LISTA DE TEMAS MATEMÁTICOS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

 acción de un grupo es una manera formal de interpretar la manera en que los elementos del grupo corresponden a las transformaciones de algún espacio de una manera que preserva la estructura de ese espacio. Ejemplos comunes de espacios en los que actúan los grupos son conjuntos , espacios vectoriales y espacios topológicos . Las acciones de grupos en espacios vectoriales se llaman representaciones del grupo.

Cuando hay una correspondencia natural entre el conjunto de elementos de grupo y el conjunto de transformaciones de espacio, un grupo puede interpretarse como que actúa sobre el espacio de una manera canónica . Por ejemplo, el grupo simétrico de un conjunto finito consiste en todas las transformaciones biyectivas de ese conjunto; por lo tanto, la aplicación de cualquier elemento del grupo de permutación a un elemento del conjunto producirá otro elemento (no necesariamente distinto) del conjunto. Más generalmente, grupos de simetría como el grupo de homeomorfismo de un espacio topológico o el grupo lineal general de un espacio vectorial, así como sus subgrupos, también admiten acciones canónicas. Para otros grupos, una interpretación del grupo en términos de una acción puede tener que ser especificada, ya sea porque el grupo no actúa canónicamente en ningún espacio o porque la acción canónica no es la acción de interés. Por ejemplo, podemos especificar una acción del grupo cíclico de dos elementos $${\ displaystyle \ mathrm {C} _ {2} = \ {0,1 \}} en el conjunto finito $${\ displaystyle \ {a, b, c \}}especificando que 0 (el elemento de identidad) envía $${\ displaystyle a \ mapsto a, b \ mapsto b, c \ mapsto c}, y que yo envío $${\ displaystyle a \ mapsto b, b \ mapsto a, c \ mapsto c}. Esta acción no es canónica.

Una forma común de especificar acciones no canónicas es describir un homomorfismo $${\ displaystyle \ varphi}de un grupo G al grupo de simetrías de un conjunto X . La acción de un elemento.$${\ displaystyle g \ en G} en un punto $${\ displaystyle x \ en X} Se asume que es idéntico a la acción de su imagen. $${\ displaystyle \ varphi (g) \ en {\ text {Sym}} (X)} en el punto $${\ displaystyle x}. El homomorfismo$${\ displaystyle \ varphi}También es frecuentemente llamada la "acción" de G , ya que especifica$${\ displaystyle \ varphi}Es equivalente a especificar una acción. Por lo tanto, si G es un grupo y Xes un conjunto, entonces una acción de G en X puede definirse formalmente como un homomorfismo grupal $${\ displaystyle \ varphi}de G al grupo simétrico de X . La acción asigna una permutación de X a cada elemento del grupo de tal manera que:

• Al elemento de identidad de G se le asigna la transformación de identidad de X ;
• A cualquier producto gk de dos elementos de G se le asigna la composición de las permutaciones asignadas a g y  k .

Si X tiene estructura adicional, entonces$${\ displaystyle \ varphi} Sólo se llama una acción si para cada $${\ displaystyle g \ en G}, la permutación $${\ displaystyle \ varphi (g)}Conserva la estructura de  x .

La abstracción proporcionada por las acciones grupales es poderosa, ya que permite aplicar ideas geométricas a objetos más abstractos. Muchos objetos en matemáticas tienen acciones grupales naturales definidas en ellos. En particular, los grupos pueden actuar sobre otros grupos, o incluso sobre ellos mismos. Debido a esta generalidad, la teoría de las acciones grupales contiene teoremas de amplio alcance , como el teorema del estabilizador de órbita, que se puede usar para demostrar resultados profundos en varios campos.

Definición [ editar ]

Acción de grupo izquierda [ editar ]

Si G es un grupo y X es un conjunto, entonces una acción de grupo ( izquierda ) φ de G en X es una función

$${\ displaystyle \ varphi \ colon G \ veces X \ a X \ colon (g, x) \ mapsto \ varphi (g, x)}

que satisface los siguientes dos axiomas (donde denotamos φ ( g , x ) como g ⋅ x ): ^[1]

Identidad

e ⋅ x = x para todo x en X . (Aquí, e denota el elemento de identidad del grupo G ).

Compatibilidad

( Gh ) ⋅ x = g ⋅ ( h ⋅ x ) para todos g , h en G y todas las x en X . (Aquí, gh denota el resultado de aplicar la operación de grupo de G a los elementos g y h ).

