximo.

El ejemplo básico es la terminación Z _p de Z en el ideal principal ( p ) generado por un número primo p ; se llama el anillo de enteros p -adic . La terminación puede en este caso estar construido también de la p valor absoluto -adic en Q . El valor absoluto p -adic en Q es un mapa$${\ displaystyle x \ mapsto | x |}de Q a R dado por$${\ displaystyle | n | _ {p} = p ^ {- v_ {p} (n)}} dónde $${\ displaystyle v_ {p} (n)}denota el exponente de p en la factorización prima de un entero n distinto de cero en números primos (también ponemos$${\ displaystyle | 0 | _ {p} = 0} y $${\ displaystyle | m / n | _ {p} = | m | _ {p} / | n | _ {p}}). Define una función de distancia en Q y la terminación de Q como un espacio métrico se denota por Q _p . Nuevamente es un campo ya que las operaciones de campo se extienden hasta la finalización. El subring de Q _p consiste en elementos x con$${\ displaystyle | x | _ {p} \ leq 1}Es isomorfo a Z _p .

Del mismo modo, la serie de poder formal suena. $${\ displaystyle R [{[t]}]} es la finalización de $${\ displaystyle R [t]} a $${\ displaystyle (t)}(véase también el lema de Hensel )

Un anillo completo tiene una estructura mucho más simple que un anillo conmutativo. Esto le pertenece al teorema de la estructura de Cohen , que dice, aproximadamente, que un anillo local completo tiende a parecerse a un anillo de serie de poder formal o un cociente de él. Por otro lado, la interacción entre el cierre integral y la finalización ha sido uno de los aspectos más importantes que distinguen a la teoría de los anillos conmutativos modernos de la clásica desarrollada por los gustos de Noether. Los ejemplos patológicos encontrados por Nagata llevaron a la reexaminación de los roles de los anillos noetherianos y motivaron, entre otras cosas, la definición de anillo excelente .

Anillos con generadores y relaciones [ editar ]

La forma más general de construir un anillo es especificando generadores y relaciones. Sea F un anillo libre (es decir, álgebra libre sobre los enteros) con el conjunto X de símbolos; es decir, F consta de polinomios con coeficientes enteros en noncommuting variables que son elementos de X . Un anillo libre satisface la propiedad universal: cualquier función desde el conjunto X hasta un anillo R se calcula a través de F para que$${\ displaystyle F \ to R}Es el único anillo de homomorfismo. Al igual que en el caso de grupo, cada anillo puede representarse como un cociente de un anillo libre. ^[40]

Ahora, podemos imponer relaciones entre los símbolos en X tomando un cociente. Explícitamente, si E es un subconjunto de F , entonces el anillo cociente de F por el ideal generado por E se llama el anillo con generadores X y las relaciones E . Si usamos un anillo, por ejemplo, una como un anillo de base en lugar de Z , entonces el anillo resultante será de más de una . Por ejemplo, si$${\ displaystyle E = \ {xy-yx \ mid x, y \ en X \}}Luego, el anillo resultante será el anillo polinomial habitual con coeficientes en A en las variables que son elementos de X (también es lo mismo que el álgebra simétrica sobre A con los símbolos X ).

En los términos de la categoría teórica, la formación. $${\ displaystyle S \ mapsto {\ text {el anillo libre generado por el conjunto}} S}es el funtor adjunto izquierdo del funtor olvidadizo de la categoría de anillos a Set (y a menudo se le llama el functor de anillo libre).

Deje que A , B sea álgebra sobre un anillo conmutativo R . Entonces el producto tensorial de los módulos R$${\ displaystyle A \ otimes _ {R} B}es un R- modulo. Podemos convertirlo en un anillo extendiéndolo linealmente.$${\ displaystyle (x \ otimes u) (y \ otimes v) = xy \ otimes uv}. Ver también: producto tensorial de álgebras , cambio de anillos .

Tipos especiales de anillos [ editar ]

Dominios [ editar ]

A distinto de cero anillo con no hay distintos de cero cero divisores se denomina un dominio . Un dominio conmutativo se llama un dominio integral . Los dominios integrales más importantes son los dominios ideales principales, PID para abreviar y campos. Un dominio ideal principal es un dominio integral en el que cada ideal es principal. Una clase importante de dominios integrales que contienen un PID es un dominio de factorización único(UFD), un dominio integral en el que cada elemento no unitario es un producto de elementos primos (un elemento es primo si genera un ideal primo ). La pregunta fundamental en La teoría de los números algebraicosestá en la medida en que lael anillo de enteros (generalizados) en un campo numérico , donde un "ideal" admite la factorización prima, no puede ser un PID.

