LISTA DE TEMAS MATEMÁTICOS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

El álgebra conmutativa es la rama del álgebra que estudia los anillos conmutativos , sus ideales y módulos sobre dichos anillos. Tanto la geometría algebraica como la teoría de los números algebraicos sebasan en el álgebra conmutativa. Los ejemplos destacados de anillos conmutativos incluyen anillos polinomiales ; Anillos de enteros algebraicos , incluyendo los enteros ordinarios $${\ displaystyle \ mathbb {Z}}; y p -adidos enteros . ^[1]

El álgebra conmutativa es la principal herramienta técnica en el estudio local de esquemas .

El estudio de los anillos que no son necesariamente conmutativos se conoce como álgebra no conmutativa ; Incluye la teoría de anillos , la teoría de la representación y la teoría de álgebras de Banach .

Descripción general [ editar ]

El álgebra conmutativa es esencialmente el estudio de los anillos que ocurren en la teoría de los números algebraicos y la geometría algebraica .

En la teoría de los números algebraicos, los anillos de enteros algebraicos son anillos de Dedekind , que constituyen por lo tanto una clase importante de anillos conmutativos. Las consideraciones relacionadas con la aritmética modular han llevado a la noción de un anillo de valoración . La restricción de las extensiones de campo algebraico a los subrings ha llevado a las nociones de extensiones integrales y dominios integralmente cerrados , así como a la noción de ramificación de una extensión de los anillos de valoración.

La noción de localización de un anillo (en particular, la localización con respecto a un ideal principal , la localización que consiste en invertir un solo elemento y el anillo de cociente total ) es una de las principales diferencias entre el álgebra conmutativa y la teoría de los anillos no conmutativos. . Conduce a una importante clase de anillos conmutativos, los anillos locales que tienen un solo ideal máximo . El conjunto de los ideales principales de un anillo conmutativo está naturalmente equipado con una topología , la topología Zariski . Todas estas nociones se utilizan ampliamente en la geometría algebraica y son las herramientas técnicas básicas para la definición de la teoría de esquemas., una generalización de la geometría algebraica introducida por Grothendieck .

Muchas otras nociones de álgebra conmutativa son contrapartes de las nociones geométricas que ocurren en la geometría algebraica. Este es el caso de la dimensión Krull , descomposición primaria , anillos regulares , anillos de Cohen-Macaulay , anillos de Gorenstein y muchas otras nociones.

Historia [ editar ]

El tema, primero conocido como teoría ideal , comenzó con el trabajo de Richard Dedekind sobre los ideales , basado en el trabajo anterior de Ernst Kummer y Leopold Kronecker . Más tarde, David Hilbert introdujo el término timbre para generalizar el timbre anterior del número de término . Hilbert introdujo un enfoque más abstracto para reemplazar los métodos más concretos y orientados a la computación basados ​​en cosas como el análisis complejo y la teoría invariante clásica . A su vez, Hilbert tuvo una gran influencia en Emmy Noether , quien reformuló muchos resultados anteriores en términos deCondición de la cadena ascendente , ahora conocida como la condición noetheriana. Otro hito importante fue el trabajo del estudiante de Hilbert, Emanuel Lasker , quien introdujo los ideales primarios y probó la primera versión del teorema de Lasker-Noether .

La figura principal responsable del nacimiento del álgebra conmutativa como un sujeto maduro fue Wolfgang Krull, quien introdujo las nociones fundamentales de localización y terminación de un anillo, así como la de los anillos locales regulares . Estableció el concepto de la dimensión de Krull de un anillo, primero para los anillos noetherianos antes de pasar a expandir su teoría para cubrir los anillos de valoración general y los anillos de Krull . A día de hoy, el principal teorema ideal de Krull.es ampliamente considerado como el teorema fundacional más importante en álgebra conmutativa. Estos resultados allanaron el camino para la introducción del álgebra conmutativa en la geometría algebraica, una idea que revolucionaría este último tema.

Gran parte del desarrollo moderno del álgebra conmutativa enfatiza los módulos . Ambos ideales de un anillo R y R-las álgebras son casos especiales de módulos R , por lo que la teoría del módulo abarca tanto la teoría ideal como la teoría de las extensiones de anillo . Aunque ya era incipiente en el trabajo de Kronecker , el enfoque moderno del álgebra conmutativa utilizando la teoría de módulos generalmente se atribuye a Krull y Noether .

Principales herramientas y resultados [ editar ]

Anillos noetherianos [ editar ]

Artículo principal: Anillo noetheriano.