Se dice que el grupo G actúa sobre X (a la izquierda). El conjunto X se llama un conjunto G ( izquierda ) .

De estos dos axiomas, se deduce que para cada g en G , la función que mapea x en X a g ⋅ x es un mapa biyectivo de X a X (su inversa es la función que mapea x a g ⁻¹ ⋅ x ). Por lo tanto, se puede definir alternativamente una acción de grupo de G en X como un homomorfismo de grupo de G en el grupo simétricoSym ( X ) de todas las bijections deX a X . ^[2]

Acción de grupo derecha [ editar ]

En una analogía completa, se puede definir una acción de grupo a la derecha de G en X como una operación X × G → mapeo X ( x , g ) a x ⋅ g y que satisface los dos axiomas:

Identidad

x ⋅ e = x para todos los x en X .

Compatibilidad

x ⋅ ( gh ) = ( x ⋅ g ) ⋅ h para todo g , h en G y todo x en X ;

La diferencia entre las acciones izquierda y derecha está en el orden en que un producto como gh actúa sobre x . Para una acción izquierda, h actúa primero y es seguido por g , mientras que para una acción derecha g actúa primero y es seguido por h . Debido a la fórmula ( gh ) ⁻¹ = h ⁻¹ g ⁻¹ , se puede construir una acción izquierda a partir de una acción derecha al componer con la operación inversa del grupo. Además, una acción correcta de un grupo G en X es lo mismo que una acción izquierda de su grupo opuesto G ^open la x . Por lo tanto, es suficiente considerar solo acciones de izquierda sin ninguna pérdida de generalidad.

Tipos de acciones [ editar ]

La acción de G sobre X se llama

• Transitivo si X no está vacío y si para cada par x , y en X existe una g en G tal que g ⋅ x = y . Por ejemplo, la acción del grupo simétrico de X es transitiva, la acción del grupo lineal general o el grupo lineal especial de un espacio vectorial V en V ∖ {0} es transitiva, pero la acción del grupo ortogonal de un Euclidiano el espacio Eno es transitivo en E∖ {0} (aunque es transitiva en la esfera unitaria de E ).
• Fiel (o efectivo ) si por cada dos g distintas, h en G existe una x en X tal que g ⋅ x ≠ h ⋅ x ; o de manera equivalente, si para cada g ≠ e en G existe una x en X tal que g ⋅ x ≠ x . En otras palabras, en una acción de grupo fiel, diferentes elementos de G inducen diferentes permutaciones de X . ^[una]En términos algebraicos, un grupo G actúa fielmente en X si y solo si el homomorfismo correspondiente al grupo simétrico, G → Sym ( X ) , tiene un núcleo trivial . Por lo tanto, para una acción fiel, G se incrusta en un grupo de permutación en X ; específicamente, G es isomorfo a su imagen en Sym ( X ). Si G no actúa fielmente en X , uno puede modificar fácilmente el grupo para obtener una acción fiel. Si definimos N = { g en G  : g ⋅x = x para todas las x en X } , entonces N es un subgrupo normal de G ; de hecho, es el núcleo del homomorfismo G → Sym ( X ) . El grupo de factores G / N actúa fielmente en X estableciendo( gN ) ⋅ x = g ⋅ x . La acción original de G en X es fiel si y solo si N = { e } .
• Libre (o semirregular o punto fijo libre ) si, dada g , h en G , la existencia de una x en X con g ⋅ x = h ⋅ ximplica g = h . De manera equivalente: si g es un elemento de grupo y existe una x en X con g ⋅ x = x (es decir, si g tiene al menos un punto fijo), entonces ges la identidad Tenga en cuenta que una acción libre en un conjunto no vacío es fiel.
• Regular (o simplemente transitiva o claramente transitiva ) si es tanto transitiva como gratuita; esto es equivalente a decir que por cada dos x , y en X existe exactamente una g en G , de manera que g ⋅ x = y . En este caso, X se llama un espacio homogéneo principal para G o un G -torsor. La acción de cualquier grupoG.en sí mismo por la multiplicación a la izquierda es regular, y por lo tanto fiel también. Por lo tanto, cada grupo puede integrarse en el grupo simétrico en sus propios elementos, Sym ( G ). Este resultado es conocido como el teorema de Cayley .
• n-transitivo si X tiene al menos n elementos y para todos los distintos pares x ₁ , ..., x _n y par y distinto y ₁ , ...,y _n hay una g en G tal que g ⋅ x _k = y _k para 1 ≤ k ≤ n . Una acción 2-transitiva también se denominadoblemente transitiva , una acción 3-transitiva también se llama triple transitiva, y así. Tales acciones definen clases interesantes de subgrupos en los grupos simétricos: 2 grupos transitivos y, más generalmente, múltiples grupos transitivos . La acción del grupo simétrico en un conjunto con n elementos siempre es n -transitiva; La acción del grupo alternante es transitoria n-2 .
• Fuerte n-transitiva si hay exactamente uno de esos g .
• Primitive si es transitivo y conserva ninguna partición no trivial de X . Ver grupo de permutación primitiva para más detalles.
• Localmente libre si G es un grupo topológico , y hay una zona de U de e en G tal que la restricción de la acción a U es libre; es decir, si g ⋅ x = x para algunos x y algunos g en U entonces g = e .

