LISTA DE TEMAS MATEMÁTICOS - ÁLGEBRA ABSTRACTA

anillo es una de las estructuras algebraicasfundamentales utilizadas en el álgebra abstracta . Consiste en un conjunto equipado con dos operaciones binarias que generalizan las operaciones aritméticas de suma y multiplicación . A través de esta generalización, los teoremas de la aritmética se extienden a objetos no numéricos, como polinomios , series , matrices y funciones .

Un anillo es un grupo abeliano con una segunda operación binaria que es asociativa , distributiva sobre la operación del grupo abeliano y tiene un elemento de identidad (esta última propiedad no es requerida por algunos autores, consulte § Notas sobre la definición ). Por extensión de los enteros , la operación de grupo abeliano se llama adición y la segunda operación binaria se llama multiplicación .

Si un anillo es conmutativo o no (es decir, si el orden en que se multiplican los dos elementos cambia el resultado o no) tiene profundas implicaciones en su comportamiento como un objeto abstracto. Como resultado, la teoría del anillo conmutativo, comúnmente conocida como álgebra conmutativa , es un tema clave en la teoría del anillo . Su desarrollo ha sido muy influenciado por problemas e ideas que ocurren naturalmente en la teoría de números algebraicos y la geometría algebraica . Los ejemplos de anillos conmutativos incluyen el conjunto de enteros equipados con las operaciones de suma y multiplicación, el conjunto de polinomios equipados con su suma y multiplicación, el anillo de coordenadas de una variedad algebraica afín y elAnillo de enteros de un campo numérico. Los ejemplos de anillos no conmutativos incluyen el anillo de n × n matrices cuadradas reales con n ≥ 2, anillos grupales en la teoría de la representación , álgebras de operadores en el análisis funcional , anillos de operadores diferencialesen la teoría de los operadores diferenciales y el anillo de cohomología de un espacio topológico en topología .

La conceptualización de los anillos comenzó en la década de 1870 y se completó en la década de 1920. Los contribuyentes clave incluyen Dedekind , Hilbert , Fraenkel y Noether . Los anillos se formalizaron por primera vez como una generalización de los dominios Dedekind que ocurren en la teoría de los números , y de los anillos polinomiales y anillos de invariantes que ocurren en la geometría algebraica y la teoría invariante . Después, también demostraron ser útiles en otras ramas de las matemáticas, como la geometría y el análisis matemático .

Definición e ilustración [ editar ]

El ejemplo más familiar de un anillo es el conjunto de todos los enteros ,$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}, compuesto por los numeros

…, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…

Las propiedades familiares para la adición y multiplicación de enteros sirven como modelo para los axiomas de los anillos.

Definición [ editar ]

Un anillo está un conjunto R equipado con dos operaciones binarias ^[1] + y · que cumplan los siguientes tres conjuntos de axiomas, llamado los axiomas de anillo ^{[2] [3] [4]}

1. R es un grupo abeliano bajo adición, lo que significa que:
   • ( a + b ) + c = a + ( b + c ) para todos a , b , c en R    (es decir, + es asociativo ).
   • a + b = b + a para todos a , b en R    (es decir, + es conmutativo ).
   • Hay un elemento 0 en R tal que a + 0 = a para todos a en R    (es decir, 0 es la identidad aditiva ).
   • Para cada a en R existe - a en R tal que a + (- a ) = 0 (es decir, - a es el inverso aditivo de a ).
2. R es un monoide bajo multiplicación, lo que significa que:
   • ( a · b ) · c = a · ( b · c ) para todos a , b , c en R    (es decir, · es asociativo).
   • Hay un elemento 1 en R tal que a · 1 = a y 1 · a = a para todos a en R    (es decir, 1 es la identidad multiplicativa ). ^[5]
3. La multiplicación es distributiva con respecto a la suma, lo que significa que:
   • a ⋅ ( b + c ) = ( a · b ) + ( a · c ) para todos a , b , c en R    (distributividad izquierda).
   • ( b + c ) · a = ( b · a ) + ( c · a ) para todos a , b , c en R    (distributividad derecha).

Notas sobre la definición [ editar ]

Como se explica en § Historia a continuación, muchos autores siguen una convención alternativa en la que un anillo no está definido para tener una identidad multiplicativa. Este artículo adopta la convención de que, a menos que se indique lo contrario, se supone que un anillo tiene dicha identidad. Una estructura que satisface todos los axiomas, excepto el requisito de que exista un elemento de identidad multiplicativo, se denomina rng ( peldañocomúnmente pronunciado , y algunas veces se denomina pseudo-anillo ). Por ejemplo, el conjunto de enteros pares con el + y usual habitual es un rng, pero no un anillo.

