LISTA DE TEMAS MATEMÁTICOS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

 grupo nilpotente G es un grupo que tiene una serie central superior que termina con G . Las definiciones probablemente equivalentes incluyen un grupo que tiene una serie central de longitud finita o una serie central inferior que termina con {1}.

En teoría de grupos , un grupo nilpotente es un grupo que es "casi abeliano ". Esta idea está motivada por el hecho de que los grupos nilpotentes son solucionables , y para los grupos nilpotentes finitos, dos elementos que tienen órdenes relativamente primarias deben conmutar. También es cierto que los grupos nilpotentes finitos son supersolubles . El matemático ruso Sergei Chernikov acredita este concepto para trabajar en la década de 1930 . ^[1]

Los grupos nilpotentes surgen en la teoría de Galois , así como en la clasificación de los grupos. También aparecen prominentemente en la clasificación de los grupos de Lie .

Se utilizan términos análogos para las álgebras de Lie (usando el corchete de Lie ) incluyendo nilpotent , series centrales inferiores y series centrales superiores .

Definición [ editar ]

La definición utiliza la idea de una serie central para un grupo. Las siguientes son definiciones equivalentes para un grupo G nilpotente :

• G tiene una serie central de longitud finita. Es decir, una serie de subgrupos normales.

$${\ displaystyle \ {1 \} = G_ {0} \ triangleleft G_ {1} \ triangleleft \ dots \ triangleleft G_ {n} = G}

dónde $${\ displaystyle G_ {i + 1} / G_ {i} \ leq Z (G / G_ {i})}, o equivalente $${\ displaystyle [G, G_ {i + 1}] \ leq G_ {i}}.

• G tiene una serie central inferior que termina en el subgrupo trivial después de muchos pasos. Es decir, una serie de subgrupos normales.

$${\ displaystyle G = G_ {0} \ triangleright G_ {1} \ triangleright \ dots \ triangleright G_ {n} = \ {1 \}}

dónde $${\ displaystyle G_ {i + 1} = [G_ {i}, G]}.

• G tiene una serie central superior que termina en todo el grupo después de muchos pasos. Es decir, una serie de subgrupos normales.

$${\ displaystyle \ {1 \} = Z_ {0} \ triangleleft Z_ {1} \ triangleleft \ dots \ triangleleft Z_ {n} = G}

dónde $${\ displaystyle Z_ {1} = Z (G)} y $${\ displaystyle Z_ {i + 1}} es el subgrupo tal que $${\ displaystyle Z_ {i + 1} / Z_ {i} = Z (G / Z_ {i})}.

Para un grupo nilpotente, la n más pequeña tal que G tiene una serie central de longitud n se denomina clase de nilpotencia de G ; y se dice que G es nilpotente de la clase n . (Por definición, la longitud es n si hay$${\ displaystyle n + 1}diferentes subgrupos de la serie, incluido el subgrupo trivial y todo el grupo.)

De manera equivalente, la clase de nilpotencia de G es igual a la longitud de la serie central inferior o la serie central superior. Si un grupo tiene una clase de nilpotencia a lo sumo n , entonces a veces se le llama un grupo nil- n .

Se deduce inmediatamente de cualquiera de las formas anteriores de la definición de nilpotency, que el grupo trivial es el único grupo de nilpotency clase  0 , y los grupos de nilpotency clase  1 son exactamente los grupos abelianos no triviales. ^[2] [3]

Ejemplos [ editar ]

Una parte del gráfico de Cayley del discreto grupo de Heisenberg , un conocido grupo nilpotente.

• Como se señaló anteriormente, cada grupo abeliano es nilpotente. ^[2] [4]
• Para un pequeño ejemplo no abeliano, considere el grupo de cuaternión Q ₈ , que es un grupo p no abeliano más pequeño. Tiene el centro {1, −1} de orden 2, y su serie central superior es {1}, {1, −1}, Q ₈ ; por lo que es nilpotente de la clase 2.
• El producto directo de dos grupos nilpotentes es nilpotente. ^[5]
• Todos los grupos p finitos son de hecho nilpotentes ( prueba ). La clase máxima de un grupo de orden p ⁿ es n (por ejemplo, cualquier grupo de orden 2 es nilpotente de clase 1). Los 2 grupos de clase máxima son los grupos cuaternión generalizados , los grupos diédricos y los grupos semidédricos .
• Además, cada grupo nilpotente finito es el producto directo de los grupos p . ^[6]
• El grupo H de Heisenberg es un ejemplo de grupo nilpotente no abeliano, ^[7] infinito. ^[8] Se tiene clase nilpotencia 2 con la serie central 1, Z ( H ), H .
• El grupo multiplicativo de matrices n x n unitriangulares superiores sobre cualquier campo F es un gruponilpotente de longitud nilpotente n - 1.
• El grupo multiplicativo de matrices de n x n triangulares superiores invertibles sobre un campo F no es en general nilpotente, sino que es solucionable .
• Cualquier grupo nonabelian G tal que G / Z ( G ) es abeliano tiene clase nilpotencia 2, con la serie central de {1}, Z ( G ), G .