Además, si $${\ displaystyle G}Actúa sobre un espacio topológico. $${\ displaystyle X}, entonces la acción es:

• Vagando si cada punto$${\ displaystyle x \ en X} tiene un barrio $${\ displaystyle U} tal que $${\ displaystyle \ {g \ en G: g \ cdot U \ cap U \ neq \ emptyset \}}es finito ^[3] Por ejemplo, la acción de$${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n}} en $${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}Por las traducciones es errante. La acción del grupo modular en el semiplano de Poincaré también es errante.
• Adecuadamente discontinuo si$${\ displaystyle X}Es un espacio localmente compacto y para cada subconjunto compacto.$${\ displaystyle K \ subconjunto X} el conjunto $${\ displaystyle \ {g \ en G: gK \ cap K \ neq \ emptyset \}}es finito Las acciones errantes dadas anteriormente también son adecuadamente discontinuas. Por otro lado, la acción de$${\ displaystyle \ mathbb {Z}} en $${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2} \ setminus \ {0 \}} por el mapa lineal $${\ displaystyle (x, y) \ mapsto (2x, 1 / 2y)}Es errante y libre pero no discontinua adecuadamente. ^[4]
• Adecuado si$${\ displaystyle G} es un grupo topológico y el mapa de $${\ displaystyle G \ times X \ rightarrow X \ times X: (g, x) \ mapsto (g \ cdot x, x)}es adecuada . ^[5] Si G es discreto , la honestidad es equivalente a la discontinuidad adecuada para las G- acciones.
• Se dice que tienen órbitas discretas si la órbita de cada$${\ displaystyle x \ en X} bajo la acción de $${\ displaystyle G} es discreto en $${\ displaystyle X}. ^[3]

Si X es un módulo distinto de cero sobre un anillo R y la acción de G es R- lineal, entonces se dice que es

• Irreducible si no hay un submódulo invariante propio distinto de cero.

Órbitas y estabilizadores [ editar ]

En el compuesto de cinco tetraedros , el grupo de simetría es el grupo icosaédrico (rotacional) I de orden 60, mientras que el estabilizador de un tetraedro elegido es el grupo tetraédrico (rotacional) T de orden 12, y el espacio orbital I / T ( de orden 60/12 = 5) se identifica de forma natural con los 5 tetraedros: el coset gT corresponde al tetraedro al que genvía el tetraedro elegido.

Considere un grupo G que actúa sobre un conjunto X . La órbita de un elemento x en X es el conjunto de elementos en X a la que x puede ser movido por los elementos de G . La órbita de x se denota por G ⋅ x :

$${\ displaystyle G \ cdot x = \ left \ {g \ cdot x \ mid g \ en G \ right \}.}

Las propiedades definitorias de una garantía de grupo que el conjunto de órbitas de (puntos x en) X bajo la acción de G forman una partición de X . La relación de equivalencia asociada se define diciendo x ∼ y si y solo siexiste una g en G con g ⋅ x = y . Las órbitas son entonces las clases de equivalencia bajo esta relación; dos elementos x y y son equivalentes si y solo si sus órbitas son iguales; es decir, G⋅ x = G ⋅ y .

La acción de grupo es transitiva si y sólo si tiene exactamente una órbita, es decir, si existe x en X con G ⋅ x = X . Este es el caso si y sólo si G ⋅ x = X para todas las x en X .

