LISTA DE TEMAS MATEMÁTICOS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

ANILLO - CONTINUACIÓN

Conceptos básicos [ editar ]

Elementos en un anillo [ editar ]

Un divisor de cero a la izquierda de un anillo.$${\ displaystyle R} es un elemento distinto de cero $${\ displaystyle a} en el anillo tal que exista un elemento distinto de cero $${\ displaystyle b} de $${\ displaystyle R} tal que $${\ displaystyle ab = 0}. ^[27] Un divisor de cero derecho se define de manera similar.

Un elemento nilpotente es un elemento.$${\ displaystyle a} tal que $${\ displaystyle a ^ {n} = 0} para algunos {\ displaystyle n> 0}. Un ejemplo de un elemento nilpotente es una matriz nilpotente . Un elemento nilpotente en un anillo distinto de cero es necesariamente un divisor cero.

Un idempotente $${\ displaystyle e} es un elemento tal que $${\ displaystyle e ^ {2} = e}. Un ejemplo de un elemento idempotente es una proyección en álgebra lineal.

Una unidad es un elemento.$${\ displaystyle a}teniendo un inverso multiplicativo ; en este caso el inverso es único, y se denota por$${\ displaystyle a ^ {- 1}}. El conjunto de unidades de un anillo es un grupo bajo la multiplicación de anillos; este grupo se denota por$${\ displaystyle R ^ {\ times}} o $${\ displaystyle R ^ {*}} o $${\ displaystyle U (R)}. Por ejemplo, si R es el anillo de todas las matrices cuadradas de tamaño n sobre un campo, entonces$${\ displaystyle R ^ {\ times}}consiste en el conjunto de todas las matrices invertibles de tamaño n , y se denomina grupo lineal general .

Subringir [ editar ]

Artículo principal: Subring

Un subconjunto S de R se dice que es un subanillo si puede ser considerado como un anillo con la adición y la multiplicación restringido de R a S . De manera equivalente, S es un subring si no está vacío, y para cualquier x , y en S ,$${\ displaystyle xy}, $${\ displaystyle x + y} y $${\ displaystyle -x}estan en s . Si se han asumido todos los anillos, por convención, para tener una identidad multiplicativa, a continuación, para ser un subanillo uno también requeriría S para compartir el mismo elemento identidad como R . ^[28] Entonces, si se ha asumido que todos los anillos tienen una identidad multiplicativa, entonces un ideal apropiado no es un subring.

Por ejemplo, el anillo Z de los enteros es una subring del campo de números reales y también un subring del anillo de polinomios Z [ X ] (en ambos casos, Z contiene 1, que es la identidad multiplicativa de los anillos más grandes). Por otra parte, el subconjunto de los enteros 2 Z no contiene el elemento de identidad 1 y por lo tanto no califica como un subanillo de Z .

Una intersección de subrings es un subring. El subanillo más pequeño que contiene un subconjunto dado E de Rse llama un subanillo generada por E . Existe un subanillo tales, ya que es la intersección de todos los subanillos que contienen E .

Para un anillo R , el subanillo más pequeño que contiene 1 se llama el subanillo característica de R . Se puede obtener agregando copias de 1 y −1 juntas muchas veces en cualquier mezcla. Es posible que$${\ displaystyle n \ cdot 1 = 1 + 1 + \ ldots +1}( n veces) puede ser cero. Si n es el número entero positivo más pequeño de tal manera que esto ocurre, entonces n es llamada la característica de R . En algunos anillos,$${\ displaystyle n \ cdot 1}nunca es cero para ningún entero positivo n , y se dice que esos anillos tienen una característica cero .

Dado un anillo R , vamos$${\ displaystyle \ operatorname {Z} (R)}denota el conjunto de todos los elementos x en R, de modo que x conmuta con cada elemento en R :$${\ displaystyle xy = yx}para cualquier y en R . Entonces$${\ displaystyle \ operatorname {Z} (R)}es un subring de R ; llamado el centro de R. Más en general, dado un subconjunto X de R , vamos S como el conjunto de todos los elementos en R que conmutan con todos los elementos de X . Entonces S es un subanillo de R , llamado el centralizador (o commutant) de X . El centro es el centralizador de todo el anillo R . Se dice que los elementos o subconjuntos del centro son centrales en R ; Generan una subring del centro.

Ideal [ editar ]

Artículo principal: Ideal (teoría del anillo)

La definición de un ideal en un anillo es análoga a la de un subgrupo normal en un grupo. Pero, en realidad, desempeña el papel de una generalización idealizada de un elemento en un anillo; De ahí, el nombre "ideal". Como los elementos de los anillos, el estudio de los ideales es fundamental para la comprensión estructural de un anillo.