Entre los teoremas relativos a un PID, el más importante es el teorema de la estructura para módulos generados de manera finita sobre un dominio ideal principal . El teorema puede ser ilustrado por la siguiente aplicación al álgebra lineal. ^[41] Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo k y$${\ displaystyle f: V \ to V}Un mapa lineal con mínimo polinomio q . Entonces, desde$${\ displaystyle k [t]}es un dominio de factorización único, factores q en potencias de polinomios irreducibles distintos (es decir, elementos primos):

$${\ displaystyle q = p_ {1} ^ {e_ {1}} \ ldots p_ {s} ^ {e_ {s}}.}

Dejando $${\ displaystyle t \ cdot v = f (v)}, hacemos V a k [ t ] -módulo. El teorema de estructura luego dice que V es una suma directa de módulos cíclicos , cada uno de los cuales es isomorfo al módulo de la forma$${\ displaystyle k [t] / \ left (p_ {i} ^ {k_ {j}} \ right)}. Ahora si$${\ displaystyle p_ {i} (t) = t- \ lambda _ {i}}, entonces tal módulo cíclico (para $${\ displaystyle p_ {i}}) tiene una base en la cual la restricción de f está representada por una matriz de Jordan . Así, si, digamos, k está algebraicamente cerrado, entonces todos$${\ displaystyle p_ {i}}son de la forma $${\ displaystyle t- \ lambda _ {i}}y la descomposición anterior corresponde a la forma canónica de Jordan de f .

En la geometría algebraica, las UFD surgen debido a la suavidad. Más precisamente, un punto en una variedad (sobre un campo perfecto) es suave si el anillo local en el punto es un anillo local regular . Un anillo local regular es un UFD. ^[42]

La siguiente es una cadena de inclusiones de clase que describe la relación entre anillos, dominios y campos:

Anillos conmutativos ⊃ dominios de integridad ⊃ integralmente dominios cerrados ⊃ dominio de factorización única ⊃ principales dominios ideales ⊃ dominio euclídeo ⊃ campos

Anillo de la división [ editar ]

Un anillo de división es un anillo tal que cada elemento distinto de cero es una unidad. Un anillo de división conmutativa es un campo . Un ejemplo prominente de un anillo de división que no es un campo es el anillo de cuaterniones . Cualquier centralizador en un anillo de división es también un anillo de división. En particular, el centro de un anillo de división es un campo. Resultó que cada dominio finito (en particular el anillo de división finita) es un campo; en particular conmutativo (el pequeño teorema de Wedderburn ).

Cada módulo sobre un anillo de división es un módulo libre (tiene una base); en consecuencia, gran parte del álgebra lineal puede llevarse a cabo sobre un anillo de división en lugar de un campo.

El estudio de las clases de conjugación ocupa un lugar destacado en la teoría clásica de los anillos de división. Cartan hizo la siguiente pregunta: dado un anillo de división D y un anillo de subdivisión adecuado S que no está contenido en el centro, ¿se restringe cada automorfismo interno de D a un automorfismo de S ? La respuesta es negativa: este es el teorema de Cartan-Brauer-Hua .

Un álgebra cíclica , introducida por LE Dickson , es una generalización de un álgebra de cuaternión .

Anillos semisimples [ editar ]

Un anillo se llama anillo semisimple si es semisimple como un módulo izquierdo (o módulo derecho) sobre sí mismo; Es decir, una suma directa de módulos simples. Un anillo se llama un anillo semiprimitivo si su radical de Jacobson es cero. (El radical de Jacobson es la intersección de todos los ideales máximos de la izquierda). Un anillo es semisimple si y solo si es artiniano y es semiprimitivo.

Un álgebra sobre un campo k es artístico si y solo si tiene dimensión finita. Por lo tanto, un álgebra semisimple sobre un campo es necesariamente finito-dimensional, mientras que un álgebra simple puede tener una dimensión infinita; Por ejemplo, el anillo de operadores diferenciales .

Cualquier módulo sobre un anillo semisimple es semisimple. (Prueba: cualquier módulo libre sobre un anillo semisimple es claramente semisimple y cualquier módulo es un cociente de un módulo libre).

Ejemplos de anillos semisimples:

• Un anillo de matriz sobre un anillo de división es semisimple (en realidad simple).
• El anillo de grupo $${\ displaystyle k [G]}de un grupo finito G sobre un campo k es semisimple si la característica de k no divide el orden de G . ( Teorema de Maschke )
• El álgebra de Weyl (sobre un campo) es un anillo simple; no es semisimple ya que tiene una dimensión infinita y, por lo tanto, no es artinista.
• Las álgebras de Clifford son semisimples.

La semisimplicidad está estrechamente relacionada con la separabilidad. Un álgebra A sobre un campo k se dice que es separable si la extensión base$${\ displaystyle A \ otimes _ {k} F}Es semisimple para cualquier extensión de campo. $${\ displaystyle F / k}. Si A pasa a ser un campo, entonces este es equivalente a la definición habitual en la teoría de campo (cf. extensión separable .)