El conjunto de todas las órbitas de X bajo la acción de G se escribe como X / G (o, con menos frecuencia: G \ X ), y se denomina cociente de la acción. En situaciones geométricas puede llamarse el espacio de la órbita , mientras que en situaciones algebraicas puede llamarse el espacio de coinvariants , y escrito X _G , en contraste con los invariantes (puntos fijos), denotado X ^G : los coinvariants son un cociente mientras que Los invariantes son un subconjunto. La terminología y la notación coinvariantes se utilizan particularmente enCohomología grupal y homología grupal , que utilizan la misma convención de superíndice / subíndice.

Subconjuntos invariantes [ editar ]

Si Y es un subconjunto de X , escribimos GY para el conjunto { g ⋅ y  : y ∈ Y y g ∈ G } . Llamamos al subconjunto Y invariante bajo G si G ⋅ Y = Y (que es equivalente a G ⋅ Y ⊆ Y ). En ese caso, G también opera en Y mediante la restricción de la acción a Y . El subconjunto Y se llamafijado bajo G si g ⋅ y = y para todo g en G y todo y en Y . Cada subconjunto que se fija bajo G también es invariante bajo G , pero no al revés.

Cada órbita es un subconjunto invariante de X en el que G actúa de manera transitoria . La acción de G en X es transitiva si y solo si todos los elementos son equivalentes, lo que significa que solo hay una órbita.

A G-invariante elemento de X es x ∈ X tal que g ⋅ x = x para todo g ∈ G . El conjunto de todos estos x se denota X ^G y llamó a los G-invariantes de X . Cuando X es un módulo G , X ^G es el grupo zeroth cohomology group of Gcon coeficientes en X , y los grupos cohomology superiores son los funtores derivadosdel funtor de G -invariants.

Puntos fijos y subgrupos de estabilizadores [ editar ]

Dado que g en G y x en X con g ⋅ x = x , decimos que x es un punto fijo de g y g arreglos x .

Para cada x en X , definimos el subgrupo estabilizador de G con respecto a x (también llamado grupo de isotropía o grupo pequeño ^[6] ) como el conjunto de todos los elementos en G que corrigen x :

$${\ displaystyle G_ {x} = \ {g \ en G \ mid g \ cdot x = x \}.}

Este es un subgrupo de G , aunque típicamente no es uno normal. La acción de G en X es gratuita si y solo si todos los estabilizadores son triviales. El núcleo N del homomorfismo con el grupo simétrico, G → Sym ( X ) , está dado por la intersección de los estabilizadores G _x para todo x en X . Si N es trivial, se dice que la acción es fiel (o efectiva).

Sean x e y dos elementos en X , y g sea ​​un elemento de grupo tal que y = g ⋅ x . Luego, los dos grupos estabilizadores G _x y G _y están relacionados por G _y = g G _x g ⁻¹ . Prueba: por definición, h ∈ G _y si y solo si h ⋅ ( g ⋅ x ) = g ⋅ x . Aplicando g ⁻¹a ambos lados de esta igualdad se obtiene ( g ⁻¹ hg ) ⋅ x = x ; es decir, g ⁻¹ hg ∈ G _x . Una inclusión opuesta sigue de manera similar mediante la adopción de h ∈ G _x y suponiendo x = g ^-1 ⋅ y .

Lo anterior dice que los estabilizadores de elementos en la misma órbita se conjugan entre sí. Por lo tanto, a cada órbita, se puede asociar una clase de conjugación de un subgrupo de G (es decir, el conjunto de todos los conjugados del subgrupo). Dejar$${\ displaystyle (H)}denotar la clase de conjugación de H . Entonces se dice que la órbita Otiene tipo.$${\ displaystyle (H)} si el estabilizador $${\ displaystyle G_ {x}}de alguna / cualquier x en O pertenece a$${\ displaystyle (H)}. Un tipo de órbita máxima suele denominarse tipo de órbita principal .

