LISTA DE TEMAS MATEMÁTICOS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

 un grupo cíclico local es un grupo ( G , *) en el que cada subgrupo generado de manera definitiva es cíclico .

Algunos hechos [ editar ]

• Cada grupo cíclico es localmente cíclico, y cada grupo localmente cíclico es abeliano . ^[1]
• Cada grupo localmente cíclico generado finamente es cíclico.
• Cada subgrupo y grupo cociente de un grupo cíclico local es cíclico localmente.
• Cada imagen homomórfica de un grupo localmente cíclico es localmente cíclica.
• Un grupo es localmente cíclico si y solo si cada par de elementos en el grupo genera un grupo cíclico.
• Un grupo es localmente cíclico si y solo si su red de subgrupos es distributiva ( Ore 1938 ).
• El rango libre de torsión de un grupo cíclico local es 0 o 1.
• El anillo de endomorfismo de un grupo cíclico local es conmutativo . ^{[ cita requerida ]}

Los ejemplos de grupos localmente cíclicos que no son cíclico [ editar ]

• El grupo aditivo de números racionales ( Q , +) es localmente cíclico: cualquier par de números racionales a / b y c / d está contenido en el subgrupo cíclico generado por 1 / bd . ^[2]
• El grupo aditivo de los números racionales diádicos , los números racionales de la forma a / 2 ^b , también es localmente cíclico: cualquier par de números racionales diádicos a / 2 ^b y c / 2 ^d está contenido en el subgrupo cíclico generado por 1 / 2 ^{máx ( b , d )} .
• Sea p cualquier primo, y digamos que μ _p ^∞ denota el conjunto de todas las raíces de unidad p th-power en C , es decir

$${\ displaystyle \ mu _ {p ^ {\ infty}} = \ left \ {\ exp \ left ({\ frac {2 \ pi im} {p ^ {k}}} \ right): m, k \ in \ mathbb {Z} \ right \}}

Entonces μ _p ^∞ es localmente cíclico pero no cíclico. Este es el p- group Prüfer . El grupo Prüfer 2 está estrechamente relacionado con los racionales diádicos (puede verse como los racionales diádicos módulo 1).

Ejemplos de grupos abelianos que no son localmente cíclicos [ editar ]

• El grupo aditivo de números reales ( R , +) no es localmente cíclico: el subgrupo generado por 1 y π consiste en todos los números de la forma a + b π. Este grupo es isomorfo a la suma directa Z + Z , y este grupo no es cíclico.

grupo soluble o un grupo soluble es un grupo que puede construirse a partir de grupos abelianos usando extensiones . De manera equivalente, un grupo que se puede resolver es un grupo cuya serie derivada termina en el subgrupo trivial .

Históricamente, la palabra "solucionable" surgió de la teoría de Galois y la prueba de la falta de solvencia general de la ecuación quíntica . Específicamente, una ecuación polinomial es solucionable por radicalessi y solo si el grupo de Galois correspondiente es solucionable.

Definición [ editar ]

Un grupo G se llama solucionable si tiene una serie subnormal cuyos grupos de factores ( grupos cocientes) son todos abelianos , es decir, si hay subgrupos 1 = G ₀ < G ₁ <⋅⋅⋅ < G _k = G tal que G _j −1 es normal en G _j , y G _j/ G _j −1 es un grupo abeliano, para j = 1, 2,…, k .

O de manera equivalente, si su serie derivada , la serie normal descendente

$${\ displaystyle G \ triangleright G ^ {(1)} \ triangleright G ^ {(2)} \ triangleright \ cdots,}

donde cada subgrupo es el grupo de los conmutadores de la anterior, con el tiempo alcanza el subgrupo trivial de G . Estas dos definiciones son equivalentes, ya que para cada grupo H y cada subgrupo normal N de H , el cociente H / N es abeliano si y solo si N incluye H ⁽¹⁾ . El menos n tal que G ^( n ) = 1 se llama el longitud derivado del grupo resoluble G .

Para grupos finitos, una definición equivalente es que un grupo que se puede resolver es un grupo con una serie de composiciones cuyos factores son grupos cíclicos de primer orden . Esto es equivalente porque un grupo finito tiene una longitud de composición finita, y cada grupo abeliano simple es cíclico de primer orden. El teorema de Jordan-Hölder garantiza que si una serie de composición tiene esta propiedad, entonces todas las series de composición tendrán esta propiedad también. Para el grupo de Galois de un polinomio, estos grupos cíclicos corresponden a n th raíces (radicales) sobre algún campo. La equivalencia no necesariamente se cumple para grupos infinitos: por ejemplo, ya que cada subgrupo no trivial del grupoLa Z de los números enteros bajo adición es isomorfa a la misma Z , no tiene series de composición, pero la serie normal {0, Z }, con su único grupo de factor isomorphic a la Z , demuestra que es de hecho solucionable.