Las operaciones + y ⋅ se llaman suma y multiplicación , respectivamente. El símbolo de multiplicación ⋅ a menudo se omite, por lo que la yuxtaposición de elementos de anillo se interpreta como multiplicación. Por ejemplo, xysignifica x ⋅ y .

Aunque la adición de anillos es conmutativa , no se requiere que la multiplicación de anillos sea conmutativa: abno necesita necesariamente ser igual a ba . Los anillos que también satisfacen la conmutabilidad para la multiplicación (como el anillo de números enteros ) se denominan anillos conmutativos . Los libros sobre álgebra conmutativa o geometría algebraica a menudo adoptan la convención de que anillo significa anillo conmutativo , para simplificar la terminología.

En un anillo, la multiplicación no tiene que tener un inverso. Un campo conmutativo (no trivial ) tal que cada elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo se denomina campo .

El grupo aditivo de un anillo es el anillo equipado solo con la estructura de adición. Aunque la definición asume que el grupo aditivo es abeliano, esto se puede inferir de los otros axiomas del anillo. ^[6]

Propiedades basicas [ editar ]

Algunas propiedades básicas de un anillo siguen inmediatamente de los axiomas:

• La identidad aditiva, la inversa aditiva de cada elemento y la identidad multiplicativa son únicas.
• Para cualquier elemento x en un anillo R , uno tiene x 0 = 0 = 0 x (cero es un elemento absorbente con respecto a la multiplicación) y (–1) x = - x .
• Si 0 = 1 en un anillo R (o más generalmente, 0 es un elemento unitario), entonces R tiene solo un elemento y se llama el anillo cero .
• La fórmula binomial es válida para cualquier par de elementos que se desplazan (es decir, cualquier x y y tal que xy = yx ).

Ejemplo: enteros modulo 4 [ editar ]

Ver también: aritmética modular.

Equipar el conjunto $${\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {4} = \ left \ {{\ overline {0}}, {\ overline {1}}, {\ overline {2}}, {\ overline {3}} \ right \}} Con las siguientes operaciones:

• La suma $${\ displaystyle {\ overline {x}} + {\ overline {y}}}en Z ₄ es el resto cuando el entero x + y está dividido por 4 (ya que x + y es siempre menor que 8, este resto es x + y o x + y - 4). Por ejemplo,$${\ displaystyle {\ overline {2}} + {\ overline {3}} = {\ overline {1}}} y $${\ displaystyle {\ overline {3}} + {\ overline {3}} = {\ overline {2}}}.
• El producto $${\ displaystyle {\ overline {x}} \ cdot {\ overline {y}}}en Z ₄ es el resto cuando el entero xy se divide por 4. Por ejemplo,$${\ displaystyle {\ overline {2}} \ cdot {\ overline {3}} = {\ overline {2}}} y $${\ displaystyle {\ overline {3}} \ cdot {\ overline {3}} = {\ overline {1}}}.

Entonces Z ₄ es un anillo: cada axioma sigue de la axioma correspondiente para Z . Si x es un número entero, el resto de x cuando se divide por 4 se puede considerar como un elemento de Z ₄ , y este elemento a menudo se denota por " x mod 4" o$${\ displaystyle {\ overline {x}}}, que es consistente con la notación para 0, 1, 2, 3. El inverso aditivo de cualquier $${\ displaystyle {\ overline {x}}}en Z ₄ es$${\ displaystyle {\ overline {-x}}}. Por ejemplo,$${\ displaystyle - {\ overline {3}} = {\ overline {-3}} = {\ overline {1}}.}

Ejemplo: matrices de 2 por 2 [ editar ]

Artículo principal: Matrix ring

El conjunto de matrices de 2 por 2 con entradas de números reales se escribe

{\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {2} (\ mathbb {R}) = \ left \ {\ left. {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} \ right | \ a , b, c, d \ in \ mathbb {R} \ right \}.}

Con las operaciones de adición de matriz y multiplicación de matriz , este conjunto satisface los axiomas de anillo anteriores. El elemento{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}Es la identidad multiplicativa del anillo. Si{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}} y {\ displaystyle B = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}, entonces {\ displaystyle AB = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}} mientras {\ displaystyle BA = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}; Este ejemplo muestra que el anillo no es conmutativo.

Más en general, para cualquier anillo R , conmutativo o no, y cualquier número entero no negativo n , se puede formar el anillo de n -by- n matrices con entradas en R : véase el anillo de la matriz .

Historia [ editar ]

Ver también: Teoría del anillo § Historia.