El teorema del estabilizador de la órbita y el lema de Burnside [ editar ]

Las órbitas y los estabilizadores están estrechamente relacionados. Para un fijo$${\ displaystyle x \ en X}, considera el mapa $${\ displaystyle G \ a X} dada por $${\ displaystyle g \ mapsto g \ cdot x}. Este mapa induce una bijección del conjunto.$${\ displaystyle G / G_ {x}}de cosets de$${\ displaystyle G_ {x}} en $${\ displaystyle G} a la órbita $${\ displaystyle G \ cdot x}, como el traductor $${\ displaystyle g \ cdot x} depende solo del coset izquierdo $${\ displaystyle gG_ {x}}^[7] . Este resultado se conoce como elteorema del estabilizador de la órbita .

Si $${\ displaystyle G}es finito, entonces el teorema de estabilización de la órbita, junto con el teorema de Lagrange , da

$${\ displaystyle | G \ cdot x | = [G \,: \, G_ {x}] = | G | / | G_ {x} |.}

Este resultado es especialmente útil ya que puede emplearse para contar argumentos (generalmente en situaciones donde $${\ displaystyle X} es finito también).

Gráfica cúbica con vértices etiquetados.

Ejemplo: Se puede usar el teorema del estabilizador de órbita para contar los automorfismos de un gráfico . Considere la gráfica cúbicacomo se muestra en la imagen, y deje$${\ displaystyle G}Denota su grupo de automorfismo . Entonces$${\ displaystyle G} Actúa sobre el conjunto de vértices. $${\ displaystyle \ {1,2, \ ldots, 8 \}}, y esta acción es transitiva, como puede verse al componer rotaciones alrededor del centro del cubo. Así, por el teorema de la órbita-estabilizador, tenemos que$${\ displaystyle | G | = | G \ cdot 1 || G_ {1} | = 8 | G_ {1} |}. Aplicando el teorema ahora al estabilizador.$${\ displaystyle G_ {1}}, obtenemos $${\ displaystyle | G_ {1} | = | (G_ {1}) \ cdot 2 || (G_ {1}) _ {2} |}. Cualquier elemento de$${\ displaystyle G} que arregla $${\ displaystyle 1} debe enviar $${\ displaystyle 2} a cualquiera $${\ displaystyle 2}, $${\ displaystyle 4} o $${\ displaystyle 5}. Hay tales automorfismos; Consideremos por ejemplo el mapa que transpone.$${\ displaystyle 2} y $${\ displaystyle 4}transpone $${\ displaystyle 6} y $${\ displaystyle 8}, y arregla los otros vértices. Así,$${\ displaystyle \ left | (G_ {1}) \ cdot 2 \ right | = 3}. Aplicando el teorema por tercera vez da$${\ displaystyle | (G_ {1}) _ {2} | = | ((G_ {1}) _ {2}) \ cdot 3 || ((G_ {1}) _ {2}) _ {3} |}. Cualquier elemento de$${\ displaystyle G} que arregla $${\ displaystyle 1} y $${\ displaystyle 2} debe enviar $${\ displaystyle 3} a cualquiera $${\ displaystyle 3} o $${\ displaystyle 6}, y uno encuentra fácilmente tales automorfismos. Así,$${\ displaystyle \ left | ((G_ {1}) _ {2}) \ cdot 3 \ right | = 2}. También se ve que$${\ displaystyle ((G_ {1}) _ {2}) _ {3}}consiste únicamente en el autoformismo de identidad, como cualquier elemento de $${\ displaystyle G} fijación $${\ displaystyle 1}, $${\ displaystyle 2} y $${\ displaystyle 3}también debe arreglar $${\ displaystyle 4}Y consecuentemente todos los demás vértices. Combinando los cálculos anteriores, ahora obtenemos$${\ displaystyle | G | = 8 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot 1 = 48}.

Un resultado estrechamente relacionado con el teorema del estabilizador de la órbita es el lema de Burnside :

$${\ displaystyle | X / G | = {\ frac {1} {| G |}} \ sum _ {g \ en G} | X ^ {g} |,}

dónde $${\ displaystyle X ^ {g}} el conjunto de puntos fijado por $${\ displaystyle g}. Este resultado es principalmente de uso cuando$${\ displaystyle G} y $${\ displaystyle X} son finitos, cuando se puede interpretar de la siguiente manera: el número de órbitas es igual al número promedio de puntos fijos por elemento del grupo.

Arreglando un grupo $${\ displaystyle G}, el conjunto de diferencias formales de finito. $${\ displaystyle G}-los conjuntos forman un anillo llamado el anillo de Burnside$${\ displaystyle G}, donde la suma corresponde a la unión desunida , y la multiplicación al producto cartesiano .