Ejemplos [ editar ]

Todos los grupos abelianos tienen solución trivial, una serie subnormal dada solo por el propio grupo y el grupo trivial. Pero los grupos no abelianos pueden o no ser solucionables.

Más generalmente, todos los grupos nilpotentes son solucionables. En particular, los grupos p finitos son solucionables, ya que todos los grupos p finitos son nilpotentes.

Un pequeño ejemplo de un grupo resoluble, no nilpotent es el grupo simétrico S ₃ . De hecho, como el grupo no abeliano simple más pequeño es A ₅ , (el grupo alterno de grado 5) se deduce que todo grupo con un orden inferior a 60 puede resolverse.

El grupo S ₅ no es solucionable; tiene una serie de composición {E, A ₅ , S ₅ } (y el teorema de Jordan-Hölderestablece que todas las demás series de composición son equivalentes a esa), dando grupos de factores isomorfos a A ₅ y C ₂ ; y A ₅ no es abeliano. Generalizando este argumento, junto con el hecho de que A _n es un subgrupo simple normal, máximo, no abeliano de S _n para n > 4, vemos que S _n no es solucionable para n> 4. Este es un paso clave en la prueba de que para cada n > 4 hay polinomios de grado n que no se pueden resolver con radicales ( teorema de Abel-Ruffini ). Esta propiedad también se usa en la teoría de la complejidad en la prueba del teorema de Barrington .

El célebre teorema de Feit-Thompson establece que todo grupo finito de orden impar tiene solución. En particular, esto implica que si un grupo finito es simple, es un cíclico principal o incluso de orden.

Cualquier grupo finito cuyos subgrupos p -Lowow sean cíclicos es un producto semidirecto de dos grupos cíclicos, en particular solucionables. Tales grupos se denominan Z-grupos .

Los números de grupos solubles con orden n son (comienza con n = 0)

0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 14, 1, 5, 1, 5, 2, 2, 1, 15, 2, 2, 5, 4, 1, 4, 1, 51, 1, 2, 1, 14, 1, 2, 14, 1, 6, 1, 4, 2, 2, 1, 52, 2, 5, 1, 5, 1, 15, 2, 13, 2, 2, 1, 12, 1, 2, 4, 267, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 50, ... ( secuencia A201733 en el OEIS )

Los pedidos de grupos no solubles son

60, 120, 168, 180, 240, 300, 336, 360, 420, 480, 504, 540, 600, 660, 672, 720, 780, 840, 900, 960, 1008, 1020, 1080, 1092, 1140, 1176, 1200, 1260, 1320, 1344, 1380, 1440, 1500, ... (secuencia A056866 en el OEIS)

Propiedades [ editar ]

La solvencia se cierra bajo varias operaciones.

• Si G es solucionable, y hay un homomorfismo de G sobre H , entonces H es solucionable; de manera equivalente (según el primer teorema de isomorfismo ), si G es solucionable y N es un subgrupo normal de G, entonces G / N es solucionable. ^[1]
• La propiedad anterior se puede expandir a la siguiente propiedad: G es solucionable si y solo si tanto N como G / N son solucionables.
• Si G es solucionable, y H es un subgrupo de G , entonces H es solucionable. ^[2]
• Si G y H son solubles, el producto directo G × H es soluble.

La solvencia se cierra bajo extensión de grupo :

• Si H y G / H son solubles, entonces también lo es G ; en particular, si N y H son solubles, su producto semidirecto también se puede resolver.

También está cerrado bajo producto corona:

• Si G y H son solubles, y X es un conjunto G , entonces el producto corona de G y H con respecto a X también se puede resolver.

Para cualquier entero positivo N , los grupos solubles de longitud derivada en la mayoría N forman una subvariedad de la variedad de grupos, ya que se cierran bajo la toma de imágenes homomorfas , subalgebras y productos (directos) . El producto directo de una secuencia de grupos solubles con longitud derivada ilimitada no se puede resolver, por lo que la clase de todos los grupos solubles no es una variedad.

El teorema de Burnside [ editar ]

Artículo principal: teorema de Burnside

El teorema de Burnside establece que si G es un grupo finito de orden p ^a q ^b donde p y q son números primos , y a y b son enteros no negativos , entonces G es solucionable.