Explicación del término [ editar ]

Los grupos Nilpotent se llaman así porque la "acción adjunta" de cualquier elemento es nilpotent , lo que significa que para un grupo nilpotent$${\ displaystyle G} de grado nilpotencia $${\ displaystyle n} y un elemento $${\ displaystyle g}, la función $${\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {g} \ colon G \ to G} definido por $${\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {g} (x): = [g, x]} (dónde $${\ displaystyle [g, x] = g ^ {- 1} x ^ {- 1} gx}es el conmutador de$${\ displaystyle g} y $${\ displaystyle x}) es nilpotente en el sentido de que el $${\ displaystyle n}La iteración de la función es trivial: $${\ displaystyle \ left (\ operatorname {ad} _ {g} \ right) ^ {n} (x) = e} para todos $${\ displaystyle x} en $${\ displaystyle G}.

Esta no es una característica definitoria de los grupos nilpotentes: grupos para los cuales $${\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {g}} es nilpotente de grado $${\ displaystyle n} (en el sentido anterior) se llaman $${\ displaystyle n}- Grupos de Engel , ^[9] y no necesitan ser nilpotentes en general. Se ha comprobado que son nilpotentes si tienen un orden finito , y se conjetura que no tienen ningún poder en la medida en que se generan de manera finita .

Un grupo abeliano es precisamente uno para el que la acción adjunta no es solo nilpotente sino trivial (un grupo 1-Engel).

Propiedades [ editar ]

Dado que cada grupo de factores sucesivos Z _i +1 / Z _i en la serie central superior es abeliano, y la serie es finita, cada grupo nilpotente es un grupo solucionable con una estructura relativamente simple.

Cada subgrupo de un grupo nilpotente de clase n es nilpotente de clase como máximo n ; ^[10] además, si f es un homomorfismo de un grupo nilpotente de clase n , entonces la imagen de f es nilpotente ^[10] de clase como máximo n .

Las siguientes declaraciones son equivalentes para grupos finitos, ^[11] revelando algunas propiedades útiles de nilpotency:

• (a) G es un grupo nilpotente.
• (b) Si H es un subgrupo adecuado de G , entonces H es un subgrupo normal adecuado de N _G ( H ) (el normalizador de H en G ). Esto se denomina propiedad del normalizador y puede expresarse simplemente a medida que "los normalizadores crecen".
• (c) Todo subgrupo de Sylow de G es normal.
• (d) G es el producto directo de sus subgrupos Sylow .
• (e) Si d divide el orden de G , entonces G tiene un subgrupo normal de orden d .

Prueba: (a) → (b): por inducción en | G |. Si G es abeliano, entonces para cualquier H , N _G ( H ) = G . Si no, si Z ( G ) no está contenido en H , entonces h _Z H _Z ^-1 h ^-1 = h ' H' h ^-1 = H , por lo H · Z ( G ) normalizadores H . Si Z ( G ) está contenido en H , entonces H/ Z ( G ) está contenido en G / Z ( G ). Tenga en cuenta, G / Z ( G ) es un grupo nilpotent. Por lo tanto, existe un subgrupo de G / Z ( G ) cuyos normalizadores H / Z ( G ) y H / Z ( G ) son un subgrupo propio de él. Por lo tanto, este subgrupo pullback al subgrupo en G y normaliza H . (Esta prueba es el mismo argumento que para p-grupos: el único hecho que necesitábamos era si G es nilpotente, entonces G / Z( G ), por lo que se omiten los detalles.

(b) → (c): Sean p ₁ , p ₂ , ..., p _s los primos distintos que dividen su orden y sean P _i en Syl _p i ( G ), 1≤ i ≤ s . Deje P = P _i para algunos i y sea N = N _G ( P ). Desde P es un subgrupo normal de N , P es característico en N . Desde P char N yN es un subgrupo normal de N _G ( N ), obtenemos que P es un subgrupo normal de N _G ( N ). Esto significa N _G ( N ) es un subgrupo de N y por lo tanto N _G ( N ) = N . Por (b) debemos por lo tanto tener N = G , que da (c).