Ejemplos [ editar ]

• La acción trivial de cualquier grupo G en cualquier conjunto X se define por g ⋅ x = x para todos g en G y todos x en X ; es decir, cada elemento del grupo induce la permutación identidad en X . ^[8]
• En cada grupo G , multiplicación izquierda es una acción de G en G : g ⋅ x = gx para todos g , x en G . Esta acción forma la base de una prueba rápida del teorema de Cayley - que cada grupo es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico de permutaciones del conjunto G .
• En cada grupo G con subgrupo H , multiplicación izquierda es una acción de G en el conjunto de clases laterales G / H : g ⋅ aH = GAH para todos g , una en G . En particular, si H no contiene subgrupos normales no triviales de G, esto induce un isomorfismo de G a un subgrupo del grupo de permutación de grado [G: H] .
• En cada grupo G , la conjugación es una acción de G en G : g ⋅ x = gxg ⁻¹ . Una notación exponencial se usa comúnmente para la variante de acción derecha: x ^g = g ⁻¹ xg ; satisface ( x ^g ) ^h = x ^gh .
• En cada grupo G con subgrupo H , conjugación es una acción de G en conjugados de H : g ⋅ K = GKG ^-1 para todos g en G y K conjugados de H .
• El grupo simétrico S _n y sus subgrupos actúan sobre el conjunto {1,…, n } al permutar sus elementos
• El grupo de simetría de un poliedro actúa sobre el conjunto de vértices de ese poliedro. También actúa sobre el conjunto de caras o el conjunto de bordes del poliedro.
• El grupo de simetría de cualquier objeto geométrico actúa sobre el conjunto de puntos de ese objeto.
• El grupo de automorfismo de un espacio vectorial (o gráfico , o grupo, o anillo ...) actúa sobre el espacio vectorial (o conjunto de vértices del gráfico, o grupo, o anillo ...).
• El grupo lineal general GL ( n , K ) y sus subgrupos, particularmente sus subgrupos Lie (que incluyen el grupo lineal especial SL ( n , K ) , el grupo ortogonal O ( n , K ) , el grupo ortogonal especial SO ( n , K ) , y el grupo simpléctico Sp ( n , K ) son grupos de Lie que actúan sobre el espacio vectorial K ⁿ. Las operaciones de grupo se dan multiplicando las matrices de los grupos con los vectores de K ⁿ .
• El grupo lineal general GL ( n , Z ) actúa sobre Z ⁿ por acción de la matriz natural. Las órbitas de su acción se clasifican por el mayor divisor común de coordenadas del vector en Z ⁿ .
• El grupo afín actúa de forma transitiva en los puntos de un espacio afín , y el subgrupo V del grupo afín (es decir, un espacio vectorial) es una acción transitiva y libre (es decir, regular ) en estos puntos; ^{[9] de} hecho, esto puede usarse para dar una definición de un espacio afín .
• El grupo lineal proyectivo PGL ( n + 1, K ) y sus subgrupos, particularmente sus subgrupos Lie, que son grupos de Lie que actúan sobre el espacio proyectivo P ⁿ ( K ). Este es un cociente de la acción del grupo lineal general en el espacio proyectivo. Particularmente notable es PGL (2, K ) , las simetrías de la línea proyectiva, que es marcadamente 3-transitiva, preservando la relación cruzada ; El grupo Möbius PGL (2, C )es de particular interés.
• Las isometrías del plano actúan sobre el conjunto de imágenes y patrones en 2D, como los patrones de papel tapiz . La definición se puede hacer más precisa especificando qué se entiende por imagen o patrón; Por ejemplo, una función de posición con valores en un conjunto de colores. Las isometrías son, de hecho, un ejemplo de grupo afín (acción). ^{[ dudoso - discutir ]}
• Los conjuntos en los que actúa un grupo G comprenden la categoría de conjuntos G en la que los objetos son conjuntos G y los morfismos son homomorfismos de conjunto G: funciones f  : X → Y de manera que g ( f ( x )) = f ( g ⋅ x ) para cada g en g .
• El grupo Galois de una extensión de campo L / K actúa sobre el campo L, pero solo tiene una acción trivial sobre los elementos del subcampo K. Los subgrupos de Gal (L / K) corresponden a subcampos de L que contienen K, es decir, extensiones de campo intermedias entre L y K.
• El grupo aditivo de los números reales ( R , +) actúa sobre el espacio de fase de los sistemas "de buen comportamiento " en la mecánica clásica (y en sistemas dinámicos más generales ) por traducción de tiempo: si t está en R y x está en la fase espacio, luego x describe un estado del sistema, y t + x se define como el estado del sistema t segundos más tarde si t es positivo o - t hace segundos si t es negativo.
• El grupo aditivo de los números reales ( R , +) actúa sobre el conjunto de funciones reales de una variable real de varias maneras, con ( t ⋅ f ) ( x ) igual a, por ejemplo, f ( x + t ) , f ( x ) + t , f ( xe ^t ) , f ( x ) e ^t , f ( x + t ) e ^t , o f ( xe ^t) + t , pero no f ( xe ^t + t ) .
• Dada una acción de grupo de G en X , podemos definir una acción inducida de G en el conjunto de potenciasde X , estableciendo g ⋅ U = { g ⋅ u  : u ∈ U } para cada subconjunto U de X y cada g en G . Esto es útil, por ejemplo, para estudiar la acción del gran grupo Mathieu en un grupo de 24 series y para estudiar la simetría en ciertos modelos de geometrías finitas .
• Los cuaterniones con la norma 1 (los versores ), como grupo multiplicativo, actúan sobre R ³ : para cualquier cuaternión z = cos α / 2 + v sin α / 2 , el mapeo f ( x ) = z x z ^∗ es un rotación en sentido contrario a las agujas del reloj a través de un ángulo α sobre un eje dado por un vector unitario v ; z es la misma rotación; Ver cuaterniones y rotación espacial .