Richard Dedekind , uno de los fundadores de la teoría de los anillos .

Dedekind [ editar ]

El estudio de los anillos se originó a partir de la teoría de los anillos polinomiales y la teoría de los enteros algebraicos . ^[7] En 1871, Richard Dedekind definió el concepto del anillo de enteros de un campo numérico. ^[8] En este contexto, introdujo los términos "ideal" (inspirado en la noción de número ideal de Ernst Kummer ) y "módulo" y estudió sus propiedades. Pero Dedekind no usó el término "anillo" y no definió el concepto de anillo en un contexto general.

Hilbert [ editar ]

El término "Zahlring" (anillo de número) fue acuñado por David Hilbert en 1892 y publicado en 1897. ^[9] En alemán del siglo XIX, la palabra "Anillo" podría significar "asociación", que todavía se usa en inglés en forma limitada. sense (por ejemplo, spy ring), ^[10] así que si esa fuera la etimología, entonces sería similar a la forma en que "grupo" ingresó a las matemáticas al ser una palabra no técnica para "colección de cosas relacionadas". De acuerdo con Harvey Cohn, Hilbert usó el término para un anillo que tenía la propiedad de "rodear directamente hacia atrás" a un elemento de sí mismo. ^[11]Específicamente, en un anillo de enteros algebraicos, todas las altas potencias de un entero algebraico pueden escribirse como una combinación integral de un conjunto fijo de potencias inferiores, y por lo tanto las potencias "retroceden". Por ejemplo, si a ³ - 4 a + 1 = 0 entonces a ³ = 4 a - 1 , a ⁴ = 4 a ² - a , a ⁵ = - a ² + 16 a - 4 , a ⁶ = 16 a ² - 8 a + 1 , a ⁷ = −8a ² + 65 a - 16 , y así sucesivamente; en general, un ⁿ va a ser una combinación lineal integral de 1, una , y un ² .

Fraenkel y Noether [ editar ]

La primera definición axiomática de un anillo fue dada por Adolf Fraenkel en 1914, ^[12] [13] pero sus axiomas eran más estrictos que los de la definición moderna. Por ejemplo, requería que todo divisor distinto de cero tuviera un inverso multiplicativo . ^[14] En 1921, Emmy Noether dio la definición axiomática moderna de anillo (conmutativo) y desarrolló los fundamentos de la teoría del anillo conmutativo en su artículo Idealtheorie en Ringbereichen . ^[15]

Identidad multiplicativa: obligatoria vs. opcional [ editar ]

Fraenkel requirió que un anillo tuviera una identidad multiplicativa 1, ^[16] mientras que Noether no lo tenía. ^[15]

La mayoría o todos los libros sobre álgebra ^[17] [18] hasta aproximadamente 1960 siguieron la convención de Noether de no requerir un 1. A partir de la década de 1960, se hizo cada vez más común ver libros que incluyen la existencia de 1 en la definición de anillo, especialmente en libros avanzados de autores notables como Artin, ^[19] Atiyah y MacDonald, ^[20] Bourbaki, ^[21] Eisenbud, ^[22] y Lang. ^[23] Pero incluso hoy en día, quedan muchos libros que no requieren un 1.

Ante esta ambigüedad terminológica, algunos autores han tratado de imponer sus puntos de vista, mientras que otros han tratado de adoptar términos más precisos.

En la primera categoría, encontramos a Gardner y Wiegandt, que sostienen que si uno requiere que todos los anillos tengan un 1, algunas consecuencias incluyen la falta de existencia de sumas directas infinitas de anillos y el hecho de que los sumarios directos apropiados de anillos no son subrings Concluyen que "en muchas, tal vez la mayoría, de la teoría de anillos, el requisito de la existencia de un elemento de unidad no es sensible y, por lo tanto, inaceptable". ^[24]

En la segunda categoría, encontramos autores que usan los siguientes términos: ^[25] [26]

• anillos con identidad multiplicativa: anillo unital , anillo unitario , anillo de unidad , anillo con unidad , anillo con la identidad , o anillo con 1
• anillos que no requieren identidad multiplicativa: rng o pseudo-anillo , aunque este último puede ser confuso, ya que tiene otros significados.