(c) → (d): Sean p ₁ , p ₂ , ..., p _s los primos distintos que dividen su orden y dejen que P _i en Syl _p i ( G ), 1≤ i ≤ s . Para cualquier t , 1≤ t ≤ s mostramos inductivamente que P ₁ P ₂ … P _t es isomorfo a P ₁ × P ₂ ×… × P _t . Note primero que cada P _i es normal enG de modo P ₁ P ₂ ... P _t es un subgrupo de G . Sea H el producto P ₁ P ₂ … P _t-1 y sea K = P _t , entonces, por inducción, H es isomorfo a P ₁ × P ₂ ×… × P _t-1 . En particular, | H | = | P ₁ | · | P ₂| ·… · | P _t-1 |. Desde | K | = | PAG_t |, las órdenes de H y K son relativamente prime. El Teorema de Lagrange implica que la intersección de H y K es igual a 1. Por definición, P ₁ P ₂ … P _t = HK , por lo tanto HK es isomorfo aH × K que es igual a P ₁ × P ₂ ×… × P _t . Esto completa la inducción. Ahora toma t = s para obtener (d).

(d) → (e): Tenga en cuenta que un grupo P de orden p ^k tiene un subgrupo normal de orden p ^m para todos 1≤ m≤ k . Dado que G es un producto directo de sus subgrupos Sylow, y la normalidad se conserva sobre el producto directo de grupos, G tiene un subgrupo normal de orden d para cada divisor d de | G |.

(e) → (a): Para cualquier división p primordial | G |, el Sylow p -subgroup es normal. Por lo tanto podemos aplicar (c) (ya que ya probamos (c) → (e)).

La declaración (d) se puede extender a grupos infinitos: si G es un grupo nilpotente, entonces todos los subgrupos de Sylow G _p de G son normales, y el producto directo de estos subgrupos de Sylow es el subgrupo de todos los elementos de orden finito en G (ver subgrupo de torsión ).

Muchas propiedades de los grupos nilpotentes son compartidas por grupos hipercentral .

 grupo divisible es un grupo abelianoen el que cada elemento puede, en cierto sentido, se divide por números enteros positivos, o más exactamente, cada elemento es una n º múltiple para cada entero positivo n . Los grupos divisibles son importantes para comprender la estructura de los grupos abelianos, especialmente porque son los grupos abelianos inyectivos .

Definición [ editar ]

Un grupo abeliano $${\ displaystyle (G, +)}es divisible si, para cada entero positivo$${\ displaystyle n} y cada $${\ displaystyle g \ en G}, existe $${\ displaystyle y \ en G} tal que $${\ displaystyle ny = g}. ^[1] Una condición equivalente es: para cualquier entero positivo$${\ displaystyle n}, $${\ displaystyle nG = G}, desde la existencia de $${\ displaystyle y}para cada $${\ displaystyle n} y $${\ displaystyle g} implica que $${\ displaystyle nG \ supset G}, y en la otra direccion $${\ displaystyle nG \ subset G}es cierto para todos los grupos. Una tercera condición equivalente es que un grupo abeliano$${\ displaystyle G} es divisible si y solo si $${\ displaystyle G}es un objeto inyectivo en la categoría de grupos abelianos ; por esta razón, un grupo divisible a veces se llama un grupo inyectivo .

Un grupo abeliano es $${\ displaystyle p}- divisible para un primo $${\ displaystyle p} si para cada $${\ displaystyle g \ en G}, existe $${\ displaystyle y \ en G} tal que $${\ displaystyle py = g}. Equivalentemente, un grupo abeliano es$${\ displaystyle p}-divisible si y solo si $${\ displaystyle pG = G}.

Ejemplos [ editar ]

• Los numeros racionales $${\ displaystyle \ mathbb {Q}} formar un grupo divisible bajo adición.
• Más generalmente, el grupo aditivo subyacente de cualquier espacio vectorial sobre$${\ displaystyle \ mathbb {Q}} es divisible
• Cada cociente de un grupo divisible es divisible. Así,$${\ displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}} es divisible
• El p - componente primario $${\ displaystyle \ mathbb {Z} [1 / p] / \ mathbb {Z}} de $${\ displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}}, que es isomorfo al grupo p - quasicíclico $${\ displaystyle \ mathbb {Z} [p ^ {\ infty}]} es divisible
• El grupo multiplicativo de los números complejos. $${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}} es divisible
• Cada grupo abeliano existencialmente cerrado (en el sentido teórico del modelo ) es divisible.