Conceptos relacionados [ editar ]

Grupos supersolubles [ editar ]

Artículo principal: grupo supersoluble

Como refuerzo de la solvencia, un grupo G se llama supersoluble (o supersoluble ) si tiene una serie normal invariable cuyos factores son todos cíclicos. Dado que una serie normal tiene una longitud finita por definición, los grupos incontables no son supersolubles. De hecho, todos los grupos supersolubles se generan de forma finita , y un grupo abeliano es supersoluble si y solo si se genera de forma finita. El grupo alterno A ₄ es un ejemplo de un grupo soluble finito que no es supersoluble.

Si nos limitamos a grupos generados de forma definitiva, podemos considerar la siguiente distribución de clases de grupos:

cíclico < abelian < nilpotente < supersoluble < policíclico < solucionable < finita generado grupo .

Grupos virtualmente solubles [ editar ]

Un grupo G se llama virtualmente solucionable si tiene un subgrupo solucionable de índice finito. Esto es similar a virtualmente abeliano . Claramente, todos los grupos solubles son virtualmente solubles, ya que uno solo puede elegir el propio grupo, que tiene el índice 1.

Hipoabeliana [ editar ]

Un grupo que se puede resolver es aquel cuya serie derivada alcanza el subgrupo trivial en una etapa finita . Para un grupo infinito, las series derivadas finitas pueden no estabilizarse, pero las series derivadas transfinitas siempre se estabilizan. Un grupo cuya serie derivada de la transfinidad llega al grupo trivial se llama un grupo hipoabeliano , y cada grupo solucionable es un grupo hipoabeliano. El primer ordinal α, tal que G ^( α ) = G ^( α +1)se denomina longitud derivada (transfinita) del grupo G , y se ha demostrado que cada ordinal es la longitud derivada de algún grupo ( Malcev 1949 ).

serie de composiciones proporciona una manera de dividir una estructura algebraica, como un grupo o un módulo , en piezas simples. La necesidad de considerar series de composición en el contexto de los módulos surge del hecho de que muchos módulos naturales no son semisimples , por lo que no se pueden descomponer en una suma directa de módulos simples . Una serie de composiciones de un módulo Mes una filtración finita y creciente de M por submódulosde modo que los cocientes sucesivos son simples y sirven como un reemplazo de la descomposición de suma directa de M en sus constituyentes simples.

Una serie de composiciones puede no existir, y cuando lo hace, no necesita ser única. Sin embargo, un grupo de resultados conocido bajo el nombre general de Jordan-Hölder, afirma que siempre que existen series de composición, las clases de isomorfismo de las piezas simples (aunque, quizás, no su ubicación en la serie de composición en cuestión) y sus multiplicidades están determinadas de manera única. Las series de composición se pueden usar para definir invariantes de grupos finitos y módulos Artinianos .

Un concepto relacionado pero distinto es una serie principal : una serie de composición es una serie subnormalmáxima , mientras que una serie principal es una serie normal máxima .

Para grupos [ editar ]

Si un grupo G tiene un subgrupo normal N , entonces el grupo de factor de G / N puede estar formado, y algunos aspectos del estudio de la estructura de G puede ser degradado por el estudio de los grupos "pequeños" G / N y N . Si G no tiene un subgrupo normal que sea diferente de G y del grupo trivial, entonces G es un grupo simple . De lo contrario, naturalmente surge la pregunta de si G puede reducirse a simples "piezas", y si es así, ¿hay alguna característica única de la forma en que esto se puede hacer?

Más formalmente, una serie de composiciones de un grupo G es una serie subnormal de longitud finita

$${\ displaystyle 1 = H_ {0} \ triangleleft H_ {1} \ triangleleft \ cdots \ triangleleft H_ {n} = G,}

con inclusiones estrictas, de modo que cada H _i es un subgrupo normal estricto máximo de H _i +1 . De manera equivalente, una serie de composiciones es una serie subnormal de tal manera que cada grupo de factores H _i +1/ H _i es simple . Los grupos de factores se denominan factores de composición .

Una serie subnormal es una serie de composición si y solo si es de longitud máxima. Es decir, no hay subgrupos adicionales que puedan "insertarse" en una serie de composiciones. La longitud n de la serie se llama la longitud de la composición .

Si existe una serie de composiciones para un grupo G , entonces cualquier serie subnormal de G se puede refinar a una serie de composiciones, de manera informal, insertando subgrupos en la serie hasta la máxima. Cada grupo finito tiene una serie de composiciones, pero no todos los grupos infinitos tienen una serie de composiciones . Por ejemplo,$${\ displaystyle \ mathbb {Z}} No tiene series de composición.