Acciones grupales y groupoids [ editar ]

La noción de acción de grupo se puede poner en un contexto más amplio usando la acción groupoid $${\ displaystyle \ scriptstyle G '\; = \; G \, \ ltimes \, X}asociado a la acción grupal, permitiendo así técnicas desde la teoría groupoid como presentaciones y fibraciones. Además, los estabilizadores de la acción son los grupos de vértices, y las órbitas de la acción son los componentes del grupo de acción. Para obtener más detalles, consulte el libro Topología y groupoids a los que se hace referencia a continuación.

Este grupo de acción viene con un morfismo. $${\ displaystyle \ scriptstyle p: \; G '\, \ rightarrow \, G}Que es un morfismo de cobertura de los groupoids . Esto permite una relación entre dichos morfismos y los mapas de cobertura en topología.

Morphisms y isomorfismos entre G conjuntos- [ editar ]

Si X e Y son dos conjuntos G , definimos un morfismo de X a Y como una función f  : X → Y tal que f ( g ⋅ x ) = g ⋅ f ( x ) para todo g en G y todo x en x . Morfismos de G conjuntos-son también llamados mapas equivariante o G-maps .

La composición de dos morfismos es nuevamente un morfismo.

Si un morfismo f es biyectiva , entonces su inverso es también un morfismo, y lo llamamos f un isomorfismo y los dos G conjuntos- X y Y se llaman isomorfos ; para todos los propósitos prácticos, son indistinguibles en este caso.

Algunos isomorfismos de ejemplo:

• Cada acción regular de G es isomorfa a la acción de G en G dada por la multiplicación de la izquierda.
• Cada acción libre de G es isomorfa a G × S , donde S es un conjunto y G actúa sobre G × S multiplicando a la izquierda en la primera coordenada. ( S puede tomarse como el conjunto de órbitas X / G. )
• Cada transitivo G acción es isomorfo a la multiplicación dada por G en el conjunto de la izquierda clases laterales de algunos subgrupo H de G . ( Se puede considerar que H es el grupo estabilizador de cualquier elemento del conjunto G original. La acción original).

Con esta noción de morfismo, la colección de todos los conjuntos G forma una categoría ; esta categoría es un topos de Grothendieck (de hecho, asumiendo una metalógica clásica, este topos será incluso booleano).

Acciones continuas de grupo [ editar ]

Artículo principal: acción grupal continua.