Sea R un anillo. Se dice entonces que un subconjunto no vacío I de R es un ideal izquierdo en R si, para cualquier x , y en I y r en R ,$${\ displaystyle x + y} y $${\ displaystyle rx}están en yo . Si$${\ displaystyle RI}denota el lapso de I sobre R ; es decir, el conjunto de sumas finitas

$${\ displaystyle r_ {1} x_ {1} + \ cdots + r_ {n} x_ {n}, \ quad r_ {i} \ en R, \ quad x_ {i} \ en I,}

entonces soy un ideal de izquierda si$${\ displaystyle RI \ subseteq I}. Del mismo modo, se dice que tengo razón ideal si$${\ displaystyle IR \ subseteq I}. Se dice que un subconjunto I es un ideal de dos caras o simplemente ideal si es tanto un ideal de izquierda como un ideal de derecha. Un ideales de un solo lado o de dos lados es entonces un subgrupo aditivo de R . Si E es un subconjunto de R , entonces$${\ displaystyle RE}es un ideal de izquierda, llamado el ideal de izquierda generado por E ; es el ideal más pequeño que contiene izquierdo E . Del mismo modo, se puede considerar el derecho ideal o el ideal de dos caras generado por un subconjunto de R .

Si x está en R , entonces$${\ displaystyle Rx} y $${\ displaystyle xR}Son ideales de izquierda e ideales de derecha, respectivamente; se llaman los ideales principales de la izquierda y los ideales correctos generados por x . El ideal principal$${\ displaystyle RxR} esta escrito como $${\ displaystyle (x)}. Por ejemplo, el conjunto de todos los múltiplos positivos y negativos de 2 junto con 0 forman un ideal de los enteros, y este ideal es generado por el entero 2. De hecho, todo ideal del anillo de enteros es principal.

Al igual que un grupo, se dice que un anillo es simple si no es cero y no tiene ideales de dos caras que no sean cero. Un simple anillo conmutativo es precisamente un campo.

Los anillos a menudo se estudian con condiciones especiales establecidas sobre sus ideales. Por ejemplo, un anillo en el que no hay una cadena infinita de ideales izquierdos estrictamente crecientes se llama un anillo noetheriano izquierdo . Un anillo en el que no hay una cadena infinita de ideales izquierdistas estrictamente decrecientes se llama un anillo Artinian izquierdo . Es un hecho un tanto sorprendente que un anillo Artinian izquierdo quede en Noetherian (el teorema de Hopkins-Levitzki ). Los enteros, sin embargo, forman un anillo noetheriano que no es Artiniano.

Para los anillos conmutativos, los ideales generalizan la noción clásica de divisibilidad y descomposición de un número entero en números primos en álgebra. Un ideal apropiado de P de R se llama ideal primario si para cualquier elemento$${\ displaystyle x, y \ en R} tenemos eso $${\ displaystyle xy \ en P} implica cualquiera $${\ displaystyle x \ en P} o $${\ displaystyle y \ en P}. De manera equivalente, Pes primo si para cualquier ideal.$${\ displaystyle I, J} tenemos eso $${\ displaystyle IJ \ subseteq P} implica cualquiera $${\ displaystyle I \ subseteq P} o $${\ displaystyle J \ subseteq P.} Esta última formulación ilustra la idea de ideales como generalizaciones de elementos.

Homomorfismo [ editar ]

Artículo principal: Anillo homomorfismo.

Un homomorfismo de un anillo ( R , +, · ) a un anillo ( S , ‡, *) es una función f de R a S que preserva las operaciones del anillo; a saber, de tal manera que, para todas las a , b en R, las siguientes identidades contienen:

• f ( a + b ) = f ( a ) ‡ f ( b )
• f ( a · b ) = f ( a ) * f ( b )
• f (1 _R ) = 1 _S

Si uno está trabajando con anillos no necesariamente unitales, entonces se elimina la tercera condición.

Se dice que un homomorfismo de anillo es un isomorfismo si existe un homomorfismo inverso a f (es decir, un homomorfismo de anillo que es una función inversa ). Cualquier homomorfismo de anillo biyectivo es un isomorfismo de anillo. Dos anillos$${\ displaystyle R, S} se dice que son isomorfos si hay un isomorfismo entre ellos y en ese caso uno escribe $${\ displaystyle R \ simeq S}. Un homomorfismo de anillo entre el mismo anillo se denomina endomorfismo y un isomorfismo entre el mismo anillo un automorfismo.

Ejemplos:

• La función que mapea cada entero x a su resto módulo 4 (un número en {0, 1, 2, 3}) es un homomorfismo desde el anillo Z al anillo cociente Z / 4 Z ("anillo cociente" se define a continuación) .
• Si $${\ displaystyle u}es un elemento unitario en un anillo R , entonces$${\ displaystyle R \ to R, x \ mapsto uxu ^ {- 1}}es un homomorfismo de anillo, llamado un automorfismo interior de R .
• Sea R un anillo conmutativo de característica principal p . Entonces$${\ displaystyle x \ mapsto x ^ {p}}Es un anillo de endomorfismo de R llamado el homomorfismo de Frobenius .
• El grupo de Galois de una extensión de campo.$${\ displaystyle L / K}es el conjunto de todos los automorfismos de L cuyas restricciones a K son la identidad.
• Para cualquier anillo R , hay un anillo único homomorfismo Z → R y un anillo único homomorfismo R → 0.
• Un epimorfismo (es decir, un morfismo cancelable por la derecha) de los anillos no tiene por qué ser un ajetreo. Por ejemplo, el mapa único$${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Q}} Es un epimorfismo.
• Un homomorfismo de álgebra de un álgebra k al álgebra de endomorfismo de un espacio vectorial sobre k se denomina representación del álgebra .