Propiedades [ editar ]

• Si un grupo divisible es un subgrupo de un grupo abeliano, entonces es un sumando directo . ^[2]
• Cada grupo abeliano puede estar incrustado en un grupo divisible. ^[3]
• Los grupos divisibles no triviales no se generan de manera finita .
• Además, cada grupo abeliano puede integrarse en un grupo divisible como un subgrupo esencial de una manera única. ^[4]
• Un grupo abeliano es divisible si y sólo si es p -divisible para cada primo p .
• Dejar $${\ displaystyle A}ser un anillo Si$${\ displaystyle T} es un grupo divisible, entonces $${\ displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathbf {Z}} (A, T)} es inyectivo en la categoria de $${\ displaystyle A}-módulos. ^[5]

Teorema de estructura de grupos divisibles [ editar ]

Sea G un grupo divisible. Entonces el subgrupo de torsión Tor ( G ) de G es divisible. Desde un grupo divisible es un módulo inyectiva , Tor ( G ) es un sumando directo de G . Asi que

$${\ displaystyle G = \ mathrm {Tor} (G) \ oplus G / \ mathrm {Tor} (G).}

Como cociente de un grupo divisible, G / Tor ( G ) es divisible. Además, es libre de torsión . Por lo tanto, es un espacio vectorial sobre Q y, por lo tanto, existe un conjunto I tal que

$${\ displaystyle G / \ mathrm {Tor} (G) = \ oplus _ {i \ en I} \ mathbb {Q} = \ mathbb {Q} ^ {(I)}.}

La estructura del subgrupo de torsión es más difícil de determinar, pero se puede mostrar ^[6] [7] que para todos los números primos p existe$${\ displaystyle I_ {p}} tal que

$${\ displaystyle (\ mathrm {Tor} (G)) _ {p} = \ oplus _ {i \ in I_ {p}} \ mathbb {Z} [p ^ {\ infty}] = \ mathbb {Z} [ p ^ {\ infty}] ^ {(I_ {p})},}

dónde $${\ displaystyle (\ mathrm {Tor} (G)) _ {p}}Es el componente primario p de Tor ( G ).

Por lo tanto, si P es el conjunto de números primos,

$${\ displaystyle G = \ left (\ bigoplus _ {p \ in \ mathbf {P}} \ mathbb {Z} [p ^ {\ infty}] ^ {(I_ {p})} \ right) \ oplus \ mathbb {Q} ^ {(I)}.}

Las cardinalidades de los conjuntos I y I _p para p ∈ P se determinan de forma única por el grupo G .

Sobre inyectivo [ editar ]

Artículo principal: Sobre inyectivo.

Como se indicó anteriormente, cualquier grupo abeliano A puede integrarse de manera única en un grupo Ddivisible como un subgrupo esencial . Este grupo divisible D es la envoltura inyectiva de A , y este concepto es el casco inyectivo en la categoría de grupos abelianos.

Grupos abelianos reducidos [ editar ]

Se dice que un grupo abeliano se reduce si su único subgrupo divisible es {0}. Cada grupo abeliano es la suma directa de un subgrupo divisible y un subgrupo reducido. De hecho, existe un único subgrupo divisible más grande de cualquier grupo, y este subgrupo divisible es un sumando directo. ^[8] Esta es una característica especial de los anillos hereditarios como los enteros Z : la suma directa de los módulos inyectivos es inyectiva porque el anillo es noetheriano , y los cocientes de inyectivos son inyectivos porque el anillo es hereditario, por lo que cualquier submódulo generado por módulos inyectivos es inyectivo. Lo contrario es un resultado de ( Matlis 1958): si cada módulo tiene un submódulo inyectivo máximo único, entonces el anillo es hereditario.

El teorema de Ulm proporciona una clasificación completa de grupos abelianos periódicos reducidos contables .

Generalización [ editar ]

Varias definiciones distintas que generalizan grupos divisibles a módulos divisibles. Las siguientes definiciones se han utilizado en la literatura para definir un módulo divisible M sobre un anillo R :

1. rM = M para todos distinto de cero r en R . ^[9] (A veces se requiere que r no sea un divisor cero, y algunos autores ^[10] [11] requieren que R sea ​​un dominio.)
2. Por cada director dejó ideales Ra , cualquier homomorfismo de Ra en M se extiende a un homomorfismo de R en M . ^[12] [13] (Este tipo de módulo divisible también se llama principalmente módulo inyectivo ).
3. Por cada finitamente generado ideal a izquierda L de R , cualquier homomorfismo de L en M se extiende a un homomorfismo de R en M . ^[14]

Las dos últimas condiciones son "versiones restringidas" del criterio de Baer para módulos inyectivos . Dado que los módulos inyectivos izquierdos extienden homomorfismos de todos los ideales izquierdos a R , los módulos inyectivos son claramente divisibles en el sentido 2 y 3.

Si R es además un dominio, entonces las tres definiciones coinciden. Si R es un dominio ideal principal izquierdo, entonces los módulos divisibles coinciden con los módulos inyectivos. ^[15] Por lo tanto, en el caso del anillo de enteros Z , que es un dominio ideal principal, un módulo Z (que es exactamente un grupo abeliano) es divisible si y solo si es inyectivo.

Si R es un dominio conmutativo, entonces los módulos R inyectivos coinciden con los módulos R divisibles si y solo si R es un dominio Dedekind .