Unicidad: el teorema de Jordan – Hölder [ editar ]

Un grupo puede tener más de una serie de composiciones. Sin embargo, el teorema de Jordan-Hölder (llamado así por Camille Jordan y Otto Hölder ) establece que cualquiera de las dos series de composición de un grupo dado son equivalentes. Es decir, tienen la misma longitud de composición y los mismos factores de composición, hasta la permutación y el isomorfismo . Este teorema se puede probar usando el teorema de refinamiento de Schreier . El teorema de Jordan-Hölder también es válido para las series de composiciones ascendentes transfinitas , pero no para las series de composiciones descendentes transfinitas ( Birkhoff 1934 ). Baumslag (2006) ofrece una breve prueba del teorema de Jordan-Hölder al cruzar los términos en una serie subnormal con los de la otra serie.

Ejemplo [ editar ]

Para un grupo cíclico de orden n , las series de composición corresponden a factorizaciones primas ordenadas de n , y de hecho proporcionan una prueba del teorema fundamental de la aritmética .

Por ejemplo, el grupo cíclico C ₁₂ tiene

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & C_ {1} \ triangleleft C_ {2} \ triangleleft C_ {6} \ triangleleft C_ {12}, \\ [4pt] & C_ {1} \ triangleleft C_ {2} \ triangleleft C_ {4} \ triangleleft C_ {12}, \\ [4pt] & C_ {1} \ triangleleft C_ {3} \ triangleleft C_ {6} \ triangleleft C_ {12} \ end {alineado}}}

Como series de composiciones diferentes.

Las secuencias de factores de composición obtenidas en los casos respectivos son:

$${\ displaystyle C_ {2}, C_ {3}, C_ {2} \}

$${\ displaystyle C_ {2}, C_ {2}, C_ {3} \} y

$${\ displaystyle C_ {3}, C_ {2}, C_ {2}. \}

Para módulos [ editar ]

Ver también: Longitud de un módulo.

La definición de series de composición para módulos restringe toda la atención a los submódulos, ignorando todos los subgrupos aditivos que no son submódulos. Dado un anillo R y un módulo R M , una serie de composición para M es una serie de submódulos

$${\ displaystyle \ {0 \} = J_ {0} \ subset \ cdots \ subset J_ {n} = M}

donde todas las inclusiones son estrictas y J _k es un submódulo máximo de J _k +1 para cada k . En cuanto a los grupos, si M tiene una serie de composiciones, entonces cualquier serie finita estrictamente creciente de submódulos de M se puede refinar a una serie de composiciones, y cualquiera de las dos series de composiciones para M son equivalentes. En ese caso, los módulos de cociente (simple) J _k +1 / J _k se conocen como los factores de composición de M, y el teorema de Jordan-Hölder se mantiene, asegurando que el número de ocurrencias de cada tipo de isomorfismo es simple.El módulo R como factor de composición no depende de la elección de las series de composición.

Es bien sabido ^[1] que un módulo tiene una serie de composición finita si y solo si es a la vez un módulo Artinian y un módulo Noetherian . Si R es un anillo de Artinian , entonces cada módulo R finamente generado es Artinian y Noetherian, y por lo tanto tiene una serie de composición finita. En particular, para cualquier campo K , cualquier módulo de dimensión finita para un álgebra de dimensión finita sobre K tiene una serie de composición, única hasta la equivalencia.

Generalización [ editar ]

Los grupos con un conjunto de operadores generalizan las acciones de grupo y las acciones de timbre en un grupo. Se puede seguir un enfoque unificado tanto para grupos como para módulos ( Isaacs 1994 , Capítulo 10), simplificando parte de la exposición. Se considera que el grupo G actúa sobre los elementos (operadores) de un conjunto Ω . La atención está restringida por completo a subgrupos invariantes bajo la acción de elementos de Ω, llamados Ω - subgrupos. Por lo tanto Ω serie -Composición debe utilizar sólo Ohmio subgrupos, y Ohmiofactores -composición sólo necesitan ser Ω-simple. Los resultados estándar anteriores, como el teorema de Jordan-Hölder, se establecen con pruebas casi idénticas.

Los casos especiales recuperados incluyen cuando Ω = G para que G actúe sobre sí mismo. Un ejemplo importante de esto es cuando los elementos de G actúan por conjugación, de modo que el conjunto de operadores consiste en los automorfismos internos . Una serie de composiciones bajo esta acción es exactamente una serie principal . Las estructuras de módulos son un caso de Ω acciones donde Ω es un anillo y se satisfacen algunos axiomas adicionales.

Para objetos en una categoría abeliana [ editar ]

Una serie de composiciones de un objeto A en una categoría abeliana es una secuencia de subobjetos

$${\ displaystyle A = X_ {0} \ supsetneq X_ {1} \ supsetneq \ dots \ supsetneq X_ {n} = 0}

de modo que cada objeto de cociente X _i  / X _{i  + 1} es simple (para 0 ≤ i < n ). Si A tiene una serie de composición, el número entero n sólo depende de A y es llamado el longitud de A .