Ejemplos básicos [ editar ]

Anillos conmutativos [ editar ]

• El ejemplo de prototipo es el anillo de enteros con las dos operaciones de suma y multiplicación.
• Los números racionales, reales y complejos son anillos conmutativos de un tipo llamado campos .
• Un álgebra sobre un anillo es en sí un anillo. Estos también son módulos . Algunos ejemplos:
  • Cualquier álgebra sobre un campo .
  • El anillo polinomial R [ X ] de los polinomios sobre un anillo R es en sí mismo un anillo. Un módulo libresobre R de dimensión infinita.
  • $${\ displaystyle \ mathbf {Z} [c]}, los enteros con un número irracional c adjunto. Un módulo libre de dimensión infinita si c es un número trascendental , un módulo libre de dimensión finita si c es un número entero algebraico .
  • $${\ displaystyle \ mathbf {Z} [1 / n]}, el conjunto de fracciones cuyos denominadores son una potencia de n (incluidos los negativos). Un módulo no libre.
  • $${\ displaystyle \ mathbf {Z} [1/10]}, el conjunto de fracciones decimales .
  • $${\ displaystyle \ mathbf {Z} \ left [\ left (1 + {\ sqrt {d}} \ right) / 2 \ right]}, donde d es un número entero sin cuadrados de la forma 4 n + 1. Un módulo libre de rango dos. Cf. Enteros cuadráticos .
  • $${\ displaystyle \ mathbf {Z} [i]}, los enteros gaussianos .
  • $${\ displaystyle \ mathbf {Z} \ left [\ left (1 + {\ sqrt {-3}} \ right) / 2 \ right]}, los enteros de Eisenstein . También su generalización, un anillo de Kummer .
• El conjunto de todos los enteros algebraicos forma un anillo. Esto se desprende, por ejemplo, del hecho de que es el cierre integral del anillo de enteros racionales en el campo de los números complejos. Los anillos en los tres ejemplos anteriores son ejemplos de este anillo.
• El conjunto de la serie de potencia formal R [[ X ₁ , ..., X _n ]] sobre un anillo conmutativo R es un anillo.
• Si S es un conjunto, entonces el conjunto de potencias de S se convierte en un anillo si definimos la suma como la diferencia simétrica de los conjuntos y la multiplicación como intersección . Esto corresponde a un anillo de conjuntos y es un ejemplo de un anillo booleano .
• El conjunto de todas las funciones continuas de valores reales definidas en la línea real forma un anillo conmutativo. Las operaciones son sumas puntuales y multiplicación de funciones.
• Sea X un conjunto y R un anillo. Luego, el conjunto de todas las funciones de X a R forma un anillo, que es conmutativo si R es conmutativo. El anillo de funciones continuas en el ejemplo anterior es una subring de este anillo si X es la línea real y R es el campo de los números reales.

Anillos no conmutativos [ editar ]

• Para cualquier anillo R y cualquier número natural n , el conjunto de todas las matrices cuadradas n- by- ncon entradas de R , forma un anillo con suma de matriz y multiplicación de matriz como operaciones. Para n = 1, este anillo de matriz es isomorfo a R en sí. Para n > 1 (y R no el anillo cero), este anillo de matriz no es conmutativo.
• Si G es un grupo abeliano , entonces los endomorfismos de G forman un anillo, el anillo endomorphism End ( G ) de G . Las operaciones en este anillo son adición y composición de endomorfismos. Más generalmente, si V es un módulo izquierdo sobre un anillo R , entonces el conjunto de todos los mapas lineales en R forma un anillo, también llamado anillo de endomorfismo y denotado por el extremo _R ( V ).
• Si G es un grupo y R es un anillo, el anillo de grupo de G sobre R es un módulo libre sobre R que tiene Gcomo base. La multiplicación se define por las reglas que los elementos de G conmutan con los elementos de R y se multiplican juntos como lo hacen en el grupo G .
• Muchos anillos que aparecen en el análisis son no conmutativos. Por ejemplo, la mayoría de las álgebras de Banach son no conmutativas.

No anillos [ editar ]

• El conjunto de números naturales N con las operaciones habituales no es un anillo, ya que ( N , +) no es ni siquiera un grupo (los elementos no son todos invertibles con respecto a la suma ). Por ejemplo, no hay un número natural que se pueda agregar a 3 para obtener 0 como resultado. Existe una forma natural de convertirlo en un anillo agregando números negativos al conjunto, obteniendo así el anillo de enteros . Los números naturales (incluido 0) forman una estructura algebraica conocida como semiring (que tiene todas las propiedades de un anillo excepto la propiedad inversa aditiva).
• Sea R el conjunto de todas las funciones continuas en la línea real que se desvanecen fuera de un intervalo limitado según la función, con la suma habitual, pero con la multiplicación definida como convolución :

  $${\ displaystyle (f * g) (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (y) g (xy) dy.}

  Entonces R es un generador de números aleatorios , pero no un anillo: la función delta de Dirac tiene la propiedad de una identidad multiplicativa, pero no es una función y por lo tanto no es un elemento de R .