A menudo se considera acciones de grupo continuas : el grupo G es un grupo topológico , X es un espacio topológico , y el mapa G × X → X es continua con respecto a la topología del producto de G × X . El espacio Xtambién se llama espacio G en este caso. Esto es de hecho una generalización, ya que cada grupo puede considerarse un grupo topológico usando la topología discreta. Todos los conceptos introducidos anteriormente siguen trabajando en este contexto, sin embargo, nos definen morfismos entre G -Espacios ser continua mapas compatible con la acción de G . El cociente X / G hereda la topología de cociente de X y se denomina espacio de cociente de la acción. Las declaraciones anteriores sobre los isomorfismos para acciones regulares, libres y transitivas ya no son válidas para acciones grupales continuas.

Si X es un espacio de cobertura regular de otro espacio topológico Y , entonces la acción del grupo de transformación de la plataforma en X es discontinua y libre. Todas las acciones libres y adecuadamente discontinuas de un grupo G en un espacio topológico X conectado a la trayectoria surgen de esta manera: el mapa del cociente X ↦ X / G es un mapa de cobertura regular, y el grupo de transformación de la cubierta es la acción dada de G en X . Además, si X está simplemente conectado, el grupo fundamental de X/ G será isomorfo a G .

Estos resultados se han generalizado en el libro Topology and Groupoids referenciado a continuación para obtener el groupoid fundamental del espacio orbital de una acción discontinua de un grupo discreto en un espacio Hausdorff, ya que, en condiciones locales razonables, el groupoid orbital del groupoid fundamental el espacio. Esto permite cálculos como el grupo fundamental del cuadrado simétrico de un espacio X , es decir, el espacio orbital del producto de X consigo mismo bajo la acción de torsión del grupo cíclico de orden 2 que envía ( x , y ) a ( y , x ) .

Una acción de un grupo G en un espacio localmente compacto X es cocompact si existe un subconjunto compacto A de X tal que GA = X . Para una acción correctamente discontinua, cocompactness es equivalente a compacidad del espacio cociente X / G .

Se dice que la acción de G en X es correcta si el mapeo G × X → X × X que envía ( g , x ) ↦ ( g⋅x , x ) es un mapa adecuado .

Acción de grupo fuertemente continua y puntos suaves [ editar ]

Una acción grupal de un grupo topológico G en un espacio topológico X se dice que es fuertemente continua si para todo x en X , el mapa g ↦ g ⋅ x es continuo con respecto a las topologías respectivas. Tal acción induce una acción en el espacio de funciones continuas en X definiendo ( g ⋅ f ) ( x ) = f ( g ⁻¹ ⋅ x ) para cada g en G , funa función continua en X , y x en X . Tenga en cuenta que, si bien cada acción de grupo continua es fuertemente continua, lo contrario no es en general cierto. ^[10]

El subespacio de puntos suaves para la acción es el subespacio de X de puntos x tal que g ↦ g ⋅ x es suave; Es decir, es continuo y todos los derivados ^[ donde? ] son continuos.

Variantes y generalizaciones [ editar ]

También se pueden considerar las acciones de los monoides en conjuntos, usando los mismos dos axiomas que los anteriores. Esto no define mapas biyectivos y relaciones de equivalencia sin embargo. Ver la acción del semigrupo .

En lugar de acciones en conjuntos, uno puede definir acciones de los grupos y monoides en objetos de forma arbitraria categoría : comenzar con un objeto X de alguna categoría, y luego definir una acción en X como un homomorfismo monoide en el monoide de endomorfismos de X . Si X tiene un conjunto subyacente, entonces todas las definiciones y hechos mencionados anteriormente pueden ser transferidos. Por ejemplo, si tomamos la categoría de espacios vectoriales , obtenemos representaciones de grupo de esta manera.

Uno puede ver un grupo G como una categoría con un solo objeto en el que todo morfismo es invertible. Una acción de grupo (izquierda) no es más que un funtor (covariante) de G a la categoría de conjuntos , y una representación de grupo es un functor de G a la categoría de espacios vectoriales . Un morfismo entre conjuntos de G es entonces una transformación natural entre los funtores de acción grupal. En analogía, una acción de un groupoid es un functor del groupoid a la categoría de conjuntos o a alguna otra categoría.

Además de las acciones continuas de los grupos topológicos en los espacios topológicos, a menudo también se consideran las acciones suaves de los grupos Lie en múltiples variables , las acciones regulares de los grupos algebraicos sobre las variedades algebraicas y las acciones de los esquemas grupales sobre los esquemas . Todos estos son ejemplos de objetos grupales que actúan sobre objetos de su categoría respectiva.