Dado un anillo de homomorfismo. $${\ displaystyle f: R \ to S}, el conjunto de todos los elementos asignados a 0 por f se llama el núcleo de f . El núcleo es un ideal bilateral de R . La imagen de f , por otro lado, no siempre es un ideal, pero siempre es un subanillo de S .

Dar un homomorfismo de anillo de un anillo conmutativo R a un anillo A con imagen contenida en el centro de Aes lo mismo que dar una estructura de un álgebra sobre R a A (en particular da una estructura de módulo A ).

Anillo cociente [ editar ]

Artículo principal: anillo cociente

El anillo de cociente de un anillo es análogo a la noción de un grupo de cociente de un grupo. Más formalmente, dado un anillo de ( R , +, · ) y una de dos caras ideales I de ( R , +, · ), el anillo cociente (o anillo de factor de ) R / I es el conjunto de clases laterales de I (con respecto al grupo de aditivos de ( R , +, · ); es decir, los cosets con respecto a ( R , +), junto con las operaciones:

( a + I ) + ( b + I ) = ( a + b ) + I y

( Un + I ) ( b + I ) = ( ab ) + I .

para cada una , b en R .

Como en el caso de un grupo cociente, existe un mapa canónico. $${\ displaystyle p: R \ to R / I} dada por $${\ displaystyle x \ mapsto x + I}. Es sobreyectiva y satisface la propiedad universal: si$${\ displaystyle f: R \ to S} Es un anillo de homomorfismo tal que $${\ displaystyle f (I) = 0}, entonces hay un único $${\ displaystyle {\ overline {f}}: R / I \ to S} tal que $${\ displaystyle f = {\ overline {f}} \ circ p}. En particular, tomando I para ser el núcleo, uno ve que el cociente suena$${\ displaystyle R / \ operatorname {ker} f}Es isomorfo a la imagen de f ; El hecho conocido como el primer teorema del isomorfismo . El último hecho implica que, en realidad, cualquier homomorfismo de anillo suprayectivo satisface la propiedad universal, ya que la imagen de dicho mapa es un anillo cociente.

Módulo [ editar ]

Artículo principal: Módulo (Matemáticas).

El concepto de un módulo sobre un anillo generaliza el concepto de un espacio vectorial (sobre un campo ) al generalizar de la multiplicación de vectores con elementos de un campo ( multiplicación escalar ) a la multiplicación con elementos de un anillo. Más precisamente, dado un anillo R con 1, un módulo R M es un grupo abeliano equipado con una operación R × M → M (que asocia un elemento de M a cada par de un elemento de R y un elemento de M ) que satisface ciertos axiomas. Esta operación comúnmente se denota multiplicativamente y se llama multiplicación. Los axiomas de los módulos son los siguientes: para todos a , b en R y todos x , y en M , tenemos:

• M es un grupo abeliano bajo adición.
• $${\ displaystyle a (x + y) = ax + ay}
• $${\ displaystyle (a + b) x = ax + bx}
• $${\ displaystyle 1x = x}
• $${\ displaystyle (ab) x = a (bx)}

Cuando el anillo no es conmutativo, estos axiomas definen los módulos de la izquierda ; Los módulos correctosse definen de forma similar escribiendo xa en lugar de ax . Esto no es solo un cambio de notación, ya que el último axioma de los módulos de la derecha (es decir, x ( ab ) = ( xa ) b ) se convierte en ( ab ) x = b ( ax ) , si se usa la multiplicación a la izquierda (por elementos de anillo) Para un módulo adecuado.

Ejemplos básicos de módulos son ideales, incluido el propio anillo.

Aunque se define de manera similar, la teoría de los módulos es mucho más complicada que la del espacio vectorial, principalmente porque, a diferencia de los espacios vectoriales, los módulos no se caracterizan (hasta un isomorfismo) por un solo invariante (la dimensión de un espacio vectorial ). En particular, no todos los módulos tienen una base .

Los axiomas de los módulos implican que (−1) x = - x , donde el primer menos denota el inverso aditivo en el anillo y el segundo menos el inverso aditivo en el módulo. Usar esto y denotar la adición repetida por una multiplicación por un entero positivo permite identificar grupos abelianos con módulos sobre el anillo de enteros.

Cualquier homomorfismo de anillo induce una estructura de un módulo: si f  : R → S es un homomorfismo de anillo, entonces S es un módulo izquierdo sobre R por la multiplicación: rs = f ( r ) s . Si R es conmutativo o si f ( R ) está contenido en el centro de S , el anillo S se llama R - álgebra . En particular, cada anillo es un álgebra sobre los enteros.