En matemáticas , más específicamente en el área del álgebra moderna conocida como teoría del anillo , un anillo noetheriano , llamado Emmy Noether , es un anillo en el que todo conjunto de ideales no vacíos tiene un elemento máximo. De manera equivalente, un anillo es noetheriano si satisface la condición de cadena ascendente en los ideales; Es decir, dada cualquier cadena:

$${\ displaystyle I_ {1} \ subseteq \ cdots I_ {k-1} \ subseteq I_ {k} \ subseteq I_ {k + 1} \ subseteq \ cdots}

existe una n tal que:

$${\ displaystyle I_ {n} = I_ {n + 1} = \ cdots}

Para que un anillo conmutativo sea noetheriano es suficiente que cada ideal primordial del anillo se genere finamente. (El resultado se debe a IS Cohen .)

La noción de un anillo noetheriano es de importancia fundamental tanto en la teoría del anillo conmutativo como en el no conmutativo, debido al papel que desempeña en la simplificación de la estructura ideal de un anillo. Por ejemplo, el anillo de números enteros y el anillo polinomial sobre un campo son ambos anillos Noetherianos, y en consecuencia, teoremas tales como el teorema de Lasker-Noether , el teorema de intersección de Krull y el teorema de base de Hilbert se mantienen para ellos. Además, si un anillo es noetheriano, entonces satisface la condición de cadena descendente en ideales primos . Esta propiedad sugiere una teoría profunda de la dimensión para los anillos noetherianos que comienza con la noción deDimensión de Krull .

Teorema de la base de Hilbert [ editar ]

Artículo principal: Teorema de la base de Hilbert.

Teorema. Si R es un anillo de Noetherian izquierdo (resp. Derecha) , entonces el anillo polinomial R[ X ] es también un anillo de Noetherian izquierdo (resp. Derecha).

El teorema de base de Hilbert tiene algunos corolarios inmediatos:

1. Por inducción vemos que $${\ displaystyle R [X_ {0}, \ dotsc, X_ {n-1}]} También será noetheriano.
2. Dado que cualquier variedad afín sobre$${\ displaystyle R ^ {n}} (es decir, un conjunto de locus de una colección de polinomios) puede escribirse como el locus de un ideal $${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} \ subconjunto R [X_ {0}, \ dotsc, X_ {n-1}]}y más allá del lugar de sus generadores, se deduce que cada variedad afín es el lugar de muchos polinomios, es decir, la intersección de muchas hipersuperficies .
3. Si $${\ displaystyle A} es un finito generado $${\ displaystyle R}-Algebra, entonces lo sabemos. $${\ displaystyle A \ simeq R [X_ {0}, \ dotsc, X_ {n-1}] / {\ mathfrak {a}}}, dónde $${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}es un ideal El teorema de base implica que$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}} debe ser finamente generado, digamos $${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} = (p_ {0}, \ dotsc, p_ {N-1})}es decir $${\ displaystyle A}Se presenta finamente .

Descomposición primaria [ editar ]

Artículo principal: Descomposición primaria

Un ideal Q de un anillo se dice que es primaria si Q es adecuada y siempre que xy ∈ Q , ya sea x ∈ Q o y ⁿ ∈ Qpara algún entero positivo n . En Z , los ideales primarios son precisamente los ideales de la forma ( p ^e ) donde pes primo y e es un entero positivo. Por lo tanto, una descomposición primaria de ( n ) corresponde a representar ( n ) como la intersección de muchos ideales primarios.

El teorema de Lasker-Noether , dado aquí, puede verse como una cierta generalización del teorema fundamental de la aritmética:

Teorema de Lasker-Noether. Deje que R sea un anillo noetheriano conmutativo y dejar que sea un ideal de R . Entonces puedo escribirme como la intersección de muchos ideales primarios con radicales distintos ; es decir:

$${\ displaystyle I = \ bigcap _ {i = 1} ^ {t} Q_ {i}}

con Q _i primario para todo i y Rad ( Q _i ) ≠ Rad ( Q _j ) para i ≠ j . Además, si:

$${\ displaystyle I = \ bigcap _ {i = 1} ^ {k} P_ {i}}

es la descomposición de I con Rad ( P _i ) ≠ Rad ( P _j ) para i ≠ j , y ambas descomposiciones de Ison irredundantes (lo que significa que no hay un subconjunto adecuado de { Q ₁ , ..., Q _t } o { P ₁ , ..., P _k } produce una intersección igual a I ), t = k y (después de posiblemente renumerar el Q _i ) Rad ( Q _i ) = Rad ( P _i ) para todosi .

Para cualquier descomposición primaria de I , el conjunto de todos los radicales, es decir, el conjunto {Rad ( Q ₁), ..., Rad ( Q _t )} sigue siendo el mismo según el teorema de Lasker-Noether. De hecho, resulta que (para un anillo noetheriano) el conjunto es precisamente el asesino del módulo R / I ; es decir, el conjunto de todos los aniquiladores de R / I (vistos como un módulo sobre R ) que son primos.

Localización [ editar ]

Artículo principal: Localización (álgebra)

La localización es una forma formal de introducir los "denominadores" en un anillo o módulo dado. Es decir, introduce un nuevo anillo / módulo a partir de uno existente para que se componga de fracciones.

$${\ displaystyle {\ frac {m} {s}}}.

donde los denominadores s gama en un subconjunto dado S de R . El ejemplo arquetípico es la construcción del anillo Q de los números racionales del anillo Z de los números enteros.

Finalización [ editar ]

Artículo principal: Finalización (teoría del anillo)

Una terminación es cualquiera de los varios functors relacionados en anillos y módulos que resultan en anillos y módulos topológicos completos . La finalización es similar a la localización y, juntas, se encuentran entre las herramientas más básicas para analizar los anillos conmutativos . Los anillos conmutativos completos tienen una estructura más simple que los generales y el lema de Hensel se aplica a ellos.

Topología de Zariski en ideales primos [ editar ]

Artículo principal: topología Zariski.

La topología de Zariski define una topología en el espectro de un anillo (el conjunto de ideales primordiales). ^[2]En esta formulación, los conjuntos cerrados de Zariski se consideran conjuntos.

$${\ displaystyle V (I) = \ {P \ in \ operatorname {Spec} \, (A) \ mid I \ subseteq P \}}

donde A es un anillo conmutativo fijo y I es un ideal. Esto se define en analogía con la topología clásica de Zariski, donde los conjuntos cerrados en el espacio afín son los definidos por las ecuaciones polinomiales. Para ver la conexión con la imagen clásica, tenga en cuenta que para cualquier conjunto S de polinomios (sobre un campo algebraicamente cerrado), de Hilbert Nullstellensatz se deduce que los puntos de V ( S ) (en el sentido antiguo) son exactamente las tuplas ( a ₁ , ..., a _n ) tal que ( x ₁ - a ₁ , ..., x _n - a_n ) contiene S ; además, estos son ideales máximos y, por el "débil" Nullstellensatz, un ideal de cualquier anillo afín de coordenadas es máximo si y solo si es de esta forma. Por lo tanto, V ( S ) es "lo mismo que" los ideales maximales que contiene S . La innovación de Grothendieck en la definición de Spec fue reemplazar los ideales máximos con todos los ideales principales; en esta formulación es natural simplemente generalizar esta observación a la definición de un conjunto cerrado en el espectro de un anillo.

Ejemplos [ editar ]

El ejemplo fundamental en el álgebra conmutativa es el anillo de enteros. $${\ displaystyle \ mathbb {Z}}. La existencia de números primos y el teorema de factorización único sentaron las bases de conceptos tales como los anillos noetherianos y la descomposición primaria .

Otros ejemplos importantes son:

• Anillos polinomiales $${\ displaystyle R [x_ {1}, ..., x_ {n}]}
• Los enteros p-adic.
• Anillos de enteros algebraicos .

Conexiones con geometría algebraica [ editar ]

El álgebra conmutativa (en forma de anillos polinomiales y sus cocientes, utilizados en la definición de variedades algebraicas ) siempre ha sido parte de la geometría algebraica . Sin embargo, a fines de la década de 1950, las variedades algebraicas se incorporaron al concepto de esquema de Alexander Grothendieck . Sus objetos locales son esquemas afines o espectros principales, que son espacios localmente anillados, que forman una categoría que es antiequivalente (dual) a la categoría de anillos unitales conmutativos, extendiendo la dualidadentre la categoría de variedades algebraicas afines sobre un campo k , y la categoría de finamente generada kreducida-algebras. El pegado está a lo largo de la topología de Zariski; se puede pegar dentro de la categoría de espacios anillados localmente, pero también, utilizando la incrustación de Yoneda, dentro de la categoría más abstracta de presheaves de conjuntos sobre la categoría de esquemas afines. La topología de Zariski en el sentido de la teoría de conjuntos se reemplaza luego por una topología de Zariski en el sentido de la topología de Grothendieck . Grothendieck introdujo las topologías de Grothendieck teniendo en cuenta ejemplos más exóticos pero geométricamente más finos y más sensibles que la topología cruda de Zariski, a saber, la topología de cuento y las dos topologías planas de Grothendieck: fppf y fpqc. Hoy en día algunos otros ejemplos se han vuelto prominentes, incluyendo la topología de Nisnevich.. Además, las gavillas se pueden generalizar a pilas en el sentido de Grothendieck, generalmente con algunas condiciones de representabilidad adicionales, lo que lleva a pilas de Artin y, aún más finas, pilas Deligne-Mumford , ambas a menudo llamadas pilas